湖南省师大附中2024届高二年级上册数学期末统考模拟试题含解析

湖南省师大附中2024届高二上数学期末统考模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等比数列{凡}的前〃项和为首项为外,公比为4,则，=()

A.2B.q

C.2qD.l+9

678

2.设。===则大小关系为

364964

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

3.已知函数y=/(x)(尤eR)的图象如图所示，则不等式/3<o的解集为()

x-1

B.(-l,l)._(1,3)

D.l-co,—

4.已知等比数列也,}的前〃项和为S“，且满足公比0<gVL4<0,则下列说法不亚确的是()

A.S“一定单调递减B.4一定单调递增

C.式子恒成立D.可能满足d=s*,且

5.设集合4={%|-1<%<4},5={2,3,4,5},则A「B=()

A.{2}B.{2,3}

C.{3,4}D.{2,3,4)

6.已知点尸是抛物线d=4＞的焦点，点P为抛物线上的任意一点，M(L2)为平面上点，贝!||PM+|P司的最小值

为

A.3B.2

C.4D.2g

7.彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔高度AB,

选取了与塔底8在同一水平面内的两个测量基点。与。，现测得N3CD=15°,ZB£＞C=135°,CD=20m,在点

C测得塔顶A的仰角为60。，则塔高AB=()

A.30mB.20V2m

C.20V3mD.20#m

8.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点河、N是锐角NAQ3的一边3上的两点，试在边上找一点「，

使得NMPN最大的.”如图，其结论是：点P为过M、N两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决一

下问题：在平面直角坐标系中，给定两点/(-1,2),N(l,4),点P在x轴上移动，当NM7W取最大值时，点P

的横坐标是()

A.1

B.2

C」或-7

D.2或一7

9.已知A(3,2),点F为抛物线＞2=2x的焦点，点尸在抛物线上移动，为使归H+|尸耳取得最小值，则点尸的坐

标为()

A.(0,0)B.(2,2)

C.(1,V2)

10.平面a与平面厂平行的充分条件可以是()

A.平面a内有一条直线与平面力平行

B.平面a内有两条直线分别与平面厂平行

C.平面a内有无数条直线分别与平面〃平行

D平面a内有两条相交直线分别与平面厂平行

11.某地为响应总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，

在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角/A=23。，ZC=120°,AC=606米，则A,5间的直线距

离约为(参考数据sin37。20.6)()

A.60米B.120米

C.150米D.300米

12.［以—工)的展开式中x的系数为80,则。=()

A.-2B.2

C.±lD.±2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设£,4是双曲线好-V=1的两个焦点，尸是双曲线上任意一点，过”作/耳「巴平分线的垂线，垂足为拉,

则点M至I］直线尤+y-2及=0的距离的最小值是一

14.已知抛物线y2=2px(p>0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6,且该抛物线的准线与双曲线C：

22

2r=1(。>Q,b>0)的两条渐近线所围成的三角形面积为2e，则双曲线C的离心率为.

ab

122

15.已知斜率为-§的直线与椭圆亍+]=1相交于不同的两点A,B,M为y轴上一点且满足|M4|=|MB|,则点M的

纵坐标的取值范围是.

F7—2

16.已知数列｛4｝的通项公式为％,=------,前〃项和为S“，当S”取得最小值时，"的值为____________.

2n-15

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=-尤3-3f+9x+l

（1）求函数/（%）在点（0」）处的切线方程；

（2）求函数八％）的单调区间及极值

18.（12分）在对某老旧小区污水分流改造时，需要给该小区重新建造一座底面为矩形且容积为324立方米的三级污

水处理池（平面图如图所示）.已知池的深度为2米，如果池四周围墙的建造单价为400元/平方米，中间两道隔墙的建

造单价为248元/平方米，池底的建造单价为80元/平方米，池盖的建造单价为100元/平方米，建造此污水处理池相关

人员的劳务费以及其他费用是9000元.（水池所有墙的厚度以及池底池盖的厚度按相关规定执行，计算时忽略不计）

（1）现有财政拨款9万元，如果将污水处理池的宽建成9米，那么9万元的拨款是否够用？

（2）能否通过合理的设计污水处理池的长和宽，使总费用最低？最低费用为多少万元？

19.（12分）已知函数/（x）=/+：以3+2%2+人，其中beR.

