初中七年级数学 集合与不等式 基本不等式及其应用

努力的你，未来可期!

第一篇集合与不等式

专题1.04基本不等式及其应用

【考试要求】

1.掌握基本不等式/?>0)；

2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.

【知识梳理】

1.基本不等式：

⑴基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当。=6时取等号.

(3)其中审称为正数a,8的算术平均数，痴称为正数a,b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)以+历22,活(a,6GR),当且仅当a=b时取等号.

2

⑵踞(a,6GR),当且仅当《=人时取等号.

3.利用基本不等式求最值

己知於0,)20,则

(1)如果积町是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2血(简记：积定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时，町有最大值是京简记：和定积最大).

【微点提醒】

l.^+^>2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号.

3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打’7”或"x”)

(1)两个不等式a2+bi>2ah与土受力/亚成立的条件是相同的.()

(2)函数y=x+：的最小值是2.()

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4

(3)函数/(x)=sinx+而7的最小值为4.()

(4)x>0且y>0是扌2的充要条件.()

【答案】(l)x(2)x(3)x(4)x

【解析】(1)不等式G+抗扌2ab成立的条件是a,b®R；

不等式，爱”茄成立的条件是“K),b>0.

(2)函数y=x+：的值域是(一8,-2]U[2,+oo),没有最小值.

4

(3)函数/(.x)=sin.x+没有最小值.

(4)x>0且y>0是的充分不必要条件.

【教材衍化】

2.(必修5P99例1(2)改编)若x>0,)>0,且x+y=18,则底的最大值为()

A.9B.18C.36D.81

【答案】A

【解析】因为x+y=18,所以而招工=9,当且仅当x=y=9时，等号成立.

3.(必修5P100练习T1改编)若x<0,则x+1()

A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为一2D.有最大值，且最大值为一2

【答案】D

【解析】因为x<0，所以一x>0,一X+±N241=2,当且仅当x=T时，等号成立，所以x+上一2.

【真题体验】

1*7—2x-H11

4.(2019•浙江镇海中学月考)已知兀0=二^—,则/U)在仁，3」上的最小值为()

14

A，2B.gC.-1D.O

【答案】D

X2—1I1

【解析】加)==^—=X+：-2N2-2=0,当且仅当即x=l时取等号.

又1出,31,所以於)在惇31上的最小值为0.

5.(2018•济宁一中月考)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,则这个矩形的长为

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m,宽为m时菜园面积最大.

【答案】15y

【解析】设矩形的长为/m,宽为ym.则x+2y=30,

所以5=个=上.(2、舄。/*)=^|^,当且仅当x=2y,即1=15,y=当时取等号.

6.(2018•天津卷)已知a,b&R,且a-36+6=0,则2“+1■的最小值为.

【答案】；

【解析】由题设知a—3b=-6,又2，>0,8心>0,所以2a+]N2、/2”.—=2・2"；忆),当且仅当2"=],

<Sbft/?248〃

即。=-3,b=\时取等号.故勿，+]的最小值为J

【考点聚焦】

考点一利用基本不等式求最值

角度1利用配凑法求最值

3

【例1—1】(1)(2019•乐山一中月考)设0<%令，则函数>=4x(3—2x)的最大值为.

(2)已知怎，则於)=4x-2+五片的最大值为.

9

【答案】(1)2(2)1

【解析】⑴y=4x(3—1Y)=2[2X(3—〃)长2[-------2----------J=],

3

当且仅当2x=3—2x,即尸;时，等号成立.

.♦.函数y=4x(3—2x)(o<xV§的最大值为.

(2)因为x1,所以5—4x>0,则人x)=4x—2+3丄]=—(5—奴+5占0+3

W~~2、/(5—4x)~~1~3=—2+3=1.当且仅当5—4x=?」即x=l时，等号成立.

\]5—4x5—4x

故凡丫)=4》-2+]1的最大值为1.

