2021版新高考地区高考数学 人教版 大一轮复习第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值

»自③知识，回顾

理教打•夯实必翁知识.

一、知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数兀0的定义域为I,如果对于定义域/内某个区间D上的任意两

个自变量的值玉，々

定义

当演时，都有心那么就说当玉时，都有心|)牙区)，那么就说

函数7U)在区间。上是增函数函数式X)在区间。上是减函数

图象描述产工；

oR1~*

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=«x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=«x)在这一区间具有

(严格的)单调性，区间。叫做函数y=/(x)的单调区间.

[注意]有多个单调区间应分开写，不能用符号“U”联结，也不能用“或”联结，只

能用“逗号”或“和”联结.

2.函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意xe/,都有©三名；(1)对于任意xe/,都有用吐拉；

条件

(2)存在使得(2)存在使得/(%)="

结论M为最大值M为最小值

常用结论

1.函数单调性的两个等价结论

设V玉，々£。。|中々)，则

(]/(xJ78>0(或(/一4)次/)一%,)]>0)旬U)在D上单调递增.

X\X2

(2/(\)1/5)<0(或(d-々)[/(%)一大%)]<0)^>)在D上单调递减.

X]X2

2.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定

在端点取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

二、教材衍化

1.函数＜x)=x2-Zr的单调递增区间是.

答案：[1,+8)(或(1,4-00))

2.若函数y=(2k+l)x+6在R上是减函数，则上的取值范围是.

解析：因为函数)，=(2A+l)x+b在R上是减函数，所以2A+1C0,即kV-g.

答案：(-8,一斗

2

3.已知函数y(x)=v，%e[2,6],则的最大值为,最小值为.

2

解析：可判断函数兀l)=E在⑵6]上为减函数，所以外)max=A2)=2,7U)mm=/(6)

=2

=5,

2

答案：25

:走出误区】

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若定义在R上的函数/(X),有人一1)«3),则函数人外在R上为增函数.()

(2)函数)，=/乏)在[1,+8)上是增函数，则函数共外的单调递增区间是“，+8).()

(3)函数y=:的单调递减区间是(一8,0)0(0,+8).()

(4)所有的单调函数都有最值.()

(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是

增函数.()

(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)V

二、易错纠偏

常见误区I(1)求单调区间忘记定义域导致出错；

(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错.

1.已知函数;(X)=#X2-2X-3,则该函数的单调递增区间为()

A.(—8,I]B.[3,+°0)

C.(-8,-1]D.[1,+oo)

解析：选B.设r=x2—2x—3,由120,即工2—21一320,解得xW—l或x23.所以函

2

数的定义域为（一8,—1]U[3,+°°）.因为函数f=x2—2x—3的图象的对称轴为x=l,所

以函数f在（-8,—1]上单调递减，在[3,+8）上单调递增.所以函数的单调递增区间

为[3,+8）.

2.若函数/U）=x2—2〃a+1在[2,+8）上是增函数，则实数机的取值范围是.

解析：由题意知，[2,+°°）^[m,+8）,

所以〃?W2.

答案：（-8,2]

>素养，磁密提升明考向•直击考例考法♦

考点一确定函数的单调性（区间）（基础型）

复习

3口1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义.

指导

核心素养：数学抽象

角度一判断或证明函数的单调性

例F（一题多解）试讨论函数兀0=含也#0）在（-1,1）上的单调性.

【解】法一：设一

x-1+l

段）=同

、X—1

婀)-曲)=5+与-“(1

a(/一/

由于一1<¥]<%产1,

(x1—1)(x2—1)'

所以Xj—1<0,%2~1<0,

故当〃>0时，大外）一/（九2）>6即人/）/々），函数7U）在（一1，1）上单调递减;

当QV0时，兀¥1）一於2）<0，即人匹）勺口2%函数/U）在（一1，1）上单调递增.

