中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：二次函数(解析版)

专题13二次函数

【专题目录】

技巧1:二次函数的图像与系数的六种关系

技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型

技巧3：求二次函数表达式的常见类型

【题型】一、二次函数的图象及性质

【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系

【题型】三、二次函数的对称性

【题型】四、二次函数的最值

【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式

【题型】六、二次函数平移问题

【题型】七、二次函数解决实际问题

【考纲要求】

1、理解二次函数的有关概念，会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.

2、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移.

3、熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题.

【考点总结】一、二次函数

一般地，如果y=ad+bx+c(mb,c是常数，存0),那么y叫做x的二次函数.

注意：

二次

(1)二次项系数分0；

函数

^a^+bx+c必须是整式；

的概念(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；

(4)自变量x的取值范围是全体实数.

二次函数)=加+云+。3,b,。为常数，存0)

次

一次函数

函的图象及

性质

数

*

图象

(«>0)伍＜0）

开口方向开口向上开口向下

直线一/直线一方

对称轴X=X=

(b_4ac-lr\(b_4〃c—吟

顷点坐标I2a4。)12a4aJ

当x＜一昱时，y随工的增大而减小；当X＜一畀寸，y随X的增大而增大；

增减性

当Q一聂时，）'随x的增大而增大当》》一5时，）'随x的增大而减小

、i,bq'目।/士4ac-加当一三时，有最大值嗫

最值当X—2。时’y有取小值4ax=y2

【考点总结】二、二次函数y=a（x-/i）2的性质

1、抛物线y=a（x-〃1的顶点式（A,。），对称轴是平行于y轴的直线x=/u

2、当。〉0时，抛物线y=a（x—〃］在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，

并且向上无限伸展；

当。＜0时，抛物线y=a（x-〃『在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并

且向下无限伸展。

3、当。＞（）时，在对称轴（x=〃）的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴

（x=h）的右侧，y随着x的增大而增大；当尤=/z时，函数y的值最小（是0）：

当。＜0时，在对称轴（x=//）的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴（x=/z）

的右侧，y随着x的增大而减小；当x=/?时，函数y的值最大（是0）。

4、二次函数y=a（x-/z）2与y=ac2的图像形状相同，可以看作是抛物线

了=底整体沿x轴平移了网个单位（当〃〉0时，向右平移同个单位；当//＜（）

时，向左平移网个单位）得到的。

【考点总结】三、二次函数y=a（x—〃『+k与y的关系

二次函数y=a（x-〃）-+人与y-ax2的关系

①一般地，由>=依2的图像便可得到二次函数y=a（x-〃）~+Z的图像：y=a（x+左（々00）的

图像可以看成先沿x轴整体左（右）平移了同个单位（当〃>0时，向右平移同个单位；当

〃<0时，向左平移网个单位），再沿y轴整体上（下）平移了同个单位（当％>0时，向上平移网

个单位；当Z<0时，向下平移网个单位）。

②因此，二次函数y=a（x-/z）2+&的图像是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,〃，攵

的值有关

二次函数y=a（x—/z）2+k的图像与性质

抛物线y=a^x—hy+左(。＞0)y=a^x—lif+%(a〈0)

顶点坐标(h,k)(h,k)

对称轴直线X=〃直线X=〃

位置由//和4的符号确定由/z和女的符号确定

开口方向向上向下

增减性在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的左侧，y随着工的增大而增大；

在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧，y随着工的增大而减小。

最值当％时，最小值为％当％=〃时，最大值为女

开口大小\a\越大，开口越小，IM越小，开口越大。

【注意】

二次函数ax2+&x+c=O

①〃决定开口方向及开口大小，这与y—zx2中的〃完全一样.

