华师一附中2024届高三《数列》每日一题 试卷带答案

一、多选题1．已知数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列，将数列{an}和{bn}中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{cn}，则()=16B．数列{cn}中bn与bn+1之间共有2n1项2a}是等比数列*，ne**)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公2n4．在边长为2的等边三角形ABC纸片中，取边BC的中点M1，在该纸片中剪去以BM1为斜边的等腰直角三角形P1BM1得到新的纸片K1，再取M1C的中点M2，在纸片K1中剪去以M1M2为斜边的等腰直角三角形P2M1M2得到新的纸片K2，以此类推得到纸片K3，K4，ⅆⅆ,Kn，ⅆⅆ,设Kn的周长为Ln，面积为Sn，则() n+1n2nn2n1n二、填空题5．在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),,Pn(xn,yn)，对每个正整数n，点Pn位于函n}的前n项之和为Sn，则S20=.三、解答题且2b2是3b1与b3的等差中项.(1)求：数列{an}和{bn}的通项公式.n(3)若对于数列{an}、{bn}，在ak和ak+1之间插入bk个2(k=**)，组成一个新的数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T2024.8．已知函数y=f(x)的图象经过坐标原点，且f(x)=x2-x+b，数列{an}的前n项和Sn(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an+log3n=log3bn，求数列{bn}的前n项和Tn；(3)令dn=，若cn=3d-λ(-2)n(λ为非零整数，n=**试确定λ的值，使得对任意n=**，都有cn+1>cn成立.9．设数列{an}的前n项之积为Tn，满足2an+Tn=1（n=**）.(2)设数列{an}的前n项之和为Sn，证明：-+n+1<Sn<+ln-.n(1)求证：数列{an-2}是等比数列，并求{an}的通项公式；=nλn-1，其中λ>0，若对任意m,n=**，总有bm-cn>成立，求λ的取值范围.【分析】先根据已知条件求{an}，{bn}的通项公式，再根据数列的性质逐项判断.n又因为数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列，所以bn=2n.16，故选项A正确；数列{an}是由连续奇数组成的数列，bn,bn+1都是偶数，所以bn与bn+1之间包含的奇数个数为=2n-1个，故选项B正确；因为bn=2n，前面相邻的一个奇数为2n-1，=2k-1，解得k=2n-1，所以数列{cn}从1到2n共有2n-1+n，也即c2n-1+n=2n=bn，故选项C错误；所以{cn}前1022项中包含{bn}的前10项，{an}的前1012项，=2023，故D正确.故选：ABD【点睛】注重等差数列等比数列基础知识的掌握，强化计算能力.【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式及其性质，对于A选项，当n>2由为定-，根据的正负即可判断单调性；对C，S29 mm2结合基本不等式即可得解.【详解】设等差数列{an}的公差为d，因为a14+a17<0，所以a15所以{2a}是以2a为首项，2d为公比的等比数列，故A正确.d(n-1)d2=d(n-1)d2=n+a12n(n-1)d2-，,为首项，为公差的等差数列，故当Sn>0时，n的最大值为29，故C错误. mm2a+a a+a 2>,当且仅当m=1时取等号，所以故选：AD.Smm>【分析】根据“欧拉函数Ψ(n)(ne**)”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】n不超过正整数n，且与n互质的正整数2113242546276849648C选项，由列表分析可知，对于2”，“不超过正整数2”，且与2”互质的正整数”为：”，1)}是等比数列，所以C选项正确.D选项，有列表分析可知，对于3”，“不超过正整数2”，且与2”互质的正整数”为：”1”””1所以D选项正确.故选：ACD【分析】画出图形依据裁剪规律可得Kn+1比Kn多了两条边+1Mn,+1Mn+1，少了线段MnMn+1，即可得到Ln+1Ln=n1，即A正确，Sn+1比Sn少了一个以为斜边的等腰直角三角形，可得SnSn+1=，C错误；再分别利用A和C中的结论，由累加法计算可得BD正确.【详解】根据题意可知，如下图所示规律：对于A，易知Kn+1比Kn多了两条边+1Mn,+1Mn+1，少了线段MnMn+1；=x,MnMn+1=，对于B，利用A中结论由累加法可得， + 22+...+ 2n1对于C，Sn+1比Sn少了一个以为斜边的等腰直角三角形，=xx2对于D，利用B中结论由累加法可得，n4n4++...+434n 1(11)2 1(11)11一4一1nn1)故选：ABDn1)41nn1)故选：ABDn1)4【点睛】关键点点睛：本题关键在于由裁剪规律得出Ln+1,Ln以及Sn,Sn+1之间的递推规律，再利用累加法由等比数列前n项和公式即可求得结果.20【分析】根据题意可知两相邻圆的半径满足22xn一xn+22xn一xn+1+yn一yn+1nn+1，展开且代一步得出数列{Tn}的通项公式，再根据裂项相消求出S20即可。22xn一xn+1+22xn一xn+1+yn一yn+1n2nyn+12nnn1*)2041.(2)证明见解析n即可得；（2）推导可得{bn}是以b1=2为首项，q=16为公比的等比数列，代入通项公式可得cn=43，再根据：cn>4n3，累加求和证明即可.nnnn，：=an=ann}是递增数列，24n20241n14n3n=**n=**.，2n)2:原不等式得证.nn;(3)4104【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式，计算可得；（2）结合两个数列的通项公式，可判断的前项中两个数列的项数，然后分组和错位相减求和可得；（3）求出{an}的项数和总共有多少个2，利用分组求和可得.【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，q子1452又由2b2是3b1与b3的等差中项，所以2x2b2=3b1+b3，n1di22n2n1242n39P35两式相减得，-8Pn=2.(-3)+2(-3)3+…+2(-3)2n-1-(2n)(-3)2n+1，-8P则Pn-31-(-3)2n1-9||||2++…+-8+…+236=2①,2n222②①-②相减可得，n9n（3）根据题意可得，a1,2,2,2,a2,2,2,2,2k所以{an}共有7项，共有2017个2，n 2nnn3n3bn得到bn=n.32n2，然后利用错位相减法求Tn；（3）由题意得cn=3nλ(2)2，将cn+1>cn恒成立转化为(1)n.λ>n1恒成n为奇数和偶数两种情况讨论.∴Sn=n2n.nn3na2n2（ne**242n2，①9T2462n.②24622nnnλ(2)2.n恒成立，即要(-1)n.λ>-n-1恒成立.下面分n为奇数、n为偶数讨论：①当n为奇数时，即λ<n-1恒成立.又n-1的最小值为1，∴λ<1.②当n为偶数时，即λ>-n-1恒成立.又-n-1的最大值为-，∴λ>-.又λ为非零整数，∴λ=-1时，使得对任意nE**，都有cn+1>cn成立.【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是分n为奇数、n为偶数讨论，如此才能处理n.λ>-n-1恒成立的问题.(2)证明见解析nn等比数列，可利用首项和公比求通项公式；（2）利用数列求和的放缩法，结合函数单调性求最值，证明不等式.【详解】（1数列{an}的前n项之积为Tn，满足2an+Tn=1（nE**n-1，b1数列{bn}是首项为4公比为2的等比数列，∴bn=4x2n-1=2n+1.n+1，解得Tn12n+2n+-1 nn2)3) nn2)3)