新高考数学二轮复习解题思维提升12立体几何大题部分训练手册(附答案解析)

专题12立体几何大题部分

【训练目标】

1、掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；

2、掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假;

3、掌握，间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；

4、掌握票体积法求点面距；

5、掌握几何体体积的几种求法；

6、掌握利用空间向量解决立体几何问题。

7、掌握常见几何体的外接球问题。

【温馨小提示】

立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在17分到22分之间，对于大多数人来说立体

几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和距离的求法,

特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。

【名校试题荟萃】

ABC-AiBiCiJIJTI=AC=\/3

1、已知直三棱柱中，4C_LCB，D为月日中点，，OB=L

⑴求证：BCi//平面41c。；

⑵求三棱锥°】~的体积.

【解析-】

(1)证明：连结4cl交41C于。点，连结DO,

则。和D分别为4cl和AB的中点，所以DO[fBCr,

而DOU平面41DC,BCiU平面4IDC,

所以BC1//平面

AxDC.r

1

(2)因为BCi〃平面工1DC

所以点G_和E到平面DC的距离相等，从而有

=

V~incta*=」S\H”=lx」S、,”.=，xL,4c.sc

01~J1A?C43二c,J6,r

=-x-＞：-^xlxJ3=-

624

AB工BC,ADIiBC.A£=BC=：AD

2、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，"PAD

是正三角形，E是PD的中点.

/，

/7X

f

(1)求证：ADPC：

(2)判定CE是否平行于平面PAB,请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)平行

【解析】

⑴取题的中点为M,连接Hf,CM，

由于乂UZ?是正三角形，所以PT/_,必，

又易知四边形，珀C"是平行四边形,

加TBCAf,AB-AD,所以A/C_AD,

PCu平面PCM：PMu平面PCMf

又AfCcPM=AT,故4。_平面PCM,

又PCu平面PCM,t^.-LD-PC.

(2)CE平行于平面PAB,

理由如下：取PA的中点为F,连接EF,BF.

EF，皿EF=LAD

2

可知，

2

BCfLAD,5C=1.4D

又-,

所以四边形BCEF为平行四边形，故CE//BF.

又BF平面PAB,CE平面PAB,

所以CE//平面PAB-

3、在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，且底面ABCD为边长为2的菱形，BAD60，PD2-

（1）证明：面PAC面PDB；

（2）在图中作出点D在平面PBC内的正投影M（说明作法及其.理由），并求四面体PBDM的体积.

【答案】（1）见解析（2）勺叵

21

【解析】

ACU面J5CD

（1）因为PD平面ABCD,，所以PDAC,

PD1BD=DAC

在菱形ABCD中，ACBD,且，所以，

ACu面RdCPAC1向PDB

又因为|,所以面.

（2）取BC的中点E，连接DE，PE，易得△BDC是等边三角形，所以BCDE，

PD1DE=DBC1面PDE

又因为PD平面ABCD,所以PDBC，又，所以，

在面PDE中，过D作DMPE于M,即M是点D在平面PBC内的正投影，

BC】PE=EDM「

则DMBC，又，所以，经计算得DE<3,在RtZ\PDE中，PD2,

3

度=7?73=0

=y5二3xD.W

4、如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点0在线段AD上，

OA=\,OD=1,

OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形。

（1）证明：直线BC〃面OEF；

M-OE-D「

（2）在线段.DF上是否存在一点M，使得二面角的余弦值是3S3,若不存在请说明理由,

13

若存在请求出M点所在的位置。

【答案】（1）见解析（2）M为DF中点

【解析】

（1）依题意，在平面ADFC中，=^FOD=60°,..JC/7OF,

又OFu平面。比■，二.4。平面OEF①；

同理，在平面ABED中，JLBAO—二EOD—60'.

二A8〃OE,,45.7平面OEF②；

v.4Jn^C=A,O£riOF=O,.45AC敞EF,

OEu面OEF,。尸u面OEF,

由①②可得，平面ABC平面OEF.

