新高考数学临考题号押第11题 圆锥曲线（解析）

新高考高中数学临考题号

押第11题圆锥曲线

琴：命题探究«与

高考对圆锥曲线知识的考查要有难有易，有小题也有大题，即要求考生熟练掌握与圆锥曲线有关的基

础知识.有要求学生对知识有较深的理解。纵观近儿年的浙江高考试题，圆锥曲线小题主要考查以下几个

方面：一是考查基础概念，比方说：长轴、短轴、离心率、虚轴、实轴等基础概念.解决这类问题的关键

在于正确理解圆锥曲线的概念，弄清圆锥曲线的意义.二是知识的延伸与运算。

解题秘籍qa

方法总结

1、定义法

2、韦达定理法

3、设而不求点差法

4、弦长公式法

5、数形结合法

6、参数法（点参数、K参数、角参数）

7、代入法

8、充分利用曲线系方程法

A真题回顾中才

1.（2021.新高考全国卷I数学.高考真题）已知耳，尼是椭圆C：三+匕=1的两个焦点，点”在C上，

94

则段的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【详解】

由题，/=9,6=4,则用+|咋|=2。=6,

所以四7讣园国《（也竺旧竺』=9（当且仅当I”制=|M可=3时，等号成立）.

、2,

故选：C.

2.(2021•新高考全国卷I数学•高考真题)已知点P在圆(犬-5)2+(尸5)2=16上，点A(4,0)、5(0,2),则

()

A.点尸到直线A8的距离小于10

B.点P到直线A8的距离大于2

C.当NP8A最小时，|尸网=30

D.当NPBA最大时，|P8|=3人

【答案】ACD

【详解】

圆(x—5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4,

直线AB的方程为*1=1,即x+2y-4=0,

42

圆心拉到直线AB的距离为22x5-4|=斗=呼_>4,

4+22V55

所以，点P到直线的距离的最小值为丑叵-4<2,最大值为卫正+4<10,A选项正确，B选项错误;

55

如下图所示：

-----------------------------*

当NPBA最大或最小时，尸8与圆”相切，连接MP、BM,可知

忸M|=J(()-5『+(2-5)2=A，|M“=4,由勾股定理可得忸P|=J忸=3忘,CD选项正确.

故选：ACD.

3.(2021•新高考全国卷I数学•高考真题)己知。为坐标原点，抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸，P

为C上一点，PF与x轴垂直，。为x轴上一点，且尸Q_LOP,若|FQ|=6,则C的准线方程为.

【答案】%=-|3

【详解】

抛物线C：y2=2px(。>0)的焦点/6,0),

：P为C上一点，尸尸与x轴垂直，

所以P的横坐标为光，代入抛物线方程求得P的纵坐标为土

不妨设%,p),

因为Q为x轴上一点，旦尸Q，OP,所以Q在F的右侧，

又•.|尸。1=6,

nUI®

2(6+—,0),.*.PQ=(6,—p)

因为PQLOP,所以PQOP=5x6-p2=o

Q/?>0,.\p=3,

3

所以C的准线方程为x=

3

故答案为：X=-1.

4.(2021・新高考全国卷H数学•高考真题)抛物线V=2px(p>0)的焦点到直线y=x+l的距离为&,则。

()

A.1B.2C.2&D.4

【答案】B

【详解】

抛物线的焦点坐标为(5，。)，

£-0+1

其至IJ直线x-y+i=o的距离：d=2=0,

Vi+T\”

解得：P=2(p=-6舍去).

故选：B.

5.(2021.新高考全国卷H数学♦高考真题)已知直线/:or+勿-，2=o与圆c：x2+y2=/,点4(°,勿，则下

列说法正确的是()

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点4在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点月在直线/上，则直线/与圆C相切

【答案】ABD

【详解】

圆心c(o,o)到直线I的距离d=「；.

