四川成都某中学2023年九年级上学期开学数学试卷

四川省成都2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷(解析版)

一、选择题(每小题4分，共32分)

A.x>-\B.-1C.x>-l且x#0D.且xWO

3.(4分)若aW〈bd,则下列各不等式不成立的是()

A.a<bB.a-\<b-\C.2a>2bD.-a>-b

4.(4分)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是()

A.A2-y2-1—(x-y)(x+y)-1B.a(a+2)—a1+la

C.4/-8xy+4/=(2x-2y)2D./-25=(x-5)(x+5)

5.(4分)如图，在四边形ABC。中，AD//BC,添加下列条件后，不能判定四边形A8C。一定是平行四边

A.AD=BCB.AB=DCC.AB//CDD.NB=ND

6.(4分)在平面直角坐标系中，将点M(2“-1,”-3)向左平移3个单位长度后在y轴上，则点M的坐

标是()

A.(-I,-4)B.(3,-1)C.(3,-5)D.(-1,-3)

7.(4分)如图，在中，ZC=60°,以点8为圆心，适当长度为半径画弧，分别交BA,于点E,

凡再分别以点E,尸为圆心，大于_^EF的长为半径画弧，两弧交于点G,作射线BG,交AC于点。，

若AO=8。，则/A的度数为()

B

8.（4分）如图，在口ABC。中，/4BC的平分线交AO于点E,过点A作垂足为点凡若4F=

DE=5,BE=24,则BC的长为（）

二、填空题（每小题4分，共20分）

9.（4分）一个正多边形的一个外角等于45°,则这个正多边形的边数是.

10.（4分）分解因式：a2（b-1）-4（b-1）=.

11.（4分）若点A（2a+6,1）在第二象限，则。的取值范围.

12.（4分）如图，直线yi=-2x-3与直线”=丘+4交于点A（a,1）,则关于x的不等式-2r-3＞履+4

的解集是___________

13.（4分）如图，在口4BCZ）中，对角线AC与8。交于点O,NBAO=80°,点E为AO中点，连接EO,

若OD平分NEOC,则NABD=度.

A.ED

B

三、解下列各题

(12分)⑴计算：V^+iVs^i-J^-c-i)20235

14.

'x-5>3x+l①

(2)解不等式组：x+i2x+l

<1(2)-

23

2

(8分)化简并求值：&ja-2+(a+2)/V，其中J“-5=0.

15.

a"-3aa"-2a+l

16.(8分)如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为1个单位长度，aABC的三个顶点的坐标分

别是A(3,4),B(3,1),C(1,2).

(1)将△ABC绕点。顺时针旋转90°,点A的对应的为Ai，点8的对应的为B”点C的对应的为Ci,

画出旋转后的△A1B1C1；

(2)将△AiBiCi平移使点Ai与点A2(-2)重合，点21的对应的为点。的对应的为C2，画

出平移后的282c2并写出比点坐标；

(3)求出线段平移经过的图形面积.

17.(10分)已知：如图1,在四边形ABC£>中，NABC=/DCB,四边形是平行四边形，DF交BC

于点E,连接AE、CF,CF=BF.

(1)求证：△AOE丝△FCO；

(2)如图2,连接力B交AE于点G,连接CG,若AG=L>C.求证：四边形8尸CG是菱形.

AA

34

FF

图I图2

18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线ygx-3与x轴、y轴分别相交于A、8两点，点C在线段

OA上，将线段CB绕着点C逆时针旋转90°得到线段8,此时点。恰好落在直线AB上.

（1）求出线以AB的长度；

（2）求出8c的函数关系式：

（3）若点E是x轴上的一个动点，点F是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、E、

尸为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由.

四用图

一、填空题（每小题4分，共20分）

19.（4分）已知x+/=2百，xy--2,贝I]1y5=.

20.（4分）五张背面完全相同且不透明的卡片分别写有-2,-1,0,I,2,充分洗匀并任意抽取一张读数

记为“，关于x的分式方程生-1一一有正整数解的概率为_________________.

x-21x-2

21.（4分）如图，四边形ABC3中，AC、8。是对角线，△ABC是等边三角形，ZADC=30°,AD=4,

BD=5,则CD的长为.

