【压轴专练】专题09 几何中的动角问题（解析版）-2021-2022学年七上压轴题攻略

专题09几何中的动角问题类型一、判断角的数量关系例.直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部．（1）如图1，当∠AOD＝150°，∠EOF＝30°时，求∠AOF与∠EOD的度数和；（2）在（1）的条件下，请直接写出图中与∠BOC互补的角；（3）如图2，若射线OM平分∠AOD（OM在∠EOD内部），且满足∠EOD＝2∠FOM，请判断∠AOF与∠EOF的大小关系并说明理由．【答案】（1）120°；（2）∠BOD、∠AOC、∠EOF；（3）∠AOF＝∠EOF，见解析【解析】（1）∵∠DOE+∠EOF+∠AOF＝∠AOD＝150°且∠EOF＝30°，∴∠DOE+∠AOF＝∠150°﹣30°＝120°；（2）根据补角的定义可知图中与∠BOC互补的角有∠BOD、∠AOC、∠EOF；（3）∠AOF＝∠EOF，理由如下：∵OM平分∠AOD，∴∠DOM＝∠AOM，∴∠AOF＝∠AOM﹣∠FOM＝∠DOM﹣∠FOM＝∠EOD﹣∠MOE﹣∠FOM＝2∠FOM﹣∠MOE﹣∠FOM＝∠FOM﹣∠MOE＝∠EOF，∴∠AOF＝∠EOF．故答案为：（1）120°；（2）∠BOD、∠AOC、∠EOF；（3）∠AOF＝∠EOF，见解析【变式训练1】如图①，O是直线上的一点，是直角，平分．（1）若，则____________°，____________°；（2）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）；（3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系：__________________．（不用证明）【答案】（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．【解析】（1）∵，∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=×150°=75°，又∵∠COD是直角，∴∠BOD=90°-∠AOC=60°，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-75°=15°，故答案为：60°，15°；（2）∵，∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC=，又∵∠COD是直角，∴∠DOE=∠COD-∠COE=；（3）∠AOC=360°-2∠DOE；理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE，

则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（∠DOE-90°），所以得：∠AOC=360°-2∠DOE；故答案为：∠AOC=360°-2∠DOE．【变式训练2】如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．（1）如图①，若，求的度数；（2）在图①，若，直接写出的度数_________（用含a的代数式表示）；（3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由．【答案】（1）14°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE−∠AOF＝90°【解析】（1）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°，∴∠BOC＝180°−∠AOC＝152°，∠COE＝∠BOC，∠COD＝90°．∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−76°＝14°．即∠DOE＝14°；（2）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a，∴∠DOE＝90°−＝．故答案是：；①∠AOC＝2∠DOE．理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°，∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°．∴∠AOC＋2（90°−∠DOE）＝180°．化简，得∠AOC＝2∠DOE；②2∠DOE−∠AOF＝90°．理由：∵，∴2∠AOF＋∠BOE＝（∠AOC−∠AOF），∴2∠AOF＋∠BOE＝∠AOC−∠AOF．又∵∠AOC＝2∠DOE，∴∠AOF＝∠DOE−∠BOE，∴∠AOF＝∠DOB．∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE．∴∠AOF＋180°−∠AOC＝90°．∴∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°．化简，得2∠DOE−∠AOF＝90°．故答案为：（1）14°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE−∠AOF＝90°【变式训练3】已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）在图1中，当∠COF＝36°时，则∠BOE＝，当∠COF＝m°时，则∠BOE＝；以此判断∠COF和∠BOE之间的数量关系是；（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°，理由见解析【解析】（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝36°，∴∠EOF=90°-36°=54°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF=108°，∴∠BOE=180°-108°=72°；同理可求∠BOE=2m°；由第一和第二空可知：∠BOE=2∠COF．故答案为：72°；2m°；∠BOE=2∠COF；∠BOE=2∠COF不会变化，其证明过程是：设∠AOC=x°，则∠AOE=(90-x)°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOF=∠AOE=(45-x)°，∴∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45-x)°=(45+x)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)°，∴∠BOE=2∠COF．∠BOE+2∠COF=360°，其理由是：设∠AOC=x°，则∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°．∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=∠AOE=(x-45)°，∴∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-(x-45)°=(x+45)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°，∴∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2(x+45)°=360°．