《数值分析》复习题 含解析

《数值分析》

一、填空题

1.已知近似数y*=-1.28,则其绝对误差限为0.005,相对误差限是0。039。

2.设£=1.28057是准确值x=1.28367的近似值，则x有3位有效数字,相对误差限是0.0024

3.求方程尤=sinx的Newton迭代公式是。

5.在数值计算中，计算1-cos2.6°应变成来计算。

6.由秦九韶算法，丁=6/—/+2工3+9/—7x—5应改写为。

一3-1

8.已知A=§2，则谱半径。(A)=3

2.测量一支铅笔长是16cm,那么测量的绝对误差限是0.5cm,测量的相对误差限是3.1%

3.度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为0.5cm,相对误差限是0.20%

4.在数值计算中，当。是较大的正数时，计算而I-6应变成山幽_____________

1

5.在数值计算中，计算6-底应变成()来计算。

6+V35

6.在数值计算中，计算1-cos3应变为2x(sin1.5)2来计算。

7.y(x)=2%5-7x4+9x3-2x+100,则加42,43,4、45]=2

/[1,3:32,33,3\35,36]Q

8.函数/(%)关于三个节点的拉格朗日二次插值多项式为f(x)=f(xO)「(x-xl)(x-x2)/(xO-xl)(xO-x2)]

9.当/(%)=%时,Bn(f,x)=Ef(k/n)Pk(x)=Xo

+6无

.代数式履⑴=台高

2%3+12炉+2

7?32(%)

炉+2x+3

10%一3%2-冗3=-]

11.已知方程组卜2七+7々+3%3=2,那么收敛的Jaco〃迭代格式为:，收敛的G-S迭代格式为:

玉+2%2—11%3=—5

收敛理由是方程组的系数矩阵为严格对角占优阵

1

12.已知线性方程组那么收敛的Jacobi迭代格式:

收敛的G-S迭代格式:

收敛理由是严格对角占优矩阵，

13.求积公式In=£AJ®）至少有n次代数精度的充要条件是、严格对角占优矩阵_________:

k=0

当n是偶数时，牛顿-柯特斯公式〃/）至少有n+1次代数精度;

k=0

高斯求积公式夕（x）dx^£&/（乙）至少有2n+l次代数精度。

ak=0

72

272

GRE,则矩阵4的特征值的界为[n[3,u],矩阵人1的特征值的界为

14.设A=

2U「一

27

27

1］_

H，3

3

-12

15.已知A=x=-1,那么］“=—maxE+2,1—3|+5}=8-^||4=1-1|+|-3|,2+5}=7

-35

4

||A||2=max{J39土譬1}=^38.97434209=6.243料］=max{3,|-l|,4}=4_Hi=_|3|+|-1|+4=81|%||2二叵

其中相等的范数有|K=||x||i.

二、判断题

1.如果插值节点%，*，…，々互不相同，则满足插值条件的"次插值多项式是存在且唯一。x

2.迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。（x）

3.区间川上的三次样条插值函数S（x）,在[a,切上具有直到三阶的连续函数。（x）

2.5-5

4.已知A=那么MHM。(V)

-3-3.5

2

5.求解回的近似值，我们能用函数逼近的插值法，解方程的二分法以及迭代法中的牛顿法来完成。

(v)

6.插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。(v)

7,对于数值微分，我们仅仅考察节点处的导数值。(v)

8.在使用松弛法(SOR)解线性代数方程组AX=b时，若松弛因子。满足加-121,则迭代法一定不收敛。

(v)

9.求解单变量非线性方程/(%)=0,弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。

(x)

10.解单变量非线性方程/(x)=0,牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen迭代法，则为3阶收敛。

(v)

三、计算解答题和证明题

1、已知函数表如下：

X0.00.20.40.60.8

e*1.00001.22141.49181.82212.2255

构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求e°/2和e°72的近似值。

解相应的函数值及差分如下表

一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分

2.71282

4.481691.76341

7.289062.807371.14396

12.182494.793431.886060.74210

20.085547.903053.109621.223560.48146

求f(l.2)用牛顿前插公式,此时“o=l,x=L2=1+0.4h,故t=0.4,于是

以(1-2)=271828+0.4X1.76341+1/2X0.4X(0.4-1)X1.14396-

1/6X0.4X(0.4-1)(0.4-2)X0.74210=3.3338362

求f(2.8)用牛顿后插公式，此时；4=3,x=2.8=3-0.4h,故t=-0.4,于是

织(2.8)=20.08554+(-0.4.)X7.90305+1/2X(-0.4)X(-0.4+1)

X3.10962+1/6X(-0.4)X(-0.4+1)(-0.4+2)X1.22356=15.7680872

2、用适当的二次插值多项式求lnl.14和lnl.88,并估计误差，函数表如下:

X1.11.31.51.71.9

Inx0.09530.26240.40550.53060.6419

解：由题意可知，利用牛顿插值公式可得，/(%)=0.0953,

3

仆”笑「空»355,

列出函数及均差表为:

XIn%

1.10.0953

1.30.26240.8355

1.50.40550.7155■0.3

1.70.53060.6255-0.2250.125

1.90.64190.5565-0.17250.08750.046875

则得到的牛顿插值公式为：

Inx=0.0953+0.8355(%-1.1)-0.3(x-l.l)(x-1.3)+0.125(%-l.l)(x-1.3)(x-1.5)，

故:In1.14=0.130928,In1.88=0.632759。而要求的准确值分别为:In1.14=0.131028262,In1.88=0.631271776。

误差分别为：

e*=0.130928-0.131028262=-0.000100262,e；=0.632759—0.631271776=0.001487224

3、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下：

(1)

1346

Xi

1.23.556

(2)

12345

02254

%

(3)

1346

1.23.556

%

(4)

-2-1123

Xi

7521-1

%

解：由所给的数据作图，可以看到图上各点在一直线附近，故选择线性函数作拟合曲线，即令：y=a0+alX.由题

目所给条件可得下表：

阳%X；

11.211.2

33.5910.5

451620

663636

4

z1415.76267.5

[4。+14万=15.7…'"0.546154

则得到线性方程组：•,解得

14a+62b=67.5b=0.9653846,

于是所求的拟合曲线为：y=0.546154+0.9653846%。

4、二分法求根

（1）方程—3=0在［1,2］附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：,*-;

2-1

解：由题意得，要使绝对值误差不超过0.01,即三W0.01,解得女之6,即至少要二分6次才满足题目要求。其中,

2k+1

二分法的计算结果如下表：

k

/（々）的符号

即bk

0121.5+

111.51.25+

211.251.125+

311.1251.0625-

41.06251.1251.09375-

51.93751.1251.109375-

61.1093751.1251.1171875-

故x*=x6=1.1172。

⑵方程/（幻=3+必-3x-3在［1,2］附近的根，使绝对误差不超过0.01;

⑶方程/+2x-1=0,在［-2,-1］附近的根，使绝对误差不超过0.01。

4玉+2X2+4X3=4

5、用适当的方法解方程组:(1)2%+10x2+5X3=11;

+5X2+21%=-9

31042-103

⑵1315(3)-1521

0134023-1

’42（4’424、’王、4\

=

解：（1）原线性方程组可表示为:2105x211,以a”=4为主元消去X1,得,031x23

、4521,13)I7,0-3-17人无37k137

，212‘项、f3

以a22=3为主元消去z，得031x22

16X

、00-A37k167

44

解得x3=—1,x2=—,X；=—

5

、1

10

/310、3003

83

(2)利用追赶法求解：过程如下:0311001

38

01%21001

01

7

4/A4

%--OI-

0o3.3X

.n1-

83.

令X

1-o-解得2-

1O=%.-<

3%5，解得8.8X-

1.1

OO3

1I

21一

87

7\

6、写出龙贝格系列公式，并用龙贝格方法计算积打/误差限不超过h。

7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分1/cosMx,

已知4=—34.778519,4=—17.389259,

T4=-13.336023,1=-12.382162

li1r/?"-1

解：复化梯形公式：Tn=-Y[.f(xk+f(xk+l)]=-/(«)+2^/(%,)+/(/.)

Zk=02k=l

复化辛普生公式：

Ln-1卜n-\n-1

S”=公2卜(/)+4/(/+1/2)+/'(%+』=公/(«)+4^f(xk+l/2)+2^f(xk)+/(/?)龙贝格公式关系式：

6k=o6k=ok=i_

<一「23

4T2,T“.452„-5„,4C2„-C„

4-1，“―42—]，"―43—]。

则所求积分「/cosxdx用龙贝格方法可得:

4x(-17.38925)-(-34.778519)4x(-13336023)-(-17389259)_"98494433,

Si11.592839,S?=

4-14-1

4x(-12.382162)-(-13.336023)

$4-12.06420833,

4-1

16x(-11.98494433)-(-11.592839)=q.Oni

G=15

16x(-12.06420833)-(-1206420833)=_]2。642。833,

15

64x(-12.06420833)-(-12.01108469),。「

&=

63

故所求积分T』osMx=-12.06505157。

7石—%2+2%3—3犬4~一9

2%+九2+lOW-%=6,写出/改。初迭代法和G-S迭代法的迭代格式，并证明它们是收敛的。

8、设方程组

一玉_8x2+3%3—%=0

-X2+2X3-9X4=10

6

9、求同，至少用三种方法求值，并简要叙述求解过程。

解：①利用拉格朗日插值法：因为1F=121,11.62=134.56o所以巫统在11至H.6之间，故

X121125.44129.96134.56

1111.211.411.6

由拉格朗日插值公式得，

(x-125.44)(%-129.96)(%-134.56)(%-121)(%-129.96)(%-134.56)