22.(4分)已知三角形具有稳定性，四边形则不具有稳定性，如图，在四边形A8CO中，AB=2,BC=4,

CD=2ZABC=90°,E为边AO的中点，连接BE,则线段BE长的最大值

23.(4分)在平面直角坐标系中，点P(a,6),点P的“变换点”。的坐标定义如下：当a<b时，。(a,

-b),当a>b时，Q(a+1,6-5),线段m：y=-x+2(-20W6)按上述“变换点”组成新图形，

直线y=2fcc+l与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围.

二、解答题(共30分)

24.(8分)为圆满完成第40届全国青少年信息学奥林匹克竞赛承办任务.为满足竞赛设备需求，学校准备

再购买一批A型电脑和B型电脑，A型电脑比B型电脑单价贵1000元/台，用20000元购买4型电脑与

用16000元购买B型电脑购得的数量一样多.

(1)求两种型号电脑单价分别为多少元？

(2)学校新建两个电脑室需购买80台电脑，计划总费用不超过360000元，并且要求A型电脑数量不

能低于30台，如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点记为O,直线AB：丫4*+6与*轴于点交A，与y轴

交于点B,过点B的直线与x轴于点交C,AC=WC.

(1)求直线3c的函数表达式；

(2)点。在直线A8上，使得△BC£>是以BC为腰的等腰三角形，求点。的坐标；

(3)坐标平面内一点P(-8,-2),连接BP交x于点。，连接AP,在坐标平面内是否存在点E,使

得AE=AB,若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由.

26.(12分)己知：如图，在矩形ABCO中，点E在边BC上，以OE为边作矩形DEG尸，其中G尸经过点

A,连接AE、BG.

(1)若点A是G尸的中点，求证：EZ)是/AEC的平分线；

(2)若BG=AG,CE=1,AF=2,求的长；

(3)若四边形4BCO是边长为10的正方形，BG=BE,求出4G的长.

B

BE

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共32分）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可.

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误;

8、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确;

。、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误.

故选：C.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.（4分）函数中自变量x的取值范围是（)

A.x>-IB.x2-1C.x>-1且x#0D.x2-1且x#0

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【解答】解：由题意得，x+l>0,

解得x>1.

故选：A.

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

3.（4分）若则下列各不等式不成立的是（）

A.a<bB.a-\<b-\C.2a>2bD.-a>-b

【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.

【解答】解：A、根据ac2Vbe2,得成立，不符合题意；

B、根据a?〈加2,得。-1<t>-1成立，不符合题意；

C,根据得2“<26原选项不成立，符合题意；

D、根据ac2cbe2,得-“>-/?成立，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了不等式性质，熟练掌握不等式性质是本题突破的关键.

4.(4分)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是()

A.x2-/-i=(x-y)(x+y)-1B.a(a+2)—a2+2a

C.4/-8孙+4/=⑵-2y)2D.，-25=(x-5)(x+5)

【分析】根据因式分解的定义及因式分解的方法进行判断即可.

【解答】解：A中等号右边不是整式积的形式，它不是因式分解，则A不符合题意；

8是整式乘法运算，它不是因式分解，则8不符合题意；

C中原式=4(x-y)2,则C不符合题意；

。因式分解正确，则。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查因式分解的定义及方法，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

5.(4分)如图，在四边形48C。中，AD//BC,添加下列条件后，不能判定四边形ABCZ)一定是平行四边

A.AD=BCB.AB=DCC.AB//CDD.NB=ND

【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.

【解答］解：,：AD//BC,AD=BC,

二四边形ABC力是平行四边形，故选项A不符合题意；

B、由AO〃BC,AB=DC,不能判定四边形A8CD是平行四边形，故选项8符合题意;

C、'：AB//CD,AD//BC,

四边形A8c。是平行四边形，故选项C不符合题意；

D、•:AD〃BC,

AZB+ZA=180°,

NB=ND,

/.ZD+ZA=180°,

：.AB//CD,

・・・四边形A8CZ）是平行四边形，故选项O不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解

题的关键.

