环境流体力学 课件 5.3 涡旋感生速度场

感生速度场设在有限体积内给定涡旋场和散度场，而以外的区域内即无旋亦无散度。于是其中关于和分别是已知的速度散度及涡旋函数，欲求上述涡旋场和散度场所感生的速度场，此问题是线性的，可以拆成下面两个问题：其中满足满足

代表无旋散度场所感生的速度，代表有旋无散度场感生的速度，容易验证，和的矢量和就是有旋散度场所感生的速度。感生速度场(1)先求散度感生的速度场由于令这是数理方程中的泊松(Poisson)方程，解为于是另外仿照电荷感生电流，将内整个散度场分成许多个流体微团，每个微团可看做点源，其强度为，对其做球面，球面上的速度均匀分布，定义为，于是有感生速度场(2)求旋度感生的速度场由于，我们定义矢量，使其满足假定，则此为矢量形式的泊松方程，解为式中r是积分元所在位置到所求感应点的距离感生速度场(2)求旋度感生的速度场验证假定是否满足。记是对的微分算子，则有。于是令S是的界面，由于在外，，所以的边界一定是涡面(边界上任一曲面和外区域面构成封闭体，对于封闭体有，因为在区域外处处为零，所以边界面的曲面上也必须满足)。在S上，，否则和矛盾，于是感生速度场感生速度场涡线感生速度场设想涡量集中在一根十分细的涡管上，可以近视的把它看成是几何上的一条线，这常称为涡线或涡丝，在此涡管上取微元管段，的方向与相一致，截面积是A。因而体积是，设涡量分布为，有令，即速度环量，称为涡线的强度，因此有此为比奥-萨瓦尔公式(Biot-SavartLaw)感生速度场【例5-5】求圆周形涡所感生的速度场。在实际问题中常可遇到圆环状涡管，由于涡管截面上线尺度与圆环半径相比是小量，可简化为圆涡线。解：设xy平面上有一半径为a的圆周涡线，z轴过该圆周的圆心，涡线强度是，由于轴对称，所有过z轴的子平面上运动相同，因此只考虑平面上的诱导速度。取柱坐标系，它与直角坐标系Oxyz的关系是感生速度场先分析特殊情况，位于z轴上任一点的诱导速度。上式右边第二项中是不断变化且对称的，沿圆环积分为0，于是有a)如果，即涡环为逆时针方向，则z轴上任意一点的诱导速度都是沿着轴线正方向，速度大小随环量增加而增加；b)速度值是上下对称的；c)随圆周形涡线的圆周半径a的增大，速度将减小；d)随距圆周形涡线的距离(即)减小，速度增大，在的圆心处速度达到极大值。感生速度场上式积分可化为第一类和第二类完全椭圆积分，有表可查。现定性分析具有相同对称轴的前后两个涡环，如图，位于半径大于a的圆环b，和位于处半径为a的圆环a，a圆环涡线上一点和它关于原点的对称点对圆环b上一点诱导的速度分别如图中红色虚线向量和蓝色虚线向量所示，显然合速度的方向分量为离心方向，方向的分量为z轴负向。这样涡环a对涡环b感生的速度场使涡环b半径不断增大，速度不断减小，同理，位于处的涡环b对圆环a上一点感生的速度场的方向分量为向心方向，向的分量为z轴正向，这样使涡环a半径不断减小，速度不断增加，会追上前面涡环并穿越超过前面涡环，于是前后易位，涡环a在前，b在后，如图所示。然后后面的涡环b在前面涡环a感生的速度场使涡环半径不断增大，前面的涡环a在后面涡环b感生的速度场使涡环半径不断减小，这样，两涡环穿行的现象不断重复下去，直至能量耗散完。xrzΓaθP(x,0,z)dl感生速度场【例5-6】直涡线感生的速度场。图为与z轴平行的直涡线段，它的强度是，考虑和直涡线段垂直，距离为h的空间点P的速度。如图，由于，于是这就是直线涡段所诱导产生的速度场。特别地，如果该直涡线是无限长的，则其诱导产生的速度感生速度场直涡线感生的速度场速度与到直涡线的距离成反比，越靠近直涡线，涡旋做圆周运动旋转越快，当时流速，这在物理上当然是不可能的。但注意到前面我们指出过涡线是细涡管的一种近似，为了克服所说的困难，一般可将直线涡内部狭窄区考虑成“涡核”，具有半径。在的区域，诱导速度公式适用。在的区域内则作另外的考虑，通常是被看成“刚性核”，即速度随线性减少，当时有，当然这仅仅是所讨论的问题涉及直线涡本身结构时才作这样考虑的，一般情况则不需要。点涡直涡线感生的速度场由公式可以看出无线长直线涡的诱导速度在z轴方向没有分量，而且点到涡线的垂直距离h与z无关，即，所以无限长直线涡感生的是平面流场，也就是说可以把无限长的直线涡看成是平面上某一点强度为的平面点涡，因此关于直线涡影响下流体的运动问题可以归结为在点涡影响下的流体的平面运动问题。讨论n条平行直线涡的问题，即相当于讨论n个点涡所引起的平面流动问题。设第i个点涡坐标为