4>0时，抛物线开口向上；。<0时，抛物线开口向下；〃的绝对值越大，开口越小.

b

②。和〃共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=----,故：

2a

bb

A.6=0时，对称轴为y轴；B.x=---->0（即。力同号）时，对称轴在y轴左侧；C.尤=-----<0（即a力

2a2a

异号）时，对称轴在y轴右侧.（口诀广左同右异”）

【技巧归纳】

技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系

【类型】一、a与图像的关系

1.如图，四个函数.的图像分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③丫=。*?；©y=dx2,则a,b,c,d的大小

关系为（）

4.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.b>a>d>c

【类型】二、b与图像的关系

2.若二次函数y=3x2+（b-3）x-4的图像如图所示，则b的值是（）

A.-5B.0C.3D.4

3.当抛物线y=x2-nx+2的对称轴是y轴时，n0；当对称轴在y轴左侧时，n0；当对称轴在

y轴右侧时，n0.（填“〉或“=”）

【类型】三'c与图像的关系

4.下列抛物线可能是y=ax2+bx的图像的是（）

5.若将抛物线y=ax?+bx+c—3向上平移4个单位长度后得到的图像如图所示，则c=

【类型】四'a,b与图像的关系

6.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列说法中不正确的是（）

A.a>0B.b<0C.3a+b>0D.b>-2ar

【类型】五、a,c与图像的关系

7.二次函数y=（3—m）x2—x+n+5的图像如图所示，试求：（m—3）2+^^一|m+n|的值.

【类型】六、b,c与图像的关系

8.【中考・六盘水】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，贝1（）

A.b>0,c>0B.b>0,c<0C.b<0,c<0D.b<0,c>0

【类型】七、a,b,c与图像的关系

9.在二次函数y.=ax2+bx+c中，a<0,b>0,c<0,则符合条件的图像是（）

10.如图，已知二次函数y=ax?+bx+c(a/))的图象如图所示，给出以下四个.结论:

①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac-b2<0.其中正确的结论有（）

A.1个8.2个C.3个O.4个

参考答案

1.A点拨：本题运用数形结合思想，在二次函数y=ax2中，|a|越大，其图像的开口越小，所以①，②中,

a>b>0,③，④中，d<c<0,所以a>b>c>d,故选A.

2.C点拨：•••二次函数y=3x2+(b—3)x—4的图像关于y轴对称，，b—3=0,b=3.

3.=：<；>

4.D5.16.D

3—m>0,m<3»

7.解：由图像知解得

n+5<0,n<-5.

Am—3<0,m+n<-2.

:(m-3)」+M^一|m+n|=3—m-n+m+n=3.

8.B点拨：・・,二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下，.・.aV0.・・,二次函数的图象与y轴交于负半轴,

Ac<0.

卜

，

:对称轴x=-7Z?a>0，..b>0.

故选B.

9.D

10.C点拨：首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0,所以abc=0；然后根据x=

1时，y<0,可得a+b+c<0；再根据图象开口向下，可得a<0,图象的对称轴为直线x=-之可得一兴=

—2»b<0,所以b=3,a,a>b；.最后根据二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b?—4ac

>0,所以4ac-b2<0,据此解答即可.

技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型

【类型】一'根据抛物线的特征确定a,b,c及与其有关的代数式的符号

1.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a/））的图像与x轴交于A,B两点，与y轴.交于点C,且OA=OC.则下

列结论：

b2-4acc

①abc<0；②>0；③ac-b+l=0；④OA-OB=一二其中正确结论的个数是.（）

A.4B.3C.2D.1

【类型】二、利用二次函数的图像比较大小

2.二次函数y=-x?+bx+c的图像如图，若点A（x”yi）,B（X2>y2）在此函数图像上，且则yi

与y2的大小关系是（）

A.yi<y，2B.yi<y2C.yi>y2D.yi>y2

【类型】三、利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集

3.二次函数y=ax?+bx+c（a/））的图像如图所示，则当函数值y>0,时，x的取值范围是（）

4.x<-lB.x>3C.-l<x<3D.x<T或x>3

4.如图，二次函数y=ax2+bx+3的图像经过点A(—1,0),B(3,0).,那么一元二次方程ax2+bx=0的根

是.

