三角函数压轴小题十五大题型汇总（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题21三角函数压轴小题十五大题型汇总

01

题型1新文化问题................................................................1

题型2新定义问题................................................................7

题型3黄金分割相关问题..........................................................9

题型4扇形相关问题.............................................................13

题型5三角函数公式相关问题....................................................20

题型6三角函数性质问题.........................................................26

题型7识图问题.................................................................35

题型8凑角求值问题.............................................................43

题型9最值相关问题.............................................................47

题型103相关问题..............................................................53

题型11租相关问题...............................................................58

题型12实际应用问题............................................................61

题型13恒成立问题..............................................................68

题型14零点相关问题............................................................73

题型15与数列相关问题..........................................................80

题型1新文化问题

【例题11（2023秋•江苏苏州•高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所

谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.

假设二维空间中有两个点4(%1，%)，8(%2/2)，。为坐标原点，余弦相似度为向量近，区夹

角的余弦值，记作cos(4B),余弦距离为1-cos(A,B).已知作cosat,sina),Q(cosQ,sin0),

R(cosa,-sina),若P,Q的余弦距离为［tana-tan/?=］则Q,R的余弦距离为()

A.-B.-C.-D.-

2347

【答案】A

【分析】由题设得至=(cosa,sina),而=(cos/?,sin/?),而=(cosa,-sina)利用向量夹角公

式求得cos(P,Q)=cos(a-夕),cos(Q,R)=-COS(Q+/?)根据新定义及正余弦齐次运算可求

目标函数值.

【详解】由题意得OP=(cosa,sina),0Q=(cosjff,sin/?),OR=(cosa,—sina),

则cos(P,Q)=需।需=cosacosp+sinasinf=|

sinasinp1

又tanata叩=

cosacos/?7

..cosacos/?=7sinasin/?,

..sinasin^=—1，cosacosj5=—7,

1-cos(Q,R)=l-cosgcos/?；sinasin/?=

故选：A.

【变式1-1】1.(2023•全国•高三专题练习)法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一

个几何定理：”以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形

的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点".如图在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

且10(sin等丫=7-8S24以4B,BC,AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次

为。1,。2，。3.则角4=.

【答案】=/60°

【分析】根据三角恒等变化可得2cos24+5cos4-3=0,进而可得COSA=1,即可求解，

2

【详解】10(sin等)=7-COS24,则5(1-cos(B+C))=7-COS24,

故5(1+COS4)=8-2cos2/1,所以2cos2人+5cos4-3=0,

可得COS4=i(负值舍)，由Ae(0.n),所以A=*

故答案为：5

【变式1-1J2.(2023•全国•镇海中学校联考模拟预测)天文学家、数学家梅文鼎，为清代

"历算第一名家"和"开山之祖"，在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆

证明正弦定理的方法.如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，。为锐角三角形4BC外

A.也D.-i

3333

【答案】D

【分析】由已知得2Z0BC=TT-2乙BAC,再根据诱导公式和二倍角的余弦公式求解即可.

【详解】已知4B0C=2ABAC,因为OB=0C,所以N0BC=乙0CB,

因为NOBC+LOCB+LBOC=n,

所以2，。8c+Z.BOC=n,所以240BC=TT-乙BOC=Tl-2Z.BAC,

因为sin2B4C=y,

所以cos2z_OBC=cos(TT—24BAC)=­cos2/-BAC

=2sin2ABAC-1=2x(^)-1=-J.

故选：D.

【变式1-1]3.(2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习)古希腊毕达哥拉斯学派在公元

前6世纪研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可

以表示为a=2cos72°,则呼婆=.

【答案】1/0.5

【分析】利用三角恒等变换化简即可求解.

