2024年新高考数学选填压轴题汇编三（含答案）

2024年新高考数学选填压轴题汇编（三）

题目1（2023•广东广州•高三中山大学附属中学校考阶段练习）已知函数/（0=*+lnz—az—1有两个

e

不同的零点,则实数a的取值范围是（）

A.（02）B.（0,1）C.[0,1]D.（一。0，?）

题目囱（2023•广东广州*三广东实修中学校考阶段练习）如图，把一个长方形的硬纸片ABCD沿长边AB

所在直线逆时针旋转45°得到第二个平面ABEE,再沿宽边AR所在直线逆时针旋转45°得到第三个平面

AFGH,则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（）

瓜

A/64-V2C—D.

4。22

题目叵〕（2023•广东广州遇三广东实*中学校考阶就练习）己知所，日为两个相互垂直的单位向量，忸=/,

则12由+司+同+4成+2〔3抗+24—司的最小值为（）

A.3V5B.5V5C.6A/5D.75/5

题目4〕（2023•广东佛山•高三校联考阶段练习）已知正项数列｛%，｝的前n项和为S”,且s=2,S：+1-3%,+1=

S.（S“+2・3n），则$2023=（）

题目回（2023•广东佛山•高三校联考阶盘练习）如图,某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为

O,现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且/2/490=2/80,在扇形AOC区域内种植芦苇，在

扇形。OD区域内修建水上项目，在四边形ODEB区域内种植荷花，并在湖面修建栈道OE和EB作为观

光线路.当。E+EB最大时，游客有更美好的观赏感受，则DE+EB的最大值为（）

A-7B.4C.1D.6

题目叵］(2023•广东广州•寄三仲元中学校考1阶就练习)设a=21nl.01,6=lnl.02,c=H—L贝D

()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

—

题目pZ.(2023•湖南长沙•高三长坪中学校考阶段练习)已知(0,5)，且，^cos2a=sin(a+十)，则sin2a

=()

A.—B.与C.-1D.1

44

题目8(2023•湖南长沙•高三长寿中学校考阶&练习)若实数a,bed满足色泮=卷苔=1,则(a—c)2

+(b—d)2的最小值是()

A.8B.9C.10D.11

题目回(2023•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)已知角a，6€(0,不，且sin(a+£)+cos(a-6)=0,

sinasin£—3cosacos£=0,则tan(a+0)=()

A.-2B.—C.~~D.2

题目Qo(2023•湖南费沙•方三长沙一中校考阶茂练习)已知数列；，羊,4,T'T'…，

其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数;接下来两项是分子与分母

之和为3的有理数,并且从大到小排列;再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排

列，依次类推.此数列第n项记为an,则满足a,=5且沱>20的位的最小值为()

A.47B.48C.57D.58

题目口！(2023•湖南茯沙•方三湖南弹大席申枝才阶盘练习)设函数((宓)是奇函数/(aOQWR)的导函数，

/(—1)=0,当⑦>0时，xf(x')-fix')V0,则使得/(re)V0成立的x的取值范围是()

A.(—00,—1)U(0,1)B.(—1,0)U(1,4-00)

C.(-oo,-l)U(-1,0)D.(0,1)U(l,+oo)

题目宝(2023•湖南长沙通三湖南岬大府中校才阶段练习)A4BC中，。为47上一点且满足前=。比,

若P为3。上一点，且满足不=4荏+〃彩，儿〃为正实数,则下列结论正确的是()

A.4〃的最小值为B.Afi的最大值为1

16

C.的最小值为4D.哲+的最大值为16

题目Q3(2023•湖南茯沙•奇三根札中学校考阶段练习)已知定义域是R的函数/(0满足：VrrCR,

/(4+c)+/(—x)=O,f(l+c)为偶函数,/(1)=1,则/(2023)=()

A.1B.-1C.2D.-3

题目口4(2023•湖南长沙•高三界礼中学校考阶段嫉习)如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路,遇水架

桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之

重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球,中等球与

最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为

2e，则模型中九个球的表面积和为()

