电气工程师-公共基础-高等数学-微分学

电气工程师-公共基础-高等数学-微分学

［单选题］1.函数f(x)在点x=xO处连续是f(x)在点x=xO处可微的()。

［2019年真题］

A.充分条件

B.充要条件

C.必要条件

D.无关条件

正确答案：C

参考解析：可导等价于可微，可导必连续，而连续未必可导，如函数y=|x|在

x=0处函数连续但不可导。因此可微是连续的充分条件，连续是可微的必要条

件。

［单选题］2.函数f(x)=sin(X+R/2+JI)在区间［一n，兀］上的最小值点

x0等于()。［2017年真题］

A.一冗

B.0

C.Ji/2

D.n

正确答案：B

参考解析：对函数求导得f'(x)=cos(x+n/2+n),令『(x)=cos

(X+H/2+冗)=0,计算得x+h/2+弘=五/2±kh,k=0,1,2,得x=

土kR一冗，根据区间［一皿，n］知：①当k=0时，x=一口，函数有最大值

1;②当k=l时，x只能取0,函数有最小值一1；③当k=2时，x只能取几，

函数有最大值1。综上，知最小值点x0等于0。

［单选题］3.下列极限式中，能够使用洛必达法则求极限的是()。［2016年真题］

1+C0SX

lim-------

A.'—1

「x-sinx

hm-------

B.sinx

2.1

x*sin—

lim—；———

c.x-osin.v

Dx-xx-sinx

正确答案：B

参考解析：求极限时，洛必达法则的使用条件有：①属于0/0型或者无穷/无穷

型的未定式；②在变量所趋向的值的去心邻域内，分子和分母均可导；③分子

分母求导后的商的极限存在或趋向于无穷大。A项属于1/。型，不符合条件；C

项，分子在x=0处的去心邻域处不可导，不符合条件；D项不符合条件③；则

只有B项正确。

［单选题］4.下列等式中不成立的是()。［2018年真题］

sinx21

hm———=1

A.-V-

..sinx]

hm------=1

B.XTX

sinx

lim=1

c.—x

limxsin—=1

D.X

正确答案：B

lim皿=1(重要极限)

参考解析：xA项，因为x-O,所以x2->0,所以

利用上面重要极限的结论知

「sinx2sinx21

lim———=hm———=1

x—O『r-K)A-B项，极限

sinx

lim

XTX工可化为

lim--limsinx

XTH、'TH极限

1

lim—0A

x-x*为无穷小量；而|sinx|Wl,sinx为有界函数。因为有界函数与无

穷小的乘积是无穷小，所以

1.sinx八

lim---=0

XfX戈C项，即为上面重要极限结论。

D项，因为xfg,得1/x-0,所以利用重要极限知

,1

1sin—

limxsin—=lim—=1

EXJ。1

x-

X

［单选题］5.若

k

lim(l-x)x=2

、T0则常数k等于()。［2014年真题］

A.-In2

B.In2

C.1

D.2

正确答案：A

参考解析：由

k二

xxk

1lim(l-x)=lim［(l-x)］~

-x->0x->0

lim(l+x)x=e.k/

x->o=e=2

两边同时取自然对数，得：一k=ln2,所以k=-ln2。

［单选题］6.若

「2/+OV+8,

lim—-------=1

XT1X*+X-2则必有()。［2013年真题］

A.a=l,b=2

B.a=l,b=—2

C.a=-1,b=-1

D.a=l,b=l

正确答案：C

参考解析：因为

2x~+av+b

lim

X->1工~十工一2且分母为零，故

lim(2x2+ov+Z))=0

KTl,得2+a+b=0,又由洛必达法则，有

..4x+ai

hm^—-=1lim4x+a=4+a=3

XT2x+lK-l解得：a=-1。则b=-1。

［单选题］7.设a(x)—1—cosx,B(x)=2x2,则当x-*0时，下列结论中正

确的是()。［2012年真题］

A.a(x)与B(x)是等价无穷小

B.a(x)是B(x)的高阶无穷小

C.a(x)是B(x)的低阶无穷小

D.a(x)与B(x)是同阶无穷小但不是等价无穷小

正确答案：D

参考解析：因

cosx=l-2$in*(^)