【详解】acosl80_2cos72°cosl80_2sinl80cosl80_sin36°_1

L讦野/x^a-V2-2cos7^~/2-2(l-2sin236°)-2sin36°-21

故答案为：i

【变式Ll】4.(2023•浙江•校联考二模散学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords,

也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明

方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C为半圆。

上一点,CHLAB,垂足为,记e,贝岫tanMCH=察可以直接证明的三角函数

HNCOB=Cn

公式是（）

48。.。

AA.tan-=--s-i-n---DB.tan-0=--s-i-n---

21-COS021+COS0

【答案】c

【分析】根据直角三角形中的定义写出Sinacos。，用8表示出48cH,然后分析可得.

【详解】由已知乙COB=9,贝!UCB。=三一三/BCH=1,

。BH.介CHgOH

又T-7t.an-=—,sin。=—cos©=—,BDZHJ+iO/-IHr_r=OCDB=OC/*C",

2CHOCrOC

故选：c.

【变式1-1】5.（2023•江苏南京•南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）我国古代

数学家僧一行应用"九服号影算法”在《大衍历》中建立了唇影长I与太阳天顶距

0（0°<6<90。）的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表.根据三角学知识可

知，暑影长度I等于表高h与太阳天顶距。正切值的乘积，即/=Man6,对同一"表高"两

次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为&/?,若第一次的“号影长"是"表高"的3

倍，且tan（a-。）=|,则第二次“暑影长"是"表高"的（）倍.

A.1B.-C.-D.-

322

【答案】A

【分析】由题意可得tana=3,tan（a-/?）=|,再根据tan。=tan[a-（a-夕）]结合两角差

的正切公式即可得解.

【详解】由题意可得tana=3,tan（a一°）=J

所以tang=tan[a-(a-/?)]=tana-tan(a-/5)

l+tanatan(a-/?)i+3x-

即第二次的"号影长"是"表高"的1倍.

故选：A.

【变式1-1]6.（2022秋•安徽合肥•高三校考期中）数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶

公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边

长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高

的数学水平，其求法是："以小斜黑并大斜幕减中斜靠,余半之,自乘于上.以小斜靠乘大

斜鬲减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积若把以上这段文字写成公式，即S=

Ra2c2一仔+：-乒)2,其中a、从c分别为△4BC内角4B、C的对边若二黑黑=高，

b=2,则4ABC面积S的最大值为()

A.V3B.V5C.2D.V2

【答案】A

【分析】将已知等式结合tanC=绊:进行化简，得到sinC=百(sinBcosC+cosBsinC)=

V3sin(B+C)=gsinA,并利用正弦定理可得c=V3a，代入"三斜求积"公式S=

J*2c2-(心手于［并将a?看成整体并利用二次函数性质得解.

【详解】l-V3cosF

V3sinBtanC

•••tanCV3sinF

1-V3cosi?

又tanCsinC

cosC

国

所以singsinC

l-V3cosFcosC

所以V5sinBcosC=sinC(l—V3cosB),

所以V5sinBcosC=sinC—V3sinCcosB,

所以sinC=V3(sinBcosC+cosFsinC)=V3sin(F+C)=V3sin?l,

由正弦定理得c=痘a,

vb=2,

A48c的面积S=呼2c升=J)3a4-(2a2-2月,

=(—a4+8a2—4),

将a?看成整体并利用二次函数性质得，当a?=4即a=2时，△ABC的面积S有最大值

为VI

故选：A.

题型2新定义问题

【例题2】（2023•湖南长沙长沙市实验中学校考二模）正割（Secant）及余割（Cosecant）

这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec,esc这两个符号是荷兰

数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割seca=

表,余割=熹•则函数f（x）=七+£的值域为（)

A.[-1,1]B.[-V2,V2]

C.[—2,2]D.[—V2,—1)U(—1,1)U(1,V2]

【答案】D

【分析】根据新定义及辅助角公式化简，然后根据三角函数的性质求得答案.

【详解】/（x）=+=cosx+sinx=V2sin（x+：）,其中sinx片0,cosx*0,

所以-或</（x）<V2,且/（x）H±1,

即/⑺的值域为[-短-1）U（-1,1）U（1,V2].

