2023年安徽省合肥市蜀山区中考一模数学试题（含答案与解析）

2023年安徽省合肥市蜀山区中考一模试题

数学试卷

温馨提示:

1.数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时

间.

2.请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题.

3.请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷.

4.请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.下列各数中，比T小的数是（）

A.-3B.∣-2∣C.0D.I

2.某机床加工的零件如图所示，该零件的左视图是（）

3.安徽坚持以“两强一增''为牵引，全方位夯实粮食安全根基.据统计，2022年安徽粮食产量超过820亿

斤，其中820亿用科学记数法表示为（）

A.8.2×IO9B.8.2×10'°C.820×IO8D.8.2×IO2

4.计算（一"）∙43的结果是（）

5656

A.-0B.-aC.aD.a

5.如图，已知a〃b,直角三角板的直角顶点在直线。上，若/1=20°,则N2等于（）

C.60°D.50°

6.白化病是-一种隐形的性状，如果A是正常基因、。是白化病基因，那么携带成对基因Aa的个体的皮

肤、头发和眼球的颜色是正常的，而携带成对基因的个体将患有白化病.设母亲和父亲都携带成对基

因Aa,那么他们的孩子不患白化病的概率是()

1ɪ3

A.-B.ɪC.-D.1

424

7.某学校实践基地加大农场建设，为学生提供更多的劳动场所.该实践基地某种蔬菜2020年的年产量为

60千克，2022年的年产量为135千克.设该种蔬菜年产量的平均增长率为x,则符合题意的方程是

()

A60(1+2x)=135B.60(1+Λ)2=135

C60(1+%2)=135D.60+60(1+X)+60(1+X)2=135

3

8.如图，RtZ∖ABC中，ZC=90,点。在BC上，ZCDA=ZCAB.若Be=%IanB=-,则

A。的长度为()

9.已知二次函数y=α(x+M+Z的图象与X轴有两个交点，分别是P(-2,0),。(4,0),二次函数

y=α(x+∕z+Z?)-+上的图象与X轴的一个交点是(5,0),则Z?的值是()

A.7B.-IC.7或1D.-7或-1

10.如图，在ABC中，Aβ=AC=10.BC=6,延长AB至O,使得BD=LA6,点P为动点，且

2

PB=PC,连接PD，则PO的最小值为()

22

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

II计算：(-I)。_囱=

12.因式分解：4/-4=.

13.《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，

如图，弧AB是以点。为圆心，Q4为半径的圆弧，C是弦AB的中点，。在弧AB上，且

CD2

CDlAB.“会圆术”给出弧A3的弧长的近似值S的计算公式：s=AB+^~.当Q4=2,

OA

ZAQB=90°时，S=.

14.已知一次函数y=-x+2α+l的图象与二次函数y=χ2-ar的图象交于〃，N两点.

（1）若点M的横坐标为2,则。的值为.

（2）若点M,N点均在X轴的上方，则。的取值范围为.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.解方程：己5=」3一.

Xx-2

16.如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，A（TO）,B（-2,-l）,C（0,-3）.

（1）以原点。为位似中心，相似比为2,作ABC的位似图形，得到，请在图中作出

（点A∣,Bi,G分别为点A,B,C的对应点）；

（2）若将心45。绕原点。逆时针旋转90，得到生G，请在图中作出（点儿,B2,G分

别为点A,B,C的对应点）；旋转过程中，点5经过的路径长为

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.下图中，图（1）是一个菱形ABC。，将其作如下划分：

第一次划分：如图（2）所示，连接菱形ABeD对边中点，共得到5个菱形：

第二次划分：如图（3）所示，对菱形CEFG按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形;

第三次划分：如图（4）所示，……

依次划分下去.