(or)'(x—1)—or(工一1)

法二：/（%）=

(%—1)2

a(式一1)—ox

(%—1)2(%—1)2

当〃>0时，，（x）v0,函数/U）在（-1,1）上单调递减；

当〃v0时，/（冗）>0,函数於）在（一1,1）上单调递增.

础窗的

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤

3

［注意］判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.

角度二利用函数图象求函数的单调区间

例2求函数/u)=-m+2ki+i的单调区间.

【解】於尸

［—X2—2x+lfx<0

一(x—1)2+2,尢20,

一(x+1)2+2,x<0.

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(一8,一1］和(0,1］,单调递减区间为(一

1,0］和(1,+8).

【迁移探究】(变条件)若本例函数变为/U)=|—废+2工+11,如何求解？

解：函数y=|一4+2%+11的图象如图所示.由图象可知，函数y=|—x2+2x+II的单调

递增区间为(1一•，1］和(1+也，+8)；单调递减区间为(一8,和(1,1+®

确定函数的单调区间的方法

定义法一注录支艾—1:前/串*&旧艾采1......I

图敏法〉一：单调区网必须是函敷定义城的子集；二是图象i

:不连续的单调区间要分开写,用“和”或

:联结，不能用“U”联结:

导数法一汨.用用后金&诵定7'i'4鹿.函'»而&前百荷；

［注意］(1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函

4

数>=:在(-8,0)和(0,+8)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.

(2)”函数的单调区间是与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N2

M.

考法全练

1.函数y=bd(l—x)在区间4上是增函数，那么区间4可能是()

A.(一8,0)B.0,g

C.[0,+8)D.(J,+8)

解析：选B.y=Lxi(l—x)=

(x(1—x),x20—x2+xfx20

l~X(1—X),X<0X2—x,x<0

y*

画出函数的草图，如图.

由图易知原函数在0,1上单调递增.

2.下列函数中，满足“VX1,X2G(0,+8)且(王一々>[/(/)一兀引]<0"的是()

A.j{x}=2xB.«r)=lx—II

C.fix)=~xD.f(x)=\n(x+\)

解析：选C.由(1一々卜伏篙)一*々)^。可知，/U)在(°，+8)上是减函数，A、D选项

中，/U)为增函数；B中，犬犬)=|%—1|在(0，+8)上不单调，对于於)=；—X,因为),=:与y

=-x在(0,+8)上单调递减，因此兀r)在(0,+8)上是减函数.

3.判断函数>=生合的单调性.

2x2—33

解：因为兀0=--—=2%一:，且函数的定义域为(一8,0)U(0,+°°),而函数y=2x

33

和,，=一；在区间(一8,0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得以)=21一"在区

间(一8,0)上为增函数.

3

同理，可得/U)=2x一二在区间(0,+8)上也是增函数.

5

故函数y（x）=—:—在区间（一8,0）和（0,+8）上均为增函数.

考点二函数的最值（值域）（基础型）

+匕口I理解函数的最大（小）值，并能利用函数的单调性求最值.

指导

核心素养：逻辑推理

湖13〕（1）（一题多解）函数丫=%+，不刁的最小值为.

2r+〃，xWO,

（2）（2020•福建漳州质检）已知函数兀v）={4有最小值，则实数。的取值范围

x+一，x>0

Ix

是.

【解析】（1）法一（换元法）：令且120,则4=/2+1,

所以原函数变为y=Z2+l+r,120.

配方得■〉=1+'~+*

13

又因为.20,所以丁2彳+4=1，

故函数y=x+］尢-1的最小值为1.

法二：因为函数y=x和y=1x—1在定义域内均为增函数,故函数yf+山一1在［1,

+8）内为增函数，所以为巾=1.

（2）（基本不等式法）由题意知，当x>0时，函数/U）=x+f22'/xq=4,当且仅当x=2

时取等号；当x<0时，40=2r+a£（a,1+a］,因此要使人犬）有最小值，则必须有〃24.