（1）当a=—10时，求函数f（x）的单调性；

（2）若对1,1],不等式/（x）＜1在[-1山上恒成立，求b的取值范围.

20.（12分）已知S“为数列｛4｝的前〃项和，。，户0,且q=l,2Sn=a„an+1,其中彳为常数.

（1）求证：数列｛。“+2—%｝为等差数列；

（2）是否存在2,使得｛4｝是等差数列？并说明理由.

21.（12分）已知点4（0,—2）,椭圆E：=+」=1（。＞匕＞0）离心率为立，尸是椭圆E的右焦点，直线■

ab2

的斜率为逆，。为坐标原点.设过点A的动直线/与E相交于P,Q两点

3

（1）求椭圆E的方程

4

（2）是否存在直线/,使得△。尸。的面积为二？若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由

22.（10分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间.现为调查学

生的家庭作业时间，随机抽取了100名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为[0,10）,

[10,20）,[20,30）,[30,40）,[10,50）,[50,60]六组，其频率分布直方图如下图:

（1）求。的值，并估计这100名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）;

（2）现用分层抽样的方法从第三组[20,30）和第五组[40,50）中随机抽取6名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访

谈的学生中选取2名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的2名学生中，第三组和第五组各有1名的概率

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】根据—二」一型=l+q求解即可.

4

【题目详解】因为｛例｝等比数列，

所以——---------------1+9.

故选：D

2、C

87777666

【解题分析】由e>2,可得Je_2_e__——_e__〉_e____e__〉_2_e___>2__e__=Je，故选C.

64~64^3249?49~49-7236

考点：指数函数性质

3、D

【解题分析】原不等式等价于(X—1)/'(X)<0,根据y=/(力(％GR)的图象判断函数的单调性，可得/'(%)>0和

/、[x-l>0fx-l<0

/'(X)<o的解集，再分情况jr(X)<o或(丫)>o解不等式即可求解.

【题目详解】由函数y=/(x)(xeR)的图象可知：

丁=/(£)在[-啊!|和(2,”)上单调递增，在上单调递减，

所以当工€1一8,31(2,+8)时，/,(%)>0；当xe(g,2)时，/(%)<0；

由,3<0可得(xT)/'(x)<0,

x-1

fx-1>0fx-l<0

所以I“、八或I”、八，

[fW<0uw>°

X>1x<1

BPJ1八或<1或解得:1<]<2或”<；,

一<x<2x

12

所以原不等式的解集为：^-oo,^o(l,2),

故选：D.

4、D

【解题分析】根据等比数列的通项公式，前〃项和的意义，可逐项分析求解.

【题目详解】因为等比数列他,｝的前"项和为S“，且满足公比OVgVl,^<0,

b

所以当〃22时，由广=q<i可得用〉2i，故数列｛包｝为增函数，故B正确；

2一1

由0<g<L伪VO知包<0,

所以S,=S〃T+bn<S“T(n>2),故S„一定单调递减，故A正确；

因为当心2时，S,i<0,Sn=Sn^+bn,所以b“>S“即b”-S“〉O,当”=1时，

4―航=0,综上％—S“NO,故C正确；

若bk=Sk，且4W1,则为=%+Sj,即Si=O,因为么<0,故Si<0,

故矛盾，所以D不正确.

故选：D

5、B

【解题分析】按交集定义求解即可.

【题目详解】4={%|-1<%<4},5={2,3,4,5)

AB={2,3}

故选：B

6、A

【解题分析】作PN垂直准线于点N,根据抛物线的定义，得到|尸闾+|尸盟=|尸M+|PN|,当P,M,N三点共线时,

归闾+归司的值最小，进而可得出结果.