（1）根据题意，第四次划分共得到个菱形，第〃次划分共得到个菱形；

（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形?为什么？

18.引江济淮工程是国家重大水利工程，也是安徽省的“一号工程”，2022年11月24日，引江济淮金寨

南路桥主塔如图1顺利完成封顶，犹如一颗“明珠”镶刻在派河大道之上.某校数学综合实践社团的同学

们为了测量该主塔的高。4,在地面上选取点6放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角NAMN=45，将

测倾仪向靠近主塔的方向前移10米至点C处（点。，C,B在同一水平线上），测得主塔顶端A的仰角

NANE=47.7，测量示意图如图2所示.已知测倾仪的高度BM=I.5米，求金寨南路桥主塔的高

OA.（精确到1米.参考数据：sin47.7≈0.74.cos47.7≈0.67,tan47.7≈1.10）

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.如图，ACD内接于OO,CD为直径,射线OEIAC于点E，交CO于点尸，过点A作CO的

切线交射线OE于点、B.

D

B

（1）当N5=25时，求/。的度数；

OE1

（2）当Ar>=2,F=I时，求BF长.

EF2

20.如图，己知一次函数y=∏x+b的图象与反比例函数>的图象交于点A（l,〃），3（-2,-1）两点,

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）若点。与点C关于X轴对称，求AABO的面积；

（3）根据图象直接写出不等式依+/?>'的解集.

X

六、（本题满分12分）

21.教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作通知》中明确要求保障学生每天校

内、校外各1小时体育活动时间.某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了〃名

学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计

图.

调查结果的频数分布表

组别时间r（分钟）频数

A30≤r<605

B60≤r<90a

C90≤r<120b

D120≤r<15012

Er>1508

调查结果的扇形统计图

根据上述信息，解答下列问题：

（1）频数分布表中的4=,扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为度；

（2）被抽取的〃名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组（直接写出组别即可）；

（3）若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生

人数.

七、（本题满分12分）

22.某公园要在小广场上建造一个喷泉景观.在小广场中央。处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱

子QA,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过

Q4的任一平面上抛物线路径如图1所示.为使水流形状较为美观，设计成水流在距04的水平距离为1

米时达到最大高度，此时离地面2.25米.

（1）以点。为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到。4水平距离为X米，水流喷出的高度为

米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋

到，此时他离花形柱子。4的距离为d米，求d的取值范围；

（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面8、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45角，如图3

所示，光线交汇点P在花形柱子Q4的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=-χ+4,求光线与

抛物线水流之间的最小垂直距离.

八、（本题满分14分）

23.如图1,在一ABe中，AB=AC,点。为BC延长线上一点，ZBAC=ZADB.

A

AA

(1)求证：AD=BD;

（2）作CElA8,DFLAB，垂足分别为点E，F,DF交AC于点G.

①如图2,当AC平分/84。时，求——的值；

DF

②如图3,连接。E交AC于点“，当EH=HD，CD=2时，求Ao的长.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.下列各数中，比T小的数是（）

A.-3B.∣-2∣C.0D.I

【答案】A

【解析】

【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答.

【详解】解：∙.∙∣-2∣=2,I-3∣>∣T∣,

.∙.-3<-l<0<l<∣-2∣,

.∙.比-1小的数是一3,

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握O大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小是解题的关

键.

2.某机床加工的零件如图所示，该零件的左视图是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据左视图的概念选择即可.

【详解】根据左视图的概念，左视图是从主视图的左边往右边看，

故选：D.

【点睛】此题考查了左视图的概念，解题的关键是熟悉左视图的概念.

3.安徽坚持以“两强一增''为牵引，全方位夯实粮食安全根基.据统计，2022年安徽粮食产量超过820亿

斤，其中820亿用科学记数法表示为（）

A.8.2×IO9B.8.2×IO10C.820×lO8D.8.2×102

【答案】B

【解析】

【分析】用移动小数点的方法确定〃值，根据整数位数减一原则确定“值，最后写成αX10"的形式即可.

【详解】解：820亿=8.2xlO∣°,

故选B.