6.（4分）在平面直角坐标系中，将点3）向左平移3个单位长度后在y轴上，则点用的坐

标是（）

A.（-1,-4）B.（3,-1）C.（3,-5）D.（-1,-3）

【分析】根据点平移的性质可得出平移后的坐标，再根据点在y轴上可知2。-4=0,求出。的值即可得

出M点的坐标.

【解答】解：将点M（2a-1,3）向左平移3个单位长度后得（24-4,。-3）,

•・•点（2。-4,a-3）在y轴上，

・・・2。-4=0,

解得。=2,

2a-1=3,a-3--1>

.♦.点M的坐标是（3,-1）.

故选：B.

【点评】本题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移

减是解题的关键.

7.（4分）如图，在AABC中，NC=60°,以点8为圆心，适当长度为半径画弧，分别交BA,BC于点E,

F,再分别以点E,F为圆心，大于［EF的长为半径画弧，两弧交于点G,作射线BG,交AC于点

若AD=BO,则乙4的度数为（）

B

A.35°B.40°C.45°D.50°

【分析】利用基本作图得到BO平分NBAC,则再利用AQ=BQ得到NAB£>=NA,所

以/ABC=2/A,接着利用三角形内角和定理得到/A+2NA+60。=180°,然后解方程即可.

【解答】解：由作法得8。平分NBAC,

二NABD=NCBD,

'：AD=BD,

：.ZABD^ZA,

：./ABC=2/A,

VZA+ZABC+ZC=180°,

二NA+2NA+60。=180°,

解得NA=40°.

故选：B.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了角平分线的

性质和等腰三角形的性质.

8.（4分）如图，在口ABC。中，/A8C的平分线交AO于点E,过点A作4尸，8E,垂足为点F,若AF=

DE=5,BE=24,则8C的长为（）

A.8B.13C.16D.18

【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB=AE,然后利用等腰三角形的三线合一

的性质得到利用勾股定理求得AB,即可求得答案.

2

【解答】解：•••四边形A8C。是平行四边形，

C.AD//BC,

：.NAEB=/CBE,

AABC的平分线交AD于点E,

：.NABE=NCBE,

：.NABE=NAEB,

：.AB=AE,

'：AF±BE,

:.BE=2BF,

•'-AB=VBF2+AF2=V52+122=13,

：.AE=AB=\3,

：.BC=AD=AE+DE=13+5=18,

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，解题的关键是证得A8=AE,

难度不大.

二、填空题(每小题4分，共20分)

9.(4分)一个正多边形的一个外角等于45°,则这个正多边形的边数是8.

【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可.

【解答】解：3604-45=8(条)，

故答案为：8.

【点评】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°,正多边形的每个外角都相

等是解题的关键.

10.(4分)分解因式：a2(fe-1)-4(/?-l)=4-1)(a+因(a-2).

【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可.

【解答】解：原式=(/?-1)(°2-4)

=(b-1)(a+2)(67-2),

故答案为：Cb-1)(a+2)(a-2).

【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

11.(4分)若点A(2a+6,1)在第二象限，则〃的取值范围aV-3.

【分析】根据第二象限点的坐标特征进行解答即可.

【解答】解：•••第二象限点的坐标特征是横坐标小于0,纵坐标大于0,

：.2a+6<0,

“V-3.

故答案为：a<-3.

【点评】本题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标特征，第二象限点的坐标特征是横坐标小于0是解

题关键.

12.（4分）如图，直线yi=-2x-3与直线”=米+4交于点A（a,1）,则关于x的不等式-2x-3>h+4

的解集是A-<-2.

【分析】写出直线y=-2x-3在直线y=&+4上方所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：把4（。，1）代入川=-2%-3得，4=-2,

二4（-2,1）,

•.,直线yi=-2x-3与直线”=履+4交于点A（-2,1）,

.••不等式-2x-3>k.x+4的解集是x<-2.

故答案为：x<-2..

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数

的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线、=区+6在x轴上（或

下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

13.（4分）如图，在口ABC。中，对角线4c与8。交于点O,/BAO=80°,点E为中点，连接£0,

若OD平分/EOC,则ZABD=50Jg.

