2022-2023学年贵州省安顺市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省安顺市高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若复数Z满足zi=1+2i,则复数Z的共规复数5=()

A.-2—iB.—2+iC.2—iD.2+i

2.若三点4(2,3)、8(4,7)、C(3,y)共线，则实数y的值为()

A.1B.IC.3D.5

3.在一次知识竞赛中，某班6名学生的成绩(单位：分)分别是65,60,70,72,86,80,

则这6名学生成绩的75%分位数是()

A.70分B.72分C.80分D.84分

4.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是()

A.“至少有一个红球”与“都是红球”

B.“至少有一个红球”与“都是黑球”

C.“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”

D.“恰好有一个红球”与“恰好有两个红球”

5.已知向量为=(Sina,—3)花=(1,COSa)，若五1石,则tan(α+.)=()

A.-ɪB.iC.-2D.2

6.己知正三棱柱4BC-4BιG的所有棱长都是2,点M在棱CG上运动，则为M+BM的最

小值为()

A.2∖ΓzB.4C.2y∕~5D.2+2√^2

7.已知向量五=(2,-1)石=(L3)，则向量值在向量石上的投影向量下=()

A∙七,一分B-(~⅛-⅛C⅛*⅛D∙(一看,一命

8.锐角AABC中，内角4、B、C的对边分别为服b、c,S为AABC的面积，且α=3,AB-AC=

亨S，贝防的取值范围是()

A.(0,2θ)B.(√^,2θ)C.(0,6)D.(3√^3,6)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件4="第一枚正面朝上"，事件B="第二枚正面

朝上”，下列结论中正确的是()

1

-

A.该试验样本空间共有4个样本点B.P（AB）4-

C.4与B为互斥事件D.4与B为相互独立事件

10.根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：。C）绘制如下折线图,

那么下列叙述正确的是（）

A.5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差小

B.5号的最高气温与最低气温的差值最大

C.最高气温的众数为27。C

D.最低气温的中位数为12。C

11.下列命题正确的是（）

A.若向量N,b满足五.6=1.3则b=目

B.已知平面内的一组基底瓦,石，则向量瓦+£,瓦-孩也能作为一组基底

C.模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等

D.在△4BC中，若希•瓦t>0,则△4BC为钝角三角形

12.木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块

4BCD-4B1GD1时，为了经过木料表面CDDlG内一点P和

棱力儿将木料平整锯开，需要在木料表面CDDICl过点P画直

线，.则下列结论正确的是（）

A.IIIDDyB.l∕∕BB1C」与直线力&相交D」与直线CCl相交

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.己知平面非零向量方与方的夹角为申若|引=1,|2五一3|=2，则IM=.

14.现有一组数据5,7,3,7,3,则这组数据的方差是.

15.若复数Z=(α2-ɑ-2)+(α2+2α)i(i为虚数单位，α∈R)对应的点在第二象限，则α的

取值范围是.

16.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯(如图1)所示，它的盛Bg-./------、

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图，直四棱柱ABCDGA中，E,F分别为AD「CDl的中点，AD=CD=2,DD1=3,

4ADC=120°.

(1)求证：EF〃平面4BCD；

(2)求三棱锥D-ACDl的体积.

18.(本小题12.0分)

2022年9月4市新冠肺炎疫情发生后，“疫”声令下，省内各大市区纷纷闻讯而动，约5000名

医务工作者积极驰援该市，为抗疫工作注入坚实而温暧的力量，各方力量扭成一股绳，合力

书写了守望相助的抗疫故事.现从各市支援4市某地区的500名医务工作者中随机抽取50名，

将这50人的年龄按照[25,35),[35,45),[45,55]这3个区间绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计这50名医务工作者的平均年龄(同一组数据用该组区间的中点

值代表)；

(2)现需要对居民隔离的居民进行单管核酸检测，防疫指挥部决定在[35,45),[45,551两区间

段医务工作者中按分层随机抽样方法抽取5人.假设5人已经选定，现要从这5人中选择2人到某

户进行检测，求选中的两人来自同一年龄段的概率.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=V^^3sin2x+cos(2x+今.

(1)求函数/(%)的对称轴方程；

(2)将函数/(X)的图象向左平移w(9>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象.若g(x)为偶函数,

求8的最小值.

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，PAI平面ABCD,M是边AC上一点，

且满足ABCM是正方形，AB=1,PA=2.

(1)求证：平面PBM1平面P4C；

(2)己知：MD=λ(0<λ<2),二面角P-CD-A的平面角为/是否存在;I,使得tcmθ=√^^2?

若存在，求出;I；若不存在，说明理由.

B

21.(本小题12.0分)

如图，在直角△力BC中，角4为直角，点M是AC边的中点，点P满足加=|四，点Q是BC边

上的动点.