A

A.6兀B.9兀C普D.2171

题目（2023•湖北武汉•高三丈汉市第六中学校取才阶段练习）己知ABC,。是半径为何的球体表面上

的四点，4B=2,NACB=90°,乙408=30°,则平面CAB与平面048的夹角的余弦值为（）

A

Bc—D.乎

-4-T3o

22

题目"16（2023.湖北武汉•奇三式汉市第六中学校取才阶段练习）过双曲线E：鼻-4=l（a>0,b>0）的左

ab

焦点F作砂+才=/的一条切线，设切点为T,该切线与双曲线E在第一象限交于点4,若两=3而，则双

曲线E的离心率为（）

A.V3B.V5C.D.

题目（2023•山东•商三校联才阶段练习）若/⑸=一三+岫+2+lg（2-|x|）（a€R）是偶函数，且

/（I—馆）</（m），则实数m的取值范围是（）

A.（一弓）B.（y,2）C.（y.+co）D.（-00.y）

a

题目方（2023•山东鹏三校联考阶段练习）已知gQ）=g+a,/㈤=（步二l‘°15'及对任意刈6[-2,

{-X,—2Wa;VU,

2],存在工26[—2,2],使9（为）=/32）成立，则a的取值范围是（）

A.[—1,+8）B.T—,11C.（0,1]D.（-8,1]

Lo」

题目19（多选题）（2023•广东广州•商三中山大学府属中学校考阶段嫉习）已知函数/3）=4,则下列选项

e

正确的是（）

A.函数/（①）在/=0处取得极小值0

B.7（e）</（3）

C.若函数/（⑼Wm在[1,3]上恒成立，则小>斗

e

D.函数无（0=/（乃--y有三个零点

题目J0（多选题）（2023•广东广州•寄三中山大学附属中学校考阶段练习）已知函数/（°）=

f2x4-l,x<0,,,°。,A

<J_3_2_,、八，函数gQ）=[/（力）]~一2时（n）+m-1,则下列结论正确的是（）

I~x~XXOQX।o2,Xhu

A.f3）有3个零点

B.gQ）可能有6个零点

C.若g（z）恰有2个零点，则m的取值范围是（一8,—2）U[9,+8）

D.若g（c）恰有5个零点，则zn的取值范围是（0,2]