故答案为：（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°类型二、求值问题例.如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分【解析】（1），∵，∴∵平分，，∴，∴∴，解得：秒（2）度∵，平分，∴∴，∴解得：秒（3）如图：∵，由题可设为，为，∴∵，，解得：秒答：经过秒平分．【变式训练1】在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．（1）当∠COD的位置如图1所示时，且∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；（2）当∠COD的位置如图2所示时，作∠AOC的角平分线OF，求∠EOF的度数；（3）当∠COD的位置如图3所示时，若∠AOC与∠BOD互补，请你过点O作射线OM，使得∠COM为∠AOC的余角，并求出∠MOE的度数．（题中的角都是小于平角的角）【答案】（1）40°；（2）150°；（3）见解析，∠MOE的度数为105°或135°．【解析】（1）∵∠COD＝90°，∠EOC＝35°，∴∠EOD＝55°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠EOD＝110°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝40°；（2）∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，∵OF平分∠AOC，OE平分∠BOD，∴∠COF＝AOC，∠DOE＝BOD，∴∠COF+∠DOE＝60°，∴∠EOF＝60°+90°＝150°；（3）设∠AOC＝α，∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°，∴∠AOD＝90°﹣α，∠BOC＝150°﹣α，∵∠AOC与∠BOD互补，∴∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∴90°﹣α+150°﹣α＝180°，∴α＝30°，即∠AOC＝30°，∴∠BOD＝150°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝75°，如图3，∵∠COM为∠AOC的余角，∴∠COM＝60°，∴∠DOM＝30°，∴∠MOE＝∠MOD+∠DOE＝30°+75°＝105°，如备用图，∵∠COM为∠AOC的余角，∴∠COM＝60°，∠BOM＝60°，∴∠MOE＝∠BOM+∠BOE＝60°+75°＝135°；综上所述，∠MOE的度数为105°或135°．【变式训练2】如图①，直线､相交于点O，射线，垂足为点O，过点O作射线使．（1）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图②，在的内部，当平分时，是否平分，请说明理由；（2）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图③，在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）若，将图①中的直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度度（），设旋转的时间为t秒，当与互余时，求t的值．【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或时，与互余．【解析】（1）平分，理由如下：∵且平分，∴∵，∴，∴∴，∴即平分（2），理由如下：设为，则∵，∴，∴，即（3）∵且，∴又∵，∴，∴∵直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转∴①时，若与互余，则，解得②时，若与互余，则，此时无解③时，若与互余，则，解得综上所述，或时，与互余．【变式训练3】如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为．（1）用含t的代数式表示：_______，_______．（2）在运动过程中，当时，求t的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角（大于而小于）？【答案】（1），；（2）当时，或40或80；（3）存在，当直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角时，或36或54或72．【解析】（1）由题意得：射线的运动路程为，射线的运动路程为，∴，当时，，当时，，∴；故答案为，；（2）由题意可得射线与射线相遇的时间为：，解得：，∴当射线与射线相遇前，时，如图所示：∴，解得：，当射线与射线相遇后，且射线还没有过直线时，，如图所示：，解得：，当射线过了直线时，，如图所示：，解得：，综上所述：当时，或40或80；（3）存在，理由如下：由，，，则可分：①若直线平分时，如图所示：∴，，∴，解得：；若直线平分时，如图所示：∴，∴，解得：；②若直线平分时，如图所示：∴，∴，解得：；若直线平分时，如图所示：∴，，∴，解得：；综上所述：当直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角时，或36或54或72．课后作业1．如图，已知，，平分，即，平分，即；若，则________；若可以在内部绕点作任意旋转（射线与射线不重合，射线与射线不重合）则的大小是否改变？试说明理由．【答案】（1）；（2）不改变，理由见解析.【详解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠COD=50°，∠BOD=30°，∴∠AOC=120°-50°-30°=40°，∵OM平分∠BOD，即∠1=∠2，ON平分∠AOC，即∠3=∠4，∴∠2=15°，∠3=20°，∴∠MON=∠COD+∠2+∠3=50°+15°+20°=85°，故答案为85°；（2）不改变，理由：∵，，∴，∵平分，即，平分，即，∴，，∴，∴，故不改变．2.如图，射线在的外部，（为锐角）且平分，平分．（1）若，求的度数；（2）若（为锐角）不变，当的大小变化时，的度数是否变化？说明理由；（3）从（1）（2）的结果来看你能看出什么规律．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）见解析.【详解】因为平分，平分，所以，，所以；由的结论可知，所以若（为锐角）不变，当的大小变化时，的度数不变化，即；从的结果来看，射线在的外部，（为锐角）且平分，平分，若（为锐角）不变，当的大小变化时，的度数不变化，即．3．已知：O是直线AB上的一点，是直角，OE平分．（1）如图1．若．求的度数；（2）在图1中，，直接写出的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析.【详解】（1）∵是直角，，，，∵OE平分，，．（2）是直角，，，，∵OE平分，，．（3），理由是：，OE平分，，，，，即．4．如图，∠AOB=90°，OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线；（1）当∠BOC=40°时，求∠MON的大小？（2）当∠BOC的大小发生变化时，∠MON的大小是否发生改变？说明理由.【答案】（1）∠MON=45°；（2）当∠BOC的大