【题目详解】如图，作PN垂直准线于点N,由题意可得固=|尸M+|/W|之Ww|,

显然，当P,监N三点共线时，归闸+归司的值最小；

因为M(l,2),歹(0,1),准线y=—l,

所以当P,M,N三点共线时,N(L-l),所以|AGV|=3.

故选A

【题目点拨】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考

题型.

7、D

【解题分析】在中有"5C=30。，再应用正弦定理求BC,再在H/AABC中tanNAC3=—,即可求塔

BC

高.

【题目详解】由题设知：ABLBC,

B

又ZDBC=180°-ZBDC—ZBCD=30°，

BCDCf厂

△BCD中高万说，可得BC=20&m,

sinZBDC

AB/—

在H/AABC中，tan/AC3=——=，3,则AB=20后m.

BC

故选：D

8、A

【解题分析】根据米勒问题的结论，P点应该为过点M、N的圆与x轴的切点，设圆心。的坐标为（。*），写出圆

的方程，并将点M、N的坐标代入可求出点P的横坐标.

【题目详解】解：设圆心。的坐标为（。力），则圆的方程为（％—a）2+（y—b）2=/,

'(-l-a)2+(2-b)2=b2

将点“、N的坐标代入圆的方程得＜

(l-a)2+(4-b)2=b2

tz=la=—7

解得，c或，IC（舍去），因此，点P的横坐标为1，

b=2[〃=10

故选：A.

9、B

【解题分析】设点尸到准线的距离为d,根据抛物线的定义可知|申|+|尸盟=|B4|+d,即可根据点到直线的距离最

短求出

【题目详解】如图所示:

设点P到准线的距离为d,准线方程为X=-g,

17

所以1pH+0典=|削+1引4耳=3+5=5,当且仅当点尸为A3与抛物线的交点时，|/科+|p同取得最小值，此

时点P的坐标为（2,2）

故选：B

10、D

【解题分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断.

【题目详解】对A,若平面a内有一条直线与平面月平行，则平面a与平面夕可能平行或相交，故A错误；

对B,若平面a内有两条直线分别与平面〃平行，若这两条直线平行，则平面a与平面厂可能平行或相交，故B错

误；

对C,若平面a内有无数条直线分别与平面月平行，若这无数条直线互相平行，则平面a与平面〃可能平行或相交,

故C错误；

对D,若平面a内有两条相交直线分别与平面厂平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面a与平面厂平行,

故D正确.

故选：D.

11、C

ATAR

【解题分析】应用正弦定理有一‘二=^—,结合已知条件即可求4,3间的直线距离.

sinBsinC

【题目详解】由题设，ZB=180°=37°,

ACAB60G=AB

在△ABC中，———一—f即sin37。

smBsmCJ—

2

90

所以=------el50米.

sin37°

故选：c

12、B

【解题分析】根据二项式展开式的通项，先求得x的指数为1时r的值，再求得。的值.

【题目详解】由题意得：

5r5rr52r

二项式展开式的通项为：Tr+1=C；(ax)-[--j=a-(-l)C；x-,r=0,l,2,,..,5,

令5_2r=l,r=2,则(_°2c：=80,々=2,

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解题分析】构造全等三角形，结合双曲线定义，求得“点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系，即可求得点M

到直线距离的最小值.

【题目详解】延长耳M交PF2的延长线于点N，如下所示:

因为平分/耳2耳，且耳故丛F、PM三二NPM,

则附|=|即,又|「用—|尸引=24=2,则陋|=2,

又在△耳&N中，分别为耳耳，耳N的中点，故可得闾=1；

设点”的坐标为(％,y),贝！］%2+/=1,即点”在圆心为(0,0),半径厂=1的圆上,

_272_

圆心至IJ直线x+y-2A/2=0的距离d

故点M到直线距离的最小值为d-r=2-l=l.

