切线放缩-2024届高考数学拓展含答案

切线放缩-2024届高考数学拓展

切线放缩

题目|1](2023•广州模拟)已知函数/(6)=lnQ+1).

(1)证明：当x>—l时，f(x)&C；

(2)已知九CN*,证明：e1+i+i+,+->sin(n+1).

题目区(2023•遂宁模拟)已知函数/(⑼=a(x+1)—三于，xER.

e

(1)若f3)是减函数,求实数a的取值范围；

(2)若f3)有两个极值点g,力2,其中力1<62,求证：x2—x1>—+2.

题目叵)(2023•重庆模拟)已知函数/(c)=sinx-aln(x+l).

(1)若a=1,证明：当①C[0,1]时，/(c)>0；

(2)若a=—1,证明：当;rC[0,+oo)时,于(x)W2ex—2.

题目@(2023•柳州模拟)已知函数/㈤=Inx+^-2x.

(1)当a>0时,讨论了(⑼的单调性；

(2)证明：1+2

X>f(6

题目(2023•福州模拟)已知函数/(6)=x\nx—x.若/㈤=b有两个实数根电,力2,且21〈力2.求证:

be+e<力2—CiV25+e+—.

e

题目(2023•山东省模拟)已知函数/(/)=(力+1)(e+—1),若函数gQ)=/(①)—m(m>0)有

两个零点,且%证明ifW1+2a+).

切线放缩

题目区(2023•广州模拟)已知函数/3)=ln(c+l).

(1)证明：当2>一1时,/(T)4/；

(2)已知.eN*,证明:>sin伍+1).

【答案】证明:(1)令h(x)=ln(rc+1)—x(rc>—1),

则"㈤=匕一1=一X

x+1

当一1V/V0时，〃Q)＞0,则函数无㈤在(一1,0)上单调递增,

当力＞0时，"(力)V0,则函数九3)在(0,+00)上单调递减，

/.h(x)＜无(0)=0,

即/(%)Wx.

(2)由⑴可得ln(rc+1)&力,

当且仅当x=0时取等号，令力=工，

n

・・・—>ln(l+—)=ln2L±1,

n'n'n

1+H-----F->In^-+In+InH-----Fin1=ln(n+1),

23n123n

即l+!+4+…+工>山(4+1),

23n

则1+抖抖…++>"+1,①

令(p^x)=x—sinx,x>0,

(p'(%)=1—cos力>0,

・・.0(%)在(0,+8)上单调递增,

:.(p[x)>0(0)=0,即力一sina?>0,

即力>sin1,力>0,

即n+1>sin(n+1),②

由①②得e"打打"+点〉sin伍+1).

题目[1](2023・遂宁模拟)已知函数/Q)=a(x+1)一攵鲁，xER.

(1)若f(G是减函数,求实数a的取值范围；

(2)若f(sc)有两个极值点到，尤2,其中T1＜田2，求证：电―21＞包+2.

【答案】(1)解：由题意知r(M=a+义士2WO在R上恒成立，所以一a)且±2恒成立,

e。e"

令g(a?)=力士2，二五兄,

e

则一a>g(±)max，

X+[

令g'(T)=-X=0,得a;=T,

e

当cC(-oo,-1)时，g，3)>0,g(a;)单调递增;

当reC(—1,+oo)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(2)n1ax=g(-l)=e,

即—a^e,aE(—oo,—e].

(2)证明由/Q)有两个极值点g,g,

可知(心)=0有两个不相等的实数根电，电，

由⑴可知，当/->+8时,ff(x)-*0,且g(—2)=0,则g(x)的图象如图所示，

所以一e<aV0且一2<伤<—1Vx2,

又过点(—2,0)和(一1,e)的直线方程为y=e(x+2),

当①G(—2,—1)时，构造函数h(x)—g(x)—e(x+2)

=三警一eQ+2)

=3+2)(/-e)>0,

所以。(力)>e(力+2)・

设方程eQ+2)=—a的根为x3f

则力3=一0一2,

e

过点(―1,e)和(0,0)的直线方程为y=—ex,

设m{x}=g[x)+ex,xE(―1,+oo),

e^1—(7+1)

因为m'(x)=------------>0,所以m(x)在(―1,+oo)上单调递增，

所以m(x)>m(—l)=0,则g(x)>—ex,

又设方程一ex——a的根为g，则%4=~~，所以力2—21>g—力3=~—(—~—2)=——+2.

ee'e/e

目包(2023•重庆模拟)已知函数/(6)=sinx—aln(x+l).

(1)若Q=1,证明：当力G[0,1]时，f(3)>0；

⑵若Q=—1,证明：当/G[0,+oo)时,f(a)<2ex—2.

【答案】证明:(1)首先证明sinx^xfxE[0,+8),证明如下:

构造，(4)=sinx—x,xE[0,+8),

则f(力)—cosx—K0恒成立，

故,(/)=sin/—%在[0,+8)上单调递减，

故/(力)&/(0)=0,

所以sinx^x,xE[0,+oo).

当a=1时，/Q)=sinx—In(劣+1),nG[0,1],

于'(x)=cosx—」一=1-2sin2-^-—」一》1

J'71+621+x

2

=]1---X-------1--

21+x

故/'3)>2+2彳;)"-2=[:0>0在力e[0,1]上恒成立,

所以在［0,1］上单调递增,

故/㈤>/(o)=o.

⑵令g(c)=(2e①一2)-/(6),x€[0,+oo).

