人教版九年级数学上册同步练习 第30课 圆单元检测（一）（原卷版+解析）

第30课圆单元检测(一)一、单选题1．给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形,其中真命题共有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为()A．45°B．30°C．75°D．60°3．秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面0.5m，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2m(左右对称)，如图，则该秋千所荡过的圆弧长为()A．πmB．2πmC．πmD．m4．已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是()A．外离 B．外切 C．相交 D．内切5．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为()A．12 B．10 C．14 D．156．如图，方格纸上一圆经过(2，5)，(－2，1)，(2，－3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为()A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)7．如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于()A．55° B．90° C．110° D．120°8．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为()A． B． C． D．二、填空题9．的半径为，的半径为，圆心距，这两圆的位置关系是___．10．如图，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=_____度.11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝CD，则图中与∠1相等的角有_________．12．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．13．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为______．14．(2023·辽宁丹东)．如图，AB是⊙O的直径,弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．(1)若OACD，求阴影部分的面积；(2)求证：DEDM．15．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．三、解答题16．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．(1)求BF的长；(2)求⊙O的半径r．17．如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C,(1)若∠ADE=25°，求∠C的度数；(2)若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．18．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C．试判断直线AC与半圆O的位置关系，并说明理由．19．已知，如图，AB为的直径，，BC交于点D，AC交于点E，．(1)求的度数；(2)求证：；(3)若圆O的半径为，求弦BD与围成的弓形的面积．20．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点.∠APC=∠CPB=60°.(1)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.第30课圆单元检测(一)一、单选题1．给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形,其中真命题共有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错．三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个．【详解】三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①是对的；反过来说圆的内接三角形可以无数多个，所以②是错的；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③是对的；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，④是错误的．所以正确的命题有2个．故选B．【点睛】考查三角形外心与内心的概念，属于概念题．2．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为()A．45°B．30°C．75°D．60°【答案】D【解析】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=OC=OA，∴∠OAD=30°(30°所对的直角边等于斜边的一半)，同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°.(圆周角等于圆心角的一半)故选D.3．秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面0.5m，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2m(左右对称)，如图，则该秋千所荡过的圆弧长为()A．πmB．2πmC．πmD．m【答案】B【解析】如图，过点B作BF⊥OE于点F，则四边形BHGF是矩形，所以OF=OG-FG=3.5-2=1.5.Rt△OBF中，因为OB=2OF，所以∠OBF=30°，所以∠BOE=60°，所以∠AOB=120°.所以弧AB的长为m.故选B.4．已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是()A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】D【详解】∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，又∵5﹣2=3，∴两圆的位置关系是内切．故选D．【点睛】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r(R≥r)时两圆相交；当d=R-r(R＞r)时两圆内切；当0≤d＜R-r(R＞r)时两圆内含．5．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为()A．12 B．10 C．14 D．15【答案】B【解析】如图，连接EF，因为∠EOF=90°，所以EF是直径，由勾股定理得，EF=10.故选B.6．如图，方格纸上一圆经过(2，5)，(－2，1)，(2，－3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为()A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)【答案】B【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．得(2，6)和(2，-2)的垂直平分线是，(-2，2)和(6，2)的垂直平分线是,则该圆圆心的坐标为(2，2)，故选B．7．如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于()A．55° B．90° C．110° D．120°【答案】C【解析】因为CA为⊙O的切线，所以OA⊥AC，所以∠OAC=90°.因为∠CAB=55°，所以∠OAB=90°-55°=35°，因为OA=OB，所以∠OAB=∠B.所以∠AOB=180°-2×35°=110°.故选C.点睛：本题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质及三角形的内角和，圆的切线垂直于过切点的半径，由此得到90°的角，再结合等腰△OAB中的两底角的关系和三角形的内角和定理则可以解决问题.8．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．由题意得S底面面积=πr2，l底面周长=2πr，S扇形=3S底面面积=3πr2，l扇形弧长=l底面周长=2πr．由S扇形=l扇形弧长×R得3πr2=×2πr×R，故R=3r．由l扇形弧长=得：2πr=解得n=120°．故选：A．【点睛】本题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．二、填空题9．的半径为，的半径为，圆心距，这两圆的位置关系是___．【答案】内切【解析】【分析】根据R-r=圆心距可判定两圆内切.【详解】解：∵4-1=3,∴两圆的位置关系是内切.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉圆心距与半径的关系是解题关键.10．如图，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=_____度.【答案】147【详解】试题分析：DB切⊙O于A，则∠OAD=90°，∵AO=OM，∴∠OAM=∠OMA=(180°﹣∠O)÷2=62°，∴∠DAM=∠OAD+∠OAM=90°+62°=152°．故答案为152．考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的性质．11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝CD，则图中与∠1相等的角有_________．【答案】∠6，∠2，∠5【详解】因为AB=CD，所以=，则根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等得，与∠1相等的角有6，∠2，∠5.故答案为∠6，∠2，∠5.12．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．【答案】3cm或7cm【详解】设⊙O的半径为r，

