重庆市缙云教育联盟高三下学期2月质量检测数学试卷及答案

★秘密·2024年2月16日17：00前重庆市2023-2024学年（下）2月月度质量检测高三数学【命题单位：重庆缙云教育联盟】注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（）A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样2．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的函数是（）1xA．yxB．y2x2xC．yxD．yx3是公比为2的等比数列，若13．已知an325，则5（）A．1005πB．80C．50D．405π64．若sin12，则cos（）135050119169119A．B．C．D．1691691695．已知圆C:x则（A．22xy210，直线mxny0与圆C交于A，B两点.若△퐴퐵퐶为直角三角形，）0mn0B．C．mn0D．m2n20高三数学试卷第1页共4页i581310ani6．已知数列a满足1i，，若aki，则正整数k的值是（D．20）1nanA．8B．12C．16x2y22a2FO为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在直线x7．已知椭圆ab0)的左焦点，上，若1a2bcFPFOPQ2FO，FQ11(0)，则椭圆的离心率为（31）11FPFO113511A．B．C．D．22228．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D，其中n(Ω)60，n()30n(B)10，，n(C)20n(D)30n(AB)40n(AC)10n(AD)60，，，，，则（）A．A与B不互斥C．C与D互斥B．A与D互斥但不对立D．A与C相互独立3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。π49．已知fxsinx0)，若p:2，且是的必要条件，则可能为（pqq）πA．fx的最小正周期为πB．x是fx图象的一条对称轴4π4C．fx在上单调递增ππ42D．fx在,上没有零点10．设奇函数fx与偶函数gx的定义域均为R，且在区间I上都是单调增函数，则（）A．fxgx不具有奇偶性，且在区间I上是单调增函数B．fxgx不具有奇偶性，且在区间I上的单调性不能确定C．fxgx是奇函数，且在区间I上是单调增函数D．fgx是偶函数，且在区间I上的单调性不能确定1xv，，轴围成的曲边梯形的面积为uvuvxux11．对于任意两个正数，，记曲线y与直线xLxx.关Lu,vLu,u0Lu,vLv,uLeibniz，并约定和，德国数学家莱布尼茨（，下列说法正确的是（Lu,v于）高三数学试卷第2页共4页1163L450,3100100L2,3A．L,L4,8B．D．vuvC．2Lu,vLuu,vuvuu三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若命题xRx²2mx2m30为真命题，则m的取值范围为.13．在多面体PABCQ中，PAPBPCABACBC2，QAQBQC且QAQBQC两两垂直，则该多面体的外接球半径为，内切球半径为．1123π2x0,x3x12tan的14x,x为方程x，212tantan最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；kkN,knnnnN**(2)若规定试验者乙至多可进行n13P(n)Pk，证明：PnP.轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为kk116．（15分）如图，AB是半球O的直径，ABM,N是底面半圆弧퐴퐵上的两个三等分点，P是半球面上一点，且PON60．(1)证明：PB平面PAM：(2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线与平面PAB所成角的正弦值．高三数学试卷第3页共4页π22x，17．（15分）设aR，函数fxsinxcosxa,π.(1)讨论函数fx的零点个数；1≤tanxtanx3(2)若函数fx有两个零点x，x，试证明：.1tanxtanx12121218．（17分）已知抛物线：y22x，直线l:yx4，且点B,D在抛物线上．(1)若点,C在直线l上，且,B,C,D四点构成菱形，求直线BD的方程；,B,C,D(2)若点A为抛物线和直线l的交点（位于轴下方），点在直线上，且xCl四点构成矩形，求直线BD的斜率．19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬xcxceexexc(e)c链线”方程为参数.当c1时，就是双曲余弦函数coshxy22exex义双曲正弦函数sinhx.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.2(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x_____________.（只写出即可，不要求证明）；(2)x[，不等式cosh2xmcoshx0恒成立，求实数的取值范围；mπ3π(3)若x[,]，试比较cosh(sinx)sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.与42高三数学试卷第4页共4页★秘密·2024年2月16日17：00前重庆市2023-2024学年（下）2月月度质量检测高三数学答案及评分标准8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C5．A2．D6．B3．B7．D4．A8．