浙江省2023-2024学年九年级上学期期末数学复习卷4（含答案）

浙江省2023-2024学年九年级上学期期末数学复习卷04

范围：1-4章满分：120分考试时间：120分钟

姓名:班级:考号:

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）

1.要得到二次函数y=#+2x-2的图象，需将y="的图象（）

A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位

B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位

C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位

D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位

ARAR

2.已知是半径为2的圆的一条弦，则的长可能是（）

A.4B.5C.6D.7

3.如图，能使成立的条件是（）

^ADE=LAED

AB_ACAB_BC

石一靛石一百

4.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，投掷这个骰子一次，得

到的点数与2,4作为等腰三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是（）

5.关于二次函数>'=一片+2”的最值，下列叙述正确的是（）

x=2x=2

A.当时，了有最小值0B.当'~时，y有最大值0

C.当'一时，y有最小值1D.当''时，y有最大值工

6.如图，4BC中，〃CB=90。，BC=4,4C=3,将△加绕点g逆时针旋转得△A,BC,若点。在.

上，则的长为（）

D.5

7.函数y=N-6x+c的图象过A(T,%),B(3,/)，C(5,丁3），则与，丁2，”的大小关系是（）

A.yi>y2>ysB.yi>yi>y2C.y2>yi>ysD.ys>yi>y2

8.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：’“）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0。〈於90。）

近似满足函数关系y=a*2+bx+C（g0）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y

的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

木加3

,„。八口1△ABCgH、N、LBAC=45°ABC,AH=/、

9.如图，分A别L为的垂心、外心，，若外接圆的半径为2,则n（）

.Rt^ABC,zC=90%BC=12,AB=13上。曰、*。匚,一人上...D..DEIIAB^.,BC^,E

10.在中，，点是边上的一动点，过点作父边于点，

18C-DE的4上FDE,EF.HEBF［五Dz4cM一

过点作父的延长线于点，分P别ll以hI为对角线圆矩形和矩形，则在从到的友

CDGFHFRFFF

动过程中，当矩形和矩形的面积和最小时，贝U的长度为()

A.2B.2C.6D.

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上)

a3b-a

11.若则"r一.

12.已知抛物线>'=a(x-m)2+k(aH0)经过点力(-3,0),B(4,0)两点，则关于了的一元二次方程

g_m+l)2+k=0的解是

13.一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其它都完全相同的小球，其中3个红色，1个白色，随机从袋中摸

出一个球，则摸到红色球的概率是.

_，八一P口小、e人八皿一^AB=2cmPA>PB.PA=cm'「〜皿「、

14.已知点是线段的黄金分割点，且，,则n(结果保留根节).

15.如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点8正好洛

在线段上时，则旋转角。"度.

D

B

上e八十、十,,Q0N八口［口AFCD,,,.BNBD

16.如图，已知正K边形内接于半径为2的。，点，分别是，的中点，连结，，

二、解答题（本大题共7小题，共66分.第17题6分；第18题8分；第19题8分；第20题10分；第21

题10分；第22题12分；第23题12分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

a_3

17.已知匕-2,求下列算式的值.

a-b

(1)'.

2a-i

(2)。+0

18.某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量

'（件）和销售单价'之间的一次函数关系如下表的整数）.

T

销售单价X（元/件）505152

1009590

每天销售量（件）

⑴写出，关于*的函数关系式.

⑵问定价x为多少时，每天获得利润最大，并求最大禾I］润.

⑶商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不

超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为W元，则总利润"'的最大值为（直接写出

答案）

J?

19.如图，AB是半圆。的直径，C、。是半圆。上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.

（2）若N2=70。，求NCAD的度数；

（3）若A8=4,AC=3,求DE的长.

20.某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量

’（件）和销售单价”之间的一次函数关系如下表（”25°的整数）.

销售单价X（元/件）505152

每天销售量'（件）1009590

⑴写出,关于”的函数关系式.

⑵问定价为多少时，每天获得利润最大，并求最大利润.

⑶商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不

超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为W元，则总利润W的最大值为（直接写出

答案）.

y=~^2+bx+cri（0,3

21.已知抛物线2经过点U…，V2J

（1）求该抛物线的函数表达式；

19

⑺y=-,x“+bx+c

<,将抛物线2平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达

式.