题目②（多选题）（2023•广东广州•南三广东实腌中学校考阶盘练习）如图，在正方体—

中，43=2,P是正方形ABC。内部（含边界）的一个动点，则（）

A.存在唯一点P,使得RPLBQ

B.存在唯一点P,使得直线。1P与平面ABCD所成的角取到最小值

C.若方声而，则三棱锥P-3B。外接球的表面积为87r

D.若异面直线DF与4B所成的角为号,则动点P的轨迹是抛物线的一部分

题目[22（多电/）（2023•广东广州扃三广东实0中学校考阶段练习）已知函数/（clsinz+ln必将八0的

所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列｛/｝，对于正整数n，则下列说法中正确的有（）

A.（n—l）7r<xn<TITCB.xn+i—xn<兀

｛『｝为递减数列（）（4n1）7r

C.出”D.fx2n>-l+ln~

题目”3（多加目）（2023•广东佛山牌三校联考阶段练习）如图甲，在矩形ABCD中，4B=2,BC=1,E为

AB上一动点（不含端点），且满足将&AED沿OE折起后，点A在平面OCBE上的射影R总在棱DC上，

如图乙，则下列说法正确的有（）

A.翻折后总有

B.当ER=J时，翻折后异面直线AE与3C所成角的余弦值为。

C.当EB=g时,翻折后四棱锥A—DCBE的体积为第

，«5u

D.在点E运动的过程中，点F运动的轨迹长度为十

题目②（多选题）（2023•广东广州•高三仲元中学校才阶段练习）如图,长方体ABCD-4BQ。中，43=

BC=1,A4=2,M为441的中点，过作长方体的截面a交棱CG于'，则（）

A.截面a可能为六边形B.存在点N,使得BN_L截面a

C.若截面a为平行四边形，则14CN&2D.当N与。重合时,截面面积为空

4

题目［25（多出/）（2023•湖南长沙.高三长邮中学校考阶段练习）如图，四棱锥P-4BCD的底面是梯形,

BCHAD,AB=6C=CD=1,人。=2,24=。。=2,平面04。_1平面4瓦70,O,E分别为线段

AD,PA的中点，点Q是底面48c。内（包括边界）的一个动点,则下列结论正确的是（）

A.AC±BP

B.三棱锥8—nOE外接球的体积为毕

C.异面直线PC与OE所成角的余弦值为年

4

D.若直线PQ与平面ABCD所成的角为60°,则点Q的轨迹长度为瓜K

题目［26（多选题）（2023•湖南长沙•玄三长碑中学校才阶段练习）己知定义在R上的函数/⑺满足:对于任

意的⑨gCR,都有/（2+y）=/（x）+/（y）+1,且当2>0时，/（x）>一1,若f（1）=1,则下列说法正确的有

（）

A./（0）=0B./（土）关于（1,1）对称

C./（x）在R上单调递增D./（I）+/（2）+…+/（2023）=2023?

题目口7（多选题）（2023•湖南长沙•方三长沙一中校考•阶盘练习）己知圆。4+d=4和圆°：（工一寸+①一

3y=4,P,Q分别是圆。，圆。上的动点,则下列说法正确的是（）

A.圆。与圆。有四条公切线

B.\PQ\的取值范围是［3V2-4,3V2+4］

C.劣一y=2是圆。与圆。的一条公切线

D.过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M,N,则存在点Q,使得4MQN=90°

题目［28（多选题）（2023•湖南长沙•南三长沙一中校才阶段练习）己知函数

0）,若存在直线Z,使得2是曲线y=/Q）与曲线y=gQ）的公切线,则实数a的取值可能是（）

A.JB.JC.2D.3

题目［29（多出/）（2023•湖南长沙•商三湖南岸大附中校考汾段练习）己知P是抛物线0^=7的焦点，

力⑶，%）归（附仍）是，上的两点，。为原点，则（）

A.若BB垂直。的准线于点E,且［3笈|=2\OF\,则四边形OFBB的周长为与土产

B.若|”|=言,则△40尸的面积为］

C.若直线AB过点F,则2g+电的最小值为乌

D.若方则直线恒过定点（］,0）

题目［30（多出一）（2023•湖南长沙4三湖南屏大附中校考阶段练习）如图，矩形AR。。中，43=4,3。=2,

E为边AB的中点,沿DE将4ADE折起，点A折至4处（4居平面ABCD）,P,Q分别在线段CE和侧面

AQE上运动，且PQ=2,若M、N分别为线段4。、PQ的中点，则在△/£>£折起过程中，下列说法正确

的是（）

A.ZVliEC面积的最大值为2，

B.存在某个位置，使得BM_LAQ

C.三棱锥Ai-ED。体积最大时,三棱锥A-EDC的外接球的表面积为167r

D.三棱锥力「即。体积最大时,点N到平面4。。的距离的最小值为22一L

O

题目［H（多选题）（2023•湖南长沙•玄三雅礼中学校考阶段练习）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链：

空旷的田野上，两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的

曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广

泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为/Q）=ae工+儿一，（其中a,b是非零常数,无理数e

=2.71828…），对于函数/Q）以下结论正确的是（）

A.a=b是函数/（0为偶函数的充分不必要条件；

B.a+b=0是函数人①）为奇函数的充要条件；

C.如果就<0,那么/（2）为单调函数；

D.如果曲>0,那么函数/Q）存在极值点.