故选：D.

【变式2-1]1.（多选）（2023•安徽安庆•安庆一中校考模拟预测）正割（Secant）及余割

（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec,esc这两个

符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定

义正割，余害白■.已知函数=去+义洛合出下列说法正确的息）

seca=/cosaUcsca=sma'secxesex

A.f（x）的定义域为{x|%=kn,kGZ};

B.f(x)的最小正周期为2n;

C./(x)的值域为[一a,一1)U(-1,1)U(1,V2]；

D./(x)图象的对称轴为直线x=-^+kMkeZ).

4

【答案】BC

【分析】由辅助角公式化一，再根据cosxMO,sin%*0,即可求出函数的定义域，即可判断

A；根据正弦函数的周期性即可判断B；根据正弦函数的值域结合函数的定义域即可判断C；

根据正弦函数的对称性即可判断D.

【详解】f(x)=£+之=cosx+sinx=&sin1+：),

由cosx*O,sinx#0,得xy(/cGZ),

即/⑺的定义域为核卜hMkeZ},故A错误；

/(x)的定义域关于原点对称，

故了⑺的最小正周期与函数y=V25in(x+9的最小正周期一致，均为2n，故B正确；

当x=0彳h涔时''=隹sin(x+的值分别为-1,

而函数y=近sin(%+9的值域为［一々,或］,

再结合周期性可知，/G)的值域为［-鱼,-1)u(-1,1)u(1,V2］,故C正确；

令》+-=-4-kn(/ceZ),彳导x=-4-kn(keZ),

424

即f(X)图象的对称轴为直线X=T+kn(keZ),故D错误.

故选：BC.

【变式2-1】2.(2023・全国•高三专题练习)一般地，存在一个71次多项式7式幻，使得cosnx=

「n(cosx),这些多项式7n(x)称为切比雪夫多项式.由cos2x=2cos2x-1，知介。)=2产-1,

通过运算，可以得到COS3X的切比雪夫多项式△(%)=.结合上述知识计算

cos36°=.

【答案】4/-3X竽

4

【分析】方法一：把3x变为2x+x,然后利用两角和余弦公式及二倍角公式化简即可得到

3

T3(X)=4%—3%；结合&(%)—4/—3%及cosl08°=—cos72°,建立cos36。的方程求解即

可.

【详解】［方:4-］:cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx

=(2cos2x—l)cosx—2sinxcosxsinx=4cos3%—3cosx,

.=4x3—3%；

设cos36°=x,*.cosl08°=—cos72°z

32

.,.4x—3x=—(2/—1);即(％+l)(4x—2x—1)=0,

•-X=-1(舍去)或久=或X=(舍去),

.-.cos36°=—.

4

故答案为：43x；萼.

［方法二］:cos3a=4cos3a—3cosa,

/sin360=sin(90°-54°)=cos54°,

/.2sinl8ocosl8°=4cos318°—3cosl8°,

*.cosl8°*0,.*.2sinl8°=4cos218°-3,

22

2sinl8°=4(1-sin18°)-3,4sin180+2sinl8°-1=0z

解得sinl8。=二手或sinl8。=二千＜0(舍去)，

.■,sinl8°=—,cos36°=1-2sin218°=—.

4'4

故答案为：4炉-3x；竽.

题型3黄金分割相关问题

【例题3］(2022・贵州安顺•统考模拟预测)黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得

较长部分与整体线段的长的比值为日的点,利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角

星，如图所示，已知C,D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：*=筹=*=

ABABBC

年.若等腰ACDE的顶角4CEO=6,则cos。=()

E

A,^hlB.旦C3-VsD

44・8°8

【答案】B

【分析】设4B=m，根据已知可求出BC=,CD=（遍一2）zn.取CD中点为尸，在RtA

EFC中，求得sing=竽，然后根据二倍角的余弦公式，计算，即可得出答案.

