2022-2023学年湖南省益阳市高三年级上册期末质量检测数学试题

益阳市2022-2023学年高三上学期期末质量检测

数学试题卷

姓名准考证号

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名.考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题

卡上的指定位置.

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷.草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知全集。={-2,—1,0,1,2,3},集合A={-L3},5={0,2,3},则电（Au5）为（）

A.{-2,-1,0,1,2}C.{-2,1}B.{-1,0,2,3}D.{-2}

2.设复数zi=1+2五，则2=（）

A.l+3iB.l-V5iC.iD.--i

3

3.如图所示的矩形ABCD中，民/满足3E=£C，CF=2FD,G为防的中点，若AG=九45+〃AO,

则的值为（）

4.在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为8cm的正方体胶泥作为原料，每人

制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制

作完成后剩下的胶泥约为（）（忽略制作过程中的损耗，乃。3.14）

A.8.7cm3C.10.6cm3B.9.6cm3D.12.4cm3

rx0

5.已知函数/（尤）e:八，若/（0）+/（。）=0,则出?的值为（）

ln^axj,x<0

,21

A.B.eC.—D.一

ee

6.2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激

发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从装有大小相同的标号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9种

不同的种子中随机抽取2种种子进行操作实验，则抽到的两种不同的种子的标号之和恰为10的概率为()

1154

A.-B.—C.—D.—

9153645

7.已知函数/(x)=sin®x+e)[0</<6,闸

应的值为()

A.4,—B.3,—C.2,—D.1,—

3636

8.已知函数〃x)=]nTY，若方程产(x)+(l—m)/(x)-，"=0有3个不等的实根，则实数机的取值范围为()

八•0B.gl,

D1-8,一

C.什

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图为国家统计局于2022年11月15日发布的社会消费品零售总额同比增速折线图，则2021年10月至2022

年10月同比增速的()(注：2022年1—2月份合并统计为一个数据)

A.平均数大于0B.中位数为

C.极差为D.第25百分位数为-3.5

10.已知函数/(6=/—/一心则()

A./(x)有2个极大值点B"(x)有1个极小值点

C，r(-2)=15D.点(1,/(1))处的切线方程为y=~\

11.已知双曲线--匕1,则()

43

A.C的离心率为立

2

B.C的渐近线方程为y=±半x

C.直线y=与。有2个公共点

D.过右焦点的直线/与。的交点分别为A,B,当|A用=4时，这样的直线/有3条

12.已知函数“X）及其导函数7'（X）的定义域均为R,记g（x）=（x），若/（x）关于直线X=2对称，

g（4+2x）为奇函数，则（）

A.r（2）=0B.g（2024）=g（-2020）

C.2）=g（18）D.g（4）=2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（x—y）（x+2»的展开式中含项的系数为（用数字作答）.

14.已知长方体ABC。—44GA中，AB=A4,=2,4。=3,点£为棱的中点，则异面直线从民旦。所

成角的余弦值为.

15.已知圆。：/+丁=1,圆C的圆心在x轴上，过点（2,、6），若圆。与圆O外切，则圆C的方程为

16.已知抛物线。：丁=2%的焦点为产，圆O：/+y2=3与。交于M,N两点，其中点M在第一象限，点P

在直线x=—2上运动，记OP=XOM+〃ON（/l,〃eR）.

①当OP〃。加时，有SFMP=当;

__.3

②当。P_LON时，有4=一万；

③，PM/V可能是等腰直角三角形；

其中命题中正确的有.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

2

已知数列｛。“｝的前〃项和为S“，且q=3,Sn=an+n-1.

（1）求｛6,｝的通项公式；

⑵若＞=上,T.=岫2+瓦瓦++么也用，求7；.

18.（本小题满分12分）

在《ABC中，角A氏C的对边分别为,且（2-sinA）cos8-l=cosAsinB-2cosBsinC.

（1）求5；

（2）证明:a2+c2„2b2.

