2022-2023学年广东省肇庆市怀集县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2022-2023学年广东省肇庆市怀集县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x2—2xy=0B.3%=%3—1C.%2—2%=0D.x+；=0

2.随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的

3.二次函数—l的图象与y轴的交点坐标是（）

A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)

4.如图，。4是。。的半径，弦CD104于点尸，已知。C=5,OP=3,则弦CD的长

为（）

A.8

B.4

C.5

D.6

5.方程——2x-1=0的根的情况是（）

A.有两个不等实数根B.有两个相等实数根C.无实数根D.无法判定

6.如图，点A,B,C在。。上，若N20B=100。，贝吐4CB的度数为（）

A.40°

B.50°

C.80°

D.100°

7.一元二次方程/一4=。的解是()

A.x=2B.=V-2>x2=-V-2

C.x=-2D.%=2,x2=—2

8.抛物线y=（久—1）2+2的顶点坐标是（）

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

9.在平面直角坐标中，点P(2,-3)关于原点的对称点P'的坐标是()

A.(-2,-3)B.(-3,-2)C.(-2,3)D.(-3,2)

10.对于二次函数y=2。-2产+1,下列说法中正确的是()

A.图象的开口向下B.函数的最大值为1

C.图象的对称轴为直线x=-2D.当x<2时y随x的增大而减小

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.将抛物线y=3/向下平移1个单位后得到新的抛物线的表达式为.

12.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸

出一个小球，恰好是黄球的概率为.

13.已知扇形的半径为6o机，圆心角的度数为120。，则此扇形的弧长为cm.

14.在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设

参加活动的同学有无人，根据题意，可列方程是

15.如图，在直角AOAB中，AAOB=30°,将△。4B绕点。逆时针旋转100。

得到△。&&,贝IJN&OB=°,

三、计算题：本大题共1小题，共8分。

16.解方程：x2—2%—2=0.

四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

已知：如图，A8是。。的直径，AC是弦，直线EF是过点C的。。的切线，力D1EF于点D.求证:

Z.BAC=Z-CAD.

B,

18.(本小题8分)

设二次函数的图象的顶点坐标为(-2,2),且过点(1,1),求这个函数的关系式.

19.(本小题9分)

小明和小林是同班同学，在五月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并随机编入

A,B,C三个班，他俩希望能再次成为同班同学.请用列表或画树状图的方法，求两人再次成为同班同学的

概率.

20.(本小题9分)

如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.AABC的三个顶点

A,B,C都在格点上，将△力BC绕点A按顺时针方向旋转90。得到△48'C'.

(1)在正方形网格中，画出△AB'C'；

(2)计算线段AB在变换到48'的过程中扫过区域的面积.(结果保留兀)

21.(本小题9分)

随着新能源汽车推广力度加大，产业快速发展，越来越多的消费者接受并购买新能源汽车.我市某品牌新

能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆.

(1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率；

(2)若该品牌新能源汽车的进价为52000元，售价为58000元，则该经销商1月至3月份共盈利多少元？

22.(本小题12分)

如图，AB是。。的弦，。21。4交43于点尸，过点2的直线交。尸的延长线于点C,且CP=CB.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)若O。的半径为用，OP=1,求BC的长.

23.(本小题12分)

如图，已知二次函数y=a/+必+3的图象交x轴于点2(1,0),B(3,0),交y轴于点C.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求点C的坐标和直线BC的表达式；

(3)点尸是直线下方抛物线上的一动点，求4BCP面积的最大值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

8、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故本选项符合题意；

D,是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式

方程，叫一元二次方程.

2.【答案】A

【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；

3、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

。、不是中心对称图形，故本选项错误；

故选：A.

根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.

本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重

合.

3.【答案】D

【解析】解：对于二次函数y=/—1,令x=0,得到y=—L

所以二次函数与y轴的交点坐标为(0,-1),

故选：D.

令工=0,求出x的值，即可解决问题；

本题考查二次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基

础题.

4.【答案】A

【解析】解：•••CD10A,.•.在Rt△COP中，CP=<OC2-CP2=V52-32=4.

•••CD=2CP,：.CP=8.

故选：A.

在Rt△COP中，根据勾股定理可将CP的长求出，在根据垂径定理知CD=2CP.

本题主要考查勾股定理和垂径定理的应用.

5.【答案】A

【解析】解：a=1,b=—2,c——1,

；.△=b2-4ac=(-2)2—4x1x(-1)=8>0,

所以方程有两个不相等的实数根.

故选4

把a=l,b=-2,c=—1代入A=b2—4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况.

本题考查了一元二次方程a/+%久+c=0(a丰0,a,6,c为常数)的根的判别式△=b2-4。<:,当4〉0时，方

程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程没有实数根.

6.【答案】B

【解析】解：U0B=100°,

.­.乙ACB=*。B=|x100°=50°,

故选：B.

利用圆周角定理计算即可.

本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：•・,%2-4=0,

•••x2—4,

汽1=2,%2=-2,

故选：D.

移项后直接开平方求解可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分

解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了求抛物线的顶点坐标.熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键.直接利用顶点式的特

点可写出顶点坐标.

【解答】

解：・顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),

••・抛物线y=(x-l)2+2的顶点坐标是(1,2).

故选4

9.【答案】C

【解析】解:点P(2,-3)关于原点的对称点P'的坐标是(-2,3).

故选：C.

直接利用关于原点对称点的性质得出答案.

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

根据题目中的函数解析式，判断各个选项中的说法是否正确即可.