,_△ABC…入二八ADWBC^八丁上八DFIIABQBCT上尸_八二上厂一入4£

22.如图，内接于。。父。。于点。，父于点。父。。于点R连接

/CAF=300AC

⑵若。。的半径为3,,求外的长（结果保留II）.

23.已知抛物线产-r+2x+"1

.抛物线过点A（3,0）,与y轴交于点2.直线A3与这条抛物线的对称轴

交于点P.

⑴求抛物线的解析式及点B、C的坐标;

⑵求直线AB的解析式和点尸的坐标;

1

⑶在第一象限内的该抛物线有一点。（x.y）,且SAA3O=4SAABC,求点。的坐标.

浙江省2023-2024学年九年级上学期期末数学复习卷04答案解析

三、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）

1.要得到二次函数y=»2+2x-2的图象，需将y="的图象（）

A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位

B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位

C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位

D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位

【答案】D

【分析】根据顶点坐标的变化可以确定选项.

【详解】解：原抛物线的顶点坐标为(0,0),y=-x2+2x-2-(x-1)乙1,所以新抛物线的顶点坐标为(1,⑴,

•••将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线.

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟记平移规律和顶点坐标是解题关键.

ABAR

2.已知是半径为2的圆的一条弦，贝『的长可能是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可.

【详解】I•圆的半径为2,

•••圆的直径为4,

AR

■二是半径为2的圆的一条弦，

.0<AB<4

••，

故选：A.

【点睛】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，正确理解是解题的关键.

3.如图，能使成立的条件是()

=cALADE=LAED

45_45_BC

石-而一而

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定求解即可.

乙4=上月

【详解】解：由题意得,

AB_AC

若添加而一艇，利用两边及其夹角法可判断△"B's."DE,故本选项符合题意；

A、B、D均不能判定△皿,故不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键.

4.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有L2,3,4,5,6六个数字，投掷这个骰子一次，得

到的点数与2,4作为等腰三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是（）

1121

A.'B.C.D.

【答案】D

【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据等腰三角形的判定方法找出能构成等腰三角形的结果

数，然后根据概率公式计算.

【详解】解：画树状图为：

（2,4）

123456

共有6种等可能的结果数，能构成等腰三角形的结果数为4这一种可能，

所以能构成等腰三角形的概率为6.

故选D

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事

件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了等腰三角形的判定.

5.关于二次函数＞'=一片+2”的最值，下列叙述正确的是（）

A.当时，y有最小值0B.当'时，y有最大值0

C.当k=1时，y有最小值1D.当卜=1时，y有最大值1

【答案】D

【分析】先把二次函数解析式换成顶点式，即可得出最值.

【详解】...y=-d+2x=-（x-1/+1,

二抛物线开口向下，对称轴为”=1,顶点坐标为(1‘1)，

■■当“一1时，y有最大值1：

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键.

6.如图，RS4B',"CB=9O。，BC=4f"=3,将绕点台逆时针旋转得“BC；若点C在府

上，则工4的长为()

A

mB.4C.D.5

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出5,再根据旋转的性质可得A'C='C=3,4B=4'B,从而求出AC=1

在中，根据勾股定理求解即可.

【详解】解：•.,将.'BC绕点2逆时针旋转得

."■="=90。AfCf=AC=3AB=A'B

+日用RTt4工田4曰AB—\/BC2+AC2=5

根据勾股7E理得：

.A/B=AB=5

AC'=AB-BC'=1

在RtA",中，由勾股定理得:

AA'=JAC+A'C=E

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键.

7.函数y=--6x+c的图象过A（-1,yi'）,B（3,以），C（5,”），则%>2，”的大小关系是（）

A.yi>y2>ysB.yi>ys>y2C.y2>yi>ysD.ys>yi>y2

【答案】B

b

【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为x=-五=3.这三点不都在对称轴的同侧，把它们都转换到对

称轴的同侧，根据对称轴一侧函数值随自变量变化的性质可以判断纵坐标的大小.

