人教版八年级数学下册全册同步教案 第18章 平行四边形

18.1平行四边形

18.1.1平行四边形的性质

第1课时平行四边形的边、角的性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解平行四边形和两条平行线之间的距离的概念，掌握平行四边形的边、角的性质.

【过程与方法】

通过生活实例引出平行四边形的概念，经历探究活动掌握平行四边形边、角的性质.

【情感态度与价值观】

经历“实验一猜想一验证一证明”的过程，发展学生的思维.

二、重难点目标

【教学重点】

理解平行四边形和两条平行线之间的距离的概念，掌握平行四边形的边、角的性质.

【教学难点】

利用平行四边形边、角的性质解决问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P41〜P43的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

I.(1)两组对边分别平行的四边形叫做包四边形.

(2)平行四边形的对边相等:平行四边形的对角相等.

2.如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都桓簧一两条平

行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.

3.证明平行四边形的对边相等，对角相等.

解：已知：如图，四边形ABC。是平行四边形.

求证：AB^CD,BC=DA,NB=ND,/A=NC

AD

RC

证明：连结4C.

•/四边形ABCD是平行四边形,

J.AB∕∕CD,AD//BC,

ΛZ1=Z2,Z3=Z4.

Z1=Z2,

在aA8C和△（7%中，＜AC=CA,

∕3=N4,

二∕∖ABC^△CDA（ASA）,

二AB=CZλBC=DA,/B=ND

又；/1=/2,/3=/4,

二/1+/4=/2+/3,

即NBAD=ZDCB.

教师点拨：解决平行四边形问题可以连结对角线.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生对学）

（一）平行四边形的边、角性质

【例1】如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC,

CE=CF,点P是射线GC上一点，连结FP、EP.求证：FP=EP.

AGD

T

【互动探索】（引发学生思考）要证明线段相等可以考虑证明它们所在的两个三角形全等,

已知条件中有一组边相等，并且有一组公共边，只需找它们的夹角相等.

【证明】•・•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,

：.ΛDGC=AGCB.

DG=DC,

・・・NQGC=NOCG,

：.ZDCG=ZGCB.

∙√ZDCG+NECP=I80°,NGC8+ZFCP=180°,

/.ZECP=ZFCP.

CF=CE,

•：⅛∆PCF⅛∆PCE中，＜NFCP=NECP,

CP=CP9

Λ∆PCF^∆PCE（SAS）,

：.PF=PE.

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题的综合性比较强，利用平行四边形的性质，等

腰三角形的性质获得三角形全等的条件，从而应用全等三南形的性质得到线段相等.

（二）平行线间的距离

【例2】如图，已知点E、F在∕∣上，点G、”在/2上，试说明aEGO与4F40

的面积相等.

【互动探索】（引发学生思考）结合平行线间的距离相等和三南形的面积公式即可证明.

【证明】,.∙ιl∕∕ι2,

点E、尸到/2之间的距离相等.

设点瓜F到/2的距离相等为力，

则SAEGH=]GH∙/?,SAFGH=]G∕∕∙∕?,

:,SAEGH=SAFGH,

∙'∙S^EGH-SΛGOH-SΛFGH-SΔGOH，

:,SAEGO=SAFHO.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等

分成了相等的两部分，同底等高的两个三南形的面积相等.

活动2巩固练习（学生独学）

1.已知平行四边形ABCO中，ZA=IlO0,则NB的度数为（D）

A.IlOoB.100°

C.80oD.70°

2.如图所示，在平行四边形ABCQ中，EF/∕BC,GH//AB,EF、G”相交于点。，图

中共有平行四边形的个数为2.

3.己知平行四边形相邻两个内角相差40。，则该平行四边形中较小内角的度数是久以

4.如图所示，已知直线机〃〃，A、B为直线〃上两点，C、P为直线m上两点.

（1）请写出图中面积相等的三角形：XABC和△"/＞；XAeP和ABCP;XAoC知ABoP.

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在加上移动，那么无论P点移动到任何位置，总有

AABP与XABC的面积相等，理由是同底等高的三角形面积相等.

C

in

AR"

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在平行四边形ABC。中，AB=2AD,M为AB的中点，连结。M、MC,

试问直线DM和MC有何位置关系？请证明.