【类型】四'根据抛物线的特征确定其他函数的图像

5.二次函数y=ax.2+bx的图像如图所示，那么一次函数y=ax+b的图像大致是()

6.如图，A(—1,0),B(2,一3)两点在一次函数yi=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3的图像上.

(1)求m的值和二次函数的表达式；

1.B2.B3.D4.xi=0,x2=25.C

6.解：(1)将点A(—1,0)的坐标代入yi=-x+m,得m=-1；

a—b—3=0,[a=l,

将点A(—1,0),B(2,一3)的坐标分别代入y2=ax?+bx—3,得一.解得c

|4a+2b—3=-3.[b=-2.

y2—x2_2x-3.

(2)易知C点的坐标为(0,-3),一次函数的图像与y轴的交点坐标为(0,-1).

ASAABC=|xf-l-(-3)]xl+|x[-l-(-3)]x2=|x2xl+|x2x2=3.

技巧3：求二次函数表达式的常见类型

【类型】一、由函数的基本形式求表达式

题型1:利用一般式求二次函数表达式

1.已知二次函数y=x2+b.x+c的图像与y轴交于点C(0,—6),与x轴的一个交点坐标是A(—2,0).

(1)求二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标;

(2)将二次函数的图像沿x轴向左平移|个单位长度，当y<0时，求x的取值范围.

题型2：利用顶点式求二次函数表达式

2.已知二次函数y=ax?+bx+c,当x=l时，有最大值8,其图像的形状、开口方向与抛物线y=-2x?相

同，则这个二次函数的表达式是()

A.y=_2x2—x+3B.y=—2x2+4

C.y=-2x2+4x+8D.y=-2x2+4x+6

3.己知某个二次函数的最大值是2,图像顶点在直线y=x+l上，并且图像经过点(3,-6).求这个二次函

数的表达式.

题型3:利用交点式求二次函数表达式

4.已知抛物线与x轴交于A(l,0),B(-4,0)两点，与y轴交于点C,且AB=BC,求此抛物线对应的函

数表达式.

题型4:利用平移法求二次函数表达式

5.把二次函数y=2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式是

6.已知y=M+bx+c的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图像的表达式为y

=x2—2x—3.

(l)b=,c=；

(2)求原函数图像的顶点坐标；

(3)求两个图像顶点之间的距离.

题型5：利用对称轴法求二次函数表达式

7.如图，已知抛物线y=-x?+bx+c的对称轴为直线x=l,且与x轴的一个交点为(3,0),那么它对应的

函数表达式是_______________

8.如图，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3),

(1)求抛物线的表达式;

(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.

0A\x

题型6:灵活运用方法求二次函数的表达式

9.已知抛物线的顶点坐标为(一2,4),且与x轴的一个交点坐标为(1,0),求抛物线对应的函数表达式.

【类型】二、由函数图像中的信息求表达式

10.如图，是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是()

-1/o

A.y=x?-x—2B.y=-gx+2C.y=—£x+lD.y=-x?+x+2

11.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等.如图中的折线ABD,线段CD分别表示该产品

每千克生产成本%(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：依)之间的函数关系.

(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；

(2)求线段AB所表示的yi与x之间的函数表达式；

(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

"/元，

120

60

42

90130加kg

【类型】三'由表格信息求表达式

12.若丫=2*2+6*+的则由表格中信息可知y与X之间的函数关系式是()

X-101

ax21

ax2+bx+c83

A.y=x2—4x+3B.y=x2—3x+4C.y=x2—3x+3D.y=x2—4x+8

13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a和）自变量x和函数值y的部分对应值如下表：

X-1——01

_5_9_57

-2-20

y~4~4一44

则该二次函数的表达式为.

【类型】四、几何应用中求二次函数的表达式

14.某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方

形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG

区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图像大致是（）

【类型】五、实际问题中求二次函数表达式

15.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用28〃7长的篱笆围成一

个矩形花园ABCD（篱笆只围AB,BC两边），设AB=x,〃，花园的面积为S,层.

（1）求S与x之间的函数表达式；

（2）若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15机和6〃3要将这棵树围在花园内（含边界，不考

虑树的粗细），求花园面积的最大值.