题目［32（多选题）（2023•湖南长沙•方三胞札中学校考阶段练习）设等比数列｛斯｝的公比为q,其前几项和为

S”,前九项积为北，且满足条件5>1,a-2022-O2023>1>（«2022—1）,（O2023-1）<0,则下列选项正确的是

（）

A.｛a„｝为递减数列B.52022+1V52023

C.为侬是数列｛7%｝中的最大项D.TiM5>1

题目也（多出■）（2023•湖北人汉•南三丈汉市第六中学校联考阶段练习）若函数/Q）=COS2T—cosx+k

—

存在连续四个相邻且依次能构成等差数列的零点，则实数k的可能取值有（）

A.-2B.掾C.0D.4

o2

O国国（多选题）（2023•湖北我汉总三武汉市第六中学校麟考阶段练习）已知实数a,b满足ae"=blnb=3,

贝U（）

A.a=\nbB.ab=eC.b—a<e—1D.e+l<a+6<4

题目门5（多选题）（2023•山东•高三校联才阶及练习）已知x>0,函数/Q）=Inrc的图象记为G,gQ）=1-

工的图象记为6.则（）

X

A.函数乃一9（c）只有一个零点B.G与。2没有共同的切线

C.当。片1时，曲线G在曲线G的下方D.当IV*Ve时，组%■</（4）

9（/（。））

题目回（2023•广东广州•高三中山大学府属中学校考阶段练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法

求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列｛彩｝满足xn+1=x„-^4（n€N*），则

称数列｛与｝为牛顿数歹U.如果函数/Q）=工2—工—2,数列｛g｝为牛顿数歹U，设®=ln空）（neN*）且的

=1,数列｛aj的前九项和为Sn,则SH）=；g=.

题目回（2023•广东佛山•方三校联考■阶段练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发

现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值4（入W1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名

字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，X（-2,l）,B（—2,4）,点P是满足

A=y的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E：y2=42上的动点，。在y

轴上的射影为则j-\PB\+\PQ\+|QH|的最小值为.

题目^38（2023•湖北武汉•高三式汉市第六中学校赛才阶段练习）甲，乙，丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚

质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时，若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不

大于3,则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4,则乙将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传

给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始

时，球在甲手中，投掷九次骰子后S€N。,记球在甲手中的概率为Pn,则p3=；Pn=.

题目可（2023•广东广州•高三广东实收中学校考阶段练习）若两个锐角a,0满足产与举丁=

2cosa+sm2a

田，则g（a+2£+字）=一・

题目［40（2023•广东广州高三广东实险中学校考阶盘练习）如图,在矩形ABCD中，|力冏=2/。|,A，4

分别为边AB,CD的中点，M,N分别为线段儿。（不含端点）和上的动点,满足=黑1，直线

AXM,AJV的交点为P,已知点P的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为.

•M

题目（2023♦广东佛山♦商三校或考•阶段练习）在正四棱锥P-ABCD中，已知PA=AB=2,0为底面

4B8的中心，以点O为球心作一个半径为2g的球,则平面PCD截该球的截面面积为

题目12（2023•广东广州.南三仲元中学校考阶盘嫉习）己知ae灭,函数/（x）=卜+?-a|+a在区间［1,

4］上的最大值是5,则a的取值范围是

题目［43（2023•湖南长沙•玄三关哪中学校考阶段练习）如图，有一半径为单位长度的球内切于圆锥,则当圆

锥的侧面积取到最小值时，它的高为.

题目［44（2023•湖南长沙•高三太娜中学校才阶段练习）已知双曲线C：M-g=l（a>0,b>0）的左、右焦

Q~b~

点分别为理E，过双曲线。上一点P向沙轴作垂线，垂足为Q,若|PQ|=I用引且P片与QE垂直,则双曲

线。的离心率为.

I题亘区（2023•湖南长沙*三长沙一中校考阶段嫉习）如图,矩形。4BC中，|。4|=3,|。。|=2.M,N分

别为线段04AB上的动点,且满足OM=tOA,BN=t后Z点C关于原点的对称点为C,直线CM与CN

交于点P,则点P到直线X+2T/-10=0的最小距离为.

题目区（2023•湖南长沙•高三湖南”大附中校才院我练习）已知函数/（aOnF'-l'工>一1,若avb,

（e,rc<—1

/（a）=/（6）,则实数a-2b的取值范围为.