AMB

【互动探索】由AB=2AD,M是AB的中点，可得出。M、CM分别是NA。C与NBCO

的平分线，又由平行线的性质可得NAOC+NBC£>=180。，进而可得出OM与MC的位置关

系.

【解答】。M与Me互相垂直.证明如下：

YM是AB的中点，

.∖AB=2AM.

^5L"JAB=IAD,

：.AM=AD,

/AOM=ZAMD.

•：四边形ABCD为平行四边形，

.∖AB∕∕CD,

：.ZAMD=NMDC,

：.NAOM=NMDC,

即NMQC=T/AQC.

同理，NMCD=，BCD.

•/四边形ABCD为平行四边形，

：.AD//BC,

.∙.∕BCD+∕AOC=I80。，

/.ZΛ∕DC+ZMCD=∣ZBCD+∣ZADC=90o,

/.NDWC=90。，

.∙.OΛ∕与MC互相垂直.

【互动总结】（学生总结，老师点评）判断两直线的位置关系一般是证明两直线平行或垂

直，平行就找角相等或互补，垂直就找角互余.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1.平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2.平行四边形的边和角的性质

平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等.

3.平行线之间的距离

(1)如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.

(2)两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间

的距离.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时平行四边形的对角线的性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

【过程与方法】

通过探究、猜想、证明平行四边形的对角线的性质的过程，培养学生合作学习的能力.

【情感态度与价值观】

培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力，增强学好数学的信心.

二、重难点目标

【教学重点】

掌握平行四边形的对角线的性质.

【教学难点】

利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材∙P43〜P44的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.平行四边形的对角线互相平分.

2.完成教材P44的问题：证明平行四边形对角线互相平分.

已知：如图，D4BC。的对角线AC、8。相交于点Q

求证：OA=OC,OB=OD.

ΛD

证明：:四边形ABCO是平行四边形，.∖AD=BC,AD∕∕BC9ΛZ1=Z2,N3=N4.

ΛΔC0B（ASA）,.∖OA=OCfOB=OD.

3.如图，若平行四边形的两条对角线长分别为6cm和16cm,则下列长度的线段可作

为平行四边形边长的是（B）

A.5cmB.8cm

C.12cmD.16cm

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

［例1］如图，在O4BC。中，A8=10,AD=S,ACj_BC.求BC、CD、AC.OA的长

以及2BCQ的面积.

【互动探索】（引发学生思考）根据平行四边形边、对角线的长度求所求线段的长，根据

S口ABCD=BCAC求解.

【解答】,・•四边形ABCD是平行四边形，

：.BC=AD=S.CD=AB=IO.

XVΛC±BC,,ZVLBC是直角三角形，

ΛAC=y∣AB2-BC2=√102-82=6.

又TOA=OC,.∙.O4=］AC=3,

S□ABCD=BC∙AC=8X6=48.

【互动总结】（学生总结，老师点评）平行四边形的面积=底X高.利用平行四边形边、

对角线的性质是求对应线长度的常用方法.

【例2】如图，QABC。的周长为60cm,对角线AC、80相交于点0,AAOB的周长

比△力04的周长长5cm,求这个平行四边形各边的长.

A-------------斗

【互动探索】（引发学生思考）平行四边形周长为60cm,即相邻两边之和为30cm.AA0B

的周长比AOOA的周长长5cm,而Ao为公共边，08=0,因而由题可知AB比A。长5cm,

进一步解答即可.

【解答】：四边形ABCD是平行四边形，

.".OB=OD,AB=CD,AD=BC.

,：∕∖AOB的周长比aOOA的周长长5cm,

.,.AB~AD=5cm.

又；UABCD的周长为60cm,

ΛAfi+ΛD=30cm,

,3525

则rιAB=C£）=丁cm,AD-BC=~γcm.

【互动总结】（学生总结，老师点评）平行四边形被两条对角线分成四个小三角形，相邻

两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.

活动2巩固练习（学生独学）

1.平行四边形具有的特征是（C）

A.四个角都是直角B.对角线相等

C.对角线互相平分D.四边相等

2.如图，如果SBCD的周长为40cm,Z∖A8C的周长为25cm,则对角线AC的长是

（A）

C.6cmD.16cm

3.在&48C。中，点。是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC,且AB=IOCm,AD

=8cm,贝!]OC=3cm.

A1.____—［）

vC

4.如图，SBC。中，。为对角线AC和BO的交点，BEA.AC,DFA,AC,垂足分别

为E、F.求证：OE=OF.