参考答案

1.解：(1)•.•把C点坐标(0,-6)代入二次函数的表达式得C=-6,把A点坐标(一2,())代入y=x?+bx-6

得b=-1,

二次函数的表达式为y=x?-x—6.

即丫=@-02.

顶点D的坐标为(｝，一苧).

(2)将二次函数的图像沿x轴向左平移］个单位长度所得图像对应的函数表达式为y=(x+2)2-y.

令y=0,得(x+2)2—亨=0,

19

解得X|=E，X2=-2-

Va>0,

91

当y<0时，x的取值范围是一

2.D

3.解：设二次函数图像的顶点坐标为(x,2),则2=x+l,所以x=l,所以图像的顶点坐标为(1,2).设二

次函数的表达式为y=a(x—l>+2,将点(3,—6)的坐标代入上式，可得a=-2.所以该函数的表达式为y=

—2(x—1)2+2,即y=-2X2+4X.

4.解：由,A(1,0),B(-4,0)可知AB=5,OB=4.

又・.,BC=AB,・・.BC=5.

在RfABCO中，OC=MBC2—OB2=.52—42=3,

・・・C点的坐标为(0,3)或(0,-3).

设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-l)(x+4),将点(0,3)的坐标代入得3=a(0-l)x(0+4),解得a

_3

―一不

将点(0,—3)的坐标代入得一3=a(0—l)x(0+4),解得a=(.

该抛物线对应的函数表达式为y=-1(.x—l)(x+4)或y=1(x—l)(x+4),即y=—1x2—^x+3或y=1x2

+23.

点拨：若给出抛物线与x轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x轴的两交点间的距离，通常可设交点式

求解.

5.y=2x2+4x

6.解：(1)2；0

(2)原函数的表达式为y=x?+2x=(x+1)?—1.

其图像的顶点坐标为(一1，-1).

(3)原函数图像的顶点为(-1,-1),新函数图像的顶点为(1,-4).由勾股定理易得两个顶点之间的距

离为，五

7.y=-X2+2X+3

8.解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x+；/+k.

f^a+k=0,fa=—

把点(2,0),(0,3)的坐标代入，得＜解得《

|ja+k=3.[k=y.

即y,=一我―%+3.

(2)由y=0,得—gx+；)~+,=0,

解得xi=2,X2=-3,，B(-3,0).

①当CM=BM时，：BO=CO=3,即△BOC是等腰三角形，.•.当M点在原点O处时，△MBC是等

腰三角形.

.•.M点坐标为(0,0).

②当BC=BM时，在RABOC中，BO=CO=3,由勾股定理得亩=3啦，.-.BM=3A/2.

，M点坐标为(3巾一3,0).

综上所述，点M坐标为(0,0)或(3小一3,0).

4

-

cbca=9

一五=一2，

解：方法一：设抛物线对应的函数表达式为由题意得＜解得vb

9.y=ax2+bx+c,4ac-b?--196

4a-%

C-290

＜a+b+c=0.・

抛物线对应的函数表达式为y--1x2-yx+^.

方法二：设抛物线对应的函数表达式为y=a(x+2)2+4,将点(1,0)的坐标代入得0=a(l+2-+4,解

得a=_*

4

.••抛物线对应的函数表达式为y=—§(X+2)2+4.

16

即y=V

方法三：•..抛物线的顶点坐标为(-2,4),与x轴的一个交点坐标为(1,0),

.•.抛物线的对称轴为直线x=-2,与x轴的另一个交点坐标为(-5,0).

设抛物线对应的函数表达式.为y=a(x-l)(x+5),将点(-2,4)的坐标代入得4=a(-2-1)(—2+5),

二抛物线对应的函数表达式为y=，x-l)(x+5),

即y=~1x2-yx+y.

点拨：本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题

目条件灵活选择方法，如本题中，第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量

小.

10.D

11.解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130依时，该产品每千克生产成本与销售价相等，

都为42元.

(2)设线段AB所表示的y,与x之间的函数表达式为yi=k1x+bi.