19.（本小题满分12分）

某学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操（记为A类体操），原来的

大课间运动体操（记为3类体操），为了解学生对大课间运动的喜爱程度与使用大课间运动体操类别是否有关,

分别对使用A类体操与3类体操的学生进行了问卷调查，现分别随机抽取了100个学生的问卷调查情况，得

到如下数据：

喜爱不喜爱

A类体操7030

B类体操4060

（1）试根据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱大课间运动程度与4类体操和B类体操有关？

（2）从样本的喜爱大课间运动的学生中，按AB类分层抽取11名学生参加一个座谈会，再从中抽取3名学

生在学生大课间运动会上发言，求参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱8类体操的概率.

2

2_n(ad-bc)

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

20.（本小题满分12分）

如图所示的正方体ABCD-^C^中，点E,尸分别是棱BBrD©的中点.

（1）证明：平面AEC_L平面3。£）4；

（2）求平面与平面AEC所成锐二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

=l（a>A〉0）的左、右焦点分别为月,工，条件①离心率为;；②点P在C上运动，且

已知椭圆C:

“2b2

|?用+|P段=4；③点［1,|）在C上.从①②③任选两个条件作为已知，解决下列问题:

（1）求椭圆。的方程；

（2）已知过点工的直线/与椭圆C交于两点，点Q（4,0）,直线MQNQ的斜率分别记为《心攵皿，

试探讨+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数/(x)=(x-l)exT+l—x.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)讨论函数尸(尤)=/(%)一《皿+彳一1的零点个数.

益阳市2022-2023学年高三上学期期末质量检测

数学参考答案

2.D

3.A

4.B

5.D

6.A

7.C

8.A

二,多选题

9.AC

10.BCD

11.ABD

12.ABC

三、填空题

13.40

14.逅

65

15.(x-3)2+y2=4

16.①②

四、解答题

17.解：(1)因为S.=4“+〃？-1,

所以当几.2时，-

两式相减得：/=+2〃-1,即%=2〃-1,

所以4=2〃+1,

且4=3符合,

所以｛4｝的通项公式为为=2〃+1.

,11

（2）由（1）可知2=—~7,

an2〃+1

…77111<11、

■A*+，-2TF1'2I+3-212^+1-2）1+3/

所以。=仄瓦+血++切2+1

=lfl__1丫二〃

2U2n+3j3（2n+3）'

18.解：（1）由（2-sinA）cosB-l=cosAsinB-2cos8sinC,

得2cos3-1=cosAsinB+sinAcosB-2cosBsinC,

即2cosB-l=sinC-2cosBsinC,

2cosB+2cosBsinC=1+sinC»

2（l+sinC）cos5=1+sinC,

因为0<Cv",所以sinC>0,所以l+sinC〉O,

所以2cos5=1,即cosB=—,

2

71

又因为0<5v〃，所以3=一.

3

22

（2）依题要证明/+。22/,即证明巴等2,

b2

由（1）及正弦定理得：幺二二=竺竺吧£=±（sin2A+sin2。）

b1sin2B3、）

27r47r

又因为A+C=〃—8=——，所以2C=——2A,

33

所以COS2A+COS（^-2A]=cos2A-cos（]-2A）

1CA6.、A/cA万、

——cos2A------sin2A—cos2AH—>

22I3J

.__,,27r、、7i_.7i57r

因为0<A<—，所以一<2AH—<—，

3333

所以当24+0=%时，cos^2A+yj=-l

A2〃2।「2

此时§-§（cos2A+cos2C）有最大值2,即巴卡J”2,

所以片+次,2口得证.

19.解：（1）零假设为：%：是否喜爱大课间运动程度与A类体操和B体操无关.

根据列联表中的数据,

200>(70x60-30x40)2200

得到z2=18.182>10.828,

100x100x110x907T

根据小概率值a=0.001的独立性检验，推断“。不成立，

即认为是否喜爱大课间运动程度与A类体操和B类体操有关.

