2024浙江高考数学模拟试题及答案

1.直线x—y—1=0的倾斜角为()

71C冗C冗c兀

A4.—B.—C.—D.—

6432

2.直线打的一个方向向量为a=(-1,2,1),直线4的一个方向向量为人=(%」,-3),若/]_L/2，

则实数x的值为()

A.1B.-2C.-1D.5

22

3.椭圆卷+亍=1上一点M到左焦点右距离为2,则其到右焦点心的距离为()

A.8B.4C.7D.6

4.若圆G：(x+l)2+(y—2)2=1与圆。2：(%—5户+0+6)2=产相切，则厂=()

A.9B.10C.11D.9或11

5.如图，一束光线从A(l,0)出发，经直线x+y+1=0反射后又经过点3(6,-5),则光线从A

到8走过的路程为()

A.《55B.2J14C.158D.2-15

6.如图，棱长为1的正方体A3CD—44G2中，点M，N分别是线段3片,。2的中点，记E

是线段的中点，则点E到面ANB]的距离为

PAr-

7.已知A(—2,0),3(2,0),动点P满足诟则点尸的轨迹与圆好+丁=4相交的弦

长等于()

A.26B.拽C.浊D.V6

33

8.棱长为2的菱形ABCD中，ZBAD=60°,将AABD沿对角线3。翻折，使A到P的位置,

得到三棱锥P-BCD,在翻折过程中，下列结论正确的是)

A.三棱锥P-BCD的体积的最大值为石B.CD1PC

C.存在某个位置，使得CDLPBD.存在某个位置，使得面BCD

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.圆河：/+/一4x+3=0,贝。下歹U说法正确的是

A.点(3,2)在圆内B.圆M关于直线2x—y—4=0对称

C.圆M的半径为2D.直线x+百y=0与圆M相切

10.以下四个命题正确的有)

A.直线x+2y—2=0与直线2x+4y+l=0的距离为孚

B.直线/过定点(0,-1),点A(-3,-4)和3(6,3)到直线/距离相等，则直线/的方程为

—x+3y+3—0

C.点(1,2)到直线x+y—1=0的距离为0

D.已知aeR,贝U“直线ar+2y-1=0与直线(a+l)x-2ay+a=0垂直"是"a=3"的必要

不充分条件

H.下列说法正确的是()

A.在四面体。中，若OG=—工。4+*。3+！。。，则A,&C,G四点共面

266

B.若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则0G=g(。4+OB+OC)

C.已知平行六面体ABCD-的棱长均为1，且/BAD=ZBA^=ZDA^=60°,则

对角线4。=血

D.若向量p=m:+”y+左z,则称(他",左)为p在基底k,y,z｝下的坐标，已知向量p在单位

正交基底｛a,b,c｝下的坐标为(1,2,3),则向量°在基底｛a—瓦a+瓦c｝下的坐标为

12.离心率为二一的椭圆称为“黄金椭圆，，，在椭圆彳+2¥=1(。＞匕＞0)中，A，A，B°B,

2ab

分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，耳，鸟是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则下

列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有

A.轴且尸O44耳

C.四边形4片4层的内切圆过E

非选择题部分

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知空间中三点A(—3,0,4),3(—1,1,2),C(-2,0,2),则AABC的面积为.

14.已知椭圆C：2x2+y2=i,则椭圆的短轴长为.

15.已知〃cR,过定点M的动直线ar-y-3〃+l=0与过定点N的动直线九+改一3。

-1=0相交于点P,则|PN|的最大值是.

16.已知一张纸上画有半径为4的圆。，在圆。内有一个定点A,且。4=2,折叠纸片，使圆

上某一点4刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当4取遍圆上所有点

时，所有折痕与。4'的交点形成的曲线记为C.则曲线。上的点到点。的最大距离为.

四、解答题；本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题10分)已知直线6：x+2y—4=0,直线乙在>轴上的截距为一3,且乙,乙

(1)求直线〃的方程

(2)直线匕过4与的交点，且。与直线3x—2y=0平行，求直线。的方程

18.(本小题12分)如图，在正方体中，E为2月的中点.

(1)求证：平面AgR；

(2)求直线CC］与平面ARE所成角的正弦值.

19.(本小题12分)圆C过点A(4,2)和8(1,3),圆心C在直线y=x—1上

(1)求圆C的标准方程

(2)直线/经过点尸(L-1),且被圆C所截得的弦长为4,求直线/的方程

20.(本小题12分)已知。为坐标原点，耳(—1,0)是椭圆C:=+与=l(a>b>0)的左焦点,

ab

点P是椭圆的上顶点，以点P为圆心且过耳的圆恰好与直线X=逝相切

(1)求椭圆。的方程

(2)斜率为1的直线/交椭圆C于A3两点，求AAOB面积的最大值

21.(本小题12分)如图，在四棱锥P—ABC。中，平面平面ABC。,

PA=AD=2,BD=4,AB=2区BD是/AOC的平分线，且BDLBC,二面角

P—AB—。的大小为60°

(1)若E是棱PC的中点，求证：BE/平面

(2)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的夹角的余弦值

22.(本小题12分)已知圆。的方程为V+y2=i6,与％轴的正半轴交于点N,过点M(3,0)