L4

【详解】设4B=m,由已知可得AC=BD=与m,

则BC=AB-AC=m-,

所以，CD=BD—BC==(V5—2)m.

如图，取CD中点为F,连接EF,则EF1CD.

在RtAEFC中，有CF=^CD=亨m,CE=BC=等m,Z.CEF=1,

贝堂上=匹二

AJ2CE3-^54'

2

所以，cos0=1-2sin2g=1—2x

故选：B.

【变式3-1】1.（2023•江西•校联考二模）被誉为“中国现代数学之父"的著名数学家华罗

庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终

身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，

终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到

感染、受到激励，其中他倡导的"0.618优选法"在生产和科研实践中得到了非常广泛的应

用，0.618就是黄金分割比1=竽的近似值，黄金分割比还可以表示成2sinl8。，则

看写后的值为（）

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】D

【分析】利用三角恒等变形及诱导公式化简可得结果.

【详解】由题意可得t=2sinl8。，

_2sinl8°j4-4sin2i8。_2sinl80・2cosl80_2sin360_2sin360_?

COS227o-sin2270COS2270-sin227<>COS540COS540sin360•

故选：D.

【变式3-1]2.（2023•全国•高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研

究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618,这一数值也可以表示为4=

2sinl8°,则属皿2。+；1=（）

'2cos120\）

A.-B.1C.-D.-

222

【答案】B

【分析】利用两角和与差的三角函数求解.

【详解】解:因为;I=2sinl80,

gc-piV3sinlT+^_Ksinl20+2sinl80

cosl2°cos12°,

_6sinl20+2sin（30°-12°）

cosl201

_百sinl20+cosl20-6sinl20

cosl201

cosl20.

===1，

故选：B

【变式3-1J3.(2023・全国•高三专题练习)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在

三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形,

它是两底角为72。的等腰三角形.达•芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一

个黄金三角形.如图，在黄金三角形4BC中，器=亨，根据这些信息，可得sin54。=()

A.3.包

44

C遍+4D店+3

・8.8

【答案】B

【分析】由题意cos72。=竽,结合二倍角余弦公式、平方关系求得cos36。=竽，再根

44

据诱导公式即可求sin54。.

【详解】由题设，可得cos72。=1-2sin236°=—,cos236°+sin236°=1,

4

所以cos236。=42,又cos36。6(y.y)(

所以cos36°=cos(90°—54°)=sin54°=当匚.

故选：B

【变式3-1]4.(2023•辽宁・大连二十四中校联考三模)随着智能手机的普及，手机摄影越

来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用"黄金分割构图法”可以让

照片感觉更自然.更舒适，"黄金九宫格"是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各

分三部分，以比例1:0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用4B,C,D

表示黄金分割点.若照片长、宽比例为4:3,设“4B=a,则巧等-tana=（）

881212

【答案】D

【分析】由题意得到tana=结合二倍角公式及同角三角函数关系求出答案.

【详解】由题意得8。=3乂僦小48=4X需乐，故tana=*：

-|\il+cos2a.2cos2a14

所c(以F^—tana=高嬴京—tana=----tana=——3__7_

tana34-12,

故选：D

题型4扇形相关问题

【例题4]（2023秋•贵州•高三统考开学考试）已知"水滴"的表面是一个由圆锥的侧面和

部分球面（常称为“球冠"）所围成的几何体.如图所示，将"水滴"的轴截面看成由线段

AB,AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C所在直线与水平面平行，AB和AC与

圆弧相切.已知"水滴"的"竖直高度"与"水平宽度"（"水平宽度”指的是平行于水平

面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则sin"4c=（）

【答案】D

【分析】设圆心为0，连接OA,0BQC,设球冠的半径为R，根据几何性质可得04=|/?,

从而可得sin/BZ。,根据平方公式与二倍角公式即可得sin/BAC的值.

【详解】设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA,OB,OC,如图所示.