（2）由样本中的数据可知，抽取11名学生中，

其中喜爱A类体操有7名学生，喜爱B类体操有4名学生，

11x10x9

从11名学生抽取3名学生的所有情况有C；=-----------=165,

3x2x1

4x37x6

而3名发言的学生中既有喜爱A类体操也有喜爱3类体操的情况有C；C：+C；C；=7x--+——x4=126

22x1

种，

所以2=四=".所以参加发言的学生既有喜爱A

16555

类体操也有喜爱B类体操的概率为后,

20.证明：（1）因为ABC。-44G；9为正方体，

所以ACJ.8D,

又因为。。_L平面所以。A_L=。,

所以AC,平面BOOM,

又ACu平面AEC，所以平面AEC,平面BOqq.

（2）由条件可知DA,DC,。。两两垂直,

所以分别以。A。。,所在直线为％,yz轴建立空间直角坐标系（如图所示）,

设正方体的棱长为2。，

则£）（0,0,0）,A（2a,0,0）,C（0,2a,0）,E（2a,2a.a）,

F（0,a.2a）,

所以AC=(-2。,2a,0),AE=(0,2a,a),AF=(-2a,a,2a),

设平面AEC的一个法向量为勺=（x,y,z），

/?.•AE=0(%,y,z)♦(0,2aM)=0

则〈=><

(x,y,z)・(_2a,2a,0)=0'

in.*AC=0

2y+z=04-

所以《，令x=l,得y=l,z=-2,

所以勺=（1J—2）,

又设平面A£F的一个法向量为〃2=(x',y',z'),

f

n2-AE=0y\z)•(0,2a,a)=0

则4,AF=0nj(x'，y',z')•(—2a,a,2a)=0'

所以:，n,令y=2,得x'=-3,

-2x+y+2z=0

z'=4

所以丐=(-3,2,-4),

477174

所以cos（4,n2）=肯尚=（心少了-）

网］叫V6x>/29174

所以平面AEF与平面AEC所成锐二面角的余弦值为Z叵.

174

21.解：（1）选择①②，

因为|尸耳|+|「居|=2以,

2。=4a=2

c1

联立方程组一=二=></?=>/3,

a2

a2=从+（?2c=l

所以椭圆C的方程为：—+^=1.

43

选择②③，

因为|「制+|「段=2a,

-19,

L后=1『=2

联立方程组<2。=4n<b=6,

a2=b2+c2c=1

x2v2

所以椭圆C的方程为：土+2=1.

43

选择①③，

r2v2

所以椭圆。的方程为：—+^-=1.

43

(2)由(1)知椭圆C的方程为：:+<=1,所以6(1,0),

当直线/的斜率为0时，易知％MQ=£V2=。，所以”“。+%皿=°，

当直线斜率不为o时，设直线方程为x=(y+l，

,

r22

-------1--—=1

M(X|，X),N(/M，联立方程组J43，

x=ty+\

整理得(3/2+4)/+6)-9=0,

A>0=>rGR.

.6t9

所以,+%=一.，芦必=一门’

所以右o++

=0,

综上可知+kNQ为定值o.

22.解：(1)由/(x)=(x—l)e(T+1—X9

得〃力姆日)—],

当％,o时，r(%)=—<o,

当龙>0时，记夕(x)=xe'T—1,(/)(x)=(x+1)

e(T>O,0(x)单调递增，又因为夕(1)=0,

所以当xe(0,l)时，/'(x)<0,xe(L+aJ)时,f，(x)>0,

所以8,1),/'(6<0,〃月的单调递减区间是(一叫1),

X«1,+8)J'(x)>O,/(X)的单调递增区间是(1,+。).

(2)由题可知尸(6=〃x)-6nx+无一1=(x-1)e*T-Zlax(x>0),且尸(1)=0,

kY2eA-1-k

F'(x)=xe-i--=——

XX

令/i(x)=x2ev-1-k,则〃'(x)=+2x)e*T>0,

所以//(x)在(0,+e)单调递增，

当k„0时,F(x)>0,F(x)在(0,