【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面

确定。，运用整数位数减去1确定〃值是解题的关键.

4.计算（一々2）•4的结果是（）

A.-cr,B.—4!6C.炉D.ɑ'

【答案】A

【解析】

【分析】根据单项式乘以单项式运算法则进行计算即可.

【详解】解：（-α2）∙α3

故选：A.

【点睛】此题主要考查了同底数幕的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

5.如图，已知α〃人直角三角板的直角顶点在直线“上，若Nl=20°,则N2等于（）

a

A.80oC.60°D.50o

【答案】B

【解析】

【分析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到N3与Nl互余，再根据平行线的性质可知/2的

度数.

【详解】∙.∙直角三角板的直角顶点在直线“上，/1=20。

.∙.N3=70°,

a//b,

.∙.N2=N3=70°

故选：B.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等.

6.白化病是一种隐形的性状，如果A是正常基因、。是白化病基因，那么携带成对基因Aa的个体的皮

肤、头发和眼球的颜色是正常的，而携带成对基因M的个体将患有白化病.设母亲和父亲都携带成对基

因Aa,那么他们的孩子不患白化病的概率是（）

1ɪ3

A.—B.—C.-D.1

424

【答案】C

【解析】

【分析】利用树状图得到基因形成的所有可能情况进而得出不患白化病的概率.

【详解】解:画树状图

开始

Aa

AaAa

母亲和父亲都携带成对基因Aa,形成基因所有可能情况有4种，其中不患白化病的概率为：

P=M

4

故选：C.

【点睛】本题考查了利用树状图统计概率的方式及概率的计算，掌握概率的定义是解题的关键.

7.某学校实践基地加大农场建设，为学生提供更多的劳动场所.该实践基地某种蔬菜2020年的年产量为

60千克，2022年的年产量为135千克.设该种蔬菜年产量的平均增长率为x,则符合题意的方程是

()

A.60(1+2x)=135B.60(1+x)2=135

C.6θ(l+x2)=135D.60+60(1+%)+60(1+x)2=135

【答案】B

【解析】

【分析】根据平均增长率的意义列式计算即可.

【详解】根据题意，得60(1+X)2=135,

故选B

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握平均增长率问题是解题的关键.

3

8.如图，RtZkABC中，ZC=90,点。在BC上，ZCDA=ZCAβ.若8C=4,tanθ=-则

41

AO的长度为()

【答案】C

【解析】

【分析】在RtAABC中，由锐角三角函数求得AC,再由勾股定理求得48,最后在RtCD中由锐角

三角函数求得AO.

3

【详解】解：∙.∙NC=90°,BC=4,tanB=-,

4

∙'∙AC=BC-tanB-3>

由勾股定理得AB=√AC2+BC2=5，

VZCDAZCAB,NC=90。，

.∙.90o-ZCDA=90o-ZCAB,即NCW=NB,

BC4

cosZ.CAD=cosNB=----=—,

AB5

・Λ∩-AC__4_15

cosB54

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形.

9.已知二次函数y=α(x+M+Z的图象与X轴有两个交点，分别是P(-2,0),。(4,0),二次函数

y=a(x+〃+/?)2+上的图象与X轴的一个交点是(5,0),则b的值是()

A.7B.-1C.7或1D.-7或-1

【答案】D

【解析】

-2+4

【分析】根据题意易知二次函数的对称轴为直线X=--------=1,即〃=—1,然后根据二次函数图象的平移

2

可进行求解.

【详解】解：由二次函数y=a(x+〃y+左的图象与X轴有两个交点，分别是P(-2,0),Q(4,0)可知：

二次函数的对称轴为直线x=41q=l,即/2=—1,

2

.∙.二次函数y=α(x—1+/?)-+上的对称轴为X=I—人，

.∙.当点P(-2,0)平移后得到(5,0),则。=—2—5=—7,

当点Q(4,0)平移后得到(5,0),则匕=4—5=T,

即人的值为-7或-1；

故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数的对称性及平移，熟练掌握二次函数的对称性及平移是解题的关键.