易知"水滴"的"竖直高度"为。4+R,"水平宽度”为2R,

由题意知等=，解得。4=|/?.

因为AB与圆弧相切于点B,所以OB1AB.

在Rt^ABO中,sin^BAO=*=白=|,

又4840e（03）,所以C0SNB40=V1-sin2^B/10=1.

由又寸称性知，NBA。=Z.CA0,则4BAC=2/.BA0,

所以sin/BAC=2sinz.BA0cosz.BA0=2x|x|=||.

故选：D.

【变式4-1]1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，

其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰："开合清风纸半张，

随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形C。。,

其中NC0D=罟，。C=3。4=3,动点P在⑺上（含端点），连接0P交扇形04B的弧脑于

点Q,且丽=xOC+yOD,则下列说法正确的是（）

图1图2

A.若y=2x,则而-OP=-1V3B.x+yG[|,|]

C.PA-PB>^D.ABPQ>-2

【答案】BC

【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，tg(2(coS0,sin6),6e[0,^],可得

P(3cos0,3sin0),由丽=xOC+yOD,结合题中条件可判断A,B,表示出相关向量的坐

标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C,D.

【详解】如图，作OE1OC,分别以。。，OE为x,y轴建立平面直角坐标系，

则4(1,0),C(3,0),矶一泉,。(一|,怜,

设Q(cos6,sin。),0G智>则P(3cos8,3sin0),

由而=xOC+y而可得cos。=3x—|y,sin。=手y,且x>0,y>0,

若y=2x,贝(jcosJ=3x-|y=0,sin0=1,所以荏=(0,3),~0B=，

所以丽•而=苧，故A错误；

由丁=3^S'n0'X=3C0S0+3^Sind,

所以x+y—高sin。+1cos。+壶sin。=fsin。+|cos。

=|伊由皿+2s8)=|sin(0+)

因为，e[o,y],所以。+Mm,所以sin(，+5eL1],

所以x+ye*,|],故B正确；

由于瓦?=(1—3cos0,-3sin0),PF=(—1—3cos0,亨—3sin0),

故R?•丽=(1-3cos0,-3sin0)•(-1-3cos0,y-3sin0)

=T-3sinI。+》而。+ME-?]<所以sin(8+9cL1],

所以可.丽=?-3sin(8+92?—3=?，故C正确，丽•所=(一|，4〉

Z\O/ZLLL

(-2cos0,—2sin0)=-V3sin0+3cos0

=-2V3sin(0-,由于6e[0,y],故。-标[-羽,

故一3<-2V3sin(0—§S3,故D错误；

故选：BC

【变式4-1]2.(2023春・广东深圳•高三校考阶段练习)以〃CB的顶点C为圆心作圆交角

的两边于A,B两点；取线段AB三等分点。，D;以B为焦点，A,D为顶点作双曲线，与

圆弧AB交于点E,连接CE,则“CB=3/BCE.若图中CE交48于点P,5而=6而，则

【分析】根据正弦定理及二倍角的正弦公式，得NBCE的余弦值，再由二倍角的余弦公式即

可求出cos乙4cp.

乙

【详解】设NBCE=a,则44cB=3BCE=3afZ.ACP=2a.

在中，由正弦定理，得急=缶；

在中，由正弦定理，得芸=缶・

又因为s=CB,4APC+Z.BPC=n,

所以C4=CB所以-jlf-=2L

八sin乙4PCs\nz.BPC'八sin2asina

APsin2a、

即m一=----=2cosa.

BPsina

又因为54P=6PB,所以"=2cosa=7,故cosa=

BP55

所以COSZJICP=cos2a=2cos2a—l=2x表—1=一套

故答案为：一套

【变式4-1】3.（2023诃南焦作统考模拟预测）如图，已知P”分别为乙40B两边上的点,

乙108=2PQ=3,过点P,。作圆弧，R为时的中点，且4PQR=三则线段。R长度的最大

OO

值为.

