吉林省吉林市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题（含解析）

吉林市普通高中2022-2023学年度高一年级上学期期末调研测试

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个符合题目要求.

1.用集合语言表示下图中的阴影部分，正确的是()

A.即BB.AuB

C.An(^B)D.AnB

【答案】C

【解析】

【分析】根据阴影部分的元素特征直接判断即可.

【详解】阴影部分的元素。满足：aeA且ae3,••・阴影部分表示的集合为AC(65).

故选：C.

2.下列各组函数中是同一函数的是()

A.f(x)=x,g(x)=E

B.f(x)=yjx+l-y/x-1,g(x)=&_]

C./(%)=%+-,g⑺=/+-

Xt

D./(%)=21ogflx,g(x)=logax2(a>。且awl)

【答案】C

【解析】

【分析】分别判断各选项中两个函数的定义域和解析式是否相同即可.

I—xx^.0

【详解】对于A,/(x)=x,g(x)=A/f=国={'门，\f(x)与g(x)不是同一函数，A错误;

—X,x<0

x+l>0口\

对于B,由1_]>0得：\/(X)定义域为[L+8);

由炉一120得：XW-1或X21,，g(x)的定义域为

\打龙)与g(x)不是同一函数，B错误;

对于C,/(X)的定义域为(―8,o)u(o,y),g⑺的定义域为(―8,o)u(o,y),

又"力与g”)解析式相同，\"尤)与g(x)是同一函数，c正确；

对于D,"力的定义域为(0,+"),g(x)的定义域为(―”,0)U(0,y),

\"x)与g(x)不是同一函数，D错误.

故选：C.

3.下列命题为真命题的是()

11

A.若X>y,则mB.若一>一,则龙〉y

%y

c.若龙〉y,贝ijV>>3D.若x>y,则lnx>lny

【答案】c

【解析】

【分析】对于ABD选项，举例判断即可；对于C,结合塞函数y=V在R上单调递增，即可判断.

【详解】对于A,当“2=0时，m2%=m2,,故人错误;

11

对于B,若x=l,y=2,则一〉一，但％<y,故B错误;

xy

对于C,因为函数y=V在R上单调递增，

所以龙>》时，有d〉y3,故c正确；

对于D,若。>x>y,则Inx>Iny没有意义，故D错误.

故选：C.

x

4.用x和y分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积(一般来讲，窗户面积比地板面积小).显然，比值一

y

越大，住宅的采光条件越好.当窗户面积和地板面积同时增加/时，住宅的采光条件会得到改善(单位：

m?).现将这一事实表示为不等式，以下正确的是()

A.(y>x>0,Z>0)B.—(y>x>0,/>0)

yy+/'7yy+lv7

XX+ZzC,XX+lZ八,小

D

c7〈不y(龙>-7百(x>y>a，>。)

【答案】A

【解析】

【分析】先列出窗户面积和地板面积同时增加前后的比值，通过作差法即可求解.

【详解】当x>0,y>0,/>0时

x

最开始窗户面积和地板面积的比值为一，

y

窗户面积和地板面积同时增加/后的比值为=

y+i

x+lXy(x+X+/)_/(y-x)

则:—

y+iyy(y+/)y(y+/)'

x+lx

所以当时,-->-,此时住宅的采光条件会得到改善.

y+iy

故选：A.

5.

计算

1231

A.-C.D.——

T4

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数、对数的运算性质计算可得结果.

i

3

33419

详解】原式=+2+3=-+5=—

433

故选：B.

4

6.设。=log52,b=23,c=logo2,贝。()

A.b>a>cB.b>c>a

C.ob>aD.a>b>c

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.

4

【详解】解：因为。<4=log52<log55=l,人=2§>2°=「。=logo.32<logo.31=。，

所以

故选：A

7.将函数/(x)=2sin2x-吃的图象上所有点向左平移g个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则

函数g(x)的解析式为()

A.g(x)=-2sin2x+—B.g(%)=2sin2x

C.g(x)=2sin[—gD.g(x)=-2sin2x

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得平移后的函数解析式，即得答案.

jr2兀

详解】由题意可得g(X)=2sin[2(x+-)--]=2sin2%,

故选：B

8.函数y=/(x)图象如图所示，则函数/(%)的解析式可能是()

1

B./(%)=%3

D./(x)=l—?