当点P在圆外时，r==3cm；

当点P在⊙O内时，r=cm.

故答案为：3cm或7cm．13．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为______．【答案】1【详解】试题分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EOF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，∴△ADO≌△OFE(AAS)，∴OF=AD=1考点：(1)、垂径定理；(2)、全等三角形的判定与性质．14．(2023·辽宁丹东)．如图，AB是⊙O的直径,弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．(1)若OACD，求阴影部分的面积；(2)求证：DEDM．【答案】(1)4-π；(2)参见解析．【解析】试题分析：(1)连接OD,由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．(2)连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM,从而得到DM=DB,又因为弧DE=弧DB，DE=DB,所以DE就等于DM了．试题解析：(1)连接OD,∵CD是⊙O切线,∴OD⊥CD∵OA=CD=,OA=OD∴OD=CD=∴△OCD为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－．(2)连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM=90°又∵弧ED=弧BD∴ED=BD∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM=BD∴DE=DM．如图所示：考点：圆的性质与三角形综合知识．15．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．【答案】1.6【详解】解：如图：∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，∴AE=0.8m，∴OE=∵水管水面上升了0.2m，∴OF=0.8﹣0.2=0.6m，∴CF=m，∴CD=1.6m．故答案为1.6．考点：1.垂径定理的应用；2.勾股定理.三、解答题16．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．(1)求BF的长；(2)求⊙O的半径r．【答案】(1)BF＝10；(2)r=2．【分析】(1)设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．(2)证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．【详解】解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝＝5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．(2)连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．【点睛】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C,(1)若∠ADE=25°，求∠C的度数；(2)若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【答案】(1)∠C=40°；(2)⊙O的半径为2．【详解】【分析】(1)连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；(2)根据直角三角形的性质解答即可．【详解】(1)如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵,∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=(r+2)，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.18．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C．试判断直线AC与半圆O的位置关系，并说明理由．【答案】证明见解析【解析】试题分析：猜想是相切的关系，只需要证∠CAO=90°，即证∠C+∠AOC=90°，而∠BAD+∠AOC=90°，所以需要证∠C=∠BAD，结合∠BAD=∠BED，∠BED=∠C即可.试题解析：AC与半圆O相切．理由如下：∵是∠BED与∠BAD所对的弧，∴∠BAD＝∠BED.∵OC⊥AD，∴∠AOC＋∠BAD＝90°.∴∠BED＋∠AOC＝90°.即∠C＋∠AOC＝90°.∴∠OAC＝90°.∴AB⊥AC，即AC与半圆O相切．19．已知，如图，AB为的直径，，BC交于点D，AC交于点E，．(1)求的度数；(2)求证：；(3)若圆O的半径为，求弦BD与围成的弓形的面积．【答案】(1)22.5°；(2)见解析；(3)【分析】(1)由AB为⊙O的直径，AB＝AC，∠BAC＝45°，即可求得∠ABE与∠ABC的度数，继而求得∠EBC的度数；(2)首先连接AD，由圆周角定理可得，可得∠ADB＝90°，又由三线合一，即可证得BD＝DC；(3)首先连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，易求得∠BOD的度数与△OBD的高，继而求得答案．【详解】解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABE＝45°，∠ABC＝∠C＝67.5°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°；(2)证明：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝DC；(3)连接OD，过点B作BH⊥OD于点H，∵AB＝AC，AD