故答案为：1.

【题目点拨】本题考查双曲线的定义，以及直线与圆的位置关系，解决问题的关键在于通过几何关系求得点知的轨迹

方程，属中档题.

14、3

【解题分析】由题意求得抛物线的准线方程为l=-1,进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得

b=20a，再结合°2-1=廿和离心率的定义，即可求解.

【题目详解】由题意，抛物线V=2px（"〉0）上一横坐标为5的点到焦点的距离为6,

根据抛物线定义，可得5+々=6,即p=2,

所以抛物线的准线方程为x=-l,

b

又由双曲线C的两条渐近线方程为y=±一九，

a

12〃hr-

则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为7x—xl=—=20,

2aa

解得人=20，

2

又由"="=8",可得c彳=9,

所以双曲线C离心率e=£=3.

a

故答案为：3.

[22J

【解题分析】设直线AB的方程为丁=-+

1

y=——1+/

3

由＜消去y并化简得8必—6比+9/—63=0,

x2y21

——+—=1

197

9t63

设4（%，%），5（々，%）,玉+x2=^t,xi-x2=-

A=36r-32（9/2-63）>0,解得—20<f<20.

1

--（%1+X）+2Z

213

9=力…3——x——t-\-t

282264*

由于=所以"是AB垂直平分线与y轴的交点,

AB垂直平分线方程为y-=/

OVo

令x=0得y=一5，

由于—20</<2后，所以一正<—1/<也.

242

也即”的纵坐标的取值范围是-、-，事.

I22J

、（①0

故答案为：——z-

I22J

16、7

【解题分析】首先求出数列的正负项，再判断S“取得最小值时"的值.

【题目详解】当4W0o（〃—2）（2八—15）40,〃wN*，

解得：〃=2,3,4,5,6,7,

当〃=1和〃28时，an>0,

所以S“取得最小值时，n=7.

故答案为：7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）y=9x+i.（2）单调增区间（一3,1）,单调减区间是3）和（L+oo）,极大值为/⑴=6,极小值为

〃-3）=-26

【解题分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率/（。）=9,求出/（0）=1后利用点斜式即可得解；

（2）求出函数导数后，解一元二次不等式分别求出了'（%）>0、/'（%）<0时x的取值范围即可得解.

【题目详解】（1）因为〃耳=一尤3-3#+以+1,所以/'（%）=—3x?—6x+9,

.•.〃o）=i,r（o）=9

,切线方程为yT=9（尤一。），即y=9x+l；

（2）/'（x）=-3x2-6x+9=-3（x-l）（x+3）,所以当l>1或x<—3时，/'（X）<0,

当—3<X<1时，/'（九）>0,所以函数单调增区间是（一3,1）,单调减区间是（―8,—3）和（1,+8）,极大值为/⑴=6,

极小值为〃-3）=-26

18、(1)不够；(2)将污水处理池建成长为16.2米，宽为10米时，建造总费用最低，最低费用为90000元.

【解题分析】(1)根据题意结合单价直接计算即可得出；

(2)设污水处理池的宽为X米，表示出总费用，利用基本不等式可求.

【小问1详解】

如果将污水处理池的宽建成9米，则长为324+2+9=18(米)，

建造总费用为：

(9x2x2+18x2x2)x400+9x2x2x248+9x18x(100+80)+9000

=43200+8928+29160+9000

=90288(元)

因为90288>90000,

所以如果污水处理池的宽建成9米，那么9万元的拨款是不够用的.

【小问2详解】

设污水处理池的宽为X米，建造总费用为了(X)元，则污水处理池的长为型=%米.

2xx

162324324

贝!|/(x)=400义2x+2x+248x2x2%+——x80+——x100+9000

X22

162x16%+162X1600+38160

X

…3100

=25921xd-----+38160(x>0)

因为X+U独2四=20,等号仅当工=吧，即x=10时成立,

X\XX

所以％=10时建造总费用/(%)取最小值90000,

所以将污水处理池建成长为16.2米，宽为10米时，建造总费用最低，最低费用为90000元.