C.f(x)=l-——

''2X+1

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇偶性可排除AD,根据可排除B；结合指数函数性质可知C正确.

22

【详解】对于A,/(-x)=1-(_x)2+]=1-=/(x),\"X)为偶函数，则/(%)图象关于y轴

对称，与已知图象不符，A错误；

对于B,当x=l时，/(1)=1,与已知图象不符，B错误；

对于D,/(-%)==\/(x)不是奇函数，则/(%)图象不关于原点对称，与己

知图象不符，D错误；

“〜，22'-1，/、2“11-2%，/、

对于C,f(%)=1---------=--------,f(-x)=---------=--------=—f(X)>

')2%+12X+1')Tx+\\+TI'

\/(x)为奇函数，图象关于原点对称；

27

Qy=———为R上的减函数，=l——-——为R上的增函数；

-2+12+1

21

又/'(1)=1—1=§<：!,\f(x)图象与已知图象符合，C正确.

故选：C.

9.下列四个函数中，以兀为最小正周期的偶函数是()

A.y=|tanx|B,y=cosxc.y=sinxD.y=sin|%|

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦、余弦、正切函数的图象结合性质判断即可.

【详解】对于A：函数丁=卜皿乂的图象如下图所示：

由图可知，y=|tanM的周期为兀，且图象关于V轴对称，则y=|tan%|为偶函数，故A正确；

对于BC：函数y=cosx,丫=$皿工的最小正周期都为2兀，故BC错误;

对于D：函数y=sinW的图象如下图所示:

由图可知，函数y=shiN不具有周期性，故D错误;

故选：A

10.已知定义在R上的奇函数/(%)和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=2"则下列说法错误的是()

A./(力在区间(0,+")上单调递增B.g(x)在区间(0,+“)上单调递增

C./(%)无最小值D.g(x)无最小值

【答案】D

【解析】

【分析】结合奇偶性定义可构造方程组求得/(X),g(x),由指数函数单调性、复合函数单调性的判断方法

可知AB正误；由奇偶性可确定/(X),g(%)单调性，进而确定CD正误.

【详解】由题意得：f(-x)+g(-X)=-f(x)+(x)=Tx,

巾卜/(x)+g(x)=2T2-2-x(、2*+2一，

由i〃x)+g(x)=2，倚：g(x)=^^；

对于A,y=2*在(0,+。)上单调递增，y=2「x在(0,+“)上单调递减，

\f(x)在(0,+“)上单调递增，A正确；

对于B,设/=2"，则当x>0时，t>l；

-y=/+尸=/+；在。,+8)上单调递增，/=2*在(0,+e)上单调递增，

.•.丁=2,+2一”在(0,+“)上单调递增，「超(无)在(0,+8)上单调递增，B正确；

对于C,由A知：/(同在(0,+。)上单调递增，又“可为定义在R上的奇函数,

\/(x)在(-8,0)上单调递增，又/(%)为连续函数，\/(x)在R上单调递增，

\无最小值，C错误；

对于D,由B知：g(x)在(0,+。)上单调递增，又g(x)为定义在R上的偶函数，

冷⑴在（一8,0）上单调递减，又g（x）为连续函数，，g（x）min=g@=l，D错误.

故选：D.

二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

11.如图（1）,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如

图（2）,一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（P在水下

（JTJT]3

则d为负数），d与时间单位：S）之间的关系是d=3sin二+彳，则下列说法正确的是（）

\306）2

A.筒车的半径为3m,旋转一周用时60s

3

B.筒车的轴心。距离水面的高度为一m

2

C./e（40,50）时，盛水筒尸处于向上运动状态

D.盛水筒尸出水后至少经过20s才可以达到最高点

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据振幅和最小正周期可确定A正确；利用dmax-厂可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断

9

方法可知C错误；令d=Q由正弦型函数的值可构造方程求得进而得到hn，知D正确.