【答案】（1）1（2）［4,+oo）

施］窟窗

求函数最值的五种常用方法

单调性法一：,先确定函数的单洞性，冉由单调性求最值

;先作出曲数的图象，再观察其戢高点、最低

出求出最值

先时解析式变形，使之具备“一正二定三

相等”的条件后用金本不等式求出是值

♦先求导，然后求出在给定区间上的极值，最

:后结合堵点值,求出最值

；对比较复杂的曲盘可通过换元转化为熟悉

:的函敷，再用相应的方法求及值

考法全练

1.函数加）=『y在区间［〃，切上的最大值是1,最小值是:，则。+6=

解析：易知/（x）在［。，上为减函数,

6

(ci=2»

所以《所以。+力=6.

[b=4.

答案：6

a,aWb,

2.(一题多解)对于任意实数a,b,定义min{a,b}={设函数式x)=—x+3,

b,a>b.

g(x)=log2x,则函数/?(x)=min伏x),g(x)}的最大值是.

解析：法一：在同一直角坐标系中，

作出函数;(x),g(x)的图象，

依题意，Mx)的图象如图所示.

易知点A(2,1)为图象的最高点,

因此力(x)的最大值为A(2)=l.

log/,0VxW2,

法二：依题意，h(x)=<

—x+3,x>2.

当0cxW2时，/?(x)=log7x是增函数，

当x>2时，/?(x)=3—x是减函数，

所以/i(x)在x=2处取得最大值/?(2)=1.

答案：1

考点三函数单调性的应用(综合型)

.「I利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性.

指导

角度一比较两个函数值

例4.已知函数/(X)的图象关于直线x=l对称，当才2>%>1时，[/(x2))](X2—x,)<0

恒成立，设a=(一乡，6=犬2),c=/(e),则a,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

【解析】因为於)的图象关于直线戈=1对称.由此可得(一•当天2>%>1时，

欣々)一人/)](无2_/)<0恒成立，

知“X)在(1,+8)上单调递减.

7

因为l<2<|<e,所以/（2）»©/e）,

所以b>a>c.

【答案】D

就同您

比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，

要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的

尽量用图象法求解.

角度二解函数不等式

蒯5；已知函数於）=—xlxl,x£（—1,1）,则不等式/（I一相）勺5?2—1）的解集为.

［x2,—1<XW0,

【解析】由已知得加）=八

LX2,O<X<1,

则一）在（一1,1）上单调递减，

—Ivl-〃?vl,

所以］解得00n<1,

1机2-1<1—m,

所以所求解集为（0,1）.

【答案】（0,1）

圆窟图

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号脱掉，使其转

化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.

角度三求参数的值或取值范围

例（1）（2020•南京调研）已知函数y（x）=x—在（1，+8）上是增函数，则实数。的

取值范围是.

—V"）"Kz|>

''若函数y=/U）在区间伍，〃+1）上单调递增，则实数〃

log2x,x>4.

的取值范围是.

【解析】⑴设I。：］』，所以玉

因为函数/（X）在（1,+8）上是增函数，

所以婀）一曲）=/_/+尹（々技+?=（/一々）（1+京）<0.

因为x—%2<0,所以1+，•>（）,即a>—x}x2.

X\X2

因为不占>匕所以一外々<一L所以。2—L

所以4的取值范围是［―1,+°°）.

8

(2)作出函数式x)的图象如图所示，由图象可知/(x)在(a,a+1)上单调递增，需满足aN4

或a+lW2,即aWl或a24.

【答案】(1)［-L+8)

(2)(—8,1］U［4,+°°)

血窗施

利用单调性求参数的策略

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单

调区间比较求参数；

(2)若函数在区间［a,加上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

考法全练

1.已知函数/(x)是定义在区间［0,+8)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足八公

一i)g(§的x的取值范围是()

解析：选D.因为函数7U)是定义在区间［0,+8)上的增函数，满足人右一1)勺弓)所以

112

0W2x—lq,解得故选D.

