2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第1讲 集合（七大题型）（讲义）（解析版）

第01讲集合

目录

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考点要求考题统计考情分析

高考对集合的考查相对稳定，考查内

容、频率、题型、难度均变化不大.重

点是集合间的基本运算，主要考查集合

2022年1卷II卷第1题，5分

的交、并、补运算，常与一元二次不等

2021年1卷II卷第1题，5分

(1)集合的概念与表示式解法、一元一次不等式解法、分式不

2020年1卷II卷第1题，5分

(2)集合的基本关系等式解法、指数、对数不等式解法结合.

(3)集合的基本运算同时适当关注集合与充要条件相结合

的解题方法.

集合中元素的三个特性：确定性'互异性'无序性

元素与集合的关系：属于或不属于

\集合的表示方法:列举法'描述法'韦恩图

子集

/真子集

勺基本关系《^8等

窠合《

\空集

集合的总1本运算

补集

⑴Ar\A=A•Ar\0=0>Ar\B=BA-~

(2)A<JA-A,A<J0=A•A\JB-B\JA-.

(3)Ary(CvA)=0,=CV(CVA)^A.

夯基•必备基础知识梳理

1、元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：€和仁

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图(ve前图).

(4)常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不

在这个集合中就确定了.给定集合A={1,2,3,4,5},可知leA，在该集合中，6eA，不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

集合A={a,Z?,c}应满足

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A={1,2,3,4,5}和3={1,3,5,2,4}是同一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖

线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

(1)子集(subset)：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合3中的元

素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集，记作A=3(或，读作“A包含

于8”(或“8包含A”).

(2)真子集(propersubset)：如果集合但存在元素xeB，且xgA，我们称集合人是集合g

的真子集，记作(或B袁A).读作“A真包含于3"或真包含A”•

(3)相等：如果集合a是集合B的子集(418，且集合8是集合A的子集(3=4),此时，集合A

与集合3中的元素是一样的，因此，集合A与集合3相等，记作4=3

(4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集.

3、集合的基本运算

(1)交集:一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与3的交集,记作AB，

即AB=[x\x&A,JLxeB}■

（2）并集:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集，记作A]B，

即A3={x|xeA,或re3}.

（3）补集：对于一个集合A,由全集u中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集

U的补集，简称为集合A的补集，记作C°A，即CuA={.E|xeU,且A}.

4、集合的运算性质

（1）Ar>A=AjAr>0=0^Ar>B-Br>A-

⑵ADA=A，AU0=A，A<JB=B^JA-

（3）Ac（C。A）=0,Au（CvA）=U,弓©4）=4.

【解题方法总结】

（1）若有限集A中有"个元素，则A的子集有2,个，真子集有2"-1个，非空子集有才-1个，非空真

子集有2"-2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

⑶A=30A3=AoAB=Bo<^CVA-

（4）CV（AB）=（QA）,（6或，。05）=（0^）（CVB）■

一提升-必考题型归纳

题型一：集合的表示：列举法、描述法

例1.（2023・广东江门•统考一模）已知集合A={-1,0,1},B={m|m2-leA772-UA）-则集合8中所

有元素之和为（）

A.0B.1C.-1D.夜

【答案】C

【解析】根据条件分别令苏.1=T,0,1，解得加=0,±1,土夜，

又%—1任4,所以〃?=-!,土夜，3={-1,0,-0}，

所以集合B中所有元素之和是_1，

故选：C.

例2.（2023•江苏•高三统考学业考试）对于两个非空实数集合A和3，我们把集合

{引x=a+"aeA）©8}记作A*3.若集合4={0,1},8={0,-1},则人*3中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】A={0,1},2={0,-1},贝I4*8={0,-1,1},则A*3中元素的个数为3

故选：C

例3.（2023•全国•高三专题练习）定义集合4+8=卜+引工€4且〉€2}.已知集合4={2,4,6},

8={-1,1},则A+3中元素的个数为（）

A.6B.5C.4D.7

【答案】C

【解析】根据题意，因为A={2,4,6},3={-1,1},

所以A+B={1,3,5,7}.

故选：C.

【解题总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

题型二：集合元素的三大特征

例4.（2023•北京海淀•校考模拟预测）设集合M={2根-1,加-3},若-3eM，则实数机=（）

A.0B._1C.0或一1D.0或1

【答案】C

【解析】设集合M={2根-1,772-3}，若-3eAf，

—3eM）2m一1=一3或相一3=—3，

当2/n-1=-3时'm=—l,此时Af={-3,—4};

当相—3=—3时'm=O>此时M={-3,-1}；

所以m=T或0.