（TT兀、3

【详解】对于A,.d=3sin二%-2+%的振幅为筒车的半径，.•.筒车的半径为3m；

6）2

2兀

d=3sin-/]+大的最小正周期,兀‘°,「•旋转一周用时60s,A正确；

<302——

、730

3Q3

对于B，4nax=3+—,筒车的半径一=3，..•筒车的轴心。距离水面的高度为41ax—〃=1（m），B

iiioA22UWA2、'

正确;

7兀3兀

对于C,当,£（40,50）时，，此时d单调递减,

306~6'~2

••・盛水筒P处于处于向下运动的状态，c错误;

_LTAO-71兀3^3371t

对于D,令3sin—t----H—=3H—,sin—t

（306）22[3300

工1—'二巴+2也（kwZ）,解得:/=20+60左（左eZ）,

3062、）

又/NO,.・・当左=0时，*in=20s,即盛水筒尸出水后至少经过20s才可以达到最高点，D正确.

故选：ABD.

JT

12.如图，在扇形。尸。中，半径OP=1,圆心角NPOQ=一,C是扇形弧尸。上的动点，矩形ABCD内

6

接于扇形，记NPOC=c.则下列说法正确的是（）

7T

A.弧尸。的长为:

6

兀

B.扇形OPQ的面积为:

6

C.当sine时，矩形ABCD的面积为2叵一®

39

D.矩形A3CD的面积的最大值为三叵

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得的长，即可求

出矩形A8CD的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C,D.

71

【详解】由题意知，扇形0尸。中，半径O尸=1,圆心角NPOQ=一,

6

jr71

故弧PQ的长为一xl=—,A正确；

66

|jrjr

扇形。尸。的面积为二X：xl=二，B错误；

在RtAOBC中，OB=OC-cosa=cose,BC=OC-sina=sina,

在RtAOAD中，OA-6AD=-J3BC-A/3sina,AB-OB-OA=cosa-A/3sina,

则ABCD的面积S=AB•BC=(cossina)sina

=—sin2a+•cos2a-小=sin(2cr+—)-

22232

当sina=工时，y.0<a<—,故cosa=2^

363

407

则sin2a=2sinacosa=-----.cos2。=l-2sin2a=一

99

4A/217V340+7C

贝!Jsin12a+三=sin2acos—+cos2asin—=-------x—+—X——=-----------------,

33929218

兀百4虚+76320-乖)

则S=sin(2。+

3~218—2一9

即矩形ABCD的面积为2点一近,C正确;

9

由C的分析可知矩形ABCD的面积S=sin（2a++*

当sin（2（z+与）=1,即a=3■时，矩形ABCD的面积取最大值”且，D正确,

3122

故选：ACD

【点睛】关键点睛：解答本题的关键C,D选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边的

长，从而表示出矩形A5CD的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项的正误.

第II卷（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第15题的第一个空填对得2分,

第二个空填对得3分.

X

13.函数y=lg------的定义域为.

1-x

【答案】（Q1）

【解析】

【分析】由对数真数大于零可解不等式求得结果.

【详解】由上〉0得：x（x—1）<0,解得：0<x<l,

1-X

:.y=lg上的定义域为（0,1）.

1-x

故答案为：（0,1）.

14.设a,beR,尸={1同,Q=[2a+3,b],若尸=Q,K!|a-b=

【答案】。或T

【解析】

【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.

2a+3=1

【详解】当时，a=-l,b=-l,满足P=。，则〃一/?二0；

a-b

2a+3=a

当时，a=-3,b=l,满足P=。，则Q—/?=T；

l=b

故答案为：0或Y

23357

xXXX

15.英国数学家泰勒发现了如下公式：=l+-+—+—+,sinx=X-----------1--------------------F

e1!2!3!3!5!7!