\la+b

若点A(a,b)在圆C上,则/+从=/,所以d=:=吊,

\la+b

则直线1与圆C相切，故A正确;

2

若点A®。）在圆C内，则所以）=:丁,巾

&T+/T

则直线1与圆C相离，故B正确；

2

若点A（a,b）在圆C外,则所以）=［，＜M，

，矿+/r

则直线1与圆C相交，故C错误；

若点A（a,b）在直线1上,则/+从一/=o即/+6=户,

所以直线1与圆C相切，故D正确.

yla2+b2

故选：ABD.

6.（2021・新高考全国卷II数学•高考真题）若双曲线m-上=1的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程

ah-

【答案】y=±y/3x

【详解】

解：由题可知，离心率e=£=2,即c=2a,

a

Xa2+b2=c2=4a2,即无=3/,则夕=6，

a

故此双曲线的渐近线方程为y=土氐.

故答案为：y=±J5x.

w押题冲关年守

1.（2022•山东荷泽・一模）已知两条直线/1：2x-3y+2=o,/2:3x-2y+3=0,有一动圆（圆心和半径都在

变动）与都相交，并且4,4被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,则动圆圆心的轨迹方程

为（）

A.(y-l)2-x2=65B.x2-(y-l)2=65

C.y2_(x+[/=65D.(X+1)2-/=65

【答案】D

【详解】

|2x-3y+2||3x-2y+3|

设动圆圆心尸（x,y）,半径为r,则尸到4的距离4=P至IJ4的£巨离&=,因为4,4

被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,

2222

2yjr-d：-26,2-Jr—d-,-24，化简后得厂—d：=169,r~—d2=144,相减得d2~—dA~—25,将

+2

4=114=px+H代入后化简可得（x+l）2_y2=65.

故选：D.

2.（2021•山东临沂・一模）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点尸2发出的光线经双曲线镜面反

射，反射光线的反向延长线经过左焦点我国首先研制成功的“双曲线新闻灯，就是利用了双曲线的这

22

个光学性质.某“双曲线新闻灯'’的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为*■-亲■=l（a>0,〃>0）,

耳,乃为其左、右焦点，若从右焦点用发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足/班。=90。,

3

丽48。=-“则该双曲线的离心率为（）

图①图②

A.@B.75C.—D.V10

22

【答案】C

【详解】

易知共线，6,8（共线，如图，

设|筋|=加,|A/^|=n,JJiJm-n=2a,

33

由tanNA8C=-G得，tanZAB/^=^,

又//解8=/尼4。=90。，

所以tan/ABf；=l,\AB\=^nt,

所以忸周=h同一恒周=+%-〃，

所以忸制=2a+\BF2\=2a+-n=4a+,

ill+|A8『二忸得7n2+（$,=（4a+g阳）,

因为机>0,故解得〃2=%，

则〃=3。-2。=。，

在❷中，，/+〃2=（2C）2,即9a2+/=4°2,所以e=£=亟.

a2

-4y+2=0所截得

Q,使得POQF为

2222

代入餐—斗=1可得J—£y=l,整理得凡2一12=44%2,

ab4a43

即6-/)/-a2c2=4a2卜2_/),整理得c4_6a2c2+4/=o,

即e4—6e2+4=0,解得《2=3+6.

故选:B.

5.(多选)(2022•江苏无锡•模拟预测)已知双曲线G：A=1(6>04>0)的一条渐近线的方程为

G%

y=Cx,且过点(1，胃，椭圆Cy摄+£=1的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别

为《，足,过点耳的直线交G于A,8两点，若点则下列说法中正确的有()

A.双曲线a的离心率为2B.双曲线G的实轴长为g

C.点8的横坐标的取值范围为(-2,-1)D.点8的横坐标的取值范围为(-3,-1)