10.如图，在ABC中，A3=AC=10,BC=6,延长Aβ至O,使得BO=LAB,点P为动点，且

2

PB=PC,连接PD，则PD的最小值为()

'D

AB

3

B.5C.D.9

2

【答案】A

【解析】

【分析】如图所示，取BC中点H,连接AH,PH,过点。作。GLPH于G,由三线合一定理得到

A、P、”三点共线，即点P在直线A”Ii运动，则当点P与点G重合时，P。最小，最小为DG,证明

AABHSΛADG,得到一=一,然后根据已知条件求出对应线段长即可求出答案.

ADDG

【详解】解：如图所示，取BC中点儿连接AH,PH,过点。作DG于G,

VAB=AC=IO,PB=PC,”为BC的中点，

.,.AH,LBC,PH.LBC,

.∙.AP、”三点共线，即点P在直线AH上运动，

当点尸与点G重合时，Po最小，最小为OG,

∙.∙DGLAP,BC.LAP,

：.BCDG,

.∙.AABHSΛADG,

.ABBH

«•__—___，

ADDG

VAB=AC=IO,BD=IAB,BC=6,

2

ΛAD=15,BH=3,

•103

••一9

15DG

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解

题的关键.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.计算：（—I）。—血=

【答案】-2

【解析】

【分析】根据零指数基和二次根式的性质求解即可.

【详解】(―1)°一囱=1一3=-2,

故答案为：一2.

【点睛】本题考查了实数的运算，涉及零指数暴和二次根式的性质，熟练掌握各个运算法则是解题的关

键.

12.因式分解：4a2-4=.

【答案】4(a+l)(a-l)

【解析】

【分析】直接提取公因式4,再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解:原式=4(a2-l)=4(a+l)(a-l).

故答案为：4(a+l)(a-ɪ).

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键.

13.《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，

如图，弧AB是以点。为圆心，Q4为半径的圆弧，C是弦AB的中点，。在弧AB上，且

CD2

CDlAB.“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值S的计算公式：s=AB+^~.当。4=2,

OA

NAQS=90°时，S=.

【答案】3

【解析】

【分析】连接。C,根据NAoB=90。计算A3,证明。、C、。三点共线，结合等腰直角三角形的性

质，得CE>2=(OD-OC)2=(04-oc)2,代入计算即可.

【详解】连接。C,

VOA=OB=2,ZAOB=90°,C是弦AB的中点，

∙"∙AB—∖JAO2+OB1—∖∣2.2+22=2-∖∕2,OCɪAB,OC=-AB=>/2>

,/CDYAB,

，0、C、。三点共线,

.∙.CD2=(OD-OC)2=(OA-OC)2=(2-√2)2=6-4√2,

.,CD2ɔ6-4√2°

•∙s=AλBdH------=2√2H------------=3，

OA2

故答案为：3.

【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，等腰直角三角形

的性质，勾股定理是解题的关键.

14.已知一次函数y=-x+2α+l的图象与二次函数y=f—公的图象交于N两点.

(1)若点M的横坐标为2,则〃的值为.

(2)若点M,N点均在X轴的上方，则。的取值范围为.

【答案】①.ɪ②.a>--##a>-0.5

42

【解析】

【分析】(1)直接将x=2代入两个函数解析式，再将它们联立求解即可；

(2)先求出二次函数图象与X轴的交点坐标，再分类讨论，当。〉0时，点M,N点均在X轴的上方，

当α<0时，点M,N点均在X轴的上方，分别求解即可.