角度2利用常数代换法求最值

【例1一2](2019•潍坊调研)函数y=m-3>0,在1)的图象恒过定点A,若点A在直线相x+〃y-1=0上，

且,，〃为正数，贝哈+；的最小值为.

【答案】4

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【解析】•・,曲线y=air恒过定点A,x=l时，y=\,

1）.将A点代入直线方程町1=0（心0,〃>0）,

可得,“+"=1,..而+厂匕+»（〃?+〃）=2+记+/2+2勺//4,

当且仅当、=彳且《?+，1=1（，">0,〃>0）,即帆="=5寸，取得等号.

角度3基本不等式积S3与和m+方）的转化

【例1—3】（经典母题）正数”，人满足姉=。+6+3,则姉的取值范围是.

【答案】［91+oo）

【解析】'-a,b是正数，.,.<76=。+匕+322{7+3,解得即出仑9.

【迁移探究】本例已知条件不变，求的最小值.

【答案】见解析

【解析】'.'a>0,b>0,；.“区（“；0）,

即a+b+3w（丄乎），整理得（4+与2—4（“+/?）—1220,

解得a+b>6或〃+后一2（舍）做a+b的最小值为6.

【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主

要有两种思路：

（1）对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、

换元法、整体代换法等.

（2）条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.

【训练1】（1）（2019・济南联考）若a>0,6>0且2a+6=4,则土的最小值为（）

A.2B./C.4D.；

（2）若正数x,y满足x+3y=5孙，则3x+4y的最小值为.

【答案】（1）B（2）5

【解析】⑴因为a>0,b>0,故2a+bN2仮取当且仅当2a=b时取等号）.

又因为2a+b=4,.,.2V2ab<4=>0<ab<2,

.♦.白」，故白的最小值为上当且仅当a=l,b=2时等号成立）.

dD乙dU乙

⑵由x+3y=5xy可得所以3无+4y=（3x+4y）&+§=£+|^+空弓=5（当且仅当卷=

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*即x=l,时，等号成立)，所以3x+4｝，的最小值是5.

考点二基本不等式在实际问题中的应用

【例2】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制509W00(单位：千米/时).

假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+爲升，司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y关于尤的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

【答案】见解析

【解析】⑴设所用时间为r=^(h),y=¥x2x(2+京，+14x半，xG[50,100].

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y=譬虫+墻&、xd[50,100]

234013

(或—1-j^.r,[50,100]).

o130x18.2x130_*口m*130x182x130

+気-仑2即，当且仅当一^--^丁，

即x=18回时等号成立.故当x=1805千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2啦元.

【规律方法】

1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.

3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.

【训练2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品

牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运

营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3—為■.已知网

店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价

的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是万元.

【答案】37.5

2

【解析】由题意知『=・一1(1。＜3),设该公司的月利润为y万元，

则y=(48+§x-32%-3-f=16x-3=3

=45.5-16(3—x)+--仁45.5—2灰=37.5,

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当且仅当x=?时取等号，即最大月利润为37.5万元.

考点三基本不等式与其他知识的综合应用

【例3】（1）（2019.河南八校测评）已知等差数列｛〃“｝中，4=7,旬=以S“为数列｛%｝的前八项和，则%手

n

的最小值为.

（2）（一题多解）（2018•江苏卷）在AABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=120°,NA8c的平

分线交AC于点Q,且80=1,则4a+c的最小值为.

【答案】(1)3(2)9

1

【解析】(1)；%=7,a9=19,：.d=^^=\=2,

n(3+2〃+1)

・・=%+(九-3)4=7+2(〃-3)=2n+1,・・S“---------------------—n(n+2),

因此号=〃(**+丑=4(〃+D+*]

。“+12”+22L〃+1」

4x2、/(〃+I)3=3,当且仅当〃=2时取等号.故法^的最小值为3.

2〃十14〃十1

(2)法一依题意画出图形，如图所示.