W

AR

证明：：四边形ABCQ是平行四边形，

.'.OB=OD.

）1."：BELAC,DF±AC,

.∙.NOEB=NOFD.

又NBoE=/DOF,

.".∆BOE^∆DOF.

：.OE=OF.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，平行四边形A8C。的对角线相交于点O,∩,AB≠AD,过。作OEJ_BD,

交BC于点E,若aCDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长是多少？

AD

BF.C

【互动探索】由平行四边形的性质得出AB=CD,BC=AD,OB=OD,再根据线段垂

直平分线的性质得出BE=DE,由△€1）£•的周长得出SC+CD=10,即可求由平行四边形

ABCD的周长.

【解答】；四边形ABC。是平行四边形，

.'.AB=CD,BC=AD,OB=OD.

"：OElBD,

：.BE=DE.

的周长为10,

，DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=IO,

二平行四边形ABCD的周长=2（2C+CZ））=20.

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的

性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算

是解决问题的关键.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

'边：对边相等

平行四边形的性质,角：对角相等

.对角线：对角线互相分

练习设计

请完成本课时对应练习！

18.1平行四边形

18.1.2平行四边形的判定

第1课时平行卬边形的捌定

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解平行四边形的判定定理，会证明这些判定定理.

【过程与方法】

经历平行四边形的判定定理的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识.

【情感态度与价值观】

在运用平行四边形的判定定理解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能

力和推理论证的几何表达能力.

二、重难点目标

【教学重点】

平行四边形的判定定理.

【教学难点】

利用平行四边形的判定定理解决相关问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】阅读教材P45~P47的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

1.平行四边形的判定定理：

(1)两组对边分别拒差的四边形是平行四边形.

(2)两组对角分别也差的四边形是平行四边形.

(3)对角线相互上会的四边形是平行四边形.

(4)一组对边平行且担筌的四边形是平行四边形.

2.如图，在下列四个选项中，能判定四边形ABCZ)是平行四边形的是(D)

A.AB=CD,AD//BCB.AB//DC,NA=NB

C.AB//DC,AD=BCD.AB//DC,AB=DC

3.如图，已知AB〃CD,添加一个条件A8=CQ(答案不唯一),使得四边形ABCz)为平

行四边形.

4.已知：E、尸是平行四边形ABCO对角线AC上的两点，并且AE=CF.

求证：四边形BFDE是平行四边形.

证明：：四边形ABa）是平行四边形，

，AO〃BCJ1AD=BC,

：.NEAD=NFCB,

AE=CF,

在△%£：£）和ACFB中，＜/EAO=/FCB,

AD=BC,

ΔAED^ΔCFB（SAS）,

IDE=BF.

同理可证，BE=DF,

.∙.四边形BFDE是平行四边形.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生对学）

【例1】如图，E、尸是四边形ABC。的对角线AC上的两点，AF=CE,DF=BE,DF

//BE,四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.

【互动探索】（引发学生思考）证明丝ACEBfAO=C8,乙DAF=乙BCE-ADH

CB,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论.

【解答】四边形ABC。是平行四边形.理由如下：

♦.∙DF//BE,：.ZAFD=ZCEB.

XVAF=CE,DF=BE,

：.ΔAFD^ACEB（SAS）,

J.AD=^CB,NDAF=NBCE,

.'.AD//CB,

二四边形ABCD是平行四边形.

【互动总结】（学生总结，老师点评）此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全

等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△人万丝△CEB.

［例2］如图，AB,CD相交于点0,AC//DB,A0=B0,E、尸分别是OC、OD中点.求

证：

(l)∆A<9C^∆B0D;

(2)四边形AFBE是平行四边形.

【互动探索】(引发学生思考)(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明440C

丝Z∖B0Q;(2)此题已知AO=BO,要证四边形AFBE是平行四边形，利用全等三角形的性

质，只需证OE=OF.

【证明】(1)：AC〃B。,

.∙.NC=/D

'NAOC=NBOD,

在440C和ABO力中，；NC=ND,

AO=BO,

：.∆AOC^∆BOD(AAS).

(2)V∆AOC^ΔfiOD,

.'.CO=DO.

,：E.F分别是0C、0。的中点，

OE=^OC,OF=2OD,

IEO=FO.

又,：AO=B0,

二四边形A尸BE是平行四边形.