246

cosx=l-—+—-—+.，其中〃!=lx2x3x.X”.可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出1、

2!4!6!

sin%和cosx的值也就越精确，则sin］+1的近似值为.（精确至I］0.01）；运用上述思想，可得到

1

函数/（x）=e"—L在区间内有.个零点.

X

【答案】①.0.54②.1

【解析】

712.46

【分析】利用诱导公式可得sin二+1=cosl,将％=1代入cosx=l-三X+土-土+计算可得

22!4!6!

'+1］的近似值；分析函数/（X）在［o,g］上的单调性，计算出了2

sin的近似值，结合零点

存在定理可得出函数〃x）=ex-（1在区间内的零点个数.

x

I2I4I6111

【详解】sinR+1=cos1=1-—+------+=1-—I--------

2!4!6!224720

=1-0.5+0.041-0.005+a0.54,

、y」1在但

因为函数>=6‘上均为增函数，所以，函数/（X）在上为增函数,

X

J)3

1

因为

e2-2=-2+1+2+')+')+«-0.5+0.125+0.021+«-0.354<0,

I1!2!3!

33

2

3一。+1+3+工».1

1=—+1+v+>0,

221!2!3!62!3!

_L2

由零点存在定理可知，函数“X）在有且只有一个零点,

2J3

故函数/（X）在上只有一个零点.

故答案为：0.54；1.

|lnx|,0<x<e

16.已知函数〃x）=<TUC，方程/（"=左有四个不相等的实数根%，%，/，%，则实数

sin—,e<%<5e

2e

X]+/+%+x4的取值范围为

【答案】［6e+2,7e+g

【解析】

【分析】将问题转化为了（尤）与'=左有四个不同交点，采用数形结合的方式可确定四个根所处的范围，结

合对勾函数单调性和正弦型函数的对称性可求得所求范围.

【详解】不妨设%1<x2<x3<x4,

方程/（%）=左有四个不相等的实数根等价于/（%）与y=左有四个不同交点,

作出/（九）图象如下图所示，

由图象可知：一<1<%2<e<%3<2e,4e<x<5e,

e4

=|lnx21，「.Tn玉=lnX2，即ln}=ln%2，.，.:二9；

y=x+」在j上单调递减，再+，£12,e+，),即玉+々£(2,e+，],

x\J玉[eJveJ

又W，4关于x=3e对称，，X3+X4=6e,

Xj+x2+x3+x4e16e+2,7e+—.

故答案为：16e+2,7e+—].

【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的取值范围的求解问题，解题关键是能够将问题转化为了(九)与y=4

的交点的问题，采用数形结合的方式确定交点横坐标的取值范围，进而结合函数单调性和对称性来求解范

围.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知集合&={%|1082尤>1},B={x|(x-a+l)(x-«-l)<0}(aeR).

(1)当a=2时，求Au8；

(2)若尤e5是尤eA的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1)AUB={x|x>l}

(2)[3,+co)

【解析】

【分析】(1)由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法解不等式，再求并集；

(2)由充分必要条件的定义得出3是A的真子集，再由包含关系得出实数。的取值范围.

【小问1详解】

A=|x|log2x>l}={x|x>2}

当a=2时，B=|(x-l)(x-3)<O}=1%11<x<3},

・・.AUB={x|x>l}

【小问2详解】

xe5是xeA的充分不必要条件，「・3是A的真子集,

：.a-l>2,即aZ3,・••实数。的取值范围是[3,+oo).

is.已知函数/(£)=]2+小+〃(根>0,〃>。).

(1)若/(1)=2,求机〃的取值范围；

12

(2)若"2)=5,求一+—的最小值.

mn

【答案】⑴fo,1

(2)8

【解析】

【分析】(1)求得加+〃=1,利用基本不等式结合机〃>0可得出〃〃2的取值范围；

(2)由已知可得出2加+〃=1,将代数式2加+〃与工+2相乘，展开后利用基本不等式可求得工+2的

mnmn

取值范围.

【小问1详解】

解：•・,/(1)=2,・••加+〃=1,

JmnV!即机”<—.

又\>0,〃>0,••m+n>2ylmn即122jmn，

24

当且仅当根=〃二’时等号成立.

