新教材2024高考数学二轮复习强化训练24导数

强化训练24导数一一小题备考

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的)

1.[2023•河北邯郸二模]已知直线y=x是曲线f(x)=/〃x+a的切线，则a=()

A.-IB.1

C.-2D.2

2.[2023•广东珠海中学三模]已知函数f(x)=ax'+bx在x=l处取得极大值4,则a-b

=()

A.8B.-8

C.2D.-2

3.[2023•辽宁辽阳模拟]函数f(x)=/〃x+《+3的最小值是()

9

A.4

7

C.3

(1-Oo)X

4.若函数f(x)=2(x；a)的图象如图所示，则a的取值范围是()

A⑴+氏D

(0,

100,L

C*X

C-

(O,J'(-?

5.设曲线y=x'在点(1,1)处的切线为1,P为1上一点，Q为圆C：(x—5)2+/=了上一

点，则IPQI的最小值为()

4A可20•近3

C半〃手

6.已知函数f(x)=x2"x+ax存在减区间，则实数a的取值范围为()

33

A.(8一；，+°°)B.(2e[+°°)

33

C.(—8,D.(—8,2<?~p

7.[2023•山东潍坊模拟]函数y=k(x—1)与y=/〃x的图象有且只有一个公共点，则实数

k的取值范围为()

A.k=l

B.k'e

C.k=l或kWO

D.kWO或k=l或k>e

8.[2023•山东淄博三模]中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如

图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为X,

与承载重力的方向平行的高度为y,记矩形截面抵抗矩W=ky2.根据力学原理，截面抵抗矩越

大，梁的抗弯曲能力越强，则宽X与高y的最佳之比应为()

A.18.乎C.1D.书

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)

9.已知函数f(x)=x‘一ax+2有两个极值点xi,x2,且x〈X2,则()

A.a20

B.xiX2<0

C.f(xi)>f(x2)

D.f(x)的图象关于点(0,2)中心对称

10.[2023•河北邯郸二模]已知函数f(x)=x(x—3)1若存在a<b〈c满足f(a)=f(b)=

f(c),g(x)=f(x)+m,下列结论正确的是()

A.若g(a)=g(b)=g(c)=0,则mG(―4,0)

B.a+b+c=9

C.abce(0,4)

D.a+be(2,3)

11.[2023•黑龙江实验中学三模]已知函数f(x)在R上可导，其导函数为/(x),若&x)

满足：(x—1)(x)—f(x)]>0,f(2—x)=f(x)则下列判断不正确的是()

A.f⑴<ef(0)

B.A2)>e2y(0)

C.r(3)>e3f(0)

D./(4)<eV(0)

x\x\x,x>0,

2c,,八函数g(x)=[f(x)『一(a

{x2xi-110,

-1)/(%)-a,则下列结论不正确的是()

A.若水一(，则式x)恰有2个零点

B.若lWa〈2,则g(x)恰有4个零点

C.若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0,1)

D.若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是(一8,-i)u(2,+8)

题号12345678910

答案

题号1112

答案

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.［2023•河南开封模拟］已知函数f(x)=ae'+l的图象在点(0,f(0))处的切线与直线

3x+y+l=0互相垂直，则实数a=.

e2--1

14.［2023•安徽定远中学模拟］若函数f\x)=一在区间［彳，a］上的最小值为2e,则a的取

x4

值范围是.

15.［2023•河南郑州一模］已知函数f{x)=e~'—e"''-ax,若f(x)有两个不同的极值点Xi,

X2,且0cx2—xKln2,则a的取值范围为.

16.［2023•山东省某中学模拟］已知直线y=kx+b是曲线y=ln(1+x)与y=2+lnx

的公切线，则4+6=.

强化训练24导数

1.解析：函数f(x)=/〃x+a,求导得f'(x)=：,令直线y=x与曲线f(x)=/〃x+a相切

的切点为(xo,2/2XO+a),

于是2=1且/=Xo+anx”所以a=xo=l.故选8.