B

【答案】3+2V3

【分析】设“Q0=0，在△OPQ中由正弦定理可得OP=6sin0，在△RPQ由余弦定理求出PR、

QR,在仆ORP中由余弦定理表示出OR?,再结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出

。/?2的最大值，即可得解.

【详解】解设NPQO=。则0＜。＜U在^OPQ中，由正弦定理知黑=—=8=6,

6sin6sinzPOQsm-

6

所以。P=6sin0,因为R为时的中点，所以“PR=乙PQR=7,

贝！,在^中由余弦定理PR2QR2_乙

|PR=QRRPQPQ2=+2PR•QRcosPRQ,

解得PR=QR=痘,

在^ORP中，4OPR=乙OPQ+Z.QPR=--6+-=71-6,

66

由余弦定理可得。骏=OP2+PR2-20P•PReos乙OPR=36sin20+3-2A/3x6sin0x

COS（TT—0）

=18(1-cos26)+3+6每in2。=12百sin(2。-J+21

所以当。=工时，OR?取得最大值21+12V3,

即。R的得最大值3+2V3.

故答案为：3+2V3

【变式4-1】4.(2022・全国•高三专题练习)为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小

区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以O为圆心，半径为一个单位，现规划出

以下三块场地,在扇形AOC区域铺设草坪，△OCD区域种花，△OBZ)区域养殖观赏鱼，若

乙40c=乙COD,且使这三块场地面积之和最大，则cos乙40C=.

【分析】设出〃0C=e,表达出三块场地的面积和S=\e+|sin0+isin20,通过求导研

究其单调性，求出最大值所对应的乙40c的余弦值.

【详解】设乙40C=9,则NC0D=3,根据题意易知。6（0,2）

-：0D=0B,△OB。为等腰三角形,贝！=Z.OBD

又,Z0D=4ODB+乙OBD,

.,.Z-COD—Z.ODB—Z.OBD—0

：.0C||DB

二则三块场地的面积和为S=10+1sin0+1sin（n-20）=^94-1sin04-1sin20,8（咤）

则S'=-4--cos0+cos20=2cos2。+icos。,0E（0,^]

2222\2z

令S'=0,COS0="7T或cos]=77T（舍）

88

设3为cos。=二所对应的角'

O

••-y=cos诲e（o彳）上单调递减，

.,.8e（0，w）时，S单调递增.

.•6C（95）时，S单调递减.

，当cos。=乌二时，面积最大.

O

故答案为：整.

【变式4-1]5.（2022•湖北・恩施市第一中学校联考模拟预测）共和国勋章，是中华人民

共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓

越功勋的杰出人士.2020年8月11日国家主席习近平签署主席令授予钟南山“共和国勋章

”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图

中两个同心圆的圆心，三角形ABC中=AC,大圆半径。4=2，小圆半径。B=0C

=1,记夕为三角形OAB与三角形OAC的面积之和.设阴影部分的面积为S,当S，-

S时取co得sz最lB大OC值=>

挂■结构示意图

【答案】2-V5

【分析】设MO。=a,a€（0,兀），利用扇形的面积公式及三角形的面积公式得到S=三-

|sina,S'=2sin],构造函数/'（a）=S，-S=2sin^-^+|sina,aG（0,n）,利用导数求函

数的单调性与最值即可得到答案.

【详解】过点O作0D1BC于点D,则点D为BC的中点，又4B=AC,.--A,O,D三点

共线,

设乙BOC=a,aG（0,江）,・•・Z-AOB=乙AOC="一],

则S=ixaxl2—ixl2xsina=---sina,S'=2x工x1x2xsin（7r—色）=2sin-,

22222v2y2

从而S，—S=2sin]-E+[sina,

令/（a）=2sin^—\+1sina,aG（O,TT）,/'（a）=cos]-g+1cosa=cos2+cos]-1,

由/'（a）=0，解得：cos]=g二或cos]=匕尸（舍去）,

记cos。=与i,96（0,今

八a）在（0,。）上单调递增，在（49上单调递减，故当cos与=亨时，/"（a）取得最大值，此

2

时cosa=2cos25-1=2x-1=2-V5.