又3Cu面ABC,所以直线BCtl面OEF.

（本题可先证明BC//EF后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请•酌情给分。）

（2）设OD的中点为G，以G为原点，GE、GD、GF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立.间直角

坐标系。易知，-0(0,1,0),E«3,0,0),F(0,0,v3),D(0,1,0).

4

设DM-DF.，[0,1].可得一九屈），

w=（x,y,z）为平面MOE的法向量,

nOM=G一(2-z).y+^/3z.z=0

由"~F八有1可取7=（-匕有汇2一2）,

n-OE=0^3x+y=0

又面OED的法向量可取w=（0.0,1）,

3屈行--,jZ-2

所以-^―=cos夕=|cos<m,n>|=•丁、—一

3^4z*+(z-2)*

鲍（22-lXZ+l）=0,又；ie[0』，二上=?。

存在满足条件的点M为DF中点。

Z&4C=120c

5、如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,AB2,AC4,D为BC的3点.

（1）求证：ADPB；

（2）若二面角APBC的大小为45，求三棱锥PABC的体积.

【答案】（1）见解析（2）4

【解析】

3C：=4-16-2"2X4X8SL200=28

（1）在△ABC中，由余弦定理得,则BC2".

配=8=币

因为D为BC的中点，则

mu1iuiiniuu、iunuir21UB、UH、ILKIUI

功="西+且C)有+/C|

因为，则

=1(4-16-2x2x4x051206i=3AB*-AD*=4+3=7—BD°

4

，所以AD.因为，贝iJABAD.(5分)

因为PA底面ABC,贝iJPAAD，

所以AD平面PAB，从而ADPB.

（2）分别以直线AB,AD,AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.

5

设PAa，则点B2,0,0，D0,73,0，P0,0,a.

ULU.«-<>»

即BP=(-2,0,a)

所以，

没平面RBC的^向量为用=(x』z),则I"吧=°,即］一丁&=°

|wt3P-0|-0

取Jili]y-2,2--^,所以加=

因为n=(0,10)为平面PAB的法向量,

则18s(而=cos45c=,即

1,2同同

所以｝解得a,=12,所以〃=

c

所以「xP,4-lxlx2x4xsinl20x273-4.

6、如图，|在四棱锥P—ABC并，底面ABCD是边长为2的菱形，ZDAB=60°,ZADFt=90",平面ADRL平

面ABCD点F为棱PD的中点.

(1)在棱AB上是否存在一点E,使得AF〃平面PCE并说明理由;

(2)当二面角D-FC—B的余弦值为，求直线PB与平面ABCD所成的角.

【答案】(1)点E为棱AB的中点(2)60°

【解析】

(1)在棱AB上存在点E,使得AF〃平面PCE点E为棱AB的中点.

6

理由如下：取PC的中点Q连结EQFQ

由题意，FQyDCJ.FQ=-CDAE/7CD且AE=^CD

22

故AE〃FQ且AE=FQ.所以，四边形AEQ叨平行四边形.所以，AF〃EQ又EQ砰面PEGAF?平面PEG所以,

AF〃平面PEC.

（2）由题意知及BD为正三角形，所以ED1AB,亦即ED1CD,

又NADP=90。,所以PDj_AD,且平面ADP_L平面ABCD,平面ADPCl平面ABCD=AD,所以PD_L平面ABCD,

故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系,

设FD=a,则由题意知D（0,0,0）,F（0,0,a*,C（0,2,0）,B（布,1,0）,

FC=（0,2,-a）,CB=（弧-1,0）j

设平面FBC的法向量为nrr=（x,y,z）,

W.FC=0sW-C5=02y-az=0,2、巧

则由得l令x=1,则y=Y§,z=—

>J3x-y=0,a

所以取m=1,孚，显然可取平面DFC的法向量n=（1,0,0）,

由题意：-17-=|cos（mn〉|=------------，所以a=\j’3.