故选：C

例5.（2023•江西•金溪一中校联考模拟预测）已知集合4={1,°,"，B={a1,a,ab\>若A=3,贝I

a2023+b2022=（）

A._]B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】由题意A=3可知，两集合元素全部相等，得至U1"=1或卜,=J又根据集合互异性，可知分1,

[ab=b[ab=l

解得0=1（舍），和[=：（舍），所以a=—l，6=0,则*3+*2=（_]产+02。22=_]，

[匕=0[b=L

故选：A

例6.（2023•北京东城•统考一模）已知集合4={小2_2<0},且qeA，则“可以为（）

A.-2B.-1C.1D.也

【答案】B

【解析】'•'X2-2<0,-A/2<x<A/2,A=^x\-y/2<x<y/2^

可知-2比A,』定A,夜走A，故A、C、D错误；_ieA，故B正确.

2

故选：B

【解题方法总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。

题型三：元素与集合间的关系

例7.（2023•河南•开封高中校考模拟预测）已知4=何*2_6+1<0｝，若2eA，且3eA，则。的

取值范围是（）

.<5>„<51010「510、„（101

A.-,+ooB.C.D.|

（2）（23J[23）13」

【答案】B

【解析】由题意，22-2a+l<0且32-3。+120，

解得

23

故选：B

例8.（2023•吉林延边•统考二模）已知集合｛%卬2_3%+2=0｝的元素只有一个，则实数〃的值为（）

A.2B.0C.2或0D.无解

88

【答案】C

【解析】集合A有一个元素，即方程方2_3x+2=0有一解，

当a=o时,-3x+2=oj=|x|-3x+2=O!=1^|,符合题意’

当awO时，/_3x+2=0有一解，

则A=9-8a=0，解得：々=2，

8

综上可得：〃=0或〃二2,

8

故选：C.

例9.（2023•全国•高三专题练习）已知集合A=]（x,y）W+：（l,xeZ,yez1,则A中元素的个数

为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由椭圆的性质得_2WxW2,_04y4也，

又xeZ,yeZ,

所以集合4=｛（-2,0）,（2,0）,（TO）,（1,0）,（0,1）,（0,-1）,（0,0）,（-1,1）,（T-l）,（1,1）,（1,T）｝

共有11个元素.

故选：C

【解题方法总结】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别.

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是.

题型四：集合与集合之间的关系

例10.（多选题）（2023•山东潍坊•统考一模）若非空集合M,N,P满足：A/cN=N,MuP=P，则

（）

A.P三MB.

C.NDP=PD.MnQpN=0

【答案】BC

【解析】由AfcN=N可得：N=Af，由MP=P,可得，则推不出PjM，故选项A错误；

由M=P可得MP=M，故选项B正确；

因为N=M且M=所以N[P，则NuP=尸，故选项C正确；

由N=M可得：Mc与N不一定为空集，故选项D错误；

故选：BC

例11.（2023•江苏•统考一模）设卜=g,kez1,N==左+ez1,则（）

A.MVNB.NVMc.M=ND.MCN=0

【答案】B

【解析】因为x=A:+g=g（2左+1），因为左cZ，

所以集合N是由所有奇数的一半组成，

而集合Af是由所有整数的一半组成，故NUM.

故选：B

例12.（2023•辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测）已知集合AHXI%2-X-12V0｝，

B=｛x|炉—3〃比+2〃/+机-1<0｝,若"xeA"是"xe3”的必要不充分条件,则实数小的取值范围为（）

A.卜3,2]B,[-1,3]C.D,[2,|

【答案】C

【解析】由题意集合A={x|x=x-1240}=[—3,4]，

B=Ix2—3mx+2m2+/n—1<0}={x|(x—m—l)(x—2m+1)<0}，

若m>2，贝1>〃2+1，此时8=(m+l,2机一1)，

因为“xeA”是“xeg”的必要不充分条件，故8室A，

2m—1<4

故vm+1>-3,/.2<m<—；

2

m>2

若znv2，则2加一lvzn+1，止匕时3=(2加-1,机+1)，

因为“xeA”是“xeB”的必要不充分条件，故8£A，

m+1<4

故<2m—1>—3,.*.-1<m<2;

m<2

右相=2，则2相一1=m+1，止匕时6=0，辆足

综合以上可得加e-1,-,

_2_

故选：C

例13.(2023•广东茂名•统考二模)已知集合4=卜卜|<1}，B={x|2x-a<0},若A=B，则实数。

的取值范围是()

A.(2,+8)B.[2,+co)C.(-oo,2)D.(-co,2]

【答案】A

【解析】集合4={小区1}={*』4"，8=[x<|1.