易知&A8D+S&BCD-S&ABC，

即;csin60o+^«sin600=jacsin120°,

**•-I-c~cic,-H-——1j

ac

4a+c=(4a+c)C+z)=5+?+yN9,

c4〃3

当且仅当'"，即。*，c=3时取

ac2

法二以8为原点，8。所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

则。(1,0),'：AB=c,BC=a,

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修坐1扇,一冬),

VA,D,C三点共线，：.Ab//Dt.

・4一9(一手，+乎痣T)=a

•*•cic~~ciH-c,I=1,

ac

/.4〃+。=(4〃+(?)&+：)=5+?+?29,

c4/73

当且仅当，器，即a=；,c=3时取“=”

【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是:

1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，

这是难点.

2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.

3.检验等号是否成立，完成后续问题.

【训练3】(1)(2019•厦门模拟)已知式x)=3u—也+1)3.、+2,当xdR时,於)恒为正值,则k的取值范围是()

A.(—co,—1)B.(—oo,2>/2—1)

C.(—1»2色—1)D.(—2-^2—1,2吸—1)

(2)在各项都为正数的等比数列｛a｝中，若则/一+3的最小值为_______.

2018

“2a2017Gog

【答案】(1)B(2)4

2

【解析】(1)由式戏>0得疝一(％+1)3»+2>0,解得A+lv3x+w.

92

又3,+狂2娘(当且仅当3»=日即x=log3橢时，等号成立).

所以1+1<2帀,即k<2位一1.

⑵.••｛%｝为等比数列，•••43戸239=%8=江户+六斗万^=2屮=4.当且仅当宀=六,

20172019V2017201920172019

1?

即。,例9=2。2。17时，取得等号••1六+六的最小值为4

^2017〃2019

【反思与感悟】

1.基本不等式具有将“和式''转化为"积式''和将"积式”转化为"和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小

或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.

a+b

2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：a区

2

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~~（«>0,/?>0）等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.

【易错防范】

1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.

2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数丫=、+?加>0）的单调性.

【分层训练】

【基础巩固题组】（建议用时：35分钟）

一、选择题

Q2+/?2

1.（2019•孝感调研）是“而1^啲（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

“2+62

【解析】由a>Z?>0,可知42+历>2",充分性成立，由一~■一，可知。处，a,0WR,故必要性不成立.

2.下列结论正确的是（）

A.当心>0且*1,lgx+j^>2

B.^v<l（xeR）

X2+]

C.当x>0时，x/xd■-^>2

屮

D.当0<烂2时，x—：无最大值

【答案】C

【解析】对于A,当0《<1时，lgx<0,不等式不成立；

对于B,当x=0时，有」r7=l，不等式不成立；

X2+1

对于C,当x>0时，，/+七当且仅当1时等号成立；

13

对于D,当（XE2时，y=x—：单调递增，所以当x=2时，取得最大值，最大值为*

3.（2019・绵阳诊断）己知41,y>l,且Igx,2,Igy成等差数列，则x+y有（）

A.最小值20B.最小值200

C.最大值20D.最大值200

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【答案】B

【解析】由题意得2x2=lgx+lgy=lg（肛），所以孙=10000,则x+yN2，^=200,当且仅当x=y=100

时，等号成立，所以x+y有最小值200.

4.设a>0,若关于x的不等式x+，/5在（I,+oo）上恒成立，则a的最小值为（）

X—1

A.16B.9C.4D.2

【答案】C

【解析】在（1,+8）上，xH■―^~7=（x—1）H■—片+1

X—1X—1

（x-1）x-y-^YY-+1=2\[a+1（当且仅当x=l+W时取等号）.

由题意知23+整5.所以a>4.

5.（2019•太原模拟）若P为圆絃+>2=1上的一个动点,且4-1,0）,8（1,0）,则IPAI+IPB啲最大值为（）

A.2B,2帀C.4DAyj?.

