高斯求积公式

关于高斯求积公式数值分析考虑更一般形式的数值积分问题定义：若求积公式对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m.一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法

数值分析第2页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析定理1：设节点x0,x1…,xn∈[a,b]，则求积公式

的代数精度最高为2n+1次。

分别取

f(x)=1,x，x2，...xr

代入公式，并让其成为等式，得：

A0+A1+……+An=∫ab1dx.=b-ax0A0+x1A1+……+xnAn=∫abxdx.=（b2-a2)/2......x0

rA0+x1

rA1+……+xn

rAn=∫abxrdxr=(br+1-ar+1)

(r+1)数值分析第3页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析

事实上,取

2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-xn)2

代入求积公式,这里x0,x1…,xn是节点，有左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为2n+1次。证毕.

上式共有r+1个等式，2n+2个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,即r+1=2n+2,这样导出求积公式的代数精度至少是2n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.

数值分析第4页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析定义:使求积公式达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:n+1个节点的插值型求积公式的代数精度d

满足：

n

d2n+1。数值分析第5页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析例：选择系数与节点，使求积公式（1）成为Gauss公式。解：n=1,由定义，若求积公式具有3次代数精度，则其是Gauss公式。为此，分别取

f(x)=1,x，x2，x3

代入公式，并让其成为等式，得c1+

c2=2c1x1+

c2x2=0c1x12+

c2x22=2/3c1x13+

c2x23=0求解得：所求Gauss公式为：(1)用待定系数法构造高斯求积公式数值分析第6页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析

设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列，Pn(x)具有如下性质：1）对每一个n,Pn(x)是n次多项式。n=0,1,…2）(正交性)3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。（2）利用正交多项式构造高斯求积公式数值分析第7页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析定理2

设x0,x1,…,xn是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1

个零点,则插值型求积公式是Guass型求积公式。证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。设f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有

f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足f(xk)=r(xk)这里，Pn+1(x)是n+1次正交多项式，q(x)、r(x)均是次数≤n的多项式。数值分析第8页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析由性质3）及(4)式，有由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n，故有即对f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。证毕数值分析第9页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：代入积分式因此，求积系数为数值分析第10页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第11页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第12页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析常用的高斯求积公式1.Gauss-Legendre求积公式

(1)

其中高斯点为Legendre多项式的零点Guass点xk,Guass系数Ak都有表可以查询.数值分析第13页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第14页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第15页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第16页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析一般区间的Gauss-Legendre求积公式

如果积分区间是[a,b]，用线性变换

这样就可以用Gauss-Legendre求积公式计算一般区间的积分.将积分区间从[a,b]变成[-1,1],由定积分的换元积分法有数值分析第17页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第18页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第19页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第20页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第21页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析例

利用高斯求积公式计算解:

令x=1/2(1+t),则用高斯-Legendre求积公式计算.取n=4

积分精确值为

I=ln2=0.69314718…由此可见，高斯公式精确度是很高的.数值分析第22页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析例:分别用不同方法计算如下积分,并做比较各种做法比较如下：1、用Newton-Cotes公式当n=1时，即用梯形公式，I≈0.9270354当n=2时,即用Simpson公式,I≈0.9461359当n=3时,I≈0.9461090当n=4时,I≈0.9460830当n=5时,I≈0.9460830I准=0.9460831数值分析第23页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析2:用复化梯形公式

令h=1/8=0.1253：用复化辛卜生公式令h=1/8=0.125I准=0.9460831数值分析第24页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析4、用Romberg公式KTn

SnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831

I准=0.9460831数值分析第25页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析5、用Gauss公式解：令x=(t+1)/2,

I准=0.9460831（2）用3个节点的Gauss公式（1）用2个节点的Gauss公式数值分析第26页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析算法比较此例题的精确值为0.9460831...由例题的各种算法可知：对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜生公式有6位有效数字。用复合梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。数值分析第27页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析2.Gauss-Chebyshev公式常用的高斯求积公式数值分析第28页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析3.Gauss-Laguerre公式数值分析第29页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析4.Gauss-Hermite公式数值分析第30页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析数值分析第31页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析已知Hermite插值误差是因为对2n+1次多项式求积公式准确成立，即代入上式即有数值分析第32页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正数值分析第33页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析数值分析第34页,共39页，2024年2月25日，星期天数值分析

将积分区间[a,b]n等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式,然后把它们加起来，就得到整个区间上Gauss