【答案】AD

【详解】

22

双曲线G：=1(4>0,仇>0)的一条渐近线的方程为产岛，

则可设双曲线G的方程为/一亡=2,过点m解得

3I2144

92

4工_21_i

，双曲线a的方程为4f一:/=[,即丁一3一】，

3Z4

可知双曲线C1的离心率6=£=2,实轴的长为1,故选项A正确，选项B错误；

a

由!+2=1,可知椭圆G：£+¥=1的焦点M(T,o)，8(1,0),

44ab"

不妨设A(l,y)(y>0),代入,+£=1,得*$=1，，,・%=/

b2/、

2'=一(犬+i)

直线48的方程为丫=竺"+1),联立]一“，

2a归x+”yt

消去y并整理得(〃+3产+2(/-1卜-3/-1=0,

根据韦达定理可得】飞=-熏，可得/=-5^=-3+号

Q

又.♦./+3>4,1<二三<2,.故选项C错误，选项D正确，

CT+3

故选：AD.

Y考前预测（限时：30分钟）

1.已知直线/：x+y-l=0与圆C：（x-a）2+（y+q-iy=1交于4,B两点，O为坐标原点，则。的

最小值为（）.

A.—B.——C.-y2D.!

222

【答案】A

【详解】

圆C的圆心C（a,l-a）,满足a+（l-a）-l=O,所以直线1过圆心C,

ULTuim/uuiiuif\,Liumuir<.mmuir、/iiuuuir、,11111112

所以OAO8=（OC+CA）（OC+C8）=（OC+G4）（OC_C4）=|OC-1,

.（UUU,2..l-llV2

当oc垂直直线1时，|oc|取得最小值，所以|oc|的最小值为=5-

|UUU|21uuuuu_1

所以|oc|的得最小值为3，故O4OB的最小值为-不.

故选：A

2.（多选）已知圆C:x2+/_4），+3=0,一条光线从点P（2,l）射出经x轴反射，下列结论正确的是（）.

A.圆C关于x轴的对称圆的方程为*2+/+4丫+3=0

B.若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x-2y-4=0

C.若反射光线与圆C相切于A,与x轴相交于点8,则|尸即+|网=2

D.若反射光线与圆C交于M、N两点，则CMW面积的最大值为g

【答案】ABD

【详解】

由》2+9-4>+3=0,得x2+（y-2）2=l,则圆心C（0,2）,半径为1,

对于A,圆C:d+y2-4y+3=0关于x轴的对称圆的方程为r+y2+4y+3=0,所以A正确，

对于B,因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过圆心CQ2）,所以入射光线所在的直线过点

（0,-2）,因为入射光线过点P（2,l）,所以入射光线所在的直线的斜率为&=若『=|,所以入射光线所

在直线方程为y+2=]x,即3x—2y—4=0,所以B正确，

对于C,E1题意可知反射光线所在的直线过点P'(2,-l)，贝!||用+|刚=|「目+|刚=|尸A],

因为|尸匐=二J|PC『-l=J(2-0)2+(-1-2)2-1=26,所以|P5|+|网=2百,所以C错误，

*4CMN=0,Me/，?，则圆心C(0,2)到直线y+l=A(x—2)的距离为

对于D,t

d=sin。，|MV|=2cos。，

(

所以SCMN=gd|AZN|=sin9cose=gsin2,,

7T1

所以当sin：箔=1，即夕=:时，CNM面积取得最大值所以D正确，

42

故选：ABD

1F

k

出,

O~~

X

r

3.已知直线/：y="与圆C:x2+y-26x-2y=0相交于“，N两点，若|MN|=2K,则非零实数々的

值为()

A.夜B.2C.>/3D.3

【答案】(

【详解】

22

圆C:/+y-2y/3x-2y=0,可化为(x-6)+(y-i)=4,

二圆心C1的坐标(6,1),半径为2

...圆心到W复线的距离为r4—(6)=1>

耳线的距离d=也」!