【解答】解：二次函数y=2(%—2)2+1,a=2>0,

该函数的图象开口向上，故选项A错误，

函数的最小值是1,故选项8错误，

图象的对称轴是直线x=2,故选项C错误，

当x<2时y随x的增大而减小，故选项。正确.

故选0.

11.【答案】y-3x2-1

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3/向下平移1个单位后得到新的抛物线的表达

式为y=3/—1.

故答案为：y=3%2-1.

利用平移的性质求解即可，可根据“上加下减”进行解答.

本题主要考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移方法是关键.

12.【答案】|

【解析】解：••・一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，

••・从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：=

故答案为：

由一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，直接利用概率公式求解即可求得答案.

此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

13.【答案】47T

【解析】解：•••扇形的半径为6c〃z,圆心角的度数为120。，

.,・扇形的弧长为：120a：6=47rcm；

l1oU

故答案为：4兀.

在半径是R的圆中，因为360。的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2?rR,所以几。圆心角所对的弧长为I=

nnR+180.

本题考查了弧长的计算.解答该题需熟记弧长的公式2=黑.

±oU

14.【答案】x(x-1)=42

【解析】解：设参加活动的同学有x人，

由题意得：x(x-1)=42.

故答案为：x(x-1)-42.

设参加活动的同学有x人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为(X-1)张，再根据“共送贺卡42张”建

立方程，然后解方程即可得.

本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键.

15.【答案】70

【解析】解：,•・将△0AB绕点。逆时针旋转100。得到△。&Bi，Z.A0B=30°,

.•.AOAB^L0&B],

Z-A10B1=Z.A0B=30°.

•••Z-Ar0B=Z-Ar0A—Z-AOB=70°.

故答案为：70.

直接根据图形旋转的性质进行解答即可.

本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键.

16.【答案】解：移项得/-2x=2,

配方得%2-2x+1=2+1,

即(％-1)2=3,

开方得x-1=±A<3,

解得乂1=1+x2=1-V-3.

【解析】先把常数项-2移到等号右边，之后方程左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方，得到方

程/—2%+1=3,对等号左边进行配方，再开方即可求出结果.

本题考查配方法解一元二次方程.

17.【答案】证明：•.•直线斯是过点C的。。的切线，

OC±EF,

又•・•AD1EF,

・•.OC//AD,

Z.OCA=Z.CAD,

又•・•0A=0C,

・•.Z.OCA=/-BAC,

•••Z-BAC=Z-CAD.

【解析】根据切线的性质可知。c1EF,结合已知可得0C〃4D,再根据等边对等角可得N0C4=NC4D,

进而证明结论.

本题主要考查了切线性质，掌握相关基本知识是解题关键.

18.【答案】解:设这个函数的关系式为y=a(x+2/+2,

把点(1,1)代入y=a(x+2>+2得9a+2=1,

解得a=-

所以这个函数的关系式为y=-1(x+2)2+2.

【解析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式.

由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=aQ+2)2+2,然后把点(1,1)代入求出。的值即可.

19.【答案】解：画树状图如下:

开始

由树形图可知，共有9个等可能的结果，小明和小林两人再次成为同班同学的结果有3个,

•.小明和小林两人再次成为同班同学的概率为5

【解析】画树状图，共有9个等可能的结果，小明和小林两人再次成为同班同学的结果有3个，再由概率

公式求解即可.

本题考查了列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.【答案】解:(1)如图所示：A4B'答即为所求;

(2)•••AB=V42+32=5，

2

.••线段在变换到的过程中扫过区域的面积为：9071X5=空兀

3604

【解析】(1)根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案;

(2)利用勾股定理得出48=5,再利用扇形面积公式求出即可.

此题主要考查了扇形面积公式以及图形的旋转变换等知识，熟练掌握扇形面积公式是解题关键.

21.【答案】解：(1)设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率x,

依题意，得：150(1+x)2=216,

解得:%1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).

答：该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为20%.

(2)2月份的销售量为150x(1+20%)=180(辆),

(58000-52000)x(150+180+216)=3276000(元).

答：该经销商1月至3月份共盈利3276000元.

【解析】(1)设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率x,根据该品牌新能源汽车1月份及3月份的销售

量，即可得出关于尤的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)根据2月份的销售量=1月份的销售量x(l+增长率)可求出该品牌新能源汽车2月份的销售量，再利用

总利润=单台利润x1月至3月份的销售量之和，即可求出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

22.【答案】(1)证明：连接05,如图,

•・•OP10A,

•••乙4。尸=90°,

.•・乙4+乙4P。=90°,

•・,CP=CB,

Z.CBP=Z.CPB,

ffijzCPB=Z-APO,

・•・乙APO=乙CBP,

•・,0A=OB,

Z.A=Z-OBAf

・•・乙0BC=Z.CBP+^OBA=/.APO+4/=90°,

・•・OB1BC,

BC是。。的切线；

(2)解：设BC=%,贝!JPC=%,

在RtAOBC中，OB=<5，OC=CP+OP=x+

■：OB2+BC2=OC2,

(A/-5)2+X2=(X+1)2,

解得比=2,

即3c的长为2.

【解析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了勾

股定理.

(1)由垂直定义得乙4+乙4P。=90。，根据等腰三角形的性质由CP=CB得4CBP=乙CPB,根据对顶角相

等得Z.CPB=/.APO,所以NAP。=/.CBP,而ZJ1=/.OBA,所以N。8c=