【互动总结】(学生总结，老师点评)在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题

目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法.熟练掌握平

行四边形的判定定理是解决问题的关键.

活动2巩固练习(学生独学)

1.如图，点E、F是28C。对角线上两点，在条件：①DE=BF;②/AOE=NCBF;

③AF=CE;④NAEB=NCF。中，要使四边形CEBF是平行四边形,可添加的条件是(D)

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

2.如图，AO=OC,Bo=I6cm,则当OB=&cm时，四边形ABC。是平行四边形.

3.如图所示，在四边形ABCO中，AD//CB,且AO>BC,BC=6cm,动点尸、Q分

别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由八向。运动，Q以2cm/s的速度由C向8运动，

则2_秒后，四边形ABQP为平行四边形.

4.如图，四边形ABCO中，AD//BC,AE_L4。交BZ）于点E,CFLBC交BD于点、F,

且AE=C凡求证：四边形ABC。是平行四边形.

T正明：'.,AE±AD,CF±BC,

：.ZEAD=ZFCB=90o.

'：AD//BC,：.ZADE=ZCBF.

在Rt∆ΛED和Rt∆CFB中,

'NADE=NCBF,

∙.∙<NEAD=NFCB=90。,

AE^CF,

：.Rt∕∖AED^Rt^CFB,

.∖AD^BC.

■:又AD//BC,

四边形ABC。是平行四边形.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在直角梯形A8C。中，AD//BC,/8=90。，AG〃C。交BC于点G,

点E、F分别为4G、CO的中点，连结£>E、FG.

⑴求证：四边形OEG尸是平行四边形；

（2）如果点G是BC的中点，且BC=I2,DC=IO,求四边形AGCz）的面积.

【互动探索】（1）证明四边形AGC。是平行四边形，推出CZ）=AG,推出EG=O尸，EG

//DF,根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G是BC的中点，得到BG=CG=TBC,

根据四边形AGCZ)是平行四边形可知AG=OC,根据勾股定理求出AB的长，进而求出四边

形AGCD的面积.

【解答】(1)证明：：AG〃OC,AD//BC,

；•四边形AGCo是平行四边形，.∙.AG=OC

；E、F分别为AG、OC的中点，

ΛfG=∣AG,DF=^DC,

J.EG=DF.

又，：EG〃DF,

：.四边形DEGF是平行四边形.

(2)：点G是BC的中点，BC=12,

ΛBG=CG=∣BC=6.

：四边形AGCZ)是平行四边形，Z)C=I0,

AAG=DC=IO.

在RtAABG中，根据勾股定理，得AB=8,

四边形AGCD的面积为6×8=48.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，

平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

平行四边形的判定定理：

(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

(3)对角线相互平分的四边形是平行四边形.

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时三角形的中住线

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.理解并掌握三角形的中位线的定义及其性质定理.

2.能够利用三角形的中位线定理解决有关的问题.

【过程与方法】

经历探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操

作、观察、归纳、推理的能力.

【情感态度与价值观】

培养合情推理能力，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法，激发学

习热情.

二、重难点目标

【教学重点】

三角形中位线的性质定理.

【教学难点】

利用三角形中位线的性质定理解决相关问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P47~P49的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.连结三角形两边生在的线段叫做三角形的中位线.

2.三角形的中位线定理：三角形的中位线包于三角形的第三边，并且等于第三边的

一半.

3.如图，点。、E分别为BC边48、AC的中点，求证：DE〃BC且DE=TBC.

证明：如图，延长。E到F,使EF=DE,连结CE由题易知，ΔADE^ΔCFE,：.AD

//FC,且AO=FC,：.BD〃FC.又^；D是AB的中点,：.AD=BD,.,.BD=FC,，四边形

BC尸£)是平行四边形.C.DF∕∕BC,DF=BC.义:DE=EF,：.DE〃BC且DE=%C.

教师点拨：此方法是证明三角形中位线定理的另一种方法.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，为测量池塘边上两点4、B之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点0,

取OA、OB的中点。、E,测出DE=12米，那么A、B两点之间的距离是米.

【互动探索】（引发学生思考）先判断出三角形的中位线，再利用三角形中位线定理可得

到AB=2DE,即可求得答案.

【分析】E分别为。4、OB的中点,

，OE为aOAB的中位线，

.∙.AB=2OE=24米.

即4、B两点之间的距离是24米.