(1)若点Q是BC边上靠近C的三等分点，设所=4荏+〃而，求;I+4的值；

(2)若AB=3,AC=2,求而.用的取值范围.

22.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,且(S讥4+siτιC)2=siM8+讥AsinC.

(1)求COSB和SinB的值;

(2)设点。在边AC上，且BC=2,BD是NABC的角平分线，求六+二会的最小值.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：由zi=1+2i,

得Z=*呷∩=2T,

lT

则复数Z的共规复数2=2+i∙

故选：D.

由Zi=1+21,得Z=彳，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,则复数Z的共轨复数2可

求.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：已知三点4(2,3)、8(4,7)、C(3,y)共线，

则南=(2,4)，前=(l,y-3),

由题意可知而〃而，所以，2(y-3)=4,解得y=5.

故选：D.

求出向量而、就的坐标，可知超〃衣，利用平面向量共线的坐标表示可求得y的值.

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：将成绩按升序排列可得：60,65,70,72,80,86,

因为6X0.75=4.5,所以6名学生成绩的75%分位数是第5位数80.

故选：C.

根据百分位数的定义运算求解.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，设红球的编号为1,2,黑球的编

号为a,b,

取2个球的全集U={(l,α),(l,ð),(2,α),(2,b),(1,2),(a,b)},

对于4,事件4：“至少有1个红球”={(l,α),(Lb),(2,α),(2,b),(1,2)},

事件8：“都是红球”={(1,2)},

.∙.AC∖B={(1,2)}≠0,故A错误；

对于B,事件C：••・“都是黑球”={(α,b)},

Λ∩C=0,A(JB=U,即A与C必然有一个会发生，故B正确；

对于C,事件D：”至少1个是黑球”={(l,α),(1,于),(2,a),(2,b),(α,b)},

.∙.Λ∩D={(l,α),(1,6),(2,a),(2,b)}≠0,故C错误;

对于。,事件E：“恰好1个是红球”={(l,a),(l,b),(2,a),(2,b)},

事件F：“恰好2个是红球”={(1,2)},

所以EnF=。，但EUF≠U,所以E和F不是对立事件，只是互斥事件，故。错误.

故选：B.

根据对立事件的定义逐项分析.

本题考查互斥事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解:若方J.B，则S讥a-解。Sa=0,

若Sina=cosa=0,显然不满足siMa+cos2a=1,

可得CoSa=≠0,则tana=3,

tana+tan^

所以tan(a+》3+1

1—tɑnɑtɑn^1-3x1

故选：C.

根据向量垂直的坐标表示可得tanα=3,再结合两角和差公式运算求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：如图，将侧面ACClAl和侧面BCClBI展开成一

个平面，

则4M+BM≥Tl1B=√22+42=2√^5,

当且仅当B,M,4三点共线时，等号成立，

所以+BM的最小值为2√^石.

故选：C.

借助于侧面展开图分析运算.

本题考查两点距离的和的最值求法，注意运用侧面展开，考查数形结合思想和运算能力，属于基

础题.

7.【答案】D

【解析】解：因为W=(2,-l),b=(1,3)-

所以a∙b=2X1+3X(―1)=—1，IðI=Λ/I2+32=√10»

所以向量五在向量石上的投影向量为器∙b=-rɪ(l,ɜ)=(―⅛,-⅛)∙

IblɪuJLUɪu

故选：D.

首先求出五不，|石|，再根据投影向量的定义计算可得.

本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：因为荏•前=亨S，

即CbCoS4=×ɪbcsinA>

即SiTL4=LicosA,

因为△力BC为锐角三角形，

则COS4>0,

所以CtmA=，？，

则A=

因为Q=3,

ba3ɔ/—

由正弦定理可得诉=,=m=2V3,

2

(0<B

由已知可得7r七,

^<B+^<π

解得2<β<≡

OL

1

则/<SinB<1,

因此b=2Λ∏SITIB∈（√^,2√^^）.

故选：B.

利用平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式可求得tanA的值，结合角4的取值范围可得出

角4的值，根据△4BC为锐角三角形求出角B的取值范围，再利用正弦定理结合正弦函数的基本性

质可求得b的取值范围.

本题考查了平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式，重点考查了正弦定理，属中档题.

9.【答案】ABD

【解析1解：对于4分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则有｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，

反）｝四个样本点，故A正确，

对于B,事件4与事件B相互独立，则P（AB）=gxg=；,故8正确，

对于C,D,事件4与事件B相互独立，故A与B为相互独立事件不为互斥事件，故C错误，。正确，

故选：ABD.

根据相互独立事件的定义以及概率乘法公式可解.