4r光=11x-----------------------------------------------------+11.2X---------------------------------------------------------------

(121-125.44)(121-129.96)(121-134.56)(125.44-121)(125.44-129.96)(125.44-134.56)

(x-121)(x-125.44)(%-134.56)

11.4x(129.56-121)(129.56-125.44)(129.56-134.56)+

「，(%-121)(%-125.44)(%-129.96)

11.oX-+++++++++

(134.56-121)(134.56-125.44)(134.56-129.96)

故而^=

②利用牛顿插值法：列出的函数集均差表为:

Xy一阶均差二阶均差三阶均差

121ii

125.4411.20.04505

129.9611.40.04425-0.000089

134.5611.60.04348-0.0000570.0000024

则由牛顿插值公式得：Vx=11+O.(M5O5x(%-121)+(-0.000089)x(x-121)(%-125.44),

则皿'=

③二分法：设/(x)=/—129,因为"2=121,11.62=134.56o所以巫统在11至1L6之间，为使误差小于0.02,

有—<002,解得左之4,即二分四次即可满足要求。

2Kl

k

akbkXk/(4)的符号

01111.611.3-

111.311.611.45+

211.311.4511.375+

311.311.37511.3375-

411.337511.37511.33625+

=11.33625o

10、设A是正交矩阵，证明Co〃d(A)2=1。

11、证明：(1)当/(x)=x时，Bn(f,x)=x；

⑵Mfkgk)=fNk+gk+Nk；

7

(3)如果A是正交阵，贝！Jco〃d(A)2=1。

13、求下列求积公式的代数精度加(有待定系数的，先求出来)。

(1).ff(x)dx«—[/(O)+/(/z)]+ah2[/(0)-/(/z)]。。。。。。m=30

Jo2

(2)、、于(Qdxb于(一一^j^)+f000000机=3。

(3).jf(x)dx«qf(-l)+bf(O)+^/(1)。。。。。。m=3。

i,i,

(4).Ijrf(x)dx^(tf(O)-^bf(l)+cf(O)-^df(y)。。。。。。m=3

JOo

14、已知有理分式R(x),采用直接计算、秦九韶算法、连分式算法，各需要多少次的乘除法？而加减法次数有没有变

化？

2/+19/+73/+115+59

(1)63(%)=

X3+9X2+29X+29

解：乘除法次数：

1.直接计算：4+3+2+1+1+2+2+1=16次,

2.秦九韶算法：4+1+2=7次，

2/+19/+73%2+11卜-+59642

3.连分式63(%)=—2x+1+4次。

X3+9X2+29X+29x+5+x+3+x+l

而三种算法的加减法次数相同。

3/+32/+109%2+30x—275

(2)

43%-%3+12X2+52X+76

15、证明Chebyshev多项式4(x),

22

(1)满足微分方程:(1-%)7；,(%)-xTn(x)+nTn(%)=0；

⑵有「卑城办，。

证明：7^(x)=cos(narccosx)；

Tn(x)=sin(narccosx)；

”—n2nxn2x

T(x)=cos(narccosx)-----+sin(narccosx)-----=------T(x)+-----xT(%),

n1-x1-x1-xn1-x

8

2

等式两边同时乘以(1--)并移项，即得到：(1,x2)7；；(x)_XT；(x)+nTn(x)=0»

例1用顺序消去法解线性方程组

2%1+%2+4%3=-1

<3%i+2X2+x3=4

X1+2%+4%3=—1

解顺序消元

214-1〃+«•(-3/2)J14-1214-1

[A：b]=3214为+'•(_"2)>Q0.5-55.5(+2•(二凯>oo.5-55.5

124-101.52-0.50017-17

于是有同解方程组

2%]+%2+4%3=—1

<0.5%2-5%3=5.5

17X3=—17

回代得解

%3=-1,%2=1,%1=1,原线性方程组的解为X=(l,l,-

例2取初始向量M0)=(0Q0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组

项+2X2-2X3=1

<+%2+%3=3

2xl+2X2+x3=5

解建立迭代格式

」产1)=一2婿+2管+1

<谴+1)=_靖)—管+3(左=1,2,3,…)

(女+D__2犬(外_2%(幻+5

人3——人।一人2IJ

第1次迭代，仁0

那)=0,得至IJ即)=(1,3,5)7

第2次迭代，

‘靖)=-2X3+2X5+1=5

<媛)=-1-5+3=-3

石2)=-2xl-2x3+5=-3

9

^2)=(5,—3,—3)7

第3次迭代，:2

婷)=-2X(-3)+2X(-3)+1=1

<婢)=-5-(-3)+3=1

制刀=-2x5-2x(-3)+5=l

即)=(1,1W

第4次迭代，:3

=-2xl+2xl+l=l

.x®=-1-1+3=1

制2)=-2xl-2xl+5=l

『4)=(1,1,1)7

例4证明例2