随机变量及其分布函数

关于随机变量及其分布函数§2.1随机变量及其分布函数一、随机变量的引入二、随机变量的概念三、随机变量的分布函数四、随机变量的分类第2页,共27页，2024年2月25日，星期天1.为什么引入随机变量?一、随机变量的概念引入2.随机变量的引入

概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．第3页,共27页，2024年2月25日，星期天实例1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为X，则X

的可能取值为1，2，3．因此，X

是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量．第4页,共27页，2024年2月25日，星期天X

的取值情况可由下表给出：

由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X

的一个确定的取值，因此变量X是样本空间Ω上的函数.第5页,共27页，2024年2月25日，星期天

由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X

的一个确定的取值，因此变量X是样本空间Ω上的函数：

我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如表示取出2个黑球这一事件；表示至少取出2个黑球这一事件，等等．第6页,共27页，2024年2月25日，星期天实例2

在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.Ω={红色、白色}

非数量将Ω

数量化可采用下列方法红色白色即有X(红色)=1,X(白色)=0.这样便将非数量的Ω={红色，白色}数量化了.第7页,共27页，2024年2月25日，星期天实例3

抛掷骰子,观察出现的点数.S={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有则有第8页,共27页，2024年2月25日，星期天二、随机变量的概念1.定义设E是一个随机试验，Ω是其样本空间．为一个随机变量，我们称样本空间上的函数：RωΩ随机事件数量化第9页,共27页，2024年2月25日，星期天说明(4)随机变量与普通的函数不同

随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).即随机事件数量化.第10页,共27页，2024年2月25日，星期天(5)随机变量的取值具有一定的概率规律

随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(6)随机变量与随机事件的关系

随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.第11页,共27页，2024年2月25日，星期天实例4

掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有即X(ω)是一个随机变量.随机事件数量化2.例子第12页,共27页，2024年2月25日，星期天实例5

在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:若用X表示该家女孩子的个数时,则有可得随机变量X(ω),第13页,共27页，2024年2月25日，星期天实例6

设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则是一个随机变量.实例7

设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:且X(ω)的所有可能取值为:第14页,共27页，2024年2月25日，星期天称为

X

的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX三、随机变量的分布函数1.概念定义设X是一个随机变量，x

是任意实数，函数注意到X的分布函数是一个普通函数.第15页,共27页，2024年2月25日，星期天0２xX３-1x2.例子例1

设随机变量X

的为：解：当

x<-1

时，满足求

X的分布函数.满足第16页,共27页，2024年2月25日，星期天满足２x３-1xX例1

设随机变量X

的为：求

X的分布函数.满足满足第17页,共27页，2024年2月25日，星期天总之-10123

x1第18页,共27页，2024年2月25日，星期天例2

一个靶子是半径为2

米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：X（1）若

x<0,满足（2）满足据题意第19页,共27页，2024年2月25日，星期天01231F(x)x例2

一个靶子是半径为2

米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：（1）若

x<0,（2）（3）满足是必然事件，于是总之第20页,共27页，2024年2月25日，星期天3.性质从以上分布函数的图象可以看出，分布函数

F(x)具有以下基本性质：10

F(x)是一个不减的函数．事实上，01231F(x)x2030性质20，30不加证明了,可以直观理解.第21页,共27页，2024年2月25日，星期天3.性质10

F(x)是一个单调不减的函数．01231F(x)x2030-101231xF(x)另外，可以证明:(1)分布函数必须满足以上三个性质.(2)满足以上三个性质的函数一定是某一个随机变量的分布函数.第22页,共27页，2024年2月25日，星期天4.用分布函数计算某些事件的概率则F(x)是一个单调不减的函数，单侧极限一定存在.第23页,共27页，2024年2月25日，星期天例3第24页,共27页，2024年2月25日，星期天例4由分布函数的性质，我们有解：解方程组得第25页,共27页，2024年2月25日，星期天四、随机变量的分类离散型随机变量连续型非离散型其它

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