中考数学几何模型专项复习 模型13 全等三角形-倍长中线模型-（原卷版+解析）

全等三角形模型（十三）——倍长中线模型◎结论：如图，AD为△ABC的中线，则AD＜（AB+AC）证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.在△ADC和△EDB中AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD∴△CDA≌BDE∴AC=EB在△ABE中,由三角形三边关系可得AE<AB+BE,BE=ACAE=2AD2AD<AB+ACAD＜（AB+AC）eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)有中点，可倍长，倍长之后8字现间接倍长1．(2023·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围是（）A． B． C． D．2．(2023·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤81．(2023·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是___．2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．3．(2023·浙江·杭州市保俶塔实验学校八年级期中）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．1．(2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．全等三角形模型（十三）——倍长中线模型◎结论：如图，AD为△ABC的中线，则AD＜（AB+AC）证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.在△ADC和△EDB中AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD∴△CDA≌BDE∴AC=EB在△ABE中,由三角形三边关系可得AE<AB+BE,BE=ACAE=2AD2AD<AB+ACAD＜（AB+AC）eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)有中点，可倍长，倍长之后8字现间接倍长1．(2023·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围是（）A． B． C． D．答案:B分析延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．【详解】解：如图，延长至，使，∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，即∴．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．2．(2023·广西·灵山县烟墩中学八年级期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8答案:B分析如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围．【详解】如图所示，延长AD到E，使，连接CE，AD是△ABC中BC边上的中线，，在与中，，，，在中，由三角形三边关系得：，，，，．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键．1．(2023·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是___．答案:分析延长到点，使，连接，得出，推出，再根据三角形三边关系定理即可得出答案．【详解】解：如图，延长到点，使，连接，是中线，，在和中，，，，∵在中，，∴，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．答案:分析延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．【详解】解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：∵D是BC的中点∴BD=CD在和中：∴∴∵AD=5∴AE=10在中，由得：即：故答案为：【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．3．(2023·浙江·杭州市保俶塔实验学校八年级期中）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．答案:4分析延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．【详解】解：如图，延长AE，BC交于点G，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D＝∠ECG，又∵∠AED＝∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG＝AD＝5，AE＝GE，又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，∴AF＝GF＝3+5＝8，又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，在Rt△AEF中，∠FAE＝30°，∴EF＝AF＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．1．(2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:B分析延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．2．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．答案:（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析分析（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可；（2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可；（3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证．【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）②1＜x＜4，理由如下：∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．由△ACE三边关系得：，又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．（2）延长FD到G，使得