【详解】解：•.・二次函数y=/-6x+c,

-6

该二次函数的抛物线开口向上，在对称轴右侧V随X增大而增大且对称轴为：x=-2X1=3.

•.,点（-1,%）、（3,/）、（5,”）都在二次函数6x+c的图象上，

.•.点（-1,〃）关于直线尤=3的对称点为（7,〃），

­/3<5<7,

y2<y3<yi

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，关键要抓住抛物线的对称轴及开口方向，要注意的是，所给的

三个点不在抛物线对称轴的同一侧，要利用抛物线的对称性把它们转换到抛物线对称轴的同侧，才能利用抛物

线的增减性判断函数值的大小.

nj3

8.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度尤（单位：度）（0。<心90。）

近似满足函数关系丫=°片+bx+C（a^0）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y

的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

A.18°B.36°C.41°D.58°

【答案】C

【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得.

【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图,

50

36

25

01836：5472力度

.,.抛物线对称轴在36和54之间,约为41。，

旋钮的旋转角度x在36。和54。之间，约为41。时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键.

9.如图，分别为的垂心、外心，，右外接圆的半径为2,则（）

A.2W

B.C.4D.

【答案】B

【分析】连接B。并延长交0°于点D,连接HC,CD,DA,由圆周角定理的推论，可得DC_LBC,DA±AB,由

/RAC=4S°AARC

三角形的垂心的定义得AH_LBC,CHUB,从而得四边形AHCD是平行四边形，结合一,外接

圆的半径为2,即可求解.

【详解】连接B0并延长交0°于点D,连接HC,CD,DA.

.口△ABC,,,,.

丁点。是的外心,

.BD是0°的直径,

DC±BC,DA±AB,

D-日△力B&H.、

又；点H是的垂心,

AH±BC,CH±AB,

AHIIDC,CHIIDA,

,四边形AHCD是平行四边形,

AH=DC,

LBAC=45°△,.,.„,,._,

,外接圆的半z径为2,

ZBDC=ZBAC=45°,BD=4,

立

AH=DC=BD-rV'2=44-V2=2v

故选B.

【点睛】本题主要考查三角形外心与垂心的定义，圆周角定理及其推论，平行四边形的判定和性质定理，掌握

三角形外心与垂心的定义，添加合适的辅助线，构造平行四边形和等腰直角三角形，是解题的关键.

10.在R3BC中，△C=90。，BC=12,.=13,点。是边4c上的一动点，过点%DEIIAB交边BC于点E,

过点B作"'配交区的延长线于点尸，分别以叫EF^M^^CDGE^^HEBF则在“从'到'的运

动过程中，当矩形CDGF和矩形HFRF的面积和最小时，贝广FF的长度为（）

A.B.C.6D.

【答案】D

Ar—cCD=YAD=15—vCE

【分析】利用勾股定理得，设，则，利用平行线分线段成比例定理求得

BE=12=S^CDGE+S^HEBFS阴影=当好一24%+60

55

进而求得,然后根据得到阴上然后根据二次函

数的性质即可求得CD,进而求得BE和最后根据勾股定理计算即可得到答案.

,、"到、肮"^Rt^ABC.zC=90°,BC=12,AB=13

【详解】解：在中，，

AC=\!AB2-BC2=V132-122=5

、CD=x.AD=5—x

设n，贝n1J

・・・DEIIAB

CD_CEx_CE

ACBC即S12

BE=12-得

疆形CDGE和HEBF都是矩形,

・・・ADIIBF

-ABFD

“四边形是平行四边形,

••BF=AD=5-x

5阴影=5走形CDGE+S矩形HEBF

则

=DC・CE+BE・BF

12/12

=x--g-x+(12—-g-xj(5—x)

12,12,

=可必+60—12x—12X+-J-X2

=yx2-24x+60

,:g>0

__-24_5

二当Tx22时，有最小值，

DC=；2

.-.BE=12-^x^=12-6=6BF=5-^-=^

522，2，

...EF=\/BE2+BF2=吩+针=«

13

CDGFHFRFFFT

即当矩形和矩形的面积和最小时，则的长度为2,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例，勾股定理的应用，表示出线段的长

度是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）

Q3b~a

11.若则—..

