华师一附中2024届高三 《正余弦定理的综合应用》 试卷带答案

一、单选题1．在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，ΔABC的面积为S=，则()A．a222Sb2a2，「2)「241(24)「24)sin2A+sin2Bsin2C=sinA.sinB，则的取值范围是()22则的取值范围为()「973)(28191「73)(2811「973)(28191「73)(2811,D是边BC上一点，ABLAD且则ΔABC面积的最大值为()AGLBG，则cosC的取值范围是()9．在ΔABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝1B，若点O是ΔABC外一点，∠AOB=θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是()ABC3D10．如图，某城市有一条公路从正西方MO通过市中心O后转向东北方ON，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在MO,ON上分别设置两个出口A,B，若AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为()二、多选题11．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30。，该小车在公路上由东向西匀速行驶7．5分钟后，到达B处，此时测A．此山的高PO=kmB．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30。C．PA=2kmD．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为20 下列说法正确的是()A．‘ABC是等边三角形B．若AC=2，则A,B,C,D四点共圆C．四边形ABCD面积最大值为+3D．四边形ABCD面积最小值为一313．在‘ABC中，若B=，角B的平分线BD交AC于D，且BD=2，则下列说法正确的是ADDC 214．在锐角ΔABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，外接圆半径为R，若a=，15．设ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是().16．已知ΔABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且ZC=，c=2．则下列结论A.ΔABC面积的最大值为B．.的最大值为2+) 三、填空题2，有下列结论：其中正确的是填写所有正确结论的编号）中点，若AM=4，则AC+AB的最大值为.21．如图，在平面四边形ABCD中，DC=2AD=4，ZBAD=ZBDC=，22．如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，ZABC=,（2）若ACLBD，求tanZABD.参考答案：【分析】A、B由三角形面积公式及余弦定理判断；C由A、B分析sinA+2cosA合辅助角公式、正弦函数性质即可确定目标式最大值；D根据C的分析，结合基本不等式可得sinA+2cosA>2，应用同角三角函数关系及三角形内角性质求得0<sinA<，根据A的结论即可求目标式最大值.ΔABC的面积为S=a22bcsinAa22则a2=bcsinA，A错误；b22a2b2+c2bcsinA 2 +—sinA，所以 +所以 +的最大值为，C正确；b由C分析知：sinA+2b4所以0<sinA<，而sinA=，故的最【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出A,B关系后求解|π【分析】由sin2A+sin2B一sin2C=sinA.sinB，结合正余弦定理求得角C，继而由sinBsinCcosAcosC 结合正余弦定理求出c=2，再表示出a=4sinA，b=4sinB，利用三角函数的性质求得a+b的范围，即可求得答案.2=，而Ce0,，则C=，c2 2‘ABC是锐角三角形且C=，有Ae0,，B=一Ae0,，解得Ae,，2c【分析】根据余弦定理和‘ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示一bcsinA，2S=a2-(b-c)2所以bcsinA=a2-b2-c2+2bc，‘ABC中，由余弦定理得，a2-b2-c2=-2bccosA，则bcsinA=2bc-2bccosA，化简得5sin2A-4sinA=0，解得sinA=或sinA=0（不合题意，舍去因为Ae0,，所以C=π-A-B，又因为Be(0,)，所以π-Be(,π)，所以C=π-A-Be(-A,π-A)，因为Ce(0,)，所以Ce-A,，所以e,，=+44所以t=时，y取得最大值为ymax=2，求出最值.【详解】如图所示，-taB)tanB，再利用基本不等式 所以b=sin)，tB所以b+2c的最小值为8.【分析】设OE=t(t>0)，由三角形中的中位线的性质和比例的性质可得出t2+14tt2+14t,再得出421，由三角形的面积公式表示‘ABC的面积，根据二次函数的最值可得选项.【详解】因为D,E分别是边AB，AC的中点，所以DE//BC,DE=BC，所以==，2224大值6，t4【点睛】本题考查三角形的面积的最值求解，关键在于运用三角形的中位线性质和比例性质得出线段间的关系，再运用余弦定理和三角形的面积公式表示三角形的面积为一个变量的函数，属于较难题.【分析】由条件可得CD=AB=c，然后根据余弦定理可得a2+b2=5c2、然后利用对勾函数的性质求出cosC的范围即可.【详解】如图所示：,连接CG，并延长交AB于D，由G是三角形的重心，得D是AB的中点，∵AGLBGDG=AB=c，由重心的性质得CD=3DG，即CD=ABC2=BD2+CD22BD.CD.cosZBDC，2∵ZAGD>ZACD，ZBGD>ZBCD90O=ZAGB>ZACBZACB为锐角，∵‘ABC是钝角三角形ZBAC或ZABC为钝角，:b2+c2<a2或a2+c2<b【分析】设AC=x，ZBAC=θ,则AB=2x，结合正弦定理表示得S‘ABC=AB.AC.sinZBAC,由余弦定理可得x与θ的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设AC=x，ZBAC=θ,则由正弦定理可得sinAD=sinDB①,可得=，则AB=2x，则S△ABC=AB.AC.sinZBAC=x.2x.sinθ=x2.sinθ,对‘ABC，由余弦定理可得cosZBAC=AB2CBC2245x2365x23625x4360x2+362【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，ABAC本题中的角平分线性质可当结论进行识记：AD为‘ABC的角平分线，ABAC BD 【分析】根据正弦和角公式化简得ΔABC是正三角形，再将平面四边形OACB面积表示成θ的三角函数，利用三角函数求得最值.