412V

寸+3+有

由于PDL平面ABCD所以PB在平面ABCDrt的射影为BD

所以/PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，

PD广

易知在RtZ\PBD中，tanZPBD=—=a=\i3,从而NPBD=60°,

DU

所以直线PB与平面ABC阴成的角为60°.

7、已知三棱柱ABG-AB，C的侧棱垂直于底面，AB=ACNBAG=90°,点MN分别是A'B和BzC的

中点。

（1）证明：MN/平面AAOG

（2）设AB=AAA,当人为何值时，CNL平面A'MN试证明你的结论.

【答案】（1）见解析（2）；2

7

【解析】

(D取,E的中点心连接瓯猴因为袅国”分别是H£和PC的中点，所以无5〃4C,ME

"A4：又A'C，湎C'C,A4，一面"C'C,

所以麻〃平面4fCC,顺〃平面取CC,

所以平面的〃平面.WC1C,因为鼾平面HNE,

所以JQfil平面AA'C'C.

(2)连接BN设A'A=a,则AB=Aa,由题意知BG=、、户Aa,NC=BN=JaU；入宣，

•••三棱柱ABG-AB'C的侧棱垂直于底面，，平面A'B'C，平面BBCG

VAB=AC点N是B'C的中点，；.A'N,平面BBCC,；.CNLA'N

要使CNL平面A'MN只需CNLBN即可，；.Cl^l+BM=8(5,2a+^2a=2入2a②？A=、jW,

...当人孑邛时，CNL平面A'MM

jgr=900

8、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，,

BC=2AD=2AB=2P£±PC1PD=^2

，•

p.

.(1)求证：平面PBC平面ABCD；

(2)若PCPB,求点D到「平面PAB的距离.

【答案】(1)见解析⑵如

2

【解析】

(1)证明：取BC中点M，连接DM,PM

A£D=AB=1

可知且MDBC

QPB±PC.BC=2

又，在RtPBC有PM1

l:.PD：=PM、MD【

又QPD衣，，即MDPM,

8

QJ/D_BC.PMIBC=V,PMu

又平面PBC,BC平面PBC

MD平面PBC,又QMD平面ABCD.

平面PBC平面ABCD

(2)设点D到平面PAB的距离为h

.

少J

\y

i

■：PC=PB.PC±PB,

PM-BC又；平面C一平面ABCD,

且平面PBC仆平面ABCD=BC,PM_面.13CD

^P-ABD~|IEHIS^D=-^XlxAxlxl=<

3326

在*Zff中有产厅=e=,£?=LE/=道，

/.PR2=P£：.PB-.IB-S3==

1c.142,1

^D-XBP=鼻,上商-〃=三又二^乂卜

J-JX飞，h叵

2

所以点D到平面PAB的距离为—

2。

ABC-A,B,C,

9、如图,在三棱柱中，点P,G分别是AA,B]C]的中点，已知AA平面

AA1—耳G=344—4G.2

ABC,,

(1.)求异面直线AG与AB所成角的余弦值

(2)求证：AjG平面BCG0.

(3)求直线PG与平面BCGB1.所成角的正弦值

V7叵

【答案】(2)见解析

45

9

【解析】

Cl).；ABi二，旬ZG4.S是异面直线AG与T3所成的角.

./44=4C=2,G为3c的中点，二

在心”?44中，N4Gq=90"

J?

即异面直线4G三48斫成角的余炫信.I—.

4

,48C—A5.C,

（2）在三棱柱中.，

AA,平面ABC,AG平面ABC,/.AAAG，,BBAG,

又1-iriri,...蛆平面BCCBi

（3）解：取BC的中点H,连接AH,HG;取HG的中点O,连接OP.OC,.

POPAG,/.PO平面BCCiBi,

•••PCQ是PC1与平面BCCR所成的角.