【详解】(1)由题意得，当为=2时，-2+2Q+1=22-2Q,

解得"2，

4

故答案为：一；

4

(2)当y=χ2-0x=0时，x(x-a)=Of

解得X=O或x=α,

当0>0时，若点M,N点均在无轴的上方，

当工二。时，则一α+2α+l>0，

解得。>一1,

.β.6Z>O:

当α<。时，若点M,N点均在X轴的上方,

当尤=O时，则2。+1>O,

解得a>—，

2

1八

••—<α<O；

2

综上，a>—，

2

故答案为：α>—.

2

【点睛】本题考查了二次函数图象与X轴交点，与一次函数图象的交点问题，熟练掌握二次函数和一次

函数的图象与性质是解题的关键.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

53

15.解方程：

Xx-2

【答案】x=5

【解析】

【分析】按解分式方程的步骤解方程，即可求解.

【详解】解：方程两边同乘以MX-2)，得：5(x-2)=3x,

去括号，得：5x—10=3x,

移项、合并同类项，得2x=10,

解得：x=5,

检验：当x=5时，MX-2)=5X(5-2)=15H0,

二原方程解为x=5.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤是解决本题的关键.

16.如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，A(-l,0),β(-2,-l),C(0,-3).

（1）以原点。为位似中心，相似比为2,作一ABC的位似图形，得到,请在图中作出

（点A，B1,G分别为点A,B,C的对应点）；

（2）若将二ABC绕原点。逆时针旋转90，得到AA2BzG,请在图中作出AA刍G（点&,B2,G分

别为点A,B,C的对应点）；旋转过程中，点8经过的路径长为.

【答案】（1）见解析（2）见解析；见TI

2

【解析】

【分析】（1）利用网格和位似的性质找出各个对应点，连线即可解答；

（2）利用网格和旋转的性质即可画出所求作的三角形，利用勾股定理算出。B的长度，再利用弧长公式计

算即可.

【小问1详解】

如图，△AgG即为所求.

.∙.旋转过程中，点B经过的路径长为驷好=Y5jt,

1802

故答案为：■

2

【点睛】本题考查了作图-旋转作图，作图-位似变换，除上述知识点外，熟练掌握勾股定理和弧长公式也

是解题的关键.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.下图中，图（1）是一个菱形ABCQ,将其作如下划分：

第一次划分：如图（2）所示，连接菱形ABCD对边中点，共得到5个菱形;

第二次划分：如图（3）所示，对菱形CEFG按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形;

第三次划分：如图（4）所示,

依次划分下去.

（1）根据题意，第四次划分共得到个菱形，第〃次划分共得到个菱形;

（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形?为什么?

【答案】（1）17；4/7+1

（2）不能够得到2023个菱形，理由见解析

【解析】

【分析】3）根据第1次划分，第2次划分，第3次划分得到的菱形数量规律推出第〃次划分得到的菱形数

量；

（2）令4"+l=2023,解出〃，若〃为整数则可以得到2023个菱形，若"不为整数则不能得到2023个菱

形.

【小问1详解】

第一次划分：1+4，

第二次划分：1+4x2，

第三次划分：1+4x3,

第四次划分：1+4x4=17,

第〃次划分：l+4n,

故答案为：17；1+4〃.

小问2详解】

由题可知：4n+l=2023,解得〃=及丝=UU1,

42

所以不能得到2023个菱形.

【点睛】此题考查整式中图形类的规律探索，解题关键是找出每个图形数量的变化，进而找到数据的变化

规律.

18.引江济淮工程是国家重大水利工程，也是安徽省的“一号工程”，2022年11月24日，引江济淮金寨

南路桥主塔如图1顺利完成封顶，犹如一颗“明珠”镶刻在派河大道之上.某校数学综合实践社团的同学

们为了测量该主塔的高Q4,在地面上选取点8放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角/AMN=45，将

测倾仪向靠近主塔的方向前移10米至点C处（点。，C,B在同一水平线上），测得主塔顶端A的仰角

NANE=47.7，测量示意图如图2所示.已知测倾仪的高度=1.5米，求金寨南路桥主塔的高

OA.（精确到1米.参考数据：sin47.7≈0.74-cos47.7≈0.67.tan47.7≈1.1（））

【答案】112米

【解析】

【分析】过点“作于点尸，后解直角三角形求解即可.