1-cosx

lim=lim

x->02x2xTO

sinx-x(x->0)

4或用洛必达法则

00

「1-cosxosin-cosx1

hm----------=lim------=lim------=—

XTO2.vio4YD44故&(x)与B(x)是同

阶无穷小但不是等价无穷小。

［单选题］8.要使得函数

xlnx

x>0.&x*1

/(x)=^1-x

V-］

a在(0,+8)上连续，则常数a等于0。

［2017年真题］

A.0

B.1

C.-1

D.2

正确答案：C

参考解析：函数在(0,+°°)上连续，因此在x=l处，有

lim/(x)=/(I)=a

一一即由洛必达法则，得

x］nx..liix+1,

hm------=hm---------=-1=a

XTI1-工XT1-1即a=-l。

［单选题］9.点x=0是函数y=arctan(1/x)的()。［2014年真题］

A.可去间断点

B.跳跃间断点

C.连续点

D.第二类间断点

正确答案：B

参考解析：第一类间断点的判别方法为：如果f(x)在点x0处间断，且f(x0

+),f(x0-)都存在。其中，如果f(x0+)Wf(x0-),则称点xO为函

数f(x)的跳跃间断点。本题中，因为y(0+)=n/2,y(0—)=—n/2,

y(0+)Wy(0—),所以点x=0是函数y=arctan(1/x)的跳跃间断点。

［单选题］10.设

cosx+xsin-,x<0

/(x)=,x

x'+Lx>0则x=0是f(x)的下面哪一种情况?

()［2012年真题］

A.跳跃间断点

B.可去间断点

C.第二类间断点

D.连续点

正确答案：D

参考解析：函数在某一点处，左右极限相等且有定义，则函数在这一点处连

续。函数的左右极限分别为：

lim(x2+1)=1

IT'7由

1

1sm--

lim(.vsin-)=lim(―^-)=lim(-----)=0

x-»Q-xx-*0~1x

X得

lim(cosx4-xsin—)=1

IT工f(0)=(x2+l)|x=0=l

所以

lim/(x)=lim/(x)=/(0)

XT。-XT。-~即x=0是f(x)的连续点。

［单选题］11.函数f(x)=(X—x2)/sinJix的可去间断点的个数为()。［2011

年真题］

A.1个

B.2个

C.3个

D.无穷多个

正确答案：B

参考解析：函数分母不为零，分母为零的点有0,±1,±2,±3,……；分子

为零的点有0,lo当x=0,1时，有：

一工-工…x-)「X(1-X)

hm-----=lim------=lim——=—

XTOsin7rxXTOZXT°nx7t

..x-x"..A*(l-x)

hm--------=hm----------

isinixJsinix

o

1-xo—1

=lim=lim

x-*isin/rxx—l兀COS7TX

-11

1,(一1)zr

v—v"

lim-——=8(次=T,±2,…)

xTXsin/rx故f(x)有两个可去间断点0、1。

［单选题］12.若y=y(x)由方程ey+xy=e确定，则y'(0)等于()。［2017

年真题］

A.—y/ey

B.—y/(x+ey)