2.函数y=%)在［0,2］上单调递增，且函数/U)的图象关于直线冗=2对称，则下列结

论成立的是()

A.AD<^@</@

B.僦/0)晶

c玛噂如)

D.姆府列)

解析：选B.因为/(X)的图象关于直线x=2对称，所以/(x)=/(4—x),所以7(斗=/(1)，

/I)=C•又0<!<1<1<2,

9

y（x）在［o,2］上单调递增，所以是）勺（1）勺©，即启）勺“）/（）.

3.若函数/（x）=l2x+al的单调增区间是［3,+8）,则。的值为.

解析：由图象（图略）易知函数/）=l2x+al的单调增区间是［一会+8）,令一3=3,得

a=—6.

答案：一6

》◎磅演练，g）便突破练好题•突破百分瓶颈.

［基础题组练］

1.下列四个函数中，在xe（o,+8）上为增函数的是（）

A.J[x)=3—xB.f^x)=x2—3x

C.兀》0=一干D./)=一Lrl

解析：选C.当A>0时，段）=3—x为减函数;

当xC（0,5时

，危）=X2—3x为减函数,

当工£伎，+8）时，於）=X2—3x为增函数;

当xd（0,+8）时，犬》）=一+■为增函数;

当x£（o,+8）时，式x）=-kl为减函数.

2.函数«x）=-x+：在［-2,—|上的最大值是（）

C.-2D.2

解析:选A.函数/（#=一犬+：的导数为广（尢）=—1—&则/（/）<0,可得於）在［—2,—1

13

上单调递减，即/（—2）为最大值，且为2—

3.己知函数於）为R上的减函数，则满足］［口）中1）的实数x的取值范围是（）

A.（一1,1）

C.（-1,0）U（0,1）+0°)

W<1,

解析：选C.由7U）为R上的减函数且即所以一1

#0.

VxVO或OVxVl.故选C.

4.（多选）（2021•预测）已知/U）是定义在［0,+8）上的函数，根据下列条件，可以断定段）

10

是增函数的是()

A.对任意x20,都有於+1)」外

B.对任意外，修£[0,+°°),且玉2々，都有加])河>2)

+°0),

C.对任意外，x2e[0,且玉一々<0，都有段|)一/2)<0

D.对任意玉，々£[0,+°0),且々工々，都好5)―/5)>o

12/一々

解析：选CD.根据题意，依次分析选项：对于选项A,对任意龙20,都有人x+l)»(x),

不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B,当式x)为常数函数时，对任意演，x2

G[0,+8),都有1巧)=/(々)，不是增函数，不符合题意：对于选项C,对任意为，X2E[0,

+°°),且玉一才2<0,都有/(X])—/1>2)<0,符合题意；对于选项D,对任意X],x,W[0,+°°),

设%才2，/('[>0,必有共人)一穴々)>0,则函数在[0,+8)上为增函数，符合

题意.

5.(创新型淀义新运算㊉：当a'b时，a®h=a；当a<匕时，a®h=hi,则函数段)=

(l®x)x-(2®x),xef-2,2]的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

解析：选C.由题意知当一2WxWl时，/(x)=x-2,当loW2时，«r)=x3—2,又於:)

=X—2,y(x)=x3—2在相应的定义域内都为增函数，且7(1)=-1,人2)=6,所以y(x)的最大

值为6.

6.函数兀r)=lr-2lx的单调减区间是.

jv，2JVx2

解析：由于於)=■—2改=、结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].

—X2+2X,X<2.

答案：[1,2]

7.函数y=2+>J—X2+。的最大值是,单调递增区间是.

解析：函数y=2+{-%2+4X=2+、一(x—2)2+4,可得当x=2时，函数y取得最

大值2+2=4;由4元一龄20,可得0WxW4,令1=一12+4心则[在[0,2]上为增函数，y

—2+3在[0，+8)上为增函数，可得函数y=2+,—%2+4X的单调递增区间为[0,2].