又因为b=c,所以ΔABC是等边三角形.且SΔABO=AOXOBXsinθ=sinθ,因为平面四边形OACB面积为此时平面四边形OACB面积有最大值，故选A.【点睛】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到AB2之(2+)ab，使用正弦定理及三角恒等变换得到ab之，进而求得AB的最短距离.【详解】22当且仅当a=b时取等号，又O到AB的距离为20千米，所以a=Q22所以AB22，得AB，22【分析】分别求出PO、PA的值判断AC；由等面积法可得O到AB的距离h=km，再求最大仰角的正切，可判断D;由AO>BO判断B.所以由等面积法可得O到AB的距离h=km，PO20PO20故选：BCD.【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简条件式可判定A，由余弦定理可判定B，设ZD=θ,由正弦定理结合三角函数的性质可判定C、D.【详解】由正弦定理a=2RsinA,b=2Rsi对于B，若A,B,C,D四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知ZD=,cosDDC2+DA2AC22.DA.DC:B不正确.2(2)2=一子一,△ADCsinθ△ADC四边形ABCD‘ABC‘ADC四边形ABCD‘ABC‘ADCcosθ,sinθcosθ+,四边形ABCD四边形ABCD故选：AC.<+3，:C正确，D不正确；【分析】A、B、C选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D选项用角θ表示出AB+BC结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断.角B的平分线BD交AC于D，所以ZABD=ZCBD,ADABCDBC因为BD=BC，由正弦定理sin=sinZADB,sin=sinZBDC，因为ZADB和ZBDC互sinθsinθ + sinθ+cosθ +sinθ sinθ+cosθcosθ+sinθ43434333 33 +=θ=θ=或tanθ=θ=θ=或tanθ=3，故3综上：当‘ABC为等边三角形时，AB+BC的最小值是，故D正确.故选：ACD.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知sinBE(,1)，结合b=2RsinB即可求范围；由余弦定理及基本不等式求bc的最大值，注意取最大的条件；由C分析有b2222)9，结合正弦定理边角关系及B,C的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.cosA=正确；b22a22bc又B=CE(,)且CE(,)，则b222C)所以b2+c2+3bcE(11,15]，D正确.故选：ACD三角恒等变换将b2+c2转化为三角函数性质求范围.【分析】根据正弦定理及三角函数的图象与性质及导数判断函数单调性，即可判断ABCD的真假.由正弦定理可知：任意‘ABC都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；∴‘ABC是等边三角形，正确.∴‘ABC是等边三角形，正确.f'(x)=xcossinx=(x-ta)cosx，0<x<时，x<tanx，∴函数f(x)在0,上单调递减，因此==不成立.综上可得：‘ABC是等边三角形，正确.故选：BCD.【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得.=b2+一a2，利用正弦定理和三角恒等变换得到b2a2=cos2B,结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求cosBcosAcosBcosAtanA一，结合A的取值范围得到的取值范围.22 所以b2a2= 故b2a2=cos2B最大值为，22B正确；故C错误；cosB=cosA+=sinAcosA=3tanA1，cosAcosAcosA22故选：AB【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.【分析】利用同角的三角函数的基本关系结合面积、余弦定理可得a,c，计算出sinA可判断A的正误，而利用余弦定理、基本不等式可得关于A的三角函数不等式，从而可判断B的合已知条件可判断三角形是否存在.【详解】设A,B,C所对的边为a,b,c，因为‘ABC面积为12，故acsinB对于A，若cosB=，结合B为三角形内角可得sinB=，故ac=24.对于B，由余弦定理可得b2+c2-2b所以b2+c2=2bccosA+36>2bc即18>bc(1-cosA)，当且仅当b=c时等号成立.Acos2sinA=Acos22tanA 2=AA223<43<4 2512，故sinA的最大值为时等号成立，故B错误.22=36-2bccosA=bcsinA-2bccosA，bcbcbcbc22-2bccosA=36l5c-4ccosA=3622-2bccosA=36l5c-4ccosA=36222所以=，整理得到6sinA+8cosA=17，但6sinA+8cosA<10，故矛盾即=4不成立.所以=，整理得到3sinA+4cosA=5，故D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：三角形一般有7个几何量（三边和三角以及外接圆的半径由已知的三个量一般可求出其余的四个量，求解过程中注意选择合适的定理来解决，另外在边角关系的转化的过程，注意根据边的特征和角的特征合理消元.18.①②④22-c2<0，故ΔABC为钝角三角形.a22-c2a2+b2-c25k2ln22-c2 2ab ,5k2ln22-c22ln22-1.t=4，a=ln2时，ΔABC的面积为，故四个结论中，只有③不正确.填①②④.【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为180。来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧.【分析】由正弦定理和题设条件，得到A=B，即a=b，再在ΔABM和△ACM中，由余弦【详解】因为acosB=bcosA，由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，在ΔABM中，由余弦定理，可得c2=AM2+BM2一2AM.BMcosZAMB=4在△ACM中，由余弦定理，可得c2=AM2+CM2一2AM因为ZAMB=πZAMC，所以cosZAMB=cosZAMC，222，2max故答案为：8.20.20.【详解】分析：连接CD，因为DE是中垂线，所以AD=CD.在ΔBCD中，由正弦定理得到CD与角A的关系.在直角三角形DCE中，DE=CDsinA，两者结合可得A的大小，从而在ΔABC中利用正弦定理求得AB，最后在ΔABE中利用余弦定理