【分析】由平行四边形的性质得OB=OD,AB//CD,则/OC£>=/区4。=80°,ZABD^ZCDO,再

由三角形中位线定理得。尸〃AB,则NAOF=NBAO=80°,然后求出NCO£>=』NFOC=50°,最后

2

由三角形内角和定理求解即可.

【解答】解：：四边形ABCD是平行四边形，

：.OB=OD,AB//CD,

.•./OCZ)=/BAO=80°,NABD=NCDO,

♦.•点E为A。中点，

.•.OE为△ABQ的中位线，

J.OE//AB,

二/AOE=/BAO=80°,

AZ£OC=180°-80°=100°,

•.•。。平分/尸。。，

二/COO=1/FOC=50°,

2

AZCZ)O=180°-ZOCD-ZCOD=180°-80°-50°=50°,

AZABD=50°,

故答案为：50.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质以及三角形内角和定理等知

识；熟练掌握平行四边形的性质，求出NCOO=50°是解题的关键.

三、解下列各题

23

14.（12分）（1）计算:+|百-2|噂・(7严；

x-5>3x+l①

（2）解不等式组:

【分析】（1）先算立方根，算术平方根，去绝对值，乘方运算，再合并即可;

（2）求出每个不等式的解集，再求公共解集即可.

【解答】解：（1）原式=-3+2-百-返+1

3

=.473.

3，

（2）解不等式①得：xW-3,

解不等式②得：x>-5,

...不等式组的解集为-5<xW-3.

【点评】本题考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和求

不等式公共解集的方法.

2

15.(8分)化简并求值：生+丑+(a+2)•3士—，其中J-4-5=0.

a-3aa_2a+l

【分析】先把分式的分子和分母分解因式，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘

法法则进行计算，最后把/-。=5代入求出答案即可.

【解答】解：*12+(a+2)・邛

a-3aa-2a+l

=<a+2)(a-1).1.2(a-3)

a(a-3)a+2(a-1)%

=2

a(a-1)

2

a2-a，

・・・/-〃-5=0,

・•・Q2-4=5u，

原式=2.

5

【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算

顺序.

16.(8分)如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分

别是A(3,4),B(3,1),C(1,2).

(1)将△ABC绕点。顺时针旋转90°,点A的对应的为4,点8的对应的为Bi，点C的对应的为Ci，

画出旋转后的△AiBiCi；

(2)将△AiBiCi平移使点4与点4(-1,2)重合，点Bi的对应的为历，点G的对应的为C2，画

出平移后的282c2并写出B2点坐标；

(3)求出线段平移经过的图形面积.

♦y

【分析】(l)利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点Ai，Bi，Ci即可;

(2)利用平移变换的性质分别作出Ai，Bi，Ci的对应点A2，B2,C2即可：

(3)利用平行四边形的面积公式求解.

【解答】解：(1)如图，即为所求；

(2)如图，/XAzB2c2即为所求.历点坐标(-4,2)；

(3)线段AiBi经过的图形面积=3X5=15.

【点评】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

17.(10分)已知：如图1,在四边形ABC。中，NABC=NDCB,四边形ABFO是平行四边形，DF交BC

于点E,连接AE、CF,CF=BF.

(1)求证：△ADE丝△人?£)；

如图2,连接08交AE于点G,连接若AG=OC.求证：四边形BFCG是菱形.

【分析】(1)由平行四边形的性质得。DA=BF,所以NOEC=NABC,而b=8E/A8C=

NDCB,所以。A=CF,NDEC=NDCB,则OE=C。，再证明NAB尸=N£)C兄因为NABF=NEDA,

所以NED4=NQCF,即可证明△4£)£：丝△FC。；

(2)由全等三角形的性质得/AED=/FQC,则AG〃7)C,因为AG=QC,所以四边形4GCD是平行

四边形，可推导出CG〃8尸，CG=BF,所以四边形8尸CG是平行四边形，而CF=BF,四边形BFCG是

菱形.