【答案】B

【解析】由题意知乙4尸8=90。，，IPAl2+IP8l2=4,

flP^l+lPBlY\PA\2±\PB\2

(2)-2=2（当且仅当IP4I=I尸81时取等号）,

A\PA\+\PB\<2>j2,二IPAI+IPBI的最大值为

6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为玄天,

O

且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产

产品（）

A.60件B.80件C.100件D.120件

【答案】B

【解析】设每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是驾元，仓储费用是?元，总的费用是（準+£）

元，由基本不等式得迎+a2\/蜉+?=20,当且仅当陋=《即x=80时取等号.

XOVAOXO

1o

7.若实数a,Z?满足公+石=，^,则必的最小值为（）

A.^/2B.2C.2陋D.4

【答案】C

【解析】依题意知a>0,b>0,则％沁羽=瑞,

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1?

当且仅当;=不即b=2〃时，成立.

因为；+戸婀，所以眄器，即止2A「（当且仅当a=2*,b=2麺等号成立），

所以他的最小值为26.

19

8.（2019•衡水中学质检）正数m满足公+石=1,若不等式。+效一12+41+18一相对任意实数x恒成立，则

实数〃?的取值范围是（）

A.[3,+oo）B.（—oo,3]

C.（—oo,6]D.[6,+oo）

【答案】D

【解析】因为a>0,Z?>0,

所以a+b=3+〃）（>+"=10+5+淮16,

当且仅当与=当,即。=4,6=12时取等号.

依题意，16>—X2+4x+18-/77»即X2—4k一2之一"7对任意实数X恒成立.

又x2-4x—2=（%—2）2—6,

所以X2—4X-2的最小值为一6,所以一6N—即m>6.

二、填空题

9.函数丫Y=2-皆4-9。>1）的最小值为

【答案】2帀+2

—

r1爲+2(x2—2x+1)+2r2+3

【解析】y==T=--------------;----------------

(X-1)2+2(X-1)+33

=(x-l)+—卜222^5+2.

X—1

a

当且仅当x-l=H，即x=，5+l时，等号成立.

10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润），（单位：万元）与机器

运转时间M单位：年）的关系为y=-x2+18x—25（xGN*）,则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值

是万元.

【答案】8

【解析】每台机器运转x年的年平均利润用=18—1+专，而x>0,故长18—2©=8,当且仅当x=5

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时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.

11.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.

【答案】6

【解析】因为x>0,>>0,所以9—(x+3y)=xy=$?(3y),•(二/。，当且仅当x=3y,即x=3,y=l时等

号成立.设x+3y=z>0,则庁+12，一108K),

所以(f—6)(，+18巨0,又因为00,所以仑6.故当x=3,y=l时;(x+3y)min=6.

12.已知直线iwc+ny-2=0经过函数^(x)=logr/x+l(〃>0且存1)的定点，其中〃心0,贝哈+；的最小值为

【答案】2

【解析】因为函数g(x)=logx+l(a>0且分1)的定点(1,1)在直线町，-2=0上,

所以加+〃一2=0,即3+尹1.

当且仅当券=券，口卩用2="2时取等号,

所以的最小值为2.

【能力提升题组】(建议用时：15分钟)

13.(2018•江西师大附中月考)若向量机=5-1,2),〃=(4,力，且加丄”，a>0,b>0,则地丄〃+log3/有()

3

A.最大值log35B.最小值log32

C.最大值log丄gD.最小值0

3

【答案】B

【解析】由in丄〃，得加•〃二(),即4(〃一l)+2b=0,

二2"+，=2,：.2>2yl2ab,二岫弓(当且仅当2a=b时，等号成立).

又1。瓦a+log31=log±a+log丄b=log丄(ab)>\osx|=log32,

3333

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故log丄«+10g3g有最小值为10g32.

3

14.(2019・湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1,内切圆半径也为1,若AABC的三边长分别为a,b,c,

则福7+也的最小值为()

a-vbc

A.2B.2+V2C.4D.2+2>/2

【答案】D

【解析】因为AABC的面积为1,内切圆半径也为1,

所以;(a+〃+c)xl=l,所以a+6+c=2,

sr4.a+b2(a+Z?+c)a+b,2c.a+b-।八六

所以——=-----77；-------+——