【详解】解：如图，过点M作'LQ4于点尸，

由周意得OP=CN=BM=1.5米，MN=Io米

设FN=”米，在Rt_AA小中，ZAMF=45

4F=Mr=（Io+α）米，

Δ∕7

在RtZ∖AF∕V中，tan∕ANZr=-----

FN

.∙.AF=FN-IanXANF=αtan47.7«1.10«（米），

.∙.10+α=1.10α,

解得：a=100,

.∙.AE=10+100=110（米），

.∙.04=AF+OF=110+1.5=111.5≈112（米）.

答：主塔的高Q4约为112米.

【点睛】本题考查了解直角三角形一仰角问题，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.如图，ACz)内接于OO,Co为直径，射线OElAC于点£,交(。于点尸，过点A作。。的

切线交射线OE于点B.

(1)当NB=25时，求/。的度数；

OE1

(2)当4)=2，——=一时，求R7的长.

EF2

【答案】(1)65°

(2)6

【解析】

【分析】对于(1),先连接。4,根据切线的性质求出/AO3,再根据垂径定理得求NAOC,然后根

据圆周角定理得出答案；

对于(2),先根据中位线的性质求出0E,进而得出Q4,再根据“两角相等的两个三角形相似”得

二OAE二084,根据相似三角形的性质求出。3,根据BE=OB-O尸得出答案.

【小问1详解】

连接Q4,

AB是过A点的：。的切线,

.∙.NQAβ=90，

:.XAOB+^B=90>

.∙.ZAOB=65.

OBAC,

•∙AF=CF'

:.NBOC=NAOB=65，

.∙.ZAOC=AOB=130，

.∙.∕O=L∕A0C=65；

2

【小问2详解】

OELAC,

:.EC=EA,

又OC=OD,

.∙.OE是，ACD的中位线，

/.OE——AD——X2=1.

22

_O__E=_1

EF一2'

.∙.EF=2,

..OA=OF^3.

由Q)知/QAE+/BAE=/5+/BAE=9()，

即ZOAE=ZB.

又∙ZAOE=ZBOA,

.∖ΔOAEOBA,

OAOE

即O代=OEOB,

：.OB=9,

BF=OB-OF=9—3=6.

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，中位线的定义和性质

等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法.

20.如图，已知一次函数y=∏χ+匕的图象与反比例函数y=；的图象交于点A(l,〃)，8(—2,—1)两点，

与y轴相交于点C.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)若点。与点C关于X轴对称，求AABO的面积；

/77

(3)根据图象直接写出不等式办+力>一的解集.

X

2

【答案】(1)一次函数的解析式为y=χ+ι,反比例函数的解析式为>=—

X

(2)3(3)-2<x<0或x>l

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数

表达式即可；

(2)分别求出C,。的坐标，再求出点A到80的距离，根据三角形面积公式计算即可；

(3)根据图象求解即可.

【小问1详解】

反比例函敕y=三的图象经过点β(-2,-l),

2

点A(LH)在y=-上,

,∖n=2,

/.A(1,2).

a+b=2

把A,8坐标代入y=+则〈C,J

-2a+h=-l

a-∖

解得<1,

P=I

，一次函数的解析式为y=χ+1,反比例函数的解析式为y=-

Xi

【小问2详解】

由(1)知直线y=χ+ι,Ag)

直线y=χ+i交y轴于C,

.∙.C(O,1),

D,C关于X轴对称，

/.£>(0,-1),

B(-2,-l),

.∙.BD∕∕x^,BD=2.

•••点A到BD的距离为2-(-1)=3.