【解答】证明：(1)二•四边形ABFZ)是平行四边形，

：.DF//AB,DA=BF,

：./DEC=ZABC,

<CF=BF,ZABC=ZDCB,

：.DA=CF,ZDEC=ZDCB,

:.DE=CD,

'：/ABC=NDCB,NFBC=NFCB,

：.NABC+NFBC=NDCB+NFCB,

：.NABF=ZDCF,

'：ZABF=/EDA,

：./ED4=NDCF,

在和△人?£)中，

rDE=CD

'ZEDA=ZDCF»

DA=CF

.♦.△AOE丝△”■£)(SAS).

(2)V/\ADE^/\FCD,

：.NAED=NFDC,

：.AG//DC,

'：AG=DC,

...四边形AGC£)是平行四边形，

J.CG//DA,CG=DA,

'：BF//DA,BF=DA,

J.CG//BF,CG=BF,

...四边形BFCG是平行四边形，

:.CF=BF,

四边形8尸CG是菱形.

【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识,

证明N£>EC=ZDCB及四边形AGCD是平行四边形是解题的关键.

18.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线丫4*-?与x轴、y轴分别相交于A、8两点，点C在线段

OA上，将线段CB绕着点C逆时针旋转90°得到线段CD,此时点D恰好落在直线AB上.

(1)求出线以AB的长度；

(2)求出BC的函数关系式；

(3)若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点(不与点2、C重合)，是否存在以C、D、E、

产为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由.

【分析】(1)分别求出A、B点坐标，再求A8的长即可：

(2)过。点作OGJ_x轴交于G点，证明△OC8gZ\GOC(AAS),设C(t,0),0WrW6,则。(f+3,

7),由。点在直线48上，将。点坐标代入直线解析式求出/的值，可得C点坐标，再由待定系数法

求直线5c的解析式即可；

(3)由(2)可知D(3,-1),设E(X,0),F(n3f-3),(0<r<l),分三种情况讨论：①当CD

为平行四边形的对角线时；②当CE为平行四边形的对角线时；③C尸为平行四边形的对角线时；根据平

行四边形的对角线互相平分性质建立方程求出x的值即可.

【解答】解：(1)当x=0时，y=-3,

：.B(0,-3),

当y=0时，元=6,

・・・A(6,0),

."8=3而；

(2)过。点作OGLv轴交于G点，

VZZ?CD=90°,

AZOCB+ZACD=90°,

•：ZOCB+ZOBC^90°,

...NO8C=NACO,

'：BC=CD,

/.△OCB^AGDC(AAS),

：.DG=OC,CG=OB=3,

设CCt,0),0WfW6,

.,.£)03,-t),

・；£>点在直线AB上，

什3)-3,

2

解得t-\,

：.C(1,0),

设直线BC的解析式为y=kx-3,

：.k-3=0,

解得k=3,

直线BC的解析式为y=3x-3；

(3)存在以C、D、E、尸为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

由(2)可知D(3,-1),

设E(x,0),F(f,3f-3),(0<r<l),

①当CO为平行四边形的对角线时，4=x+t,-l=3r-3,

解得t=2,%=-12.,

33

：.E（红，0）；

3

②当CE为平行四边形的对角线时，l+x=f+3,0=-1+3/-3,

解得t——,

33

此时尸点不存在；

③CF为平行四边形的对角线时，l+f=3+x,3r-3=-l,

解得r=2,x=-支,

33

：.E（-A,o）；

3

综上所述：E点坐标（也，0）或（-9，0）.

33

【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用

平行四边形的对角线互相平分的性质建立方程是解题的关键.

一、填空题（每小题4分，共20分）

19.（4分）已知x+7=2近，xy--2,则昌+4声+如=-24.

【分析】先将原式进行因式分解，再代入计算即可.

【解答】解：•."3），+2/>2+肛3

=xy（7+与+）2）

=xy（x+y）2,

/.当x+y=2\/3，xy=-2时，

原式=-2X（2百）2

=-2X12

=-24.

故答案为：-24.

【点评】此题考查了利用整体思想求代数式的值的能力，关键是能准确进行因式分解和计算.