，涡强度是，对于流体中任一点(x,y)，该点涡的诱导速度是θθ(xi,yi)(x,y)直角坐标系下分量n个点涡同时存在时，对这一点所产生的诱导速度是点涡如果所考虑的点是n个点涡中第j个点涡所在的点，那么这第j个点涡不对自身产生诱导速度，而其他n−1个点涡则将使第j个点涡产生运动，速度是

对t积分有这n个点涡强度不变，则也不变，因此定义类似于质量惯性中心，称为这n个点涡的涡旋惯性中心。点涡涡对指在流场中存在一对点涡，即n=2的情况。在自然界中存在着涡对，如热带双台风、飞机两翼的尾涡等。下面导出有关的一些表达式，从中可以看到涡对的一些有趣的现象。涡对相互影响所产生的自身运动速度是涡对的涡旋惯性中心是这说明了涡对的涡旋惯性中心在涡对两个点涡的联线上。对于流场中任意点(x,y)，涡对产生的诱导速度是点涡综合这几点，就知道涡对相互作用引起的自身运动是绕涡旋惯性中心的旋转运动，其旋转角速度为这说明两个点涡运动速度垂直于其联线，同时也说明了涡对距离每个点涡跟涡旋惯性中心距离保持不变(绕涡旋惯性中心的旋转运动)。

与绝对值大的同号，即涡对绕惯性中心转动的方向和强度大的那个点涡转动方向相同。点涡【例5-7】现在考察特殊的涡对：强度相同均为Γ，旋转方向相反的两个点涡所构成的涡对(图)。求此涡旋感生的速度场，流线方程。解：这两个点涡以相同的速度垂直于两点涡联线方向运动，运动速度是此时涡旋惯性中心在无穷远处，旋转角速度为零。它们的诱导速度是把这两个速度分量表达式带入流线方程其中积分得这表明诱导流场的流线是对称于涡对联线中点的圆周族，C取不同值，对应不同圆心和半径。点涡【例5-7】现在考察特殊的涡对：强度相同均为Γ，旋转方向相反的两个点涡所构成的涡对(图)。求此涡旋感生的速度场，流线方程。解：这两个点涡以相同的速度垂直于两点涡联线方向运动，运动速度是这表明诱导流场的流线是对称于涡对联线中点的圆周族，C取不同值，对应不同圆心和半径。点涡【例5-8】考察特殊的涡对：，分析涡对相互影响所产生的自身运动规律解：涡对相互影响所产生的自身运动速度是取坐标，则，于是由于，可见方向与的方向相同。(本题，因此可以得出方向与的方向相同)，运动类似于图，此时旋转中心坐标当时，，显然旋转中心靠近(上图)，当时，，旋转中心也是靠近。(下图)点涡【例5-9】考察特殊的涡对：Γ1、Γ2同号，分析涡对相互影响所产生的自身运动规律解：，位于x1和x2

之间，运动如图所示。兰金组合涡【例5-10】兰金组合涡(RankineVortex),求旋度、速度和压强分布。解：处，有，于是速度分布为旋度时，根据Bernoulli方程，有圆柱上一点处，兰金组合涡