山东省寿光市圣都中学2020-2021学年高二上学期期末备考卷（A）数学试卷

（新教材）20202021学年上学期高二期末备考卷数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以．2．已知直线和互相平行，则实数等于（）A．或 B． C． D．或【答案】A【解析】∵两条直线和互相平行，∴，解得或，若，则与平行，满足题意；若，则与平行，满足题意．3．等差数列的前项和为，且，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以．4．在平面直角坐标系中，为坐标原点双曲线的右焦点为，则以为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由双曲线，得，，所以，则焦点，双曲线的渐近线方程为，由题意可得到渐近线的距离为，即圆的半径为，圆心为，则所求圆的方程为，可化为．5．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【解析】A．若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确；B．若，，则与可能的位置关系有相交、平行或，所以不正确；C．若，，则可能，所以不正确；D．若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又，所以，所以有，所以正确．6．若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为关于的方程恰有两个实数根，所以函数与函数的图象恰有两个交点，即直线与半圆恰有两个交点，如图，直线经过定点，当直线与半圆切于时，，解得，当直线经过点时，，所以满足函数与函数的图象恰有两个交点的的范围为．7．已知双曲线（，）点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的一条渐近线方程为，因为点是直线上任意一点，又直线与直线的距离为，即圆心到直线的距离为，因为圆与双曲线的右支没有公共点，所以，即，又，所以双曲线的离心率的取值范围为．8．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，数列的各项均为正数，，，可得，所以数列是以首项，公差为的等差数列，所以，可得，又由，前项和，令，解得．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线和直线平行，则（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】直线和直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为，则，即，解得或，经检验成立．10．已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（）A．两圆有两条公切线B．直线的方程为C．线段的长为D．圆上点，圆上点，的最大值为【答案】AD【解析】因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；因为圆，圆，两圆作差得，即，所以直线的方程为，故B错误；圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，所以，故C错误；圆的圆心，半径为，所以，故D正确．11．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（）A．B．的内切圆与轴相切于点C．若，则的离心率为D．若，则椭圆方程为【答案】BCD【解析】由双曲线的方程可知，所以，故A不正确；由双曲线的定义可知，如图，由内切圆的性质可得，由，所以，故的内切圆与轴相切于点，故B正确；因为，，所以；结合椭圆的定义可知，所以，离心率为，故C正确；若，则，又，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，椭圆的方程为．12．已知数列，下列结论正确的有（）A．若，，则B．若，，则C．若，则数列是等比数列D．若，，则【答案】AB【解析】选项A．由，即，则，故A正确；选项B．由，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，所以，故B正确；选项C．由，可得当时，，当时，得，当时，得，显然，所以数列不是等比数列，故C错误；由，可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，即，故D错误．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为______．【答案】或【解析】由题意，两条平行直线与间的距离为，根据两平行线间的距离公式，可得，解得或，即的值为或．14．若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则的最小值是________．【答案】【解析】如图，由题可知圆的圆心为，半径．要使的长度最小，即要最小，则最小．因为，所以当最小时，最小因为，所以当最小时，最小．因为，所以，所以，由于，所以．15．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为________．【答案】【解析】设椭圆对应的参数为，，；双曲线对应的参数为，，，由于线段的垂直平分线过，所以有．根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即．所以，当且仅当取等号，则的最小值为．16．已知在数列中，且，设，，则________，数列前项和________．【答案】，【解析】（1）∵，两边同时除以，得，即，∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，即．（2）由（1）知，，∴，∴．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设数列的前项和为，在①，，成等差数列．②，，成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答．在公比为的等比数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）选①：因为，，成等差数列，所以，所以，解得，所以．选②：因为，，成等差数列，所以，即，所以，解得，所以．（2）因为，所以，所以，所以．18．（12分）求经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程．（1）经过点；（2）与直线平行．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）联立，解得，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即．（2）直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即．19．（12分）已知正三棱柱的边长均为，，分别是线段和的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】证明：（1）取的中点为，连结，，在中，为中位线，所以，，又因为，，为的中点，所以，，所以为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因为，因为为的中点，所以到底面的距离是到底面的距离的一半，即三棱锥的高，又的面积为，所以．20．（12分）已知椭圆经过，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线：交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，解得，，即轨迹的方程为．（2）记，，故可设的方程为，由，消去，得，所以，，设直线与轴交于点，．21．（12分）正项数列的前项和满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由，得．由于是正项数列，所以，．当时，，当时，．综上可知，数列的通项公式．（2）证明：由于，，所以，．22．（12分）已知椭圆的