故答案为：2—通

【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求三角函数的最值，考查三角函数的值域时，常用的

方法：

(1)将函数化简整理为f(x)=4sin3x+⑺,再利用三角函数性质求值域；

(2)利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.

(3)关于三角函数的二次型，利用换元法结合二次函数求值域.

题型5三角函数公式相关问题

【例题5](2023秋•江苏南京•高三统考阶段练习)已知aW(0,TT),且3tana=10cos2a,则

cosa可能为()

A一代B.渔C也D也

A.1QD.5C.10U.5

【答案】B

【分析】由3tana=10cos2a得3tana=10x”哗，化简后可求出tana,再利用同角三角

1+tana

函数的关系可求出COSa.

22

【详解】fi3tana=10cos2az^#3tana=10(cosa-sina),

所以3tana=10x。呼一吟,

所以3tana=10x竺叩宇,

1+tana

整理得3tan%+10tan2a+3tana-10=0,

(tana+2)(3tan2a+4tana-5)=0,

所以tana+2=0或3tan2a+4tana-5=0,

所以tana=-2或tana,

①当tana=-2时，瑞=々,aS&兀),

因为sida+cos2a=1,所以5cos2a=1,

所以cosa=±g,

因为aW&兀),所以COSa=-g,

②当tana=丁时，初=一M(0,-)，

2

2

因为siYa+cos2a=1,所以(^|^cosa)+C0Sa=lr

由于(0《)，所以解得cosa=J五磊,

\73Z-4V19

③当tau产时，黑=手匹(Q),

因为siMa+CO52a=1,所以(l^^cosa)+COS2a=l,

由于aw(Q),所以解得cosa=-&濡,

综上，cosa=-y,或cosa=&^-或c°sa=-反焉,

故选：B

【变式5-1J1.(2023・全国•高三专题练习)已知0<a<夕<2兀，函数/"(x)=5sin(%-印，

若/'(a)=/(/?)=1,则cos(0-a)=()

A.-B.C.-D.--

252555

【答案】B

【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得g<a<?,?<夕<?,从而利用

o33o

8s(0.a)=cos[(/?一5一(a一]]即可求解.

【详解】解：令/(%)=5sin-9=0,0V%V2TT,则％=/或r=个,

令f(%)=5sin(工一/)=S,0<x<2n,则％=§,

又0<aV夕V2/r,f(a)=f(夕)=1,

所以：<a(与*<夕<?，sin(a-9=)sin("3=)

因为£<6—巳<兀，

622l6

所以cos(a_J=当，cos(/?-§=一•，

所以cos(/?-a)=cos[(/?一')—(a-：)]=cos(/?—cos(a-')+sin[p—sin(a—

Tt\

-=--2-v-sx-25-/-6-,F1-x1-=--23-,

67555525

故选：B.

【变式5-1]2.(2023•全国•高三专题练习)已知锐角三角形力BC的内角A,B,C所对的

边分别是a,b,C,且4>B,若sinC=2cosAsinB+£,则tanB的取值范围为.

【答案】G，m)

【分析】由题可得tan(4-B)，将tanB用含tanA的式子表示，然后根据角A的范围，求tanB的

取值范围.

【详解】-sinC=2cosAsinB+—,

...sin(A+8)=sin/cosB+cosAsinB=2cos>4sinS+—7,即sin(A—F)=—7,

•.又4>B,且48都为锐角，故cos：-B)=g,tan(A-B)=^,

因为锐角三角形ABC,所以tan4>0,tanB>0,tanC>0,

所以tan4=tan[(/l—8)+B]=叱B)：anB=至吧>0

LV7Jl-tan(4-B)tanFi-2,.tanB

所以1一A•tanB>0,所以tanB<?,

247

又因为tanC=TanC4+B)=^^>°

—,.,4~~FtanH

所以tan4-tanB-1=-----tanF-1>0

1--tanF

24

所以12tan28+7tanB-12>0,解得tanB>三或tanB<，倍去)

43

故;<tanB<y.