【答案】24

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位

线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键.

【例2】如图，在AABC中，Aβ=5,AC=3,点N为BC的中点，AM平分NBAC,

CMlAM,垂足为点M,延长CM交AB于点。，求MN的长.

【互动探索】（引发学生思考）为证MN为ABC力的中位线，应根据三线合一，得到。M

=MC,即可解决问题.

【解答】TAM平分NBAC,CM±AM,

.∖AD=AC=3,DM=CM.

∙.'A8=5,.∖BD=AB-AD^2.

YN为BC的中点，

：.BN=CN,

JMNgBCD的中位线，

【互动总结】（学生总结，老师点评）当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中

是否有隐含的中点.如已知一个三角形一边上的高又是这边所对角的平分线时，根据“三线

合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点.

活动2巩固练习（学生独学）

1.如图，在AABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分/C48,交DE于点F.

若DF=3,则4C的长为（C）

3

-3

A.2B.

C.6D.9

2.如图，C、。分别为E4、EB的中点，NE=30°,/1=110。，则N2的度数为（A）

A.80oB.90°

C.100°D.IlOo

3.如图所示，UABC。的对角线AC、BO相交于点0,点、E、F分别是线段A0、BO

的中点，若AC+BO=24厘米，Z∖OAB的周长是18厘米，则EF=3J≡米.

4.如图所示，。是AABC内一点，BDlCD,Ao=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H

分别是AB、AC、CD、8。的中点，则四边形EFG”的周长为U.

5.如图所示，在BC中，BCAC,点。在BC上，3.DC=AC,NACB的平分线

CF交AO于点凡点E是AB的中点，连结EF.求证：EF//BC.

证明：：C/平分NACB,DC=AC,CF是44CZ）的中线，；.点尸是AO的中点.；

点E是AB的中点，C.EF∕∕BD,PpEF//BC.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，E为平行四边形ABCD中OC边的延长线上一点，且CE=DC,连结AE,

分别交BC、BD于点F、G,连结AC交8。于0,连结OF,判断AB与OF的位置关系和

大小关系，并证明你的结论.

【互动探索】本题可先证明AAB尸名Z∖ECF,从而得出BF=CF,这样就得出了。尸是

△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系.

【解答】A8=2OF,且AB〃。尸.证明如下：

四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=^CD,OA=OC,

：.NBAF=ZCEF,NABF=NECF.

'：CE=DC,CD=AB,/.AB=CE.

.NBAF=NCEF,

：在AABF和aECF中，＜AB=CE,

'NABF=NECF,

：."BFdECF（ASA）,

：.BF=CF.

'：OA=OC,

：.0尸是AABC的中位线，

：.AB=20F,AB//OF.

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断

出。尸是4ABC的中位线.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1.三角形的中位线

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2.三角形中位线定理

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

练习设计

请完成本课时对应练习！

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形

第1课时矩形的性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.

2.理解并掌握直角三角形斜边上的中线的性质.

【过程与方法】

经过探索矩形的性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.

【情感态度与价值观】

经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的

快乐，并提高应用的意识。

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握矩形的性质定理.

【教学难点】

会用矩形的性质定理解决相关问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P52〜P53的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.有一个角是直度的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.

2.矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质:矩形的也植都是直角；

矩形的对角线相等.

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

4.请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“”，错误打"”.

（1）矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角.（）

（2）平行四边形就是矩形.（）

（3）平行四边形具有的性质，矩形也具有.（）

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例I】求证：矩形的对角线相等.

【互动探索】（引发学生思考）画出图形，写出已知求证~根据矩形的性质定理1证明三

角形全等f得出结论.

【解答】已知：如图，四边形ABC。是矩形，AC与8。是对角线.

求证：AC=BD.

AD

证明：：四边形A8C£＞是矩形，

：.AB=DC,ZABC=ZDCB=90o.

又,：BC=CB,

：.XABgADCB,

.∖AC^BD,

即矩形的对角线相等.

【互动总结】（学生总结，老师点评）证明两个三角形全等是证明角相等的常用方法.

【例2】如图，在RtZ∖ABC中，ZBAC=Wo,AO是BC边上的中线，ED上BC于点D,

交54延长线于点E,若NE=35。，求/8D4的度数.

【互动探索】（引发学生思考）根据直角三角形的性质得到D4=QB,根据三角形内角和

定理计算即可.