20.(4分)五张背面完全相同且不透明的卡片分别写有-2,-1,0,1,2,充分洗匀并任意抽取一张读数

记为“，关于x的分式方程&_［」一有正整数解的概率为2.

x-21x-2-5一

【分析】解分式方程得出X=4+l,根据分式方程有正整数解得出-1且再求出。的值，利用

概率公式即可得出答案.

/.2a-(x-2)=x,

・・•分式方程有正整数解，

・・・。+1>0且。+1r2,

・">-1且

Aa=0或2,

・・・使分式方程有正整数解的。的值有两个，

的值使关于x的分式方程有正整数解的概率为2.

x-21x-25

故答案为：2.

5

【点评】本题考查了分式方程的解、概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数

除以所有可能出现的结果数.

21.(4分)如图，四边形A8CD中，AC、8。是对角线，△A8C是等边三角形，NA£)C=30°,4。=4,

80=5,则CD的长为3.

【分析】将△88绕点C顺时针旋转60°得至IJ△4CE,连接CE,DE,由旋转的性质知。C=EC、ZDCE

=/4CB=60°、BD=AE=6,即可得△OCE为等边三角形，根据/AOC=30°得到乙4CE=90°,根

据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：如图所示，将△BCC绕点C顺时针旋转60°得到AACE,连接CE,DE,

由旋转的性质知。C=EC,ZDCE=ZACB=60°,BD=AE=5,

则△QCE为等边三角形，

VZADC=30°,

/.ZADE=90°,

：.AD2+DE2=AE2,

.,.42+D£2=52,

:.DE=CD=3.

故答案为3.

【点评】本题考查旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，正确的

作出辅助线是解题的关键.

22.（4分）已知三角形具有稳定性，四边形则不具有稳定性，如图，在四边形A8CD中，AB=2,BC=4,

CD=2M，/4BC=90°,E为边4。的中点，连接BE,则线段BE长的最大值为_Jg

【分析】取AC的中点凡连接ERBF,求出£凡8凡再利用三角形两边之和大于第三边可求出线段

8E长的最大值.

【解答】解：取4c的中点F,连接EF,BF,

为边AD的中点,

:.EF=1CD,

2

VCD=2^2,

:.EF=H，

'：AB=2,3c=4,/A8c=90°,

，由勾股定理,得AC=JAB2'="'2'+4’=2而，

•../ABC=90°,点尸是4c的中点，

:.BF=1AC=^,

2

♦:BEWBF+EF=A+V2，

线段BE长的最大值为啦,

故答案为：乐啦.

【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形两

边之和大于第三边，将问题转化为三角形两边之和大于第三边求最大值是解题的关键.

23.(4分)在平面直角坐标系中，点尸(a,%),点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当〃〈匕时，Q(a,

-6),当时，Q(a+1,b-5),线段m：y=-x+2(-2&W6)按上述“变换点”组成新图形，

直线>=2"+1与新图形恰好有两个公共点，则人的取值范围-24W-1.

【分析】点P(a,b)在线段相：y=-x+2(-24W6)上，根据已知条件确定a的取值范围以及对应

的直线解析式yi=x-2,y2=-x-2,找到界点A(1,-1),B(1,-3),然后代入解析式y=2履+1,

求出攵的最大值和最小值即可.

【解答】解：•:点P(小b)在线段〃?：y=-x+2(-2WxW6)上，

P(a,-a+2),

令a=-a+2,

a=\,

24W6,

:.当-2WaV1,tz<-a+2,

即4V即

当1时，-a+2,

即叩

・•・当时，Q(〃，a-2),线段为：y\=x-2,

当a^b时，Q(a+1,-a-3),线段为：竺=-x-2,

当时，-2^a<1,

当匕时，1W〃W6,则24+1W7,

如图所示：

直线y=2日+1恒过（0,1）,

若与两线段交于两点，

由图象可知界点A（1,-1）,B（l,-3）,

将A、B两点代入y=2h+1,

得ki=-1,k2—~2,

：.-2WZW-1,

故答案为：-2WkW-l.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式组之间的关系，用待定系数法求函数解析式，理解题意

是解决问题的关键.

