泛函分析智慧树知到期末考试答案2024年

泛函分析智慧树知到期末考试答案2024年泛函分析赋范线性空间任意有界闭子集都是紧集是该空间有限维的什么条件？（）

A:既不充分也不必要条件B:充分非必要条件C:充分必要条件D:必要非充分条件答案:充分必要条件若Banach空间X自反是其共轭空间自反的什么条件？（）

A:必要非充分条件B:充分必要条件C:充分非必要条件D:既不充分也不必要条件答案:充分必要条件以下选项中哪些和F是闭集等价。（）

A:F中任何收敛点列的极限都属于FB:F等于F的闭包C:F的余集是开集D:F的导集包含于F答案:F的余集是开集;F等于F的闭包;F中任何收敛点列的极限都属于F;F的导集包含于F关于赋范线性空间X中弱收敛序列，以下叙述正确的是（）

A:每个子序列也是弱收敛的B:序列有界C:弱极限是唯一的D:若X是Hilbert空间，则该序列强收敛答案:弱极限是唯一的;每个子序列也是弱收敛的;序列有界若X是一个线性空间，A是X的一个子集，包含集合A的一切凸集的交集，称为A的线性包或称为凸包。（）

A:错误B:正确答案:正确在n维欧氏空间上，Cantor集是疏集。（）

A:正确B:错误答案:正确完备的内积空间被称为Hilbert空间。（）

A:正确B:错误答案:正确完备的赋范线性空间叫做Banach空间。（）

A:错误B:正确答案:正确设X是n维线性空间，则X任意真子空间的维数小于n。（）

A:正确B:错误答案:正确有限维线性空间定义的任意两个范数是等价的。（）

A:正确B:错误答案:正确每一个点都是内点的集合称为开集。（）

A:对B:错答案:对Hilbert空间上任一正交规范集一定是线性无关的。（）

A:正确B:错误答案:正确设C为赋范线性空间X中的一个有界闭凸子集，T映C到自身，当T是紧映射时，T在C上存在一个不动点。（）

A:错误B:正确答案:正确设X是一个内积空间，M是X的一个子集，则M的正交补是一个闭线性子空间。（）

A:正确B:错误答案:正确若度量空间的子空间Y由有限个点组成时，则Y是完备的。（）

A:正确B:错误答案:正确任意个开集的并集是开集。（）

A:正确B:错误答案:正确度量空间的紧子集是闭集并且有界。（）

A:正确B:错误答案:正确空间C[a,b]上由通常的范数可以诱导出一个内积使之成为一个内积空间。（）

A:错B:对答案:错为了赋范线性空间X是有穷维，当且仅当X的单位球面是列紧的。（）

A:正确B:错误答案:正确泛函序列的强收敛，弱收敛和弱*收敛的关系：强收敛蕴含弱收敛，弱收敛蕴含弱*收敛。反过来，一般不成立。（）

A:正确B:错误答案:正确设X是一个内积空间，则内积关于两个变元都是连续的。（）

A:错B:对答案:对考察线性空间的一个子集是其子空间，只需要考察在该子集上线性运算是否封闭。（）

A:对B:错答案:对如果X是有限维的赋范线性空间，则X上的每个线性算子是有界的。（）

A:正确B:错误答案:正确A的聚点全体构成的集合称为A的导集。（）

A:错误B:正确答案:正确在度量空间中，一个集合完全有界的充要条件是它中的任意点列存在一个基本列。（）

A:错B:对答案:对实数集合，连续函数集合都是可分的。（）

A:正确B:错误答案:正确若X是一个n维复线性空间，当视X为实线性空间时，它的维数是2n。（）

A:错误B:正确答案:正确非平凡的内积空间中不一定存在完备的正交集。（）

A:正确B:错误答案:错误Banach空间X的子空间Y是完备的充要条件是Y是X的闭子集。（）

A:错误B:正确答案:正确在Hilbert空间上，每一个有界线性泛函都可以表示成一个内积形式。（）

A:错误B:正确答案:正确x是集合A的聚点，则x的任意邻域内必含有A中无限个点。（）

A:错B:对答案:对赋范线性空间中的任意开球一定是一个开凸集。（）

A:错误B:正确答案:正确设X是Banach空间，线性算子P是幂等的，并且其核空间与值域都是闭集，则它是有界线性算子。（）

A:正确B:错误答案:正确度量空间中单点集一定是疏集。（）

A:错误B:正确答案:错误设X是一个度量空间，A，B和C是X的三个子集，若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密。（）

A:错误B:正确答案:正确设X是赋范线性空间，E是X的一个子集，映射T映E到X，称它是紧映射，如果它是连续的并且映E中任何有界集为X中的列紧集。（）

A:正确B:错误答案:正确一组向量线性相关的充分必要条件是存在一个向量可由其它向量线性表示。（）

A:错误B:正确答案:正确设X是一个Hilbert空间，M是X的一个非平凡闭线性子空间，P是X到M的正交投影算子，则P具有的性质：P是一个有界线性算子，具有幂等性、自共轭。（）

A:错误B:正确答案:正确如果距离空间X中任一半径趋向于0的闭球套都有非空的交，则空间X是完备的。（）

A:正确B:错误答案:正确设X，Y是Banach空间，若T映X到Y是闭线性算子，并且T的定义域是闭集，则T是有界线性算子。（）

A:正确B:错误答案:正确自反Banach空间的任意闭子空间一定是自反的。（）

A:错误B:正确答案:正确多项式全体构成空间P[a,b]在连续函数空间C[a,b]中稠密。（）

A:错B