【解答】∙.∙NE=35°,ED±BC,

：./8=55。.

'：ZBAC=90o,A。是Be边上的中线，

.∖DA=DB,

ΛZB=ZDAB=550,

ΛZBDA=180o-55o-55o=70o.

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角

形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

【例3】如图，在矩形ABC。中，两条对角线相交于点O,ZAOD=120°,A8=2.5cm,

求矩形对角线的长.

【互动探索】（引发学生思考）矩形中含有直南三角形一判断AB与BD的数量关系一需

确定NOD4的度数.

［证明］：四边形ABCD是矩形，

."C=BZ）（矩形的对角线相等），

OA-OC=^AC,OB-OD=^BD,

：.OA=OD.

'：ZAOD=120%

.∙.ZODA=ZOAD=∣×（180°-120o）=30o.

又YND4B=90。（矩形的四个角都是直角），

ΛBD=2AB=2×2.5=5（cm）.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决

这类问题的关键.

活动2巩固练习（学生独学）

I.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（B）

A.对边相互平行B.对角线相等

C.对角线相互平分D.对角相等

2.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120。，那么对角线与矩形短边的长度之比为

（B）

A.3：2B.2：1

C.1.5：1D.1：1

3.如图，ZXABC中，若乙4CB=90。;，ZB=550,。是AB的中点，则乙ACD=35°.

4.如图，E、尸分别为矩形4BC。的边A。和BC上的点，AE=CF,求证：BE=DF.

证明：：四边形ABCD为矩形，.∖AD∕∕BC,Ao=BC.又=AE=CF,：.AD-AE^BC

-CF,即ED=BF.文；ED〃BF,二四边形BFQE为平行四边形，；.BE=CF（平行四边形对

边相等）.

5.如图，在AABC中，ZC=90o,。为AB的中点，CD=BC=2,求点。到AC的距

离.

上，

ADB

解：如图，过Z）作QEJ∙AC于点E.YZ∖ABC为直角三角形，且。为AB的中点，，CQ

=DB=DA=2又,：CD=BC,；.△£)BC为等边三角形，ΛZβ=60o,NA=30°,：.DE=

2AZ）=1,即点D到AC的距离为1.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例4】如图，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至E,使CE=BD,连结AE,

若AB=1,ZAEB=15°,求AO的长.

A-____,D

BCE

【互动探索】在RtZ∖ABO中，已知A8=l,要求AZ）的长，需先求出BO的长，由矩形

的性质及N4EB=15°,即可求得8。的长.

【解答】连结AC,交BD于点、a

Y四边形A8CO是矩形，

ΛZACB=90°,DC=AB=1,AC=BD.

•：CE=BD,：.CE=AC

"：ZAEB=15°,

：.∕ACB=2乙4EB=30。.

.∙.N。Co=60。.

NDO=CO,

...△£>C。是等边三角形.

：.D0=DC=

：.BD=IDO=I.

又,；NBAD=90。,

.".AD=y∣BD2-AB2=y∣3.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解决本题的关键是应用转化思想，将CE=BQ转化

为AC=CE,再结合三角形的外角性质，将NAEB=I5。转化为NACB=30。.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

练习设计

请完成本课时对应练习!

第2课时矩形的判定

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解并掌握矩形的判定方法.

【过程与方法】

经历探究矩形的判定方法的过程，使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证

明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创

新，感受数学的严谨性.

二、重难点目标

【教学重点】

矩形的判定方法.

【教学难点】

利用矩形的判定方法解决有关问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】阅读教材P53~P55的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

I.矩形的定义：有一个角是直鱼的平行四边形是矩形.

2.对角线相差的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直更的四边形是矩形.

4.能够判断一个四边形是矩形的条件是（C）

A.对角线相等

B.对角线垂直

C.对角线互相平分且相等

D.对角线垂直且相等

5.如图，直线EF〃MN,PQ交EF、MN于A、C两点，AB,CB、CD.A。分别是N

EAC.ZMCA,NNCA、NMC的平分线.

P

E-A

⑴判断：AB//_CD.BC//_AD.

（2）四边形ABCD是（C）

A.菱形B.平行四边形

C.矩形D.不能确定

（3）AC和BQ有怎样的大小关系？为什么？

解：相等.因为矩形的对角线相等.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】求证：有三个角是直角的四边形是矩形.