19、(1)的单调递增区间为(2,+8),单调递减区间为(—双0),

7

(2)—00,-------

3

【解题分析】(1)求导可得r(x)=x(4f—10x+4)=2x(2x—l)(x—2),分析正负即得解；

(2)转化〃了)<1在上“I上恒成立为/'(X)1mx41,分析函数单调性，转化为求解即可

【小问1详解】

f\x)-4x3+ax2+4%=x(4x2+or+4)

当Q二—10时，

fr(x)=x(4x2-10%+4)=2x(2x-l)(x-2)

令/'(幻=。，解得X|=0,x2=1,%=2

当x变化时，f\x),/(尤)的变化情况如下表:

X(—8,0)0(2,+oo)

(4)~22

/'(X)—0+0—0+

/(X)极小值/极大值极小值7

所以/'(x)的单调递增区间为10,(2,+8),单调递减区间为(—双0),

【小问2详解】

由条件ae[—1,1]可知A=。2_64<0，从而4x2++4>0恒成立

当》<o时，r(x)<o；当了〉。时，r(x)>o

因此函数f(x)在[-1』上的最大值是/(I)与/(-I)两者中的较大者

为使对任意的ac[-1』，不等式/(x)Wl在[-1』上恒成立，当且仅当

b<-2-—

|/(I)<1BP3

h-E公2+3

[3

在aq-1』上恒成立

所以〃因此满足条件的b的取值范围是[-8，-]

20、(1)详见解析；

(2)存在2=2时｛%｝是等差数列，详见解析.

【解题分析】(1)利用Sn与an的关系可得a=%+i(%+2-%)，再结合条件即证;

(2)由题可得%=4,4=1+X,若｛4｝是等差数列，可得2=2,进而可求数列的通项公式，即证.

【小问1详解】

V4=anan+l,

•,"S"+l=an+ian+2»

•,2(S”+i—)=2a“+i=4+i(q+2—%)，又。,尸。,

**•4+2-4=%，

(%+3—%+i)—(%+2—4)=0，

.••数列｛4+2-4｝为等差数列；

【小问2详解】

,；%=1,=a〃a“+i，

g=X，又，〃+2—=X,

••々3=1+4,

若｛4｝是等差数列，则q+%=2%,即1+1+4=22,

解得2=2,

当2=2时，由。〃+2=4=2,

二数列｛4｝的奇数项构成的数列为首项为1,公差为2的等差数列,

•••=2机-1,即。“="，n为奇数，

二数列｛%｝的偶数项构成的数列为首项为2,公差为2的等差数列,

/.a2m=2m,即九为偶数,

综上可得，当a=2时，an=n,

故存在2=2时，使数列｛4｝是等差数列.

尤2°

21、(1)---Fy2=1；

4-

(2)存在；y=土」^%一2或丁=±尤-2.

2

【解题分析】(1)设歹(c,o)，由心尸=冬叵，e=£=走，人=而二?，求得。力的值即可得椭圆的方程；

3a2

⑵设P(XQJ,Q(%，%)，直线/的方程为丁=近一2与椭圆方程联立可得药+%2，%好2,进而可得弦长|PQ|，

求出点。到直线/的距离d,解方程S.po=g|PQ|-d=g,求得左的值即可求解.

【小问1详解】

设网G。)，因为直线”的斜率为半，4(0,-2),

所以土9=2叵，可得c=G，

0-c3

又因为6=工=走=迫，所以a=2,所以匕=，/_。2=/22_(6『=1，

Cld21'

V-2

所以椭圆E的方程为土+产=1

【小问2详解】

4

假设存在直线/,使得△。尸。的面积为二，

当轴时，不合题意，

设P&,yJ,。(%,%)，直线/的方程为丁=丘-2,

¥2=

联立+y-消去y得：(1+4公)九2-16履+1