2

由题意可知的〉0,，加〃的取值范围是

【小问2详解】

解：：/(2)=5,4+2m+〃=5,即2，“+〃=1.

1/c、An4m八

,**TTl>0,7?>0,--1--=+(2m+n\=4H--1---->4A+2=8，

mnmtmn

n4m

——1〃二工时等号成立.

当且仅当《mn，即加=一

c142

2m+n=l

—।—的最小值是8.

mn

4

19.已知a为钝角，尸为锐角，sin«=-cos(a-=

、)10

(1)求tana,tan]a-£

(2)求sin，.

失tana」兀=7

【答案】（1）tancr

34

e13w

50

【解析】

【分析】（l）根据同角三角函数平方和商数关系可求得tana,由两角和差正切公式可求得tana-1

（2）由同角三角函数平方关系可求得sin（i—力），根据sin^=sin］。—（。―万）］,利用两角和差正弦公

式可求得结果.

【小问1详解】

71.42*sina4

—<a<7isin,/.cosa=-Vl-sina=--/.tana=-------

2f55cosa3

71-4-l

tana-tan—

/.tana--4-^—=7

I4I-4

1、+tanatan—兀

43

【小问2详解】

兀7T

—<a<7t,0</?<5，:.G<a-/3<TI，又cos(a-/?)=

sinn(tz-/?)=Jl-cos2值K巫

\)10

…n")」受何

/.sinp=sin[o-(6r-4)]=sin°cos(a-/?)一

51051050

20.已知二次函数"可满足"2)=2,且关于x不等式/(x)<0的解集为(0,1).

(1)求函数/(九)的解析式;

(2)求关于x的不等式/(x)+〃z(x—l)>O(meR)的解集.

【答案】(1)f(x)=x2-x

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法，先设函数/(尤)的解析式，再结合韦达定理和已知条件求解即可;

(2)由/(力+加(％-1)>0(机€2可化简为(%+"。(％-1)>0,分机=-1、771〉一1三种情况

讨论即可求解.

【小问1详解】

(法一)设/'(X)=G?+fot+c(a>0),

f(2)=4a+2b+c=2

a—\

0+1-

由己知可得■解得<b=-\,

a

c=0

0x1，

、a

所以所求解析式为/(x)=%2-X.

(法二)设/(x)=ar(x_l)(a〉o),

由/(2)=2a=2,所以a=l.

所以所求解析式为/(x)=x(x—1)=£-

小问2详解】

由⑴可知，/(x)=x2-x,

则不等式/(%)+加(1-1)>0可化为：(x+m)(x-l)>0.

当机=-1时，不等式为（X—1）2>0,此时不等式的解集为

当771<-1时，不等式的解集为或％>-7>；

当771>-1时，不等式的解集为{x|x<一加或龙〉1}.

21.将某种药物首次注射进患者的血液中，血液中药物含量。随时间/变化的图象如图所示.在注射期间,

。与/成正比；停止注射后，血液中的药物含量以每小时20%的比例衰减.

（1）根据图中提供信息，写出血液中的药物含量。与时间/的函数关系式；

（2）此种药物在病人血液中的量保持在lOOOmg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有危险，那么

停止注射后，应在什么时间范围内再向病人的血液补充这种药物.（参考数据：lg2a。.30,1g3ao.48）

960t,0<t<2

【答案】（1）。。）=「4丫

3000x-,t>2

（2）2.8小时至5.8小时

【解析】

【分析】（1）分别讨论注射期间和停止注射后的情况，结合图象可确定关系式；

（2）根据题意可构造不等式50043000x（[]<1000,根据指数和对数运算法则可求得2的范围，即

为所求时间范围.

【小问1详解】

在注射期间，。与方成正比，

当）«0,2）时,设Q«）=W（LeR）,贝UQ（2）=2左=1920,解得:左=960,.0。=960/；

停止注射后，血液中的药物含量以每小时20%的比例衰减，

由图可知，当/e[2,+oo）时，Q⑴=1920x]：J=3000x（1],