因为yi=kix+bi的图像过点(0,60)与(90,42),

bi=60,

所以

[90ki+bi=42.

fk^-0.2,

解方程组得八

lbi=60.

这个一次函数的表达式为yi=-0.2x+60(0Wx$90).

(3)设y2与x之间的函数表达式为y2=k2x+b2.

因为y2=k2x+b2的图像过点(0,120)与(130,42),

b=120,

所以2,

[130k2+b2=42.

k2=—0.6,

解方程得」

>2=120.

这个一次函数的表达式为y2=-0.6x+120(0<x<l30).

设产量为x依时，获得的利润为W元.

当0<x<90时，W=X[(-0.6X+120)-(-0.2X+60)]=-0.4(X-75)2+2250.

所以，当x=75时，W的值最大，最大值为225().

当90<x<130时，W=x[(-0.6x+120)-42]=-0.6(X-65)2+2535.

当x=90时，W=-0.6x(90-65)2+2535=2160.

由-0.6V0知,当x>65时,W随x的增大而减小，所以90〈xW130时，W<2160.

因此，当该产品产量为75依时，获得的利润最大，最大利润是2250元.

12.A13.y=x2+x—2

14.A点拨：先求出△AEF和ADEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数

表达式.

11,113-x

SAAEF，=/AEXAF=SX-,SADEG=/DGXDE=1X1X(3—x)=—，

1

c。cc23-X12,I215

S五边形EFBCG-s正方形ABCD-SAAEF-SADEG-9—2X——9———2X--^2X-'-1

则y=4x(-我+表+辛卜-2X2+2X+30.

V0<AE<AD,，0Vx<3,

y=-2x2+2x+30(0<X<3).

故选A.

15.解：(l)：AB=xm,；.BC=(28-x)m.

于是易得S=ABBC=x(28-x)=~x2+28x.

即S=-X2+28X(0<X<28).

x>6,

(2)由题意可知，'

28-x>15.

解得6WXW13.

由(1)知，S=-X2+28X=-(X-14)2+196.

易知当6VxW13时，S随x的增大而增大，，当x=13时，S设火w=195,即花园面积的最大值为195“R

【题型讲解】

【题型】一、二次函数的图象及性质

例1、二次函数y=ar2+H+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是()

A.若(—2,y),(5,%)是图象上的两点，则,>必

B.3a+c=0

C.方程or?+bx+c=_2有两个不相等的实数根

D.当x20时，y随x的增大而减小

【答案】D

【提示】根据二次函数的图象与性质(对称性、增减性)、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得.

,b

【详解】由函数的图象可知，二次函数丁=依2+法的对称轴为％=——=1

2a

则当时，y随x的增大而增大；当%>1时，y随x的增大而减小，选项D错误

由对称性可知,x=4时的函数值与x=—2时的函数值相等

则当x=4时，函数值为y

,4<5

y,>y2-则选项A正确

b

------=1

2a

:.b=-2a

又二当％=—1时，a-b+c=O

a-(—2a)+c=0,即3a+c=0,选项Bi上确

由函数的图象可知，二次函数y=ax2+/>x+c的图象与x轴有两个交点

则将二次函数y=ox?+汝+c的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数了=融2+乐+。+2与x轴也

有两个交点

因此，关于x的一元二次方程⑪2+法+0+2=0有两个不相等的实数根

即方程办2+版+。=-2有两个不相等的实数根，选项C正确

故选：D.

【题型】二.二次函数的图象与系数之间的关系

例2、如图，抛物线y="2+bx+c（@0）与x轴交于点（4,0）,其对称轴为直线x=l,结合图象给出下列

结论：

①ac<0；

@4a-2b+c>0；

③当尤>2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax^+hx+c^O有两个不相等的实数根.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【提示】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可.

