数学导数及其应用多选题(讲义及答案)及答案

数学导数及其应用多选题(讲义及答案)及答案一、导数及其应用多选题1．对于函数，其中，下列个命题中正确命题有（）A．该函数定有个极值 B．该函数的极小值一定不大于C．该函数一定存在零点 D．存在实数，使得该函数有个零点【答案】BD【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】函数定义域是，由已知，，有两个不等实根，但，一正一负．由于定义域是，因此只有一个实根，只有一个极值，A错；不妨设，则时，，递减，时，，递增．所以是函数的极小值．，，＝，设，则，时，，递增，时，，递减，所以极大值＝，即，所以，B正确；由上可知当的极小值为正时，无零点．C错；的极小值也是最小值为，例如当时，，，时，，又（，所以在和上各有一个零点，D正确．故选：BD．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．2．对于函数，下列说法正确的有（）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若在上有解，则【答案】ACD【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A；利用函数的单调性和函数值的范围判断B；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C；利用不等式有解问题的应用判断D．【详解】函数，所以，令，即，解得，当时，，故在上为单调递增函数．当时，，故在上为单调递减函数．所以在时取得极大值，故正确；当时，，在上为单调递增函数，因为，所以函数在上有唯一零点，当时，恒成立，即函数在上没有零点，综上，有唯一零点，故错误．由于当时，，在上为单调递减函数，因为，所以，故正确；由于在上有解，故有解，所以，设，则，令，解得，当时，，故在上为单调递减函数．当时，，故在上为单调递增函数．所以．故，故正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3．已知：是奇函数，当时，，，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由已知构造得，令，判断出函数在时单调递增，由此得，化简可判断A；，化简并利用是奇函数，可判断B；，化简可判断C；由C选项的分析得，可判断D.【详解】因为当时，，所以，即，所以，令，则当时，，函数单调递增，所以，即，化简得，故A正确；，即，化简得，所以，又是奇函数，所以，故B不正确；，即，又，化简得，故C正确；由C选项的分析得，所以，又是奇函数，所以，故D正确,故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.4．设函数，则（）A． B．的最大值为C．在单调递增 D．在单调递减【答案】AD【分析】先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断CD的正误．【详解】的定义域为，且，，故A正确．又，令，则，其中，故即，故，当时，有，此时即，故，故B错误．，当时，，故在为减函数，故D正确．当时，，故，因为为增函数且，而在为增函数，所以在上为增函数，故在有唯一解，故当时，即，故在为减函数，故C不正确．故选：AD【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．5．设函数，，给定下列命题，其中正确的是（）A．若方程有两个不同的实数根，则；B．若方程恰好只有一个实数根，则；C．若，总有恒成立，则；D．若函数有两个极值点，则实数．【答案】ACD【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为与有两个不同的交点，即可判断A选项；易知不是该方程的根，当时，将条件等价于和只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B选项；当时，将条件等价于恒成立，即函数在上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出的范围，即可判断C选项；有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D选项.【详解】解：对于A，的定义域，，令，有，即，可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故A正确；对于B，易知不是该方程的根，当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为,由大致图像可知或，故B错误；对于C，当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，有，从而在上单调递增，在上单调递减，则，于是，故C正确；对于D，有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由C可知，，即，则D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．6．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（）A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值D．一般情况下，阿基米德三角形的面积【答案】ABC【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可..【详解】由题意可知：直线一定存在斜率，所以设直线的方程为：，由题意可知：点，不妨设，由，所以直线切线的方程分别为：，两方程联立得：，解得：，所以点坐标为：，直线的方程与抛物线方程联立得：.A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为，因为过抛物线的焦点，所以，而，显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，即，因为，所以化简得：，此时，点坐标为：，因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，所以，因此正三角形的边长为，所以正三角形的面积为，故本选项说法正确；C：阿基米德三角形为直角三角形，当时，所以，直线的方程为：所以点坐标为：，点到直线的距离为：，，因为，所以，因此直角的面积为：，当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确；D：因为，所以，点到直线的距离为：所以阿基米德三角形的面积，故本选项说法不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.7．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】构造，由有，即在上单调递减，根据各选项的不等式，结合的单调性即可判断正误.【详解】由知：，令，则，∴在上单调递减，即当时，；当时，；A：，有，，所以；B:由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且时，，，，有，，所以无法确定的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由形式得到，1、构造函数：，即.2、确定单调性：由已知，即可知在上单调递减.3、结合单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.8．定义在R上的函数，若存在函数（a，b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数，下列命题中正确的是（）A．函数是函数的一个承托函数B．函数是函数的一个承托函数C．若函数是函数的一个承托函数，则a的取值范围是D．值域是R的函数不存在承托函数【答案】BC【分析】由承托函数的定义依次判断即可.【详解】解：对A，∵当时，，∴对一切实数x不一定都成立，故A错误；对B，令，则恒成立，∴函数是函数的一个承托函数，故B正确；对C，令，则，若，由题意知，结论成立，若，令，得，∴函数在上为减函数，在上为增函数，∴当时，函数取得极小值，也是最小值，为，∵是函数的一个承托函数，∴，即，∴，若，当时，，故不成立，综上，当时，函数是函数的一个承托函数，故C正确；对D，不妨令，则恒成立，故是的一个承托函数，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．9．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（）A．曲线在处的切线方程为B．恰有2个零点C．既有最大值，又有最小值D．若且，则【答案】BD【分析】本题首先可根据以及判断出A错误，然后根据当时的函数单调性、当时的函数单调性、以及判断出B正确和C错误，最后根据得出，根据函数单调性即可证得，D正确.【详解】函数的定义域为，当时，，；当时，，，A项：，，则曲线在处的切线方程为，即，A错误；B项：当时，，函数是减函数，当时，，函数是减函数，因为，，所以函数恰有2个零点，B正确；C项：由函数的单调性易知，C错误；D项：当、时，因为，所以，因为在上为减函数，所以，，同理可证得当、时命题也成立，D正确，故选：BD.【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于，则函数是增函数，若导函数值小于，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.10．关于函数，，下列结论正确的有（）A．当时，在处的切线方程为B．当时，存在惟一极小值点C．对任意，在上均存在零点D．存在，在有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.【详解】对于A：当时，，，所以，故切点为，，所以切线斜，故直线方程为，即切线方程为：，故选项A正确；对于B：当时，，，，恒成立，所以单调递增，又，，所以存在，使得，即，则在上，，单调递减，在