1

【答案】.

3,

力

【分析】由比例的基本性质，可得4a=一3，进而得Q=4,代入计算即可.

a_3

【详解】解：‘厂”

；・4Q=3b

3「

・-・a=4-b

b-Q

将其代入了得：

_A」_#_1

原式一丁一^一彳

故答案为：4

【点睛】本题考查了比例的性质，及分式的化简计算，如何利用比例关系进行代换是解题的关键.

12.已知抛物线〉'=矶"一十+k(a*°)经过点”㈠，。)，B(4,0)两点，则关于彳的一元二次方程

a(x-m+l)2+k=°的解是

【答案】M=TX2=3

【分析】根据平移的性质可得抛物线丫=E-加+1产+”经过点⑶。)两点，再由抛物线

y=a(x-m+l)2+〃与工轴的交点的横坐标即为一元二次方程g-m+1/+卜=0的解，即可求解.

【详解】解：根据题意得：把抛物线丫=°"-7")"十%向左平移1个单位得到抛物线)，=0(》一加+1)2+上

,■抛物线"E一疗+A经过点4(-3,0),见4,0)两点，

抛物线ka—卅+4+%经过点I，。)、0,0)两点，

..当y=0,即a(x-m+l)2+k=°时，解得产=-4多=3,

.a(x-m+i)2+k=°的解为/=-4,孙=3

故答案为产=-4,力=3

【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数与一元二次方程的根的关系，理解抛物线y=。片+bx+c

与“轴的交点的横坐标即为-元二次方程底+"+C=°的解是解题的关键.

13.一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其它都完全相同的小球，其中3个红色，1个白色，随机从袋中摸

出一个球，则摸到红色球的概率是.

3

【答案】"

【分析】根据简单概率公式计算即可求解.

【详解】解：随机从袋中摸出一个球，一共有4种情况，摸到红色球的情况有3种，依题意摸到的是红色球的

3

概率是上

3

故答案为：*.

【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率的定义.

,-P口八、「4B一升人八一^AB=2cmPA>PB.PA—cm.上巾,，〜上口（_,、

14.已知点是线n段的黄金分割点，且，，则n（结果保留根号）.

【答案】（百T）/（T+弱）

PAPA=冬月BDA

【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则2，代入数据即可得出的长.

如人八4,irAB=2cmPA>PB

【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，

PA==(V5—l)cm

故答案为：巡一1

【点睛】本题主要是考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键.

,„,Z.ACB=90°LA=25°^C,,.DEC、”一丁人.

15.如图，在中，，，将绕点顺IK时rl针旋转得到，当点8正好洛

度.

【分析】根据三角形内角和定理得到〃*90°-25。=65。，根据旋转得到“="=25。，BC=EC

"=""=65：即可得到“="BE,结合三角形内外角关系即可得到"CB,即可得到答案;

【详解】解：-8=9。［"=25。

AABC=90°-25°=65°

RtZ\ABC”-/-,△DEC

绕点C顺时针旋转a得到

乙4=zD=25。BC=EC匕E=UBC=65°

乙E=UBE

‘4DB"

在中,

乙CBE=4D+zDCB

.zDCB=65°-25°=40°

••，

a=900-40°=50°

••，

故答案为：；

/n/'D

【点睛】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理及三角形内外角关系，解题的关键是求出

16.如图，已知正K边形内接于半径为2的,点,分别是，的中点，连结，，

DFNFFM

,,,则图中阴影部分的面积为.

y+V3

【答案】

_,十、dk/BCDEF—g丁。。,MN..,^AFCD,,,.△EMiV,,,,,

【分析】连接，已知正K边形内接于，点，分n别是，的中点，则为的中位

线，推出"“GT叩产DEH^MVE,根据己知条件可证明△MFE幺NDE得到5.。=乜叱

即％MFE=S»MG+5WE；已知。。的半径为2,可得MF=CN=1产=BC=2,即可求"FMG,△DEH

QBCNs、…OB^^AOB=60c弓形AB=$霸形NOB-5斗。8

及的面积；连接，，可得，则，根据

5州影=SdFMG+S^DEH+SdBCN+$翡形A0B-^A40B

，代入计算即可;