C.0

D.-1/e

正确答案：D

参考解析：由方程ey+xy=e可得，当x=0时，y=l。方程两边对x求导得

eyy'+y+xy'=0,即y'=-y/(x+ey),将x=0,y=l代入，贝！J可得

y'(0)=-1/e。

［单选题］13.设函数f(x)在(a,b)内可微，且*(x)W0,则f(x)在

(a,b)内()。［2016年真题］

A.必有极大值

B.必有极小值

C.必无极值

D.不能确定有还是没有极值

正确答案：C

参考解析：可导函数极值判断：若函数f(x)在(a,c)上的导数大于零，在

(c,b)上的导数小于零，则f(x)在c点处取得极大值；若函数f(x)在

(a,c)上的导数小于零，在(c,b)上的导数大于零，则f(x)在c点处取

得极小值。即可导函数极值点处，f'(x)=0。函数f(x)在(a,b)内可

微，则函数在(a,b)内可导且连续；又f'(x)W0,则在(a,b)内必有

f(x)>0或『(x)<0,即函数f(x)在(a,b)内单调递增或单调递

减，必无极值。

［单选题］14.下列说法中正确的是()。［2014年真题］

A.若f，(x0)=0,则f(x0)必须是f(x)的极值

B.若f(x0)是f(x)的极值，则f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=0

C.若f(x0)在点xO处可导，则f'(x0)=0是f(x)在x0取得极值的必要

条件

D.若f(x0)在点x0处可导，则f'(x0)=0是f(x)在x0取得极值的充分

条件

正确答案：C

参考解析：当f(x0)在点x0处可导时，若f(x)在x0处取得极值，则可知

f(x0)=0；若f'(x0)=0,而f'(x0+)f'(x0-)20时，则f

(x)在xO处不能取得极值。因此，若f(x0)在点x0处可导，则f'(x0)

=0是f(x)在xO取得极值的必要条件。

11m叭

［单选题］15.若f'(xO)存在，则…•工一/()。［2018年真题］

A.f(xO)

B.-xOf7(xO)

C.f(xO)-xOfz(xO)

D.xOf/(xO)

正确答案：C

参考解析：原式化简得

lim」(毛)一"(「

f工一七

=HM(/)一'of(%)+%/(/)一%/(x)

xfX-XO

lim"7）（Xf）f[/（X）_/（喇

XTX°X-X

二lim/(—―%)_Hm/［/(、)-/(喇

x-%X-XQx-"X-XQ

=小)-.的3曳1

x-0、一&

f

=fM-xof(xo)

［单选题］16.设

cx<1

4v—1'x*>1'则f(x)在点x=l处()。［2013年真题］

A.不连续

B.连续但左、右导数不存在

C.连续但不可导

D.可导

正确答案：C

lim/(x)=lim3x2=3

参考解析：XT「XT「

limf（x）=lim（4x-1）=3

x->「x->r即

limf(x)=lim/(x)=/(I)=3

XTrx->r故f(x)在x=i处连续；

£⑴=lim6x=6f+(J)—Hm4=4

Xrr即f—，(1)Wf+'(1),

故不可导。

［单选题］17.下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的是()。［2012年

真题］

A.f(x)=x/(l+x2),［-1,2］

B.f(x)=x2/3,［-1,1］

C.f(x)—el/x,［1,2］

D.f(x)=(x+1)/x,［1,2］

正确答案：B

参考解析：在拉格朗日中值定理中，函数f(x)应满足：在闭区间［a,b］上连

续，在开区间(a,b)上可导。f(x)=x2/3在［-1,1］连续。

2-1?1

f(X)=±X3=±._L

?V、在(一1,1)不可导(因为f'(x)在x=0处

导数不存在)，所以不满足拉格朗日中值定理的条件。

［单选题］18.如果f(x)在x0可导，g(x)在x0不可导，则f(x)g(x)在

xOOo［2011年真题］

A.可能可导也可能不可导

B.不可导

C.可导

D.连续

正确答案：A

参考解析：举例说明，令g(x)=l/x,g(x)在x0=0处导数不存在，即不可

导。令f(x)=x,此时f(x)•g(x)=1在x0=0处可导。令g(x)=

1/x,f(x)=1,此时f(x)g(x)=l/x在x0=0处不可导。

［单选题］19.设f(x)=x(x-1)(x-2),则方程『(x)=0的实根个数

是()。［2016年真题］

A.3

B.2

C.1

D.0

正确答案：B

参考解析：先对方程求导，得：f'(x)=3x2—6x+2,再根据二元函数的判

别式A=b2-4ac=12>0,可知方程有两个实根。

［单选题］20.设

产COSX

Jj(，拉=—

•一工则f(冗/2)等于()。［2016年真题］

A.冗/2

B.-2/JI

C.2/n

D.0

正确答案：B

参考解析：将方程两边分别对x取一阶导数得：f(x)=(-xsinx-cosx)