题目147（2023•湖南长沙•玄三湖南”大附中校考阶盘练习）在如图所示的三角形数阵中，用&表示

第i行第，个数（i,*N*）,已知取尸1一责（iCN*）,且当i>3时，除第i行中的第1个数和第i个数外海

行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即可产ai_1,j_1+ai_1J（2V,4i-1）.若%,.2>2023,则正

整数m的最小值为.

0

2j_

22

33

一I-

44

7777

I448

152172115

-16T2T16

题目［48（2023•湖卡长沙三界礼中学校考院段练习）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所

成的角都相等,则平面a截此正方体所得截面面积的最大值为.

题目［49（2023•湖南长沙•奇三界礼中学校才防段练习）如图1所示，古筝有多根弦,每根弦下有一个雁柱，雁

柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于

。轴，相邻两根弦间的距离为1,雁柱所在曲线的方程为y=Ll',第九根弦（meN,从左数首根弦在y轴上,

20

称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线2：y=x+l交于点4（4,外）和B“D，则»"=.

n=0

（参考数据:取1.严=8.14.）

题目归0（2023.湖北大汉.高三武汉市第六中学校暇才阶段练习）若函数/QXeo+Dlnz—az是（0,+8）

上的增函数,则实数a的最大值为.

题目回（2023♦山东♦高三校联才阶段练习）/（4）的定义域为R,若存在常数M>0,使㈤对一切

实数/均成立，则称/（0为R函数.现给出下列函数：

①/（力）=2⑦；②/3）="+1；

③/Q）=V2（sinx+cosx）；@f（x）=---x---

x—x+1

⑤/Q）是定义在实数集R上的奇函数，月.对一切g,g均有|/（为）一/（力2）|=2同一村.其中是夕函数的函

数序号是

2024年新高考数学选填压轴题汇编(三)

题目I(2023•广东广州•高三中山大学府属中学校考阶段练习)已知函数/Q)=吃+11班一也—1有两个

e

不同的零点,则实数a的取值范围是()

A.(02)B.(0,1)C.[0,1]D.(一。0，?)

【答案】A

[解析】由题意得/(I)=+Inx—ax—1=elnx-ax+lnx—ax—l,x>0,

令g«)=e'+£—1,g'p)=e'+l>0,该函数在R上为单调增函数，且g(0)=0,

故函数/(c)=+Ina;—ax-1.有两个不同的零点，即力=\nx-ax有两个不同的零点，

e

令£=Inx—ax=0,(x>0)即直线“=a与h(x)=上",(®>0)的图象有两个不同交点，

x

又成力)=-——野四，当0VcVe时，h!(x)>0,h(rr)递增，当/>e时，h\x)<0,/i(x)递减，

则九3)max=当-0时，九3)=->—00,

ex

作出其图象如图：

由图象可知直线y=a与h[x)=上史■,(□?>0)的图象有两个不同交点，需有a6(0,—),

故选：4.

题目⑶(2023•广东广州•高三广东实心中学校考阶段练习)如图，把一个长方形的硬纸片力BCO沿长边

所在直线逆时针旋转45。得到第二个平面ABEF,再沿宽边4R所在直线逆时针旋转45。得到第三个平面

HRGH,则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是()

【答案】。

【解析】如图，把两个单位正方体叠放在一起,•••

平面AAG",平面ABCR),平面分别代表第一，二，三个平面，

•.•四边形为正方形，。。民J_

B2C2C0B0BOC2,

GA-L平面B2c夕忠0,GBzU平面ByCiCnBn,C2D2±C“B?,

•：BnC,C\C2D2-G,B„C,,C2D2CI平面A^CiD-,,：.C岛J_平面A»B»C2D-2-,

同理可得：GA_L平面4AGR)；

平面AnBaC2D.2的法向量为QA,平面4百GA的法向量为明,

C“D产C»B>—V2,B?Di=Vl2+l2+22=V6,

AcosNBGD产二6=_[/星。°产冬，即亚与森的夹角为冬，

2xV2xV2233

所求锐二面角的大小的余弦值是。

故选：C.