当a=-1时,gQ)=2ex—2—sinx—ln(re+1)=2(ex—x—1)+a7—sinx+x—ln(x+1),

下证：ex—x—1>0(/>0),力一sinx>0(力>0),/—ln(rc+1)>0(/>0),且在力=0处取等号，

令/Q)=ex—x—l(rc>0),则rr(a;)=ex—l>0,故r(x)=ex—x—1在[0,+oo)上单调递增,故r(rr)>

r(0)=0,且在x=Q处取等号，

由⑴知，(2)=sin力一力在[0,+co)上单调递减，

故/(力)&/(0)=0,且在x=0处取等号，

令t(x)=x—ln(x+1)(力>0),

故t[x}—x—In(劣+1)在[0,+oo)上单调递增，故力(劣)>t(0)=0,且在x=Q处取等号，

综上有g{x}=2(ex—x—l)+x—sinx+x—ln(rc+1)>0,且在力=0处取等号，即(2e°—2)—/(x)>

0,

即证/Q)42e'—2.

题目回（2023•柳州模拟）已知函数/（①）=lnx+^-2x.

（1）当a>0时,讨论了（⑼的单调性；

（2）证明：1+4二>f（x）.

X

【答案】（1）解：由题意可知名>0,

对于二次函数y=2X2—X+a,

A=1—8a.

当a>■寸，Q）40恒成立,

o

f（力在（0,+oo）上单调递减；

当0VQV时,二次函数y——2/+力一a有2个大于零的零点，

8

分别是刀产1-8a,x-1+'：-8a，当，（上彳三冕,

1+Vl~8a）时在8a,l+Vl-8a）上单调递增；当立©

（o,i-<^）u（1+7^,+句时，/㈤<0,

f（x）在（0,—「a）和（1+〃；-8a,+oo）上单调递减.

综上，当a>U时，/（£）在（0,+°°）上单调递减；当0<a<5•时，/（力）在

OO

8a,l+Vl-8a）上单调递增，在（0,l-Vl-8a）,

（1+，：-8a,+8）上单调递减.

a2x22x

⑵证明要证e-+~->f（x）,

X

即证e”>Inx+2.

不妨设h（x）—ex—（rc+1）,

则hr㈤=ex—l,//（0）=0,

当cVO时，"（0）＜0,

当N＞0时，〃（0）＞0,

因此人（劣）＞九（0）=0,ex—（2+1）＞0恒成立.

令m{x}=Inrc—T4-1,

mrQ）=——1=———,

xx

当0VcV1时,

m'(i)>0,m[x)单调递增，

当2>1时，

mr(力)<0,m(x)单调递减，

故当力=1时，m(x)取得最大值m(l)=0,因此Inx—x+KO,

则ex—(x+1)+[x—(Inx+1)]

=e'—(In/+2)>0恒成立(等号成立的条件不一致，故舍去)，

即6*>ln/+2.从而不等式得证.

题目叵](2023•福州模拟)已知函数/㈤=xlnx—x.若/®=b有两个实数根如电,且gVg.求证:

be+e<x—a?i<26+e+—.

2e

【答案】证明：f(x)的定义域为(0,+8),f(x)=Inx.

令/'(力)>0,得力>1;

令Q)V0得,0<rc<1,

所以/(力)在区间(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减.

因为/(力)=b有两个实数根力1,力2,且61〈力2.

所以0V力1V1Vg,

先证不寺式22—a1V2b+eH——,

所以曲线g=f(x)在力=!和力=e处的切线分别为0:y=—x—L和Qg=/一e,如图，

ee

令gQ）=/（力）一（~x——）=xlnx+—,0V/V1,则gr[x）=1+Inx,

令gf（力）>0,则1■VnV1;

e

令g，（①）V0,则0<x<-|-,

所以gQ）在（0,十）上单调递减，在（十，1）上单调递增，

所以gfXDg'）=0,

所以>—名—上在(o,1)上恒成立,

e

设直线g=b与直线Zi交点的横坐标为必,则MWii,

设直线g=b与直线。交点的横坐标为〃2,

同理可证劣24力‘2，

因为x\=—b———,/'2=b+6,

e

f

所以X2—Xi<x2—x\

=b+e—(-b——

=2b+e+^(两个等号不同时成立)，

e

因此22—劣1V2b+e+

e

再证不等式g—的>be+e,

函数图象/(力)上有两点A(1,-1),B(e,0),

设直线g=b与直线04:y=—x,AB:y=—-(x—e)的交点的横坐标分别为g,rc,易证gVgV

e—14

x4<x2,且x3=—b,X4=(e—l)b+e,

所以x2—Xi>x4—x3=(e—1)6+e—(—6)=be+e.

综上可得be+eVX2—力1V2b+e+—成区.

e

题目叵(2023•山东模拟)已知函数/(2)=(力+1)(e，—1),若函数gQ)=/(/)—?n(?n>0)有

两个零点xr,电，且为iVg,证明：电一为41+2m-\—^―.

e—1

【答案】证明：/(T)=(2+1)(e*一1),

令/(力)=0,有g=T,力2=0,

f(力)=e%2+2)-1,

巴-1)=-1+工

e

于'(0)=1,设曲线y=f{x)在(—1,0)处的切线方程为g=h[x),

令F[x)=f(x)—h[x)

则F'3)=3+2)1—工，

e

令m(x)—Fr(a)=(6+2)e'—―,

e

则mr(劣)=(力+3)e”,

所以当力<—3时，mr(力)<0;

当x>—3时，mr(名)>0,

所以尸㈤在(一8,—3)上单调递减，

在(—3,+00)上单调递增，

当X7—8时，F'(X)T---