'S.O=gx2x3=3∙

【小问3详解】

777

根据图象得：不等式公+力〉一的解集为—2<x<0或x>l∙

X

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用

数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键.

六、(本题满分12分)

21.教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校

内、校外各1小时体育活动时间.某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了〃名

学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计

图.

调查结果的频数分布表

组别时间r(分钟)频数

A30≤r<605

B60≤∕<90Cl

C90≤r<120b

D120≤r<15012

Ef≥1508

调查结果的扇形统计图

根据上述信息，解答下列问题：

(1)频数分布表中的α=,扇形统计图中。组所在的扇形的圆心角为度；

(2)被抽取的〃名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组(直接写出组别即可)；

(3)若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生

人数.

【答案】(1)10,108

(2)C组

(3)288人

【解析】

【分析】(1)用A组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数，再算出B组的人数，即可求得”的

值；用总人数减去其它组的人数，即可求得C组的人数，即可求出C组所占的比例，再乘以360。即可求解；

(2)根据中位数的求法，即可求解；

(3)用总人数乘以平均每天体育运动时间不低于120分钟的学生人数所占的百分比，即可求解.

【小问1详解】

解：被抽取的学生数为：5÷10%=50(人)

故a=50χ20%=10,

Z?=50-5-10-12-8=15,

故扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为：

360oX—=108°,

50

故答案为：10,108；

【小问2详解】

解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，

5+10<25<5+10+15,

把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，

故被抽取的50名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；

【小问3详解】

解：720×(24%+16%)=288(A)

答：估计平均每天的体育活动时间不低于120分钟的学生有288人.

【点睛】本题主要考查了扇形统计图和频数表、用样本估计总体、求扇形的圆心角，从统计图表中获取相

关数据是正确计算的前提，用样本估计总体是统计中常用的方法.

七、（本题满分12分）

22.某公园要在小广场上建造一个喷泉景观.在小广场中央。处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱

子Q4,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过

Q4的任一平面上抛物线路径如图1所示.为使水流形状较为美观，设计成水流在距。4的水平距离为1

米时达到最大高度，此时离地面2.25米.

（1）以点。为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为X米，水流喷出的高度为y

米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋

到，此时他离花形柱子。4的距离为d米，求d的取值范围；

（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面8、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45角，如图3

所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=-χ+4,求光线与

抛物线水流之间的最小垂直距离.

【答案】（1）y=-（x-l）2+2.25

（2）0.3<d<L7

（3）也米

4

【解析】

【分析】（1）由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标（1,2.25）,故设抛物线解析式为

y=a（x-∖↑+2.25,将（0,1.25）代入得1.25=。（。一炉+2.25,求“值，进而可得在第一象限内的抛

物线解析式；

（2）当y=L76时，一（左一+2.25=1.76,解得：Xl=O.3,%2=1.7,由二次函数的图象与性质确

定d的取值范围即可；

（3）由题意知，OB=OP=4,NOBP=45°,设平行于直线3P且与抛物线只有一个交点的直线/的

解析式为y=-x+m,则联立方程,一(”-9+2.25,整理得，χ2-3χ+"L1.25=0，令

y=-x+m

4αc=9—4x(加一L25)=0,解得根=3.5,即直线/的解析式为y=-x+3.5,如图，记直线/

与X轴的交点为。，则O(3.5,()),则。B=OB-OO=g,根据光线与抛物线水流之间的最小垂直距离

是直线/到直线BP的距离，即为BO∙sin450,计算求解即可.

【小问1详解】

解：由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标(1,2.25),故设抛物线解析式为y=α(x-Ip+2.25,

将(0,1.25)代入得1.25=α(0—Ip+2.25,

解得，a=-∖,

在第一象限内的抛物线解析式为y=-(x-l)2+2.25；

【小问2详解】

解：当y=1.76时，一(X-I)2+2.25=1.76,

解得：Xl=O.3,X2