【详解】解：抛物线开口向上，因此。>0,与y轴交于负半轴，因此c<0,故ac<0,所以①正确；

抛物线对称轴为x=l,与x轴的一个交点为（4,0）,则另一个交点为（-2,0）,于是有4。-2/>+c=0,所

以②不正确；

x>l时，y随x的增大而增大，所以③正确：

抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程以2+云+,=0有两个不相等的实数根，所以④正

确;

综上所述，正确的结论有：①③④,

故选：C.

【题型】三、二次函数的对称性

例3、抛物线、=加+云+。（。＜0）与X轴的一个交点坐标为（-1,0）,对称轴是直线x=l,其部分图象如

图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）

A.B.（3,0）C.（训D.（2,0）

【答案】B

【提示】由函数的对称性可得结论.

【详解】

解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x,0）,

：抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,对称轴是直线x=1,

...x+（1）_],解得x=3,

2

此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0）,

故选：B.

【题型】四、二次函数的最值

例4、点P。”，〃）在以y轴为对称轴的二次函数产/+如+4的图象上.则机-〃的最大值等于（）

151517

A.—B.4C.—D.~-

444

【答案】C

【提示】根据题意，可以得到。的值以及，"和”的关系，然后将，小〃作差，利用二次函数的性质，即可求

出m-n的最大值.

【详解】解：•••点P（加，〃）在以y轴为对称轴的二次函数y=N+or+4的图象上，

.,.4=0,

**.n=ZTi2+4,

m-n=m-(w2+4)=-m2+m-4--(m---)2--

24

当m=1时，m-n取得最大值，此时m-n=--,

24

故选：C.

【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式

例5、已知二次函数^=以2+8龙+c（a,"c是常数，。。0）的y与X的部分对应值如下表:

X-5-4-202

y60-6-46

下列结论：

①a>0；

②当x=—2时，函数最小值为-6；

③若点（一8,%）,点（8,%）在二次函数图象上,则X<%；

④方程ax2+bx+c=-5有两个不相等的实数根.

其中，正确结论的序号是.（把所有正确结论的序号都填上）

【答案】①③④

【提示】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质

可判断②；把点（一8,必）和点（8,%）代入解析式求出）“、”即可③；当产-5时，利用一元二次方程的根

的判别式即可判断④，进而可得答案.

【详解】解：由抛物线过点（-5,6）、（2,6）、（0,-4）,可得：

25a-5b+c=6a=1

<46f+2Z?+c=6,解得：<b=3,

c=-4c=-4

・・・二次函数的解析式是y=/+3%一4,

/.a=l>0,故①正确；

325

当工=一不时，），有最小值一一，故②错误；

24

若点（—8,y），点（8,必）在二次函数图象上，则X=36,y2=84,A<y2,故③正确；

当产-5时，方程f+3x—4=—5即x2+3x+l=0,•••△=32—4=5>0，；•方程。^+&+0二―5有两

个不相等的实数根，故④正确；

综上，正确的结论是：①③④.

故答案为：①③④.

【题型】六、二次函数平移问题

例6、把函数y=（x-iy+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A.y=%2+2B.y=（x-1）2+1

C.y=（x-2）2+2D.y=（x-l）2-3

【答案】C

【提示】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀”左加右减、bJ口下减”即可解答.

【详解】把函数y=（x-iy+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为

y=[（尤一1）—1]+2=（%—2）'+2,

故选：C.

【题型】七、二次函数解决实际问题

例7、如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABC。，为美化环境，用总长为100，〃的篱笆

围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.

（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE=3BE；

（2）在（1）的条件下，设的长度为笛小矩形区域ABCD的面积为ym\求y与x之间的函数关系式,

并写出自变量X的取值范围.

〃〃〃/〃〃〃/〃〃/,//

AHD

M-----------A----------N

EF

BC

【答案】（1）见解析；（2）^=-|X2+40X

o<x<F-见解析.

【提示】（1）由题意易得AM=2ME,故可直接得证；

（2）由（1）及题意得2A8+G〃+38C=100,设8C的长度为切n矩形区域48CO的面积为％2即可得出函

数关系式.

【详解】解：（1）证明：・・•矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，

:・ME=BE,AM=GH.