/x2,故

d(lnx)

［单选题］21.dJF等于()。［2014年真题］

A.1/(2x3/2)

B.VX

1

C.&

D.2/x

正确答案：B

参考解析：

［单选题］22.若

［x=sinZ

1，=。8'则(1丫/(取等于()。［2013年真题］

A.—tant

B.tant

C.—sint

D.cott

正确答案：A

参考解析：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=—sint/cost=—tanto

［单选题］23.设f(x)有连续的导数，则下列关系式中正确的是()。［2013年真

题］

A./f(x)dx=f(x)

B.(/f(x)dx)'=f(x)

C.ff'(x)dx=f(x)dx

D.(Jf(x)dx)'=f(x)+C

正确答案：B

参考解析：Jf(x)dx=F(x)+C,ff'(x)dx=f(x)+C,(；f(x)

dx)'=f(x)o

［单选题］24.设y=ln(cosx),则微分dy等于()。［2012年真题］

A.dx/cosx

B.cotxdx

C.—tanxdx

D.—dx/(cosxsinx)

正确答案：C

参考解析：等式两边同时微分，得：dy=f'(x)dx=(—sinx)dx/cosx=一

tanxdxo

［单选题］25.f(x)的一个原函数为0一则f'(x)等于()。［2012年真题］

?

A2(-U2.r)e-

B.一2隧”

「2(l+2x:)e-t：

D.(l-2k)e”

正确答案：A

-X

参考解析：由条件f(X)的一个原函数为C,得

/(")=-再由f(x)两边求导得：

f\x)=-2e~'+(-2x)e~x(-2x)

=2(-1+2/5

［单选题］26.若x=l是函数y=2x2+ax+l的驻点，则常数a等于()。［2018年

真题］

A.2

B.-2

C.4

D.-4

正确答案：D

参考解析：函数y关于x求导，得y'=4x+a。因为x=l是函数y=2x2+ax

+1的驻点，所以4Xl+a=0,计算得a=-4。

［单选题］27.曲线f(x)=xe—x的拐点是()。［2017年真题］

A.(2,2e-2)

B.(-2,-2e2)

C.(-1,—e)

D.(1,e—1)

正确答案：A

参考解析：f(x)=xe—x,有f'(x)=(1—x)e—x,有f"(x)=(x—

2)e—x,令f"(x)=0,计算得x=2,通过计算知，f"(x)在x=2的

左、右两侧邻近异号，又f(2)=2e—2,所以点(2,2e-2)为曲线的拐点。

［单选题］28.函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处的一阶偏导数存在是该函数在

此点可微分的()。［2018年真题］

A.必要条件

B.充分条件

C.充分必要条件

D.既非充分条件也非必要条件

正确答案：A

参考解析：函数f(x,y)在P0(x0,y0)可微，则f(x,y)在P0(xO,

y0)的偏导数一定存在。反之，偏导数存在不一定能推出函数在该点可微。举

例如下：

函数

xy22八

.「一」r+y#0

&V+1"=°在点(0,0)处有fx(0,0)=0,fy

(0,0)=0,但函数f(x,y)在(0,0)处不可微。因此，函数f(x,y)

在点P0(x0,yO)处的一阶偏导数存在是该函数在此点可微分的必要条件。

［单选题］29.设z=y6(x/y),其中6(u)具有二阶连续导数，则加z/

y)等于()。［2017年真题］

A.(1/y)6"(x/y)

B.(―x/y2)出〃(x/y)

C.1

D.4>'(x/y)—(x/y)6"(x/y)

正确答案：B

参考解析：计算得

邮&=y•6'(x/y)•(1/y)=。'(x/y)

应z/&0=—(x/y2)6〃(x/y)

［单选题］30.设函数z=f(x2y),其中f(u)具有二阶导数，则必z/(&a)

等于()。［2018年真题］

A.f〃(x2y)

B.f'(x2y)+x2f〃(x2y)