二、解答题（共30分）

24.（8分）为圆满完成第40届全国青少年信息学奥林匹克竞赛承办任务.为满足竞赛设备需求，学校准备

再购买一批A型电脑和B型电脑，A型电脑比8型电脑单价贵1000元/台，用20000元购买A型电脑与

用16000元购买8型电脑购得的数量一样多.

（1）求两种型号电脑单价分别为多少元？

（2）学校新建两个电脑室需购买80台电脑，计划总费用不超过360000元，并且要求A型电脑数量不

能低于30台，如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？

【分析】(1)设A型号电脑单价为x元，可得：2000p.=J6000；解方程并检验可得答案；

xx-1000

(2)设A型号电脑购买m台，购买总费用为卬元，由计划总费用不超过360000元，并且要求A型电

脑数量不能低于30台，得30WmW40,而卬=5000，〃+4000(80-加=1000加+320000,根据一次函数

的性质可得答案.

【解答】解：(1)设A型号电脑单价为x元，则8型号电脑单价为(%-1000)元，

根据题意得：20000=16000,

Xx-1000

解得x=5000,

经检验，x=5000是原方程的解，

/.X-1000-5000-1000=4000,

.♦.4型号电脑单价为5000元，B型号电脑单价为4000元；

(2)设A型号电脑购买机台，购买总费用为卬元，则B型号电脑购买(80-机)台，

•.•计划总费用不超过360000元，并且要求A型电脑数量不能低于30台，

.f5000irr*4000(80-m)<360000

lm>30

解得30WsW40,

根据题意，w=5000m+4000(80-w)=1000/n+320000,

V1000>0,

；.卬随〃?的增大而增大，

.../??=30时，w取最小值，最小值为1000X30+320000=350000(元)，

止匕时80-a=80-30=50,

型号电脑购买30台，B型号电脑购买50台，购买总费用最少，最少费用为350000元.

【点评】本题考查分式方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式

解决问题.

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点记为。，直线AB：y[x+6与1轴于点交上与丫轴

交于点B,过点B的直线与x轴于点交C,AC=4OC.

(1)求直线BC的函数表达式；

(2)点。在直线A8上，使得△88是以BC为腰的等腰三角形，求点。的坐标；

(3)坐标平面内一点P(-8,-2),连接BP交x于点Q,连接AP,在坐标平面内是否存在点E,使

得AE=AB,若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由.

【分析】(1)求出A点坐标，再由AC=40C,可得0C=4,能求出C点坐标，再由待定系数法求函数

的解析式即可;

⑵(2)设。G,lr+6),当时，由方程2jH=Jt2VtI求出。(生更，

2。13=J(t-4)*+()2,能求出D(春

当3c=C£＞时，由方程

(3)先求直线8P的解析式为y=x+6,可得Q(-6,0),贝i」/BQO=45°,过尸点作GP_LAO交于G

点，由tanNQAP=tanNBAO=』，则/BAO=NQAP,能求出NA8E=45°,从而求出△ABE是直角三

2

角形，过E点作轴交于F,证明(A4S),求出E(-18,12)；E点关于A点的对

称点为E(-6,-12),由对称性可知，AE=AB,从而得到E点坐标为(-18,⑵或(-6,-12).

【解答】解：(1)令工=0,则y=6,

：.B(0,6),

当y=0,则x=-12,

(-12,0),

：.OA=12,

VAC=4OC,

・・.OC=4,

：.C(4,0),

设直线BC的解析式为y=h+6,

・・・44+6=0,

解得k=-1,

2

直线BC的解析式为y=-Wr+6；

2

(2)设。(t,Ar+6),

2

VC(4,0),B(0,6),

:.BC=2氏,

当BC=BD时,2y/^=42右2,

解得r=.W」5,

5

：.D(恒,6+维)；

55_______________

当BC=CZ)时，2/='(1)2.(6靠产

解得f=0(舍)或尸”

5

：.D(X1❷)；

55

综上所述：。点坐标为(出医，6+色匣)或(8,34)；

5