;四块矩形花圃的面积相等，即S也形AMDND=2S地形MEFN，

・・・AM=2ME,

:・AE=3BE；

(2)•・,篱笆总长为100m,

・・・2AB+G”+3BC=100,

即2AB+!AB+38C=100,

2

A

二AB=40——BC

5

设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为)加,

则y-BC-AB=x140—：x-^x2+40x,

AB=4Q--BC,

5

二EB=---x>0,

35

JOO

解得％<,

3

>'=--|x2+4Oxfo<x<

二次函数（达标训练）

一、单选题

1.（2022•广东广州•一模）如图，二次函数>=加+"的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点尸的

横坐标为-1,则一次函数>•=（a-b）x+6的图象大致是（）

y

【答案】D

【分析】根据二次函数的图象可以判断“、从的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本

题得以解决.

【详解】解：由二次函数的图象可知,

a<0,b<0,

当k-1时，y=a-b<0,

.-.y=（a-b）x+匕的图象在第二、三、四象限,

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答.

2.（2022・山东烟台・二模）二次函数）=江+灰+。（的⑼的图象如图所示,对称轴为直线x=1.下列结论:①帅c>0；

②若（-3,yi）,（4,》）在抛物线上，则〃勺2；③当T<x<3时，产0时；④8a+c>0.其中正确的有（）

C.①③④D.②④

【分析】根据抛物线开口方向得到根据抛物线的对称轴得〃=-2aV0,抛物线与），轴的交点在x轴下

方得到c<0,可对①进行判断；通过点（-3,>>/）和点（4,”）离对称轴的远近对②进行判断；观察图象,

抛物线与x轴的一个交点Tv<0,可对③进行判断；由当x=-2时，y>0,则4a-2b+c>0,得至lj8“+c>0,

则可对④进行判断.

【详解】解：①抛物线开口向上，则”>0,抛物线与y交于负半轴，则c<0,

x=--=1,即b=-2a,则b<0,

la

.,.abc>0,故①正确;

②；（-3,），/）离对称直线；c=l的距离为1-（-3）=4,

（4,y2）离对称直线41的距离为4-1=3,

.♦.点（-3,>-/）离对称轴要比点（4,”）离对称轴要远，

又,••抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，4>3,

.♦.#>”，故②错误；

③观察图象，抛物线与x轴的一个交点为TVr<0,

...当T<r<3时，y不一定小于0；故③错误；

④当户-2时，y>0,贝ij4“-2b+c>0,

•/b=-2a,

・・・8a+c>0,所以④正确;

综上，正确的有①④，

故选：B.

【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数尸加+W+C系数符号与抛物线开口方向、

对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键.

3.（2022.河南新乡.二模）二次函数产-F+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（）

A.（2,11）,x=2B.（2,3）,x—2C.（-2,11）,x=-2D.（-2,3）.x=2

【答案】A

【分析】将题目中函数解析式化为顶点式，从而可以得到该函数的顶点坐标和对称轴，本题得以解决.

【详解】解：•••y=-x2+4x+7

=-（x-2）2+11,

二该函数的顶点坐标是（2,11）,对称轴是直线x=2.

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的顶点式解答.

4.（2022•黑龙江哈尔滨•三模）将抛物线丫=-；^向左平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度，则平

移后得到的抛物线解析式是（）.

A.y=_g（九-2）2.1B.^=-^（x-2）2+1

1]、,

C.y=-5（X+2）7—1D.y=——（x+2）+1

【答案】D

【分析】根据“左加右减、上加下减''的原则进行解答即可.

【详解】解：将抛物线/先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析

式为：y=-g（x+2）2+1.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

5.（2022・福建福州•一模）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（）

A.y=22-2xB.y=5x2

C.y=2x2-3x3+iD.y=!

【答案】B

【分析】根据二次函数的定义：y卬2+加+40二0）进行判断即可.

【详解】A、y=22-2x不是二次函数，不符合题意；

B、y=5f是二次函数，符合题意；

C、y=2x2-3x3+\,不是二次函数，不符合题意；

D、y=4