C.2x［f'(x2y)+yf"(x2y)］

D.2x［伊(x2y)+x2yf"(x2y)］

正确答案：D

参考解析：在z/(次伪)是先关于x求导，再关于y求导，计算得

—=——=—/年)・2/

cxcyW'dr,0?L'J

=(/y)•X2・2.w+f\x2yY2x

=2、cgHr,y)］

=2x\j\x2y)+X(-^y)］

［单选题］31.设z=3xy/x+xF(u),其中F(u)可微，且u=y/x,则6/4等

于()。［2016年真题］

A.3xy-yF/(u)/x

B.3xyln3/x+F/(u)

C.3xy+Fz(u)

D.3xyln3+F/(u)

正确答案：D

参考解析：计算得

61,、1

—=-xx3^InS+^fwjx-

dyx7x

=3打口3+尸(〃)

［单选题］32.设方程x2+y2+z2=4z确定可微函数z=z(x,y),则全微分dz

等于()。［2014年真题］

A.(ydx+xdy)/(2—z)

B.(xdx+ydy)/(2—z)

C.(dx+dy)/(2+z)

D.(dx—dy)/(2—z)

正确答案：B

参考解析：对等式两边分别同时求导，得：2xdx+2ydy+2zdz=4dz。所以dz=

(xdx+ydy)/(2—z)

xd

［单选题］33.设二二0则由z/82等于()。［2014年真题］

辘，，

A.如

+1)

B.'

ce

正确答案：A

参考解析：一次偏导为:

©工二次偏导为:

dx

[单选题]34.设z=z(x,y)是由方程xz—xy+ln(xyz)=0所确定的可微函

数，则6/齿等于()。[2013年真题]

A.—xz/(xz+1)

B.—x+1/2

C.z(—xz+y)/[x(xz+1)]

D.z(xy—1)/[y(xz+1)]

正确答案：D

参考解析：将xz—xy+ln(xyz)=0两边对y求偏导，得xzy'—x+x(z+

y,zy')/(xyz)=0,整理得zy'=z(xy—1)/[y(xz+1)]0

[单选题]35.若z=f(x,y)和y=6(x)均可微，则dz/dx等于()。[2013年

真题]

A.cf/ck+of/o^

B.cf/ck+(%/&)(dO/dx)

C.(注/齿)(d<b/dx)

D.%/永一(%/次)(d4>/dx)

正确答案：B

参考解析：dz/dx=(%/8)(dx/dx)+(%/为)(d6/dx)=%/8+(df/d

y)(d0/dx)o

[单选题]36.设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，则下列函数中为奇函数的是

()。[2018年真题]

A.f[g(x)]

B.f[f(x)]

C.g[f(x)]

D.g[g(x)]

正确答案：D

参考解析：D项，令T(x)=g[g(x)]o因为T(—x)=g[g(—x)]=g[—g

(x)]=-g[g(x)],所以T(—x)=-T(x),所以g[g(x)]为奇函数。

[单选题]37.已知f(x)为连续的偶函数，则f(x)的原函数中()。[2013年真

题]

A.有奇函数

B.都是奇函数

C.都是偶函数

D.没有奇函数也没有偶函数

正确答案：A

参考解析：f(x)的原函数中有与f(x)的奇偶性相反的函数，但并不是所有

偶函数f(x)的原函数都是奇函数。

[单选题]38.若f(—x)——f(x)(-00<x<+00),且在(一8,o)内

f'(x)>0,f〃(x)<0,则f(x)在(0,+8)内是()。[2013年真题]

A.f'(x)>0,f"(x)<0

B.f'(x)<0,f"(x)>0

C.f'(x)>0,f"(x)>0

D.f'(x)<0,f"(x)<0

正确答案：C

参考解析：由f(―x)=-f(X)(―°°<x<+°o),知f(X)为奇函数，

奇函数关于原点对称。根据奇函数图形，故在(0,+°°)内，f'(x)>0,

f"(x)>0o

［单选题］39.函数y=(5-x)x2/3的极值可疑点的个数是()。［2013年真题］

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：C

参考解析：极值可疑点为导数不存在或者导数为零的点。函数求导y'=5x—

1/3(2-x)/3,可见函数在x