_OA0B

【详解】解：连接，，，

•••正六边形"BCD"内接于半径为2的。0

A0=0B=BC=FE=DE=2UOB=60°

AAOR之AB=1

△A。”是等边三角形，2

边上的身为"：

S弓形AB=S我硼0B-S^QB

篝jxH

左〒、、上wABCDEF』好T。。上MN八口［曰/IF

已知正六边形内接于7，点，分别是，CD的,中..点,

GHJMF=DN.^MFE=zJVDE=120°

为的中位/线4i，

S^FMG—GSAEFMSdDEH=+SdDNE

文d：DE=EF

△MFE2NDE

.S=DN=S^EFM

.$AFMG=S^DHE

SAMFE=S叶MG+S”HE=：X1XV5=6

同理：SaBCK=SwE=C,

S阴影=SdFME+5ABCN+5霸形A0B—

=^--V3+V3+V3

y+V3

故答案为：3

【点睛】本题主要考查求不规则图形的面积，理清题意，正确添加辅助线，利用转化的思想是解此类题的关键.

四、解答题（本大题共7小题，共66分.第17题6分；第18题8分；第19题8分；第20题10分；第21

题10分；第22题12分；第23题12分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

a_3

17.已知3,求下列算式的值.

a-b

（1）

2Q~1

（2严汽

1

【答案】⑴G

4

（2）7

【分析】（1）根据比例的性质直接计算即可；

a=3kh=7k

⑵设，则，代入计算化简即可.

■、工z、f、［Q=3Ab=2k

【详解】（1）解：设，，

a-b_3k-2k_1

则^^I

2a-b_2x3k-2k_4

⑵a+2d~~3A+2X2*-7

【点睛】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键.

18.某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量

y（件）和销售单价x之间的一次函数关系如下表（久之50的整数）.

T505152

销售单价（元/件）

1009590

每天销售量（件）

⑴写出y关于x的函数关系式.

V

⑵问定价为多少时，每天获得利润最大，并求最大利润.

⑶商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不

超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为W元，则总利润W的最大值为（直接写出

答案）.

,v=-5x+350

【答案】（1）

（2）当定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元

（3）13475元

【分析】（1）利用表格中的数据，待定系数法求解析式即可；

（2）设每天的利润为Z元，根据总利润等于单件利润乘以销售数量，求出函数解析式，求最值即可；

5453

（3）先求出前10天的利润以及卖出的数量，再根据二次函数的性质，得到后两天的定价分别为元和元

时，刚好卖完，利润最大，即可得解.

【详解】（1）解：设，关于"的函数关系式为：

100=S0k+bk=-S

则：由表格可知:95=51〃+b,解得:b=350

y=-5%+350

故答法案-A为L：,V=-5x4-350

(2)解：设每天的利润为z元，

则z=(x-40)(-Sx+350)=-5(x-55)2+1125

a=—5<0

•,

v55

.•.当一=时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元，

即：定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元;

(3)解：以每天最大销售利用销售10天，获利为：1°*1125=11250元；

中山南口仍粕息%(-5x55+350)x10=750.,7千“大915-750=165.,

卖出商品的数重为：件，还剩下：件,

..z=-5(X-55)2+1125

•f

当定价离SS元越近时，每天的利润就越大,

x50

•••在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，是大于等于的整数,

当定价人为：54兀—时“工，销”业售生数皿量=为AL：,y=-5X54+350=80件3，

当定价为：兀时，销售数量为：'件，

80+85=165心

件，

口二由工,曰+到、八班(54-40)x80+(53-40)x85=2225_

最后两天的最大利润为：兀,

•••总利润W的最大值为:11250+2225=13475一

兀・

故答案为:13475元.

【点睛】本题考查二次函数的应用.利用总利润等于单件利润乘以销售数量，正确的列出二次函数解析式，是

解题的关键.

AC

19.如图，是半圆。的直径，C、£>是半圆。上的两点，D为的中点，0。与AC交于点E.

ODWBC

⑴证明:

(2)若N8=70。，求NCAD的度数;

（3）若AB=4,AC=3,求。E的长.

