数值分析习题讲解课件

数值分析习题讲解ppt课件目录CONTENCT绪论线性方程组的直接解法线性方程组的迭代解法非线性方程求根插值法与曲线拟合数值积分与微分常微分方程的数值解法01绪论研究对象特点数值分析的研究对象与特点数值分析是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支。数值分析以计算机为工具，以数字为处理对象，注重算法的构造、设计和分析。数值计算的误差主要来源于模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。误差来源根据误差的性质和来源，可分为绝对误差、相对误差、截断误差和舍入误差等。误差分类数值计算的误差来源与分类算法的稳定性是指算法在输入数据有微小变化时，输出结果的变化程度。稳定的算法能够抵抗输入数据的扰动，保证输出结果的准确性。算法的收敛性是指当迭代次数趋于无穷时，迭代结果是否趋近于精确解。收敛的算法能够保证在有限次迭代后得到足够精确的结果。算法的稳定性与收敛性收敛性稳定性02线性方程组的直接解法80%80%100%高斯消元法通过对方程组的增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后通过回代求解未知数。首先将增广矩阵的第一列除第一行外的元素全部消为0，然后将第二列除前两行外的元素全部消为0，以此类推，直到将增广矩阵化为行阶梯形矩阵。然后通过回代，依次求出未知数的值。在消元过程中，需要选取主元，避免主元为0的情况。同时，需要注意数值稳定性问题，避免大数吃小数的情况。高斯消元法的基本思想高斯消元法的步骤高斯消元法的注意事项列主元消元法的基本思想：在高斯消元法的基础上，每次消元前选取列中绝对值最大的元素作为主元，然后进行消元。列主元消元法的步骤：首先选取第一列中绝对值最大的元素作为主元，将其所在的行与第一行交换。然后对第一列除第一行外的元素进行消元。接着选取第二列中绝对值最大的元素作为主元，将其所在的行与第二行交换（如果主元不在第二行）。然后对第二列除前两行外的元素进行消元。以此类推，直到将增广矩阵化为行阶梯形矩阵。最后通过回代求解未知数。列主元消元法的注意事项：在选取主元时，需要保证主元的绝对值大于一定阈值，以避免出现除以0的情况。同时，需要注意数值稳定性问题，避免大数吃小数的情况。列主元消元法追赶法的基本思想追赶法的步骤追赶法的注意事项针对三对角矩阵线性方程组，通过追赶过程（即LU分解）和回代过程求解未知数。首先进行追赶过程，将三对角矩阵分解为两个二对角矩阵L和U的乘积。然后进行回代过程，先求解Ly=b得到y，再求解Ux=y得到x。在追赶过程中，需要注意存储中间变量以便后续计算。同时，在回代过程中需要注意计算顺序和精度问题。追赶法03线性方程组的迭代解法迭代公式收敛性误差估计雅可比迭代法当迭代矩阵的谱半径小于1时，雅可比迭代法收敛。可给出迭代解的误差估计式，用于判断迭代是否达到所需精度。通过构造迭代矩阵，将线性方程组转化为迭代格式进行求解。与雅可比迭代法类似，但每次迭代时利用已求出的最新近似值进行计算。迭代公式收敛性加速技巧当系数矩阵严格对角占优或正定且对角元素占优时，高斯-赛德尔迭代法收敛。可采用松弛法、外推法等加速技巧提高收敛速度。030201高斯-赛德尔迭代法在高斯-赛德尔迭代法的基础上引入松弛因子，通过调整松弛因子来加速收敛。迭代公式当松弛因子在合适范围内取值时，超松弛迭代法收敛速度通常比雅可比和高斯-赛德尔迭代法快。收敛性可通过理论或经验公式确定最优松弛因子，使得收敛速度达到最快。最优松弛因子超松弛迭代法04非线性方程求根