故答案为：©,9)■

【变式5-1]3.(2023秋•黑龙江七台河•高三勃利县高级中学校考阶段练习)在MBC中,

已知sin4sinBsin(C-0)=Asin2c,其中tan。=1(0<0<g).若心+2+三为定值，则

实数a-.

【答案】y|

2

【分析】由k=sinC+2cosC再根据已知将问题转化为等式恒成

tanAtanBtanCsin/lsinBsinCsinC

立，即可求参数尢

▼【详、一解际、】,1+.研1+,嬴2=诉cos4+,病cosB+,2cosCsinC+2cosCsin2c+2cosC

sinCsinAslnBsinCsinAsinBsinCsinC

*竽sinC-?sinC)+2cosC12VS_1V5cosC+2cosc

sinCA5A5sinCsinC

.-.2V5sinC-V5cosC+lOAcosC=5k4sinC恒成立，贝必=4,A=幕

故答案为：得

【变式5-1】4.（2023•全国•高三专题练习）在直角坐标系中，△ABC的顶点A（cosa,sina）,

以如.⑸邛），C（竽,2&），且△4BC的重心G的坐标为弓，烟，cos（a-6）=

【答案】I

4^3

【分析】由重心的坐标与三个顶点坐标的关系有G（巴空磐二，迎W马，结合已知列

p_2V3

方程组，得「‘a+cos吁—,两式平方相加，即可求c°s（a-夕）.

sina+sin/?=V2

［详解］由题意知：G（咛竿登,陋誓必身,

cosa+cos0+华2V3石20

.{--------3--------=V,即rOsa+cos。=—,

sina+sin/?+2夜=近'sina+点邛=上'

3

/.（cosa+cos/?）2=cos2a+2cosacos/?+cos2/?=1,

（sina+sin/?）2=sin2a+2sinasin0+sin2s=2,

将两式相加，得：2+2（cosacos/?+sinasin/?）=y,

2

.*.cos（a_0）=cosacosp+sinasinp=

故答案为：I.

【点睛】关键点点睛：利用三角形的重心坐标与顶点坐标关系，结合已知条件列方程组，利

用同角三角函数关系、两角差余弦公式求函数值

【变式5-1】5.（2022•全国•高三专题练习）已知点G是44BC的重心，且GA1GC，若上+

tanA

工=1,则tanB的值为

tanc-----------------

【答案】g

【分析】由G41GC得到aGC=0,结合6是44BC的重心，得到5b2=a2+c2,结合余

弦定理和正弦定理，求得tanB的值.

【详解】依题意GA1GC,所以立GC=0,所以（前-丽）•（近-丽）=0①，

因为G是三角形4BC的中心，所以丽=l（BA+或）②，

把②代入①并化简得5冠AC=BCBC+ABAB,

即5b2=a2+c2,

由余弦定理得4-c2=fe2+2accosB,

所以4/=2accosB,

由正弦定理得ZsiMB=sinAsinCcosB③，

已知？~~A+7~7

tan/ltanC1,

所以*+等sini4cosC+coSi4sinCsin(i4+C)_sinB

sinAsinCsin/lsinCsin/lsinCsin/lsinC

所以sinB=sinAsinC④,

由③④得2sinB=cosB,所以tanB=

故答案为：i

【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，

考查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.

【变式5-1]6.（2021秋•四川成都・高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）在4

ABC中，已知sin4sinBsin（C-。）=Asin2C,其中tan。=工（其中0<8<^）,若」—■I-——■F

32tanAtanB

己为定值，则实数%的值是（）

tanc

A.包B.渔C.V1UD.渔

20510

【答案】A

【分析】sin4sin