本题考查相互独立事件的定义以及概率乘法公式，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：对于4选项，由图可知，5号到15号的最高气温的极差为27-15=12（。。），

5号到15号的最低气温的极差小于15-3=12（。。），

所以5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差小，故A正确；

对于B选项，由图可知6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；

对于C选项，最高气温27。C出现了两次，其他数据出现为1次，故27。C是最高气温的众数，故C

正确；

对于。选项，最低气温由小到大的日期依次为：

14号、13号、15号、3号、6号、7号、8号、12号、9号、10号、11号，

所以7号（或8号或12号）的气温为最低气温的中位数，

结合图形可知，最低气温的中位数小于12。。，故。错误.

故选：AC.

利用极差的定义可判断4选项；观测图象可判断B选项；利用众数的定义可判断C选项；利用中位

数的定义可判断D选项.

本题主要考查了统计图的应用，考查了极差、众数和中位数的计算，属于基础题.

11.【答案】BD

【解析】解：对于选项A：例如五且6,口反向，可得五∙b=a∙m=O,

但不能得到至=3故A错误；

对于选项8：假设瓦•+石,瓦一石共线，则存在实数九使得%+需=4(百-底)=2部一；I筱，

且可,可不共线，可得｛I；'］，无解，

假设不成立，所以可+与,可-号不共线，则向量可+蒜,瓦-石也能作为一组基底，故B正确;

对于选项C：模等于1个单位长度的向量是单位向量，但单位向量的方向不确定，

所以单位向量不一定相等，故C错误；

对于选项Q：由通.配>0,可得荏•就=-'BA-^BC=-∖~BA∖∙∖^BC∖cosB>0.可得COSB<0,

且8e(0,τr),则角B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故。正确；

故选：BD.

对于4：举反例分析判断；对于B：根据基底向量的定义分析判断；对于C：根据单位向量、向量

相等的概念分析判断；对于D：根据数量积的定义结合向量夹角分析判断.

本题主要考查向量的相关知识，考查逻辑分析能力和推理能力，属于中档题，也是易错题.

12.【答案】CD

【解析】解：根据题意，延长&A、BlB交于点M,则ClC、DlD的延长线也过点M,

如下图所示：

因为M6Λ4ι,则Me平面P/Ui，则直线PM即为所求作的直线

所以，直线I与直线4&、直线SB”直线CC1、直线。Dl都相交.

故选：CD.

根据题意，延长&A、BlB交于点例，则ClC、OlC的延长线也过点M,则直线PM即为所求作的直

线，，由此可得出结论.

本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及棱台的结构特征，属于基础题.

13.【答案】2

【解析】解：因为平面非零向量五与石的夹角为全且INl=I,|2五一方I=2，|2方一至I=2，

则4片一4五不+,=4-4X1XI方ICOS界∖b∖2=4-2∖b∖+∖b∖2=4,

整理得I9|2-2|石I=0,解得IBl=2或IBl=0(舍去)，

所以IBl=2.

故答案为：2.

根据数量积的定义以及运算律运算求解.

本题主要考查平面向量的数量积以及向量的模长计算，属于基础题.

14.【答案】

【解析】解：由题意，5,7,3,7,3的平均值为：5+7+g+7+3=5,

根据方差的定义，这5个数的方差为：i[(5-5)2+2X(7-5)2+2X(3-5)2]=y.

故答案为：ʃ.

根据方差的定义计算即可.

本题主要考查了方差的计算，属于基础题.

15.【答案】(0,2)

【解析】解：由题意可得：一：一2：°,解得0<α<2,

所以a的取值范围是(0,2).

故答案为：(0,2).

根据复数的几何意义列式求解即可.

本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题.

16.【答案】［/3,仁)

【解析】解：设圆柱的高为∕ι,则这种酒杯内壁表面积为2兀/?2+27ΓR∕1=ιo7r,可得R2+R∕1=5,

可得力='一R,由∕ι>0,可得W—R>O,可得O<R<V5>

AK

因为这种酒杯的容积不大于半球体积的2倍，即|近3+nR2h≤，R3,

可得九—R≤乌，

Λɔ

解得R≥y∏,

所以/3≤R<y∕~5.

故答案为：［，耳,，石).

设圆柱的高为/1,利用组合体的表面积可得出∕1=∙∣-R,由体积关系可得出关于R的不等式，再结

合h>0可求得R的取值范围.

本题主要考查了圆柱和球的体积公式，属于中档题.