D3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．AC10．ABD11．ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．,66213．2214．122四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。115．（1）由题意得，X的可能取值为1,2,3，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为，312319PX，依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率2111152PX31PXPX2，易知X的分布列为：为，PX1941846X123高三数学答案第1页共6页19156P1811564918EX123X.的数学期望9181111（2）证明：当k2时，不难知道P1112，2k3224(k(k2)11111113242(k2(k2)22435kk2121，3242(k2(k2)23kk2231211Pkk2，k1kk23k1211921311121由（1）可知P，又P1，19231211kkN*，k1kk23k12n21321313111P(n)k4n1n2k112131.即Pn.33(n2)316．（1）连接OM,MN,BM，因为M,N是底面半圆弧퐴퐵上的两个三等分点，所以有MONNOB60，又因为OMONOB2，所以△푀푂푁,△푁푂퐵都为正三角形，所以MNNBBOOM，四边形OMNB是菱形，记与的交点为Q，Q为和的中点，因为PON60,OPON，1所以三角形OPN为正三角形，所以PQ3BM，所以PBPM，2因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PBPA，PM,PA平面PAM．因为PMPAP，平面PAM，所以PB高三数学答案第2页共6页（2）因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，由（1）知Q为ON的中点，△푂푃푁为正三角形，所以PQON，PQ底面ABM，因为四边形OMNBMBON，所以是菱形，所以、ON、PQ两两互相垂直，以点QQM，QN，xy，z轴，建立空间直角坐即为坐标原点，分别为，标系Qxyz，如图所示，O0,M3,0,0,B3,0,0,N0,P3则，3,0,3OB0，PMOP3所以，，mOP0y3z0设平面PAB的一个法向量为mx,y,z，则，所以，mOB03xy0，设直线取x1，则m3,1与平面PAB的所成角为，33651010sincosPM,m所以，故直线与平面PAB所成角的正弦值为．5517．（1）fxcosxcosxa1，令fx0，即cos22xcosxa1，πx,π14tcosx1,0，所以tt,02当则时，令，2fx02a1，即tt154所以当a10或a1时，即a1或a时，tta1无解；24时，t5154当a1时，即ata1仅有一解；2414a10即1a当时，t2ta1有两解，454554fxafx有一个零点；1afx时，有两个零点.综上，a1或a时，无零点；时，42fx有两个零点x，x，令tcos1，tcos2，则t，t为tta1两解，2（2）若12112高三数学答案第3页共6页tt1cosxcosx1，则cos2x2cosxcosxcos21，2则由，则1212112πx,x,πcos10，cos20，则2cosxcosx0，12可得1223π2所以cos21cos221，所以cos21sin22cos2x，2πx,π3ππ2,π，由可得22223π3π所以cosx0，则cos1cosx，222ycosx23ππ2,π递减，可得x2，由在123π所以π12cosxx0，所以122cos12cos1cosx2sin1sinx2令1tan1tan2，则0cos1cos2cos1cos21≤tanxtanx3要证成立，121tanxtanx121≤；132即证：即证：221≥0，因为2212≥0显然成立，故原式成立.18．（1）由题意知ACBD，设直线xymBD:xym．联立y得y2y2m0，222xyyyy2mx，BxDyByD2m2m2，则BDBDm1yx4上，则BD的中点在直线代入可解得m2，y2y4200，满足直线与抛物线有两个交点，2xy2xy20．所以直线BD的方程为，即（2）当直线AB,AD的斜率为0或不存在时，均不满足题意．高三数学答案第4页共6页yx4x2由得yx8或A2（舍去），故．22xy2y4AB,ADAB:x2ty2．方法一：当直线的斜率存在且不为0时，设直线x2ty22tyt40，所以yAyBt．y联立y得22x242t2t2Bt2D2所以．同理得．t2tt由BD的中点在直线y1x4上，24122t2t224t22，得2t2tt11t40．即t2t2t1令tp，则p2p20，解得p2或p1．t2t22t1113k当当p1时，直线BD的斜率；BD24t2t22t2t2ttp2时，直线BD的斜率不存在．1所以直线BD的斜率为．3Bx,y,Dx,y2Ma,a4方法二：设22a,1y22a4y2y2，线段．BD的中点，112x1则12y221121，即1由ABAD，得2y22．x2x2221222yy2y80．y所以12121212224a42xx22yyyy12y22又12111224a44a2a18a322，yy2y80可转化为y2a18a324a480，2故12122a280．解得a7或a4．即ay2y1y2y1221kBD所以直线BD的斜率21y22y1y21a4．22高三数学答案第5页共6页13当a4时，斜率不存在；当a7时，斜率k．BD1所以直线BD的斜率为．32xe2xxexxexe)(e)19．（1）sinh2x2sinhxcoshx.222xe2xeexxe（2）依题意，x[，不等式