PCj-)2:+f-；--R=4G=¥

1V12)22

由已知得卜，，

sinZPC^----

PC,5

,,J

二直线PG与平面BCC1B1所.成角的正弦值为—.

5

10、如图，在底面是正三角形的三棱锥P-AB计，PA=AB=2PB=PC5X2.

(1)求证：PAL平面ABG

(2)若点D在线段PC上，且直线BD与平面ABC所成角为一，求二面角D-AB-C的余弦值.

6

10

【答案】(1)见解析(2)国.

7

【解析】

证明：(1)...在层面是正三龟形的三棱锥P-ABC中，PA=M=2,PB=FC=2V2.

,-.PA:+AB;=PB:,PA：+AC：=PC；,

.,.PilAB,PA1M,

,.•ABnAC=A,J.PA_L平面ABC.

(2)以A为原点，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

B(V3，1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

设D(0,b,c),PD=XPC，OWAW1,贝!J(0,b,c-2)=(0,2X,-2人)，

D(0,2X,2-2A)，BD=(-V3，2X-1,2-2人)，

•.•直线BD与平面ABC所成角为三，平面ABC的法向量£=(0,0,

1),

6

2-2-_________

...sin兀-I丽」I_43+(2入-1产+(2-2入)2,

6|BD|«|n|

解得八'■或'=2(舍),

2

D(0,1,1),AB=(k/3»1，°)，AD=(o，1，1)，

设平面ABD的法r向量ir=(x,y,z),

nr卷=^叶尸0

IP*AD=y+z=O

则U取x=i,得ir=(1,6,技

平面ABC的法向量p=(0,0,1),

设二面角D-AB-C的平面角为0,

则cos9=i^-pj_y3_v2i.

|mI-|pIV77

11

，二面角D-AB-C的余弦值为返L.

7

‘皿,A,…、.ABC-ABC^i.AB=Z.1.4C……AA=A,5=a，、=

11、如图，在斜三棱柱iyiyiy中，11,ABAC-1，侧面BiBCCi

与底面ABC所成的二面角为120°,E,F分别是棱BQ］、AA的中点

(1)求A〕A与底面ABC所成的角；

(2)证明AE〃平面B〔FC；

(3)求经过A,A,B,C四点的球的体积.

【答案】

(1)60"(2)见解析(3)曳鼻於，

27

【解析】

(I)过星作AJd_平面ABC,垂足为H.

连接AH,并延长交BC于G,于是NAAH为A：A与底面ABC所成的角.

•.,ZALAB=ZA；AC,：.AG为NBAC的平分线.

XVAB=AC,.,.AG1BC,且G为BC的中点.

因此，由三垂线定理A：Aj_BC.

且EG〃BtB,.'.EG±BC.

于是NAGE为二面角A-BC-E的平面由，即NAGE.

由于四边形AiAGE为平行四边形，得NAiAG=60.

(H)证明：设EG与BQ的交点为P,则点P为EG的中点.连接PF.

在平行四边形AGEA中，因F为AA的中点，故AE//FP.

而FP?#面BiFC,A,E?平面BiFG所以AE^平面B,FC.

12

CIII)连接A：C.在和£LA：AB中，由于AC=AB,ZA：AB=ZA：AC,A：A=A：A,

贝I」AA：AWAA：AB,故AC=&B.由已知得A：A=&B=A：C=a.

又•「MILL平面ABC,/.H为AABC的外心.

设所求球的球心为0,则o€AE,目球心0与A.A中点的连线0F1A.A.

ZBAD=NBCD=9Q0

12、如图，在四面体ABCD中，BABC-

(1)证明：BDAC；

二ABD=60°

(2)若，BA2，四面体ABCD的体积为2,求二面角BACD的余弦值.

(2)延

【答案】(1)见解析

35

【解析】

(1)如图，作RtAABD斜边BD上的高AE,连结CE.

13