答案：4[0,2]

8.已知函数/U)是R上的增函数，4(0,-3),8(3,1)是其图象上的两点，那么不等式

—3</(x+1)<1的解集为.

解析：由函数«r)是R上的增函数，A(0,-3),3(3,1)是其图象上的两点，知不等式

-3</(x+l)<I,即为式0)勺(x+l)J3),所以0<r+l<3,所以一I<xv2.

答案：(-1,2)

11

9.已知函数J（x）=5-；（a>0,x>0）.

⑴求证:《X）在（0,+8）上是增函数；

（2）若於）在；，2上的值域是2,求a的值.

解：⑴证明：任取X]X）>0,

则八匹）一八々）=:_"_1+上

X—r

=n---2,因为X]>x,>0,

X产2'2

所以X]一入2>0,X]X>>0，

所以犬人）一加2）>0，

即加1）次引，

所以y（x）在（0,+8）上是增函数.

（2）由（1）可知，ZU）在2上为增函数，

所以4）=5-2=/

Q）=H=2,

2

解得〃=亍

Y

10.己知/（x）=工二（xWa）.

（1）若。=一2,试证明在（一8,—2）上单调递增；

（2）若。>0且兀0在（1,+8）上单调递减，求。的取值范围.

解：⑴证明:设刀尸，〈一2,

则犬丁）一式々）=金一矣

2（占一占）

（4+2）（招+2）.

因为（当+2）（々+2）>0,X]—x2<0,

所以犬王）«々），

所以/U）在（―8,—2）上单调递增.

⑵设

则大演）一犬々）=出一七

a（工厂再）

（七一。）（々一〃）•

12

因为〃>0,/>0,

所以要使/U]）—zuj>o,

只需（七—a）区一〃）>0恒成立，

所以aWL

综上所述，〃的取值范围为（0,1].

[综合题组练]

[3（a—3）x+2

1.已知函数40=_4〃-inxx>f\对任意的玉W々都有。[一々）伏>2）一%i）]>°

成立，则实数。的取值范围是（）

A.（—8,3]B.（—8,3）

C.（3,+8）D.[1,3）

解析：选D.由（X[—々）伏>2）—得（七一X2>[/U1）—/（X2）k°，

所以函数;U）在R上单调递减，

。一3v0,

所以《，、

3Q—3）+22—4a,

解得1W〃V3.故选D.

2.（多选）若函数兀0满足条件：

①对于定义域内任意不相等的实数a,b恒一o；

a-b1''）>

②对于定义域内任意X,,X2都有心先），为）”5）成立.

则称其为G函数.下列函数为G函数的是（）

A.fix）=3x+\

B.fix）=-2x-l

C./U）=x2-2x+3

D.f[x）=-x2+4x—3,x£（—8，1）

解析：选AD.①对于定义域内任意不相等的实数a,b恒有~｛（/?）->0,则函数

a—b

兀0在定义域为增函数；②对于定义域内任意演，马都有成立，

则函数於）为“凸函数”.

其中A.yu）=3x+1在R上为增函数，且户要）=/您）9-,故满足条件①②；

B.危）=一2元-1在R上为减函数，不满足条件①；

C.犬戈）=12—2%+3在（-8,1）上为减函数，在（1,+8）为增函数，不满足条件①；

D.«r）=—x2+4x—3的对称轴为x=2,故函数/（x）=—足+4工一3在（一8，1）上为增函

13

数，且为“凸函数”，故满足条件①②.

综上，为G函数的是AD.

(%—a)2,xWO,

3.设式x)={,1,若共0)是犬x)的最小值，则a的取值范围为.

xH---\-a,x>0.

Ix

解析：因为当xWO时，j{x)=(x-d)2,10)是/(x)的最小值，所以a20.当x>0时，兀0

=x+；+a22+a,当且仅当x=l时取“=”.要满足犬0)是於)的最小值，需2+。电0)

="2,即”2—a—2W0,解得一1W“W2,

所以a的取值范围是0<aW2.

答案：［0,2］