【答案】⑴见解析

（2）35°

AC

【分析】（1）根据。为的中点，可得OO_LAC,再由直径随对的圆周角是直角得到3C_LAC,即可求证；

⑵根据。为的中点，可得ODJ_AC,4D="，则"°。=""再由平行线的性质求出NAOD=N8=70。,

即可利用圆周角定理求解；

（3）根据勾股定理可得再根据垂径定理可得AE=CE,然后根据三角形中位线定理可得OE的长，

即可求解.

【详解】（1）证明：为40的中点，

,AD=DC

••，

.ODLAC

••，

：AB是直径，

ZACB=90°,BPBC±AC,

.ODWBC

,•;

（2）解:如图所示，连接OC,

为"c的中点，

AD=DC

/.ODA.AC,,

.乙40D=乙COD

..ODWBC

,/ZAOD=^8=70°,

ACAD=^COD=3S0

2

E

0

（3）解：:AB为直径,

/.ZACB=90°,

/AB=4,AC—3,

..BC=VAB2-AC2="_32=6,oa=od=2>

•。为的中点,

AE=CE,

•/OA=OBf

OE<BC

DE=0D-0E=2-^

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质与判定等知识,

熟练掌握圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键.

20.某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量

y（件）和销售单价”之间的一次函数关系如下表（”25°的整数）.

Y

销售单价X（元/件）505152

1009590

每天销售量（件）

⑴写出,关于"的函数关系式.

⑵问定价为多少时，每天获得利润最大，并求最大利润.

⑶商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不

超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为W元，则总利润W的最大值为（直接写出

答案）.

【答案】⑴丫=-5%+350

⑵当定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为U25元

(3)13475元

【分析】(1)利用表格中的数据，待定系数法求解析式即可；

(2)设每天的利润为Z元，根据总利润等于单件利润乘以销售数量，求出函数解析式，求最值即可；

5453

(3)先求出前10天的利润以及卖出的数量，再根据二次函数的性质，得到后两天的定价分别为元和元

时，刚好卖完，利润最大，即可得解.

【详解】⑴解：设关于”的函数关系式为：y=-+",

(100=50k+b(k=-5

则：由表格可知：，95=51k+b,解得：tb=350,

y=-5%+350

,,；

故“答济案4为d：'V=-5x4-350.

(2)解：设每天的利润为Z元，

z=(x-40)(-5x+350)=-5(x-55)2+1125

则mrl：；

a=—5<0

•,

r=CC

.•.当.一时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元，

即：定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元；

(3)解：以每天最大销售利用销售10天，获利为：1°X1125=11250元；

土上口、"十

卖出।商品的数量为：(-5x55+35>0)x10=750件“，还7剩下：915-750=165件,.，

..z=-5(X-55)2+1125

•,

当定价离55元越近时，每天的利润就越大，

X50

V在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，是大于等于的整数，

当定价为：54元时，销售数量为：丫=-5x54+350=80件，

当定价为：利元时，销售数量为：>'=-5x53+350=85件，

80+85=165小

件,

口匚=十的口-、1生（54-40）x80+（53-40）x85=2225_

..•最后两天的最大利润为：兀,

乂工心,曰上,=在11250+2225=13475一

二总利润的最大值为：兀.

故答案为：13475元.

【点睛】本题考查二次函数的应用.利用总利润等于单件利润乘以销售数量，正确的列出二次函数解析式，是

解题的关键.

y=—/+bx+c(1,0)(。，|)

21.已知抛物线’“经过点，•

（1）求该抛物线的函数表达式;

（■）\y=一统+bx+c

''将抛物线2平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达

式.

17.3

V=--Xr-X+-

【答案】（1）抛物线解析式为’22；（2）向右平移一个单位，向下平移2个单位（方法不唯一）,

y=_#

【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可;

（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可.

（10）（0，；）

【详解】（1）把I',代入抛物线解析式得:

(b=-l

lC=32

解得:

1।3

y=2

则抛物线解析式为22

y=--x2—x+-=--(x+1)2+2

(2)抛物线解析式为

y=--xr

将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为2.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系

数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键.