题目7(2023•广东广州局三广东实验中学校考阶段舔习)己知力，方为两个相互垂直的单位向量，忸=/,

则12抗+司+h+4芬|+213沆+24一目的最小值为()

A.3y/5B.5V5C.6V5D.75/5

【答案】B

【解析】因由，而为两个相互垂直的单位向量，不妨设亦=(1,0),而=(0,1),

因|司=[，可设下=QM，其中x2+y2=-y,

124

则2m+n=(2,1),m+4p=(4a;4-1,4g),3m+2n—p=(3—x,2—y),

|2m+n|=V22+l2=V5,

\m4-4p|=V(4a;4-1)2+(47/)2=J16/+8N+1+16g2=y/4x2+4y2+8x+4=2,(a+1)2+=,

213m+2n-p|=2^/(x-3)24-(7/—2)2,

设&=J(N+1)?+才,ct2=，(力-3/+(g-2y,

0'J|2m+n|+|m4-4p|+213沆+2n—p|=V5+2(4+咐,

其中4表示点Q,g)与点(一1,0)的距离,4表示点(①形)与点(3,2)的距离,

如图

2

设点（一1,0）与点（3,2）所在的直线为则其方程为：得二=;二，即y=＜3+1）,

x=

联立。/+才，=1;，得（|x=0）或＜~~5

匕=01x--^-,------------_

即当＜_1或《3，时，&+d2取的最小值5（-1-3）2+（0-2）2=2%,

ly=2ly=w

所以\2m+n|+|m+4p|+2卜沆+2n-p|=V5+2（4+（4）的最小值为575,

故选：B

题目1）（2023•广东佛山•南三校联考阶段练习）已知正项数列｛斯｝的前n项和为S”,且5=2,S3-3%“+产

)

Sn(S”+2W),则$2。23=

口32023-1C32023+1D32期+1

A.32侬—1。2

【答案】。

【解析】由题设S3-3”(SN+LS“)=S”(S“+2-3”),则S1+i-Si=3"(Sn+1+S„),

n

又｛%｝都为正项，则Sn>0,故Sn+1-Sn=3,

所以S2023—S2022+-・+S3—S2+S2—S]=321,22+...4-32+3=—―---

1—3

q2023_qq2023I1

所以S2023-S1=S2023-2—-,故*S，2023==2,

故选：。

题目51（2023•广东佛山病三校联考阶段练习）如图,某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为

O,现规划在半圆弧岸边取点C、D、E,且NDOE=2乙40。=2NCOD,在扇形4OC区域内种植芦苇，在

扇形。OO区域内修建水上项目，在四边形。DE3区域内种植荷花，并在湖面修建栈道OE和作为观

光线路.当DE+EB最大时，游客有更美好的观赏感受，则OE+E3的最大值为（）

QQ

A.4B.4C.3D.6

42

【答案】。

【解析】设Z.AOC=a，则Z.DOE=2a,/COD=a^BOE=兀-4a,

0V4。V兀,0VaVV2aVT■，则sina、cos2a为正数.

42

在三角形ODE中，连接DE,由余弦定理得：0E=j4+4-2x2x2xcos2a=，8—8cos2a=V16sin2a

=4sina,

在三角形BOE中，由余弦定理得：

EB=J4+4—2x2x2xcos(7：—4a)=，8+8cos4a=V16cos22a=4CQS2a=4(1—2sin%),

所以DE+EB=Asina+4(1—2sin%)=-8sin2tr+4sina+4,

由于sinaE(0,—^),所以当sina=--------=时，OE+EB取得最大值，

v2f2X(-8)4

也即sin/A9C=《时，DE+EB取得最大值为一8xC『+4x《+4=叁

4,4，42

题目叵(2023.广东广州通三伸元中学校才阶代练习)设a=21nl.01,b=lnl.02,c=STUI-l.则

()

A.a<6<cB.b<c<aC.b<.a<.cD.c<a<6

【答案】8

【解析】［方法一］:

a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=b,

所以bVQ;

下面比较c与a,b的大小关系.