又圆心到,

正+1

.廊T

=1，解得欠=0(舍去)或z=#

,■>7T

故选:C

4.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以

22

椭圆中心力勺圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:£+强■=l(“>。>0)的蒙日圆

方程为/+V=/+户，椭圆C的离心率为变，”为蒙日圆上一个动点，过点〃作椭圆C的两条切线，

2

与蒙日圆分别交于产、。两点，贝IJ.MPQ面积的最大值为（）

A.3b2B.2b,C.递/D.6b2

3

【答案】A

【详解】

因为1=/=居='05=*,所以，a=@，所以，蒙日圆的方程为/+丁=3从，

由已知条件可得MP1MQ,则PQ为圆V+丁=36的一条直径，则阿呼+悭0|2=|PQ「=12从，

2

所以，5AWPG=^\MP\-\MQ\<=3b-当且仅当|网=|桃2|=痘时，等号成立・

故选：A.

2,>

5.（多选）已知椭圆〃：£+方=1（4>10）的左、右焦点分别为川-石,0）,人（"0）,过点尸2的直线

与该椭圆相交于A,8两点，点尸在该椭圆上，且|明21,则下列说法正确的是（）

A.存在点P,使得/耳「6=90°B.满足△耳2八为等腰三角形的点P有2个

C.若4"=60。，贝内有陷=^D.|P照一|P闾的取值范围为［2技2名］

【答案】ACD

【详解】

解：根据题意：可得C=6,|钻|的最小值为1,所以|4卸=詈=1,又02=储-凡所以a=2,b=l,C=6,

所以椭圆方程为《+丁=1,

4

当点尸为该椭圆的上顶点时，颉/0%=石，所以/。产鸟=60°,此时鸟=120。，所在存在点尸，

使得NfJP鸟=90。，所以选项A正确；

当点P在椭圆的上、下顶点时，满足△《尸玛为等腰三角形，又因为2-04归玛归2+石，山段=26，

二满足|朋|=国用的点F有两个，同理满足|「用=忻闾的点P有两个,所以选项B不正确;若以尸玛=60。,

|PR+|P闾=4,衍闾=26,由余弦定理闺/f=|P耳『+|帆『一2归周疗闾cos/耳P鸟,即

|P用R*2T明明=12,又比「+|明Z+2阀H明=16,所以忸益|叫=；,所以

S",=#用疗周sinNKP"=4，所以选项C正确；对于选项D,

|「用—|P周=归川—（2。—归制）=2|「用-4,分析可得归周［2-6,2+6］,|尸片一归用€卜26,26］,

所以选项D正确，

故选：ACD.

6.伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品,

若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为由的双曲线。：£-炉=1（。>0）上支的一部分，点尸

2a~

是C的下焦点，若点尸为C上支上的动点，则归目与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【详解】

因为双曲线C：《-x2=13>0）的离心率为叱，

a2

所以®=逝，解得/=4，则

a2

双曲线方程为工c=旧,

4

所以下焦点尸（0,-石），渐近线方程为y=±2x,

设上焦点为1（0,石）,则附=附|+勿=闸+4,

由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为y=2x,设尸到y=2x的距离为"，则

|PF|与P到C的条渐近线的距离之和为

\PF\+d=\PF\+A+d,

|o-四

因为附|+d的最小值为6（0,6）到渐近线y=2x的距离

722+(-D2

所以归耳+1=归娟+4+1的最小值为4+1=5，即|尸尸|与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5,

故选：D

（多选）已知双曲线C:工+t=1（0<%<1）,则（）

7.

9-kk-\

A.双曲线C的焦点在x轴上B.双曲线C的焦距等于4&

双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于gD.双曲线C的离心率的取值范围为普］

C.