A

答案：B

2.解析：因为f(x)=ax'+bx,所以f'(x)=3ax'+b,

所以f'(l)=3a+b=0,f(1)=a+b=4,解得a=-2,b=6,

经检验，符合题意，所以a-b=-8.故选笈

答案：B

3.解析：由题意可得f'(x)=一三=",

令f’(x)>0,得x〉L令f'(x)<0,得0<x<L

则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增，

故f(x)的最小值是fd)=".故选C.

2

答案：C

4.解析：函数f(x)==」的定义域为R,求导得f(x)=V..0

观察图象得函数/Xx)有两个极值点，则函数f'(x)有两个变号零点，即a—V=0有两个

不等实根，因此a>0,

又解得一/aS,从而0<a〈±,

所以a的取值范围是(0,二).故选C.

答案：C

5.解析：y'=4x,/|x=i=4,则/的方程为y—l=4(x—1),即y=4x—3,

因为圆心C(5,0)到1的距离为m，

所以IPQ\的最小值为、T7-"二=三.故选A.

答案：A

6.解析：由题可知/(x)=2xlnx+x+af

因为函数f(x)=/lnx+ax存在减区间，则/(彳)<。有解，

即2xlnx+x+a<0有解，

令g(x)=2xlnx+x+a,g'(x)=21nx+3,

令H(x)>o,解得x>e-;令g'(x)〈o,解得0<t<eW,

所以g(x)在(0,0T)上单调递减，(*,十8)上单调递增，

所以g(X)min=g(,"=一3«二+.F+白=-2。二十&

因为2xlnx+x+a<0有解，所以—2@二十水0,

解得a<2«-t.故选D.

答案：D

7.解析：•.•y=4(x—1)过定点(1,0),且(1,0)在y=lnx上,

又•••y=lnx,则y'=",

，y=lnx在x=l处的切线斜率为4=y'|E=1,

结合图象可得：

当AW0时，尸衣(X一1)与尸Inx的图象有且只有一个公共点，则AW0符合题意;

当0<内1时，y=A(x~~l)与尸=lnx的图象有两个公共点，则0〈内1不符合题意；

当A=1时，y=*(x—1)与尸Inx的图象有且只有一个公共点，则A=1符合题意;

当在>1时，y=A(x—1)与y=lnx的图象有两个公共点，则4>1不符合题意；

综上所述：实数4的取值范围为4=1或4W0.故选C.

答案：C

8.解析：设圆的直径为4则*+/=/.♦./=/-V,

W=^-x[</—x)=-{—x+(fx),0<x<d,

a•

令r=i(-3x+</)=0,x=A,

・3

由俨>0时，解得0<xgd；由/〈0时，解得x〉gd；

所以/在(0,叱或上单调递增，在中上单调递减，

23

所以x=」d时犷取最大值.

a

此时y=—所以故选B.

答案：B

9.解析：由题可得/(才)=3次一@=0有两个不相等的实数根，

所以d=0+3司>0,所以H>0,A错误；

根据题意Xi,及为3f—&=0的两个根，所以X1X2=一水0,B正确；

因为汨<彳2,且汨，而为3f—a=0的两个根，

所以由f(才)=3/-a>0得x<x或x>*2,

由f(x)=3/一水0得x\<x〈x?,

所以函数F(X)在(一8,M)上单调递增，(M,急)上单调递减，(如+8)上单调递增,

所以F(xi)>f(x2)成立，C正确;

因为g(x)=f—ax为奇函数，所以g(x)=x：'一ax关于(0,0)对称，

所以/'(X)=g(x)+2=V—ax+2关于(0,2)对称，D正确，故选BCD.