记/(c)=21n(l+⑼-，l+4r+1,则/(0)=0,f(x)=一下:广=,

1+cVI+(1+x)Vl+4x

由于1+42-(1+w)2=2x-x2=x(2—x)

所以当0<a：<2时，1+4,一(1+工)2>0,即^^>(1+劣)j(乃>o,

所以/(工)在［0,2］上单调递增，

所以/(0.01)>/(0)=0,即ZlnLOlAjTUI-lMlJaAc;

令g(x)=ln(l+2x)--1+4。+1,则g(0)=0,g(x)=---,

1+2，Vl+4x(l+x)vl+4x

由于1+4rr—(1+2:r)2=—4步,在工>0时，1+4z—(1+2a;)2<0,

所以g'Q)<0,即函数g(x)在［0,+00)上单调递减,所以5(0.01)<g(0)=0,即lnl.02<VL04-1,即bV

综上，b<c<a,

故选：3.

［方法二］:

令/(re)-ln()-x-l(x>1)

/(x)=一包=丫<0,即函数/(⑼在(1,+oo)上单调递减

x4-1•••

/(Vl+0.04)<f(l)=0,・•.bVc

令gQ)=21n(丁丁)—l(l<rr<3)

(x—1)(3—x)

。'㈤=>0,即函数gQ）在（1,3）上单调递增

"+3

g«\+0.04)〈g(l)=0,/.a)c

综上，b<c<a,

故选：B.

题目工（2023•湖南长沙•高三长理中学校考阶段练习）已知a6（0号），且在os2a=sin（a+于），则sin2a

=（）

A.-4B.4C.-1D.1

44

【答案】8

【解析】:，^cos2a=sin(a+，

*.*V2(cos2a—sin2a)=~^(sina+cosa),

(cosa+sina)(cosa-sina--y=0,

又(0奇)，则sina>0,cosa>0,即cosa+sina>0

所以cosa—sina=,

因为aE(0,*),所以2a€(0㈤，sin2a>0.

由cosa—sina=4平方可得1—sin2a=4，即sin2a="4•，符合题意.

244

综上，sin2a=-y.

4

故选：3.

题目8（2023•湖南长沙•甫三长哪中学校考阶段练习）若实数a,bed满足七/二号=1,则（a—c）2

0Cl—1

+（b—d）2的最小值是（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】/

【解析】由°二"=1,得b=a-2ert,令f（x）=x—2e*,则/（x）=1—2e”,

0

令f⑸=0#sc=—ln2,当x>—ln2时,/Q）V0J（①）单调递减,当x<—ln2时，/'（力）>0,/（x）单调递

增；

由:一f=1,得d=-c+2,令g（力）=-x+2,

/⑺,gQ）的图像如下图:

•••

则(Q—c)2+(b—d)2表示夕=/(C)上一点A/(a,b)与n=g(i)上一点N(c,d)的距离的平方，

显然，当过“点的/(⑼的切线与g(x)平行时，最小，

设y=/(①)上与y=g(i)平行的切线的切点为伏))，由f(g)=1-26°=-1,解得g=0,

所以切点为％(0,—2),切点到g=gQ)的距离的平方为L)=8,

\VI+1)

即(a-c>+(b—d)2的最小值为8;

故选：A

题目叵(2023•湖南出沙•高三长沙一中校考阶盘练习)已知角a，BG(0,兀),且sin(a+£)+cos(a—£)=0,

sinasin"-3cosacos£=0,则tan(a+0)=()

A.-2B.—C.~~D.2

【答案】。

【解析】由sin(a+6)+cos(a-0)=0,可得sinacos£+cosasinf+cosacos^+sinasin£=0,即

sinacos£+cosasin^_】

cosacos0+sinasin/3

故tan°+tan%=_1又sinasin0—3cosacos0=0,故sinasin/3=3cosacosg,

1+tanatanp

tana+tan£

即tanatan0=3,代入=-1可得tana+tan^=-4.

1+tantztan/?

,,小tana+tan6

故tan(za+S)=----------2