【互动探索】（引发学生思考）画出图形，写出已知求证一判定两对直线平行一判定四边

形是平行四边形f根据矩形的定义得证.

【解答】已知：四边形ABcD中，NA=NB=NC=90。.

求证：四边形ABCZ）是矩形.

AB

DC

证明：∙.∙∕A=NB=∕C=90°,

ΛZA+ZB=180o,NB+NC=180°,

.∖AD∕∕BC,AB//DC,

.∙.四边形ABC。是平行四边形.

又∙.∙∕A=90°,

.∙.四边形ABCO是矩形.

【互动总结】（学生总结，老师点评）证明四边形是矩形可以先证四边形为平行四边形.

【例2】如图，在四边形ABCO中，对角线AC、8。相交于点0,AB〃C£>且4B=C£>,

NBAC=NBDC,求证：四边形ABCC是矩形.

【互动探索】（引发学生思考）由AB〃C。且AB=CDf四边形ABCD是平行四边形.结

合NBAC=NBDC,可用对角线相等的平行四边形是矩形解决问题.

【解答】'：AB//CD3.AB^CD,

，四边形A8C。是平行四边形，NABD=NBDC,

"：NBAC=ZBDC,：./ABD=NBAC,

.,.0A=OB,：.AC=BD,

，平行四边形4BC。是矩形.

【互动总结】（学生总结，老师点评）矩形的判定方法有多种，先证明四边形是平行四边

形，再证明平行四边形是矩形是一种常用的判定方法.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列说法错误的是（D）

A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形

B.矩形的四个角都是直角，并且对角线相等

C.对角线相等的平行四边形是矩形

D.有两个角是直角的四边形是矩形

2.如图，在四边形ABC。中，已知AB〃Z）C,AB=OC在不添加任何辅助线的前提下，

要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是NA=90。（答案不唯一）.（填上你认为正确

的一个答案即可）

AB

3.如图，在D43C。中，DE±AB,BFLCD,垂足分别为E、E求证：四边形BFDE

为矩形.

DFC

□

AEB

证明：：四边形ABCn为平行四边形，.,.CD∕∕AB,ZCDE+^DEB=180o.,∙,D£±

AB,：.ZDEB=90o,ΛZCDE=90o.VBF±CD,：.ZBFD=90o,：.NCDE=ZDEB=N

BFD=90°.:.四边形BFDE为矩形.

4.如图，在矩形ABCI）中，AD=6,对角线4C与8。交于点O,AElBD,垂足为E,

ED=3BE.求AE的长.

解：；四边形ABC。是矩形，：.AO=BO=DO=^BD,NBAD=90。.；ED=3BE,：.BE

=OE又∙.∙AE∙LBO,.∙.A8=AO..∙.AB=AO=BO,即4A80是等边三角形，，NABO=60°,

.∙.ZADB=90o-NA8O=30°.在Rt∆ΛED中,；ZADB=30o,ΛAE=∣AD=∣×6=3.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在6BCE＞中，对角线AC和8。相交于点O,AABO是等边三角形,

A8=4.求/34BCQ的面积.

【互动探索】4A30是等边三角形及已知条件一四边形ABCD是矩形一求出BC的长,

再由矩形的面积公式即可求解.

【解答】；四边形ABCQ是平行四边形,

OA=OC,OB=OD.

：aABO是等边三角形，

：.OA=OB=AB=4,NB4C=60°,

：.OA=OC=OB=OD=^,

.∙.AC=BO=2OA=8,

，四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），

NA8C=90。（矩形的四个角都是直角），

由勾股定理，得BC=NAC2-AB?=45

：.DABCD的面积是βC∙AB=4√3×4=16√3.

【互动总结】（学生总结，老师点评）先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通

过矩形的面积公式求解.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

f定义：有三个角是直角的四边形是矩形

矩形的判定（

对角线：对角线相等的平行四边形是矩形

练习设计

请完成本课时对应练习！

18.2特殊的平行四边形

18.2.2菱形

第1课时菱形的性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

了解菱形的有关概念，理解并掌握菱形的有关性质.

【过程与方法】

经过探索菱形的性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握儿何思维方法.

【情感态度与价值观】

经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的

快乐，并提高应用的意识。

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握菱形的性质.

【教学难点】

用菱形的性质解决问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P55~P56的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

(一)菱形的性质

1.有一组邻边相差的平行四边形叫做菱形.