17.【答案】解：(1)•••E,F分别为AD】，CDl的中点，

.∙.EF//AC,

又∙.∙EFC平面力BmACu平面ABCD,

.∙.EF〃平面4BCD；

(2)v∆ADC^AD=CD=2,Z.ADC=120°,

.∙.S^ADC=γAD-CDsin∆ADC=gχ2x2x/=C，

又直四棱柱ABCD-AlBIClnI中DDlLABCD,

■.DDl为三棱锥Dl-ACD的高，

^一:极锥D-ACDl=V；棱锥％-4CD='S"DC=§X3X=√^3∙

【解析】(1)由E,F分别为ADl,CDi的中点可得E/7/AC,再利用线面平行的判定定理可证EF〃平

W∖ABCD;

(2)直四棱柱ABCC-AiBCDi中DDIIABCC可得DDI三棱锥DI-ACD的高，再利用等体积法求

解即可.

本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.

18.【答案】解：(I)依题意，医务工作者的平均年龄为：30x0.5+40x0.3+50x0.2=37；

(2)根据直方图可得，在［35,45),［45,55］区间中的两段人数比例为3：2,

根据分层抽样，在［35,45),［45,55］中分别抽取3人和2人，

将［35,45)里抽取的人数编号为：{α,b,c},将［45,55］里抽取的人数编号为：{4B},

于是5人抽取2人所有可能的事件为：ab,ac,be,AB,aA,aB,bA,bB,cA,cB,有IO种，

抽取的2人来自同一年龄段的事件为：ab,ac,be,AB,有4种，

根据古典概型的计算公式，两人来自同一年龄段的概率为A=0.4.

【解析】(1)根据题干中平均值的定义直接计算即可；

(2)根据分层抽样先确定两个区间抽取的人数，然后将抽取的人进行编号，根据列举法列出两人来

自同一年龄段的事件与所有可能的事件，根据古典概型的概率公式求解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

19.【答案】解：(l)∕(x)=√~3sE2x+cos(2x+g)=√~^sin2久+；cos2%—加2x

=卒sin2x+ɪcos1x=sin(2x+ɪ)-

由2χ+'="+在/c∈Z)可得X=萼+—kez),

OLZo

故函数/(X)的对称轴方程为X=y+∣(fc∈Z).

(2)将函数/(x)的图象向左平移*(W>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，

则g(x)=sin［2(x+φ)+ξ］=sin(2x+2φ+^),

因为函数g(χ)为偶函数，则2a+*=∕OT+］(keZ),可得9=与+其kez),

因为尹>0,当k=0时，0取最小值也

【解析】(1)利用三角恒等变换化筒函数/(x)的解析式，利用正弦型函数的对称性可求得函数f(x)

的对称轴方程；

(2)利用三角函数图象变换可得出函数g(x)的解析式，根据函数g(x)为偶函数可得出关于3的表达

式，即可求得正数9的最小值.

本题考查了三角函数的化简，求值，考查三角函数图像的变换以及函数的对称性问题，是中档题.

20.【答案】（1）证明：因为PAI平面4BCD,BMU平面ZBC。，所以P4J.BM,

因为正方形ABCM,所以ACJLBM,

又PAnAC=4PA,ACU平面PAC,所以BMl平面H4C,

因为BMU平面PBM,所以平面PBMI平面P4C；

（2）解：过P作PNJ.CD于N,连接4N,

BC

因为PA1平面ABCD,CDU平面/BCD,所以Pa1CD,

因为PNlC。，PNCPA=P,PN,PAu平面PAN,所以CD_L平面P4N,

又ANu平面P4N,所以CD_LAN,则NPM4为二面角P-CD-4的平面角。，

所以tan。=tan"M4=篇=焉=则AN=√^^,

又因为正方形ABCM中，有AC=CAB=>Γ∑,又PNJ.C。，所以此时N与C重合，

因为4ZMC-Z-ACB=3，所以ZTlDC=Y=Z.DAC,则√4C=CD=-√r^2,

所以4D=√^2AC=2=AM+MD<故A=MD=2-AM=1,

故存在4=1使得tern。='Γ~2.∙

【解析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可；

（2）过P作PN1CD于N,连接AN,利用二面角的定义可求得4V的值，再根据线线关系即可得M。的

值，从而得符合条件的4的值.

本题主要考查面面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.

21.【答案】解：（1）在直角△4BC中，角4为直角，点M是4C边

的中点，点P满足9=W南，

则前二河，

又点Q是BC边上靠近C的三等分点，

则诙=ICB,

即的=|就，

所以而=苑-前=:或-4丽=:(冠—四)+：而=,而荏，

ɔɔɔɔɔɔ

又而=4南+〃宿

又南、而不共线，

由平面向量基本定理可得「=；§,

即2+μ=1：

(2)以4点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则8(3,0),C(0,2),P(2,0),M(0,l),

因为Q在CB上，

设诙=2方=(3尢一2Q，λ∈[0,1],

所以而=MC+CQ=(0,1)+(32,-2Q=(3λ,