二分法初始区间选择确保非线性方程在初始区间内存在根，且函数在区间两端取值异号。迭代过程每次将区间一分为二，根据中值定理，新的区间内必存在方程的根。重复此过程，直至区间长度小于预设精度。收敛性二分法具有全局收敛性，收敛速度与初始区间长度和预设精度有关。选择一个接近方程根的初始值，以确保迭代过程的收敛性。初始值选择根据泰勒级数展开，得到牛顿迭代法的迭代公式。通过不断迭代，逐步逼近方程的根。迭代公式牛顿迭代法具有局部收敛性，当初始值足够接近方程根时，收敛速度非常快。收敛性牛顿迭代法迭代公式根据割线法的迭代公式，通过不断迭代，逐步逼近方程的根。与牛顿迭代法相比，割线法无需计算函数的导数。初始值选择选择两个接近方程根的初始值，以确保迭代过程的收敛性。收敛性割线法具有局部收敛性，当初始值足够接近方程根时，收敛速度较快。与牛顿迭代法相比，割线法的收敛速度稍慢一些。割线法05插值法与曲线拟合构造拉格朗日插值多项式所用的基函数，具有局部性。插值基函数利用拉格朗日插值基函数构造的插值多项式，满足插值条件。插值多项式拉格朗日插值的误差与插值节点的选取有关，节点越多，精度越高。误差分析拉格朗日插值法牛顿插值多项式利用差商构造的插值多项式，具有继承性和易变性。误差分析牛顿插值的误差同样与插值节点的选取有关，节点越多，精度越高。差商定义牛顿插值法中的关键概念，表示函数值之间的差分与自变量的差分之比。牛顿插值法01020304最小二乘法原理线性最小二乘法非线性最小二乘法误差分析曲线拟合的最小二乘法用于拟合非线性模型的最小二乘法，需通过迭代算法求解。用于拟合线性模型的最小二乘法，可得到拟合直线的斜率和截距。通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。最小二乘法的误差与模型的选取和数据的质量有关，模型越复杂，精度越高。06数值积分与微分123牛顿-柯特斯公式是一种数值积分方法，通过在被积函数上选取等距节点，并利用拉格朗日插值多项式进行近似计算。公式定义该公式可以理解为用一系列小矩形的面积和来近似表示被积函数与坐标轴围成的面积。几何意义牛顿-柯特斯公式的误差与节点数及被积函数的性质有关，增加节点数可以提高精度，但计算量也会相应增加。误差分析牛顿-柯特斯公式公式定义01复化求积公式是一种将复杂积分转化为简单积分进行近似计算的方法，通过将积分区间划分为若干个子区间，并在每个子区间上应用简单的求积公式。几何意义02复化求积公式可以理解为用一系列小矩形的面积和来近似表示被积函数与坐标轴围成的面积，每个小矩形的宽度相同，高度由被积函数在子区间上的取值决定。误差分析03复化求积公式的误差与子区间的划分方式及被积函数的性质有关，增加子区间的数量可以提高精度，但计算量也会相应增加。复化求积公式算法原理龙贝格算法是一种自适应的数值积分方法，通过递归地对积分区间进行划分并应用复化梯形公式或复化辛普森公式，得到一系列近似值，再利用外推技巧对这些近似值进行加速收敛。算法步骤首先确定初始步长h和最大递归层数N，然后从底层开始逐层向上递归计算各层的近似值，直到达到最大递归层数。在每一层中，利用外推技巧对前一层的结果进行加速收敛。误差分析龙贝格算法的误差与初始步长h、最大递归层数N及被积函数的性质有关。适当选择h和N可以使得算法达到较高的精度要求。龙贝格算法07常微分方程的数值解法010203欧拉公式局部截断误差改进欧拉方法欧拉方法通过初始点和斜率，利用欧拉公式进行递推求解。分析欧拉方法的局部截断误差，理解其精度和稳定性。通过预测-校正等方法，提高欧拉方法的精度和稳定性。03变步长龙格-库塔方法通过自适应步长选择，提高龙格-库塔方法的计算效率。01龙格-库塔公式介绍龙格-库塔方法的基本思想和公式，理解其高精度和稳定性。02局部截断误差分析龙格-库塔方法的局