作直线与圆。交于A、3两点。\

(1)若坐标原点。到直线的距离为1,求直线的方程;

(2)如右图所示,作一条斜率为-1的直线交圆于R,S两点,连接PS,PR

试问是否存在锐角ZNPS,ZNPR，使得ZNPS+ZNPR为定值？若

存在，求出该定值，若不存在，说明理由。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

l.B2.C3.A4.D5.C6.D7.A8.C

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.BD10.ACD11.BCD12.CD

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13.-14.V215.416.3

2

四、解答题；本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(1)直线/,：y=2.x—34分

x+2y—4=0

(2)联立方程1-，得交点坐标为(2,1))今

y=2x-3/刀

设直线4：3x-2y+m=0,直线4过点(2,1)

m=-42分

.•.直线，3：3x—2y—4=02分

18.解：(I)由正方体的性质可知，面ABB}\,则BC，,又A耳1A.B,BCc&B=B

AB,±面A}BC,则ABX1A.C

同理与2_L4。,BQ】cAB]-B]

：.4。_1_平面4耳£)]

5分

(H)解法一：以A为原点，AD.AB.例分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设正方体的棱长为〃，则A(0,0,0),A/O,0,。)，DAa,0,a),E(0,a,—a),

2

AA=(0,0,Q),AD,=(a,0,a)，AE=(fia,—a)»2分

192

a(x+z)=0

m•AD1=0

设平面ARE1的法向量为市=(%,y,z),贝！J<即<1，

m•AE=0a(y+-z)=Q

令z=2,贝!J%=—2,y=-1,m=(-2,—1,2),2分

设直线9与平面ARE所成角为。，则sin9=|cos<历，AA1>|=|m—1=,2分

\m\-\A4j|a,33

故直线CG与平面ARE所成角的正弦值为g.1分

解法二：设正方体的棱长为2a,贝1)人2=2"z,AE=岛,ER=3a,5AA0=；-2a-2a=24,

ADy+AE^—ED；8/+5ci2—9。？J10

由余弦定理知，cosNEAD[=

2AD、AE~2・2缶•氐-10’

sinNEAR

110

1

72

...SEAD,=-ADrAE-sin/EAD】=3a,3分

设点A到平面EAD]的距离为h,

*匕­二^E-AAXD

—h,34=—•2Q,2a之，h——a,1分

333

4

ha”2

设直线的与平面ARE所成角为0,则sin®=R=北=；.2分

故直线CG与平面ARE所成角的正弦值为;.1分

y—3x—5/-

19.(1)AB的中垂线方程为y=3x—5,联立1,知C(2,l),则厂=J5

y=x-l

.•.圆。的标准方程是(x—2)2+(y—1)2=56分

(2)若直线/的斜率不存在，直线/：x=l,弦长2A/JF-1=4,成立1分

若直线/的斜率存在，设直线/：y+l=k(x-l),圆心。到直线/的距离为1

37

得LT=1,k=-,则直线/：y=—X——

VPTT4444分

、37

二.直线/：%=1或丁=—x——

441分

2

20.(1)a=V2,c=1椭圆。的方程为土+J=1

24分

(2)设4石，%),8(%2，，2)，直线/：y=x+机

y二x+m

2

联立方程X221得3x+4mx+2m2-2=02分

—+V=1

[2J

・.■直线/交椭圆。于AB两点AA=16m2-12(2m2-2)>0,得相？<31分

4m2m2—2

%+%2=一-屋，X1X2=-

1分

/.弦长二J1+左2卜-x2|=41加

1分

m

又点。到直线/的距离d=\\

1分

BD1BCBF=DF,则ZFDB=ZFBD

而5。是NAOC的平分线，则=从而NFBD=NADB,则，2分

BF不在平面PAD内,ADG平面PAD,则BFZ平面PAD

E,尸分别是尸C,CD的中点，则EF//PD,

不在平面内，PDq平面PAO,则EE力平面PA。，又EFcBF=F

：.平面BEF/7平面PADBE〃平面PAD3分

(2)由题知，BALAD,又面PA。，面ABC。，得比面PAD

则NPA。是二面角P—AB-。的平面角，2分

即NPA£>=60°,APAD是等边三角形，如图建系

P(0,0,百),B(25-1,0),D(0,l,0),C(4V3,5,0)

设平面PAB的一个法向量为〃1=(x,y,z),

\n,AP=012屈=0“

则〈一.，得《，令Z=1,则&=(0,-百,1)]分(彳产\

nx-AB-0[y+yj3z=0

同理平面PCD的一个法向量Z=(—1,百,1),

设平面PAB与平面PCD的夹角为a

皿“「可75

则cose=..=w

4%5

2分

平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为-

51分

22.(1)若直线的斜率不存在，距离为3,不符合1分

若直线AB的斜率存在，设直线AB：y=Z(x—3),由"।=1,得左=土二

VF7T43分

古共4131Vl七工口心V23A/2„V23V2

/.直线AB的方程为丁=——x------或丁=-------------

4444?4

(2)设直线RS：y=-x+m,R(