要使AuB，只需1<0,解得：a>2-

~2

故选：A

【解题方法总结】

1、注意子集和真子集的联系与区别.

2、判断集合之间关系的两大技巧：

(1)定义法进行判断

（2）数形结合法进行判断

题型五：集合的交、并、补运算

例14.（2023•广东广州•统考二模）已知集合4=卜,=3〃一2,〃eN*}，B={6,7,10,ll},则集合AcB

的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因为&=卜,=3〃-2,〃€用}，B={6,7,10,11},则A|B={7,10},

故集合Ac3的元素个数为2・

故选：B.

例15.（2023•河北张家口•统考二模）已知集合4="|（彳-2）（47）>0},8=卜|（—>0]则

（瘠4）3*）=（）

A.（2,3）B.[3,4]C.（一8,2]口[3,+8）D.（-（»,3p[4,+（»）

【答案】C

【解析】A={x|（x-2）（4-x）>0}={x[2<x<4},8=—>o1={x|x<3}，

即A=（2,4）,B=（-oo,3）,

所以，\A=（-8,2]D[4,+8）,\3=[3,+a）,

所以，（噂4）u（*）=（-”,2]33,+8）.

故选：C.

例16.（2023•广东•统考一模）已知集合"={x|%（%-2）<0},N={x|工一1<0},则下列Venn图中阴

影部分可以表示集合{知<%<2}的是（）

【解析】x(x-2)<0^>0<x<2,x-l<0^>x<l,

选项A中Venn图中阴影部分表示AfN=（O,l）,不符合题意；

选项B中Venn图中阴影部分表示a（AfN）=[l,2）,符合题意；

选项C中Venn图中阴影部分表示乐iN）=（-oo,0],不符合题意；

选项D中Venn图中阴影部分表示AfN=（-oo,2）,不符合题意，

故选：B

例17.（2023•全国•高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：

看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之

歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看

了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和

《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和

《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为.

【答案】3

【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U,观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三

支短视频的人形成的集合分别记为A,B,C,依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有21-4-6-3=8（人），

因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有23-4-7-3=9（人），

因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有26-6-7-3=10（人），

因此，至少看了一支短视频的有3+4+6+7+8+9+10=47（人），

所以没有观看任何一支短视频的人数为50-47=3.

故答案为：3

【解题方法总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

题型六：集合与排列组合的密切结合

例18.（2023•全国•高三专题练习）设集合X=｛4，%%,应｝[N*，定义：集合

Y=+a/\ai,ajeX,i,jeN*,i力/｝，集合S=^x-y\x,yeY,x^,集合T=（—|x,jeV,尤wy卜分别用|S|,

|T|表示集合S,T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）

A.|S|=6B.|5|=16C.\T\=9D.|T|=16

【答案】D

【解析】不妨设1贝U6+勺的值为4+々2，%+々3，％+。4,Cl?+^^3，^^2+^^4，^^3+^^4，

显然,4+出<4+/<4+/〈％+/〈生+%,所以集合丫中至少有以上5个兀素,

不妨设％=q+a2,x2=q+a3,x3=q+a4,x4=a2+a4,x5=a3+a4，

则显然jqx2<玉泡<玉％<玉%5<x2x5<x3x5<x4x5，则集合S中至少有7个兀素,

所以|S|=6不可能，故排除A选项；

其次，若%+gw%+%，则集合丫中至多有6个元素，则|5/=晨=15<16,故排除B项；

对于集合7,取*={1,3,5,7}，则¥={4,6,8,10,12},此时7=上［,劈,。,二祟,2,泞,：,消，33］,

［35235453643252J

|T|=16，故D项正确；

对于C选项而言，Pi丰j,%丰Xj,则土与土一定成对出现，土_1土_1<0,所以ITI一定是偶

xixiH八％J

数，故C项错误.

故选：D.

例19.（2023•全国•模拟预测）已知集合A,2满足AB={1,2,3},若A*5，且［A&8］，［B&A］

表示两个不同的“AB互衬对"，则满足题意的“AB互衬对”个数为（）

A.9B.4C.27D.8

【答案】C

【解析】当4=0时，集合B可以为{1,2,3};

当4={1}时，集合8可以为{2,3},{1,2,3};

当4={2}时，集合B可以为{1,3},{1,2,3};

当4={3}时，集合B可以为{1,2},{1,2,3};

当4={1,2}时，集合8可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3};

当-={1,3}时,集合8可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3};

当A={2,3}时，集合2可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3};

当4={1,2,3}时，集合B可以为0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故满足题意的“AB互衬对”个数为27.