答案：BCD

10.解析：因为F(析=x(x—3)5

所以f(x)=(x—3)?+2x(x—3)=3(x—3)(x—1),

令■f(x)=0,可得x=l或x=3,

当KI时，f(x)>0,函数/'(x)在(一8,1)上单调递增，

当l〈x<3时，f(x)<0,函数f(x)在(1,3)上单调递减，

当x>3时，f(%)>0,函数Ax)在(3,+8)上单调递增，

又，<1)=(1-3)2=4,/<3)=0,A0)=0,f(4)=4,

作出函数f(x)的图象如下：

对于A,由于a)=g(Z?)=g(c)=0,

可得Zb,。为方程g(X)=0的三个根，

即小b,c为方程f(x)+加=0的三个根,

即ab,c为方程/tr)=一/〃的三个根，

故直线尸一小与函数尸式X)的图象有三个交点，

所以0〈一成4,所以勿£(―4,0),A正确；

设F(a)=F(b)=F(c)=£,可得0<伙4,

因为a<b<cf

所以0<水1,1<6<3,3<水4,

则f\x)—t=(x—a)(x—b)(x—c),

所以x{x—3)2—t=(x—a)(x—A)(x—c),

所以x—+9%—t=x—(a+6+c)x+(aZ?+bc+ca)x—abc,

所以a+b+c=6,t=abc,又0<f<4,3<c<4,

所以(0,4),a+6£(2,3),

B错误，C正确，D正确.故选ACD.

答案：ACD

11.解析：令尸(x)=乌，则/(才)=红今卫=生坦_,

因为函数f[x)满足(X-1)[f(x)—f(x)]>0,

当尤>1时〃(x)>0,尸(x)在[1,+8)上单调递增，

当x<l时户(x)〈0,产(x)在(-8,1]上单调递减，

又由/"(2—x)=f(x)e2T"今冬=哄0尸(2—x)=F(x),

・“r•*

所以尸(X)关于X=1对称，从而A1XA0)=尸(2)〈尸(3)〈尸(4),

即尸(1)〈尸(0),竽〈鬻，.,.f(l)<ef(0),故A正确;

由尸(0)=尸(2),容=华，.."(2)=ey(0),故B错误；

由尸(3)>尸(0),即华>与，.."(3)>e3f(0),故C正确；

由尸(4)>户(0),即詈)詈，...f(4)>e7(0),故D错误.故选BD.

答案：BD

12.解析：令g(x)=[Ax)]?一(a—1)f(x)—a=0,

则[F(x)—a][F(x)+1]=0,解得f(x)=-1或f(x)=a.

当x>0时，f(x)=lnx+l.由/(x)>0,得x对；由/U)<0,得

ee

则/U)在(0,3上单调递减，在(L+8)上单调递增，/(1)=-1

0a0a

/1(%)=-/-2A-+1,XWO,当x=-l时，f(x)取最大值，最大值为/'(-1)=2,

故/"(X)的大致图象如图所示.由图可知，〃入)=-1有且仅有1个实根.

当a=-1时，g(x)恰有1个零点，故A错误；当lWa<2时，F(x)=a有3个实根，则g(x)

恰有4个零点，故B正确；由g(>)恰有3个零点，得F(x)=a恰有2个实根，则a=2或。〈水1

或@=一:，则C错误；由g(x)恰有2个零点，得/U)=a恰有1个实根，且aWT,

贝ija<-l或一l<a<一三或a>2,贝ljD错误.故选ACD.

■

答案：ACD

13.解析：由题意得：f(x)=ae“，

则在点(0,f(0))处的切线斜率"=F(0)=a,

又因为在点(0,/■(()))处的切线与直线3x+y+l=0互相垂直，

且直线3x+y+l=0的斜率为-3,

所以aX(—3)=—1,解得：a--.

3

答案：\

14.解析：由/■(•=亡，得/(上)=右工，

XX2

所以函数f(x)在2)上单调递减，在自，+8)上单调递增，

，，9

且/专)=2e,

所以3《［二司，

即a法