【答案】ACD

【详解】

解：对A：因为0<女<1,所以9一%>0,

22

所以双曲线C:1x-匕v=1（0<Z<1）表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确;

对B：由A知/=9-匕从=1_%,所以02=〃+从=]0-2左，所以c=J10-2Z,

所以双曲线C的焦距等72c=2710^21（0<k<\）,故选项B错误；

•>-）

对C：设焦点在X轴上的双曲线c的方程为方=1（。>0,6>。），焦点坐标为（士c，0），则渐近线方程为

y=±—x,B|Jbx±ay=0,

所以焦点到渐近线的距离d=/如，=b

yla2+b2

22

所以双曲线C:六-占=1（0<Z<1）的焦点到其渐近线的距离等了jn,故选项C正确:

对D：双曲线C的离心率6=Jl+：=」1+上&=」2--辽

V«2V9-k\9-k

因为。<百，所以]<2一提弁,所以e=j—2r1,号，故选项D正确.

故选：ACD.

8.已知双曲线=l（a>0力>0）的焦点尸到渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线C的离心

率为（）

A.75B.y/2C.也D.更

22

【答案】A

【详解】

h

不妨设尸（c,0）,一条准线方程为了=—x,即加-金=0,

a

所以/产=2%即b=2fl,b2=4a2=c2-a2,所以e=£=石.

>]b2+a2a

故选：A.

9.（多选）已知双曲线C：x2-£=i的左、右焦点分别为夕，鸟，点尸双曲线C右支上，若/五/行=9,

4

△PK玛的面积为s,则下列选项正确的是（）

A.若。=60。，贝iJS=4&B.若S=4,则归周=26

C.若8为锐角三角形，则Sw（4,4如）

D.若鸟的重心为G,随着点P的运动，点G的轨迹方程为9/-与=

【答案】ACD

双曲线的左，右两支分别交于点48,点r在X轴上，满足8T=3AE，且8名经过.8耳T的内切圆圆心,

则双曲线C的离心率为（）

A.73B.2C.77D.713

【答案】C

【详解】

BT=3AF2,：.AFJ/BT,NAg8=NT86,48=24耳，

：8工经过,8耳7内切圆圆心，为2耳BT的角平分线，

ZF,BF2=ZTBF2.AABF2=ZBF2A,AB=AF2,

2a=AF2—AFi=AB—4"=A耳，AF}=2a,AF2=4a,

2a=BF]-BF-,=3A6-BF°=6a-BF2BF2=4a,于是AB=AF2=BF2=4a,

2

.「AB名为正三角形，/耳4心=§）.

鸟中，由余弦定理，4c2=4/+16片

故选：C.

12.（多选）设抛物线C:9=8尤的焦点为凡准线为/,点用为C上一动点，E（3,l）为定点，则下列结论

正确的有（）

A.准线/的方程是y=-2B.以线段MF为直径的圆与y轴相切

C.|ME|+|MF|的最小值为5D.阿耳—阿目的最大值为2

【答案】BC

【详解】

对于A：由抛物线C：V=8x,可得焦点坐标为（2,0）,准线方程为x=-2,故A错误

对于B：设"（乙,%）,设MF的中点为D,

则河气+勺题+2,D坐标为―乎,9，

所以“=当2=号，即D点到点M、F和y轴距离相等，

所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确.

对于C：过M作准线的垂线，垂足为N,由抛物线定义得蚀加|=pWN|,

所以|ME|+眼曰=@+|MV|,

由图象可得，当E、M、N三点共线时，|ME|+|“V|有最小值，即为|£W[=3+2=5,

所以川的最小值为5,故C正确；

对于D：根据三角形中，两边之差小于第三边可得曰<|所|,

如图所示，当E、F、M共线时，|"百一阿尸|有最大值，且为由尸|="(3-2)2+(1-0)2=及,

所以目的最大值为血，故D错误；

故选：BC

-/、UUUULMLIUU11

13.已知《，P2,兄是抛物线V=4y上不同的点，且尸(0,1).若咐+吗+…+.=0,则

【答案】16

【详解】

设々(戈[,)'])，£(工2,>2)，A(“3,丫3)上6*8,>8)，

4、8、6、…、旦是抛物线f=4,，上不同的点，点尸(0,1),准线为y=