故选：C

例20.（2023•北京•中央民族大学附属中学校考模拟预测汨知集合A满足:①A=N，②Vx,yeAxwy，

必有卜-引22,③集合A中所有元素之和为100,则集合人中元素个数最多为（）

A.HB.10C.9D.8

【答案】B

【解析】对于条件①4屋N，②ey，必有

若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20},集合中有“个

元素，

X0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110>100,0+2+4+6+8+10+12+14+16+18=90<100

则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合A中元素个数最多不能超过10个，

故若要集合4满足：①A=N，②必有|x-y|N2,③集合人中所有元素之和为100,

最多有10个元素，

例如A={0,2,4,6,8,10,12,15,18,25}•

故选：B.

【解题方法总结】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法

题型七：集合的创新定义

例21.（2023•全国•校联考模拟预测）对于集合A3，定义4-B={RxeA,且天任邛.若

A={x|x=2左+l,/eN},B={x|x=3左+l#eN},将集合人一台中的元素从小到大排列得到数列{%},则

%+=（）

A.55B.76C.110D.113

【答案】C

【解析】因为4={1,3,5,7,9,11,},3={1,4,7,10,13,16,19,22,25,},

所以A-8={3,5,9,11,15,..},所以%=21.人一台相当于集合A中除去x=6〃—5（〃eN*）形式的数，其

前45项包含了15个这样的数，所以的。=89.

贝U%+%o=1io，

故选：C.

例22.（多选题）（2023•河南安阳•安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19

世纪•直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金

分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000

多年的数学史上的第一次大危机•所谓戴德金分割，是指将有理数集。划分为两个非空的子集M与N,且满

定MDN=Q，MCN=0，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴德金分割•试

判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M={x|x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D."没有最大元素，N也没有最小元素

【答案】BD

【解析】对于A,因为.={.中<0}川={小>0},M\\N={x\x^G}^Q，故A错误；

对于B,若M={尤eQ|x<O},N={尤eQ|无20},则满足戴德金分割，

此时M没有最大元素，N有一个最小元素0,故B正确；

对于C,若M有一个最大元素，设为a,N有一个最小元素，设为6,则a<b，

则A/={x&Q\x<a},N={xe0x2》},而（a,b）内也有有理数，

则MiN手Q,故C错误；

对于D,若河=,©。|%<&},N={xeQ\x>j2\>

则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，

故选：BD

例23.（2023•湖北•统考二模）已知X为包含v个元素的集合（yeN*，v>3）.设A为由X的一些

三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一

的一个三元子集中，则称（X,A）组成一个v阶的Steiner三元系.若（X,A）为一个7阶的Steiner三元系，则

集合A中元素的个数为.

【答案】7

【解析】由题设，令集合X={a,Z?,Gd,e,/,g}，共有7个元素，

所以X的三元子集，如下共有35个：

[a,b,c}>[a,b,d}>{a,b,e}>[a,b,f]>{a,b,g}>[a,c,d}>{a,c,e}>{a,c,f}>[a,c,g}>[a,d,e]>{a,d,f}>

{a,d,g}>[a,e,f}>[a,e,g}>[a,f,g}>{b,c,d}>[b,c,e]>[b,c,f]>[b,c,g}^{b,d,e}>[b,d,f}>[b,d,g}>

{b,e,f}>{b,e,g}>{b,f,g}>[c,d,e}>[c,d,f}>[c,d,g}>[c,e,f}>{c,e,g}、{c,f,g}、[d,e,f}>[d,e,g}>

因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以A中元

素满足要求的有：

{a,b,c}、{a,d,e}、{b,e,g}、{c,d,g}、[c,e,f}，共有7个;

{a,b,c}>[a,d,f]>{a,e,g}、{b,d,e}>{b,f,g}>[c,d,g}>{c,e,f)，共有7个;

{a,b,c}>[a,d,g]>{a,e,f]>[b,d,e]>{仇人g}、{c,dj}、(c,e,g),共有7个;

{a,b,d}>{a,c,e}>[a,f,g}>{b,c,f]>{b,e,g}>[c,d,g]>(d,e,f},共有7个;

{a,b,d}{a,c,g}>{a,e,f}>[b,c,e]>{b,f,g}>{c,d,f}>{d,e,g},共有7个;

{a,b,d}>{a,c,f}>（a,e,g}>{6,c,e}、{c,d,g}>{d,e,f