数列（结构不良型） 解析版-2023年高考数学一轮复习

专题2.4数列(结构不良型)

要点提示

1.等差、等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键

在于熟练掌握等差、等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数

列的前77项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

2.给出Sn与an的递推关系，求a„,常用思路是一是利用an=转化为©的递

推关系，再求其通项公式；二是转化为斗的递推关系，先求出斗与〃之间的关系，再求小.

3.求数列的前几项和常见思路：

(1)对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；

(2)等差数列士等比数列时，常采取分组求和法；

(3)等差数列x等比数列时，常采取错位相减法；

(4)裂项相消法.用裂项相消法解题的关键步骤，①判断结构，即根据通项的结构，看

它是否可以裂项，能裂项就写出通项裂项后的表达式；②写出和式，即按通项裂项后的表达

式写出和式，看哪些项能相互抵消；③化简整理，即计算并整理和式，得到和式的最简结果.

实战演练

1.(2023・山西・统考模拟预测)已知数列｛时｝是正项等比数列,且。4一的=7,a2a3=8.

⑴求｛册｝的通项公式;

(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列｛,｝的前几项和

1

①bn=(2n-l)an；②为=

(2n+l)log2a2n

【解题思路】(1)根据等比数列的性质可得出关于a4的方程组，解出这两个量的值，可

求得数列｛&J的公比，进而可求得数列｛5｝的通项公式；

(2)选①，利用错位相减法可求得Sn；选②，利用裂项相消法求得治.

【解答过程】(1)解：由等比数列的性质可得a］。,=a2a3=8,

04—_71I—

由题意可得的。4=8,解得?二p,所以，等比数列｛厮｝的公比为q=3P=2,

n-1

所以，an=&iq九t=2.

71

(2)解：若选①，bn=(2n—l)an=(2n—1)-2T.

12

所以，Sn=1.2°+3.2+5-2+■■•+(2n-1)-2"一、①

贝U2Sn=1-2】+3・22+…+(2n—3)•271T+(2n-1)-2n,②

①一②得一S.=1+2(21+22+•••+2TlT)-(2n-1)-2n=1+邛喧-、-(2n-1)-2n

=1+2n+1-4-(2n-1)-2n=(3-2n)-2n-3,

n

因此，Sn=(2n-3)-2+3；

若选②，bn------------=----------=-(----------),

n(2?i+l)log2a2n(2n+l)(2n-l)2\2n-l2n+l/

所以，Sn=-(1--+---+-+—.....—.

n2\3352n-l2n+172n+l

2.(2023•全国•模拟预测)记公差为1的等差数列的前n项和为%,.从下面①②③

三个条件中任选一个补充在上面问题中的横线处并作答.

①口3+2<17+%,]=28；②。15=55；③CI2+I,ag,CI28-1成等比数列.

(1)求｛厮｝的通项公式；

n

(2)设%=(-l)-(2an-1)-20«,求数列｛%｝的前n项和B“.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】(1)选①②，利用等差数列通项及前〃项和，求出的即可；选③，利用等比中

项列式求出的即可作答.

(2)由(1)的结论，求出勾，再利用错位相减法求和作答.

【解答过程】(1)选条件①，+2口7+a1】=28,则4a7=28,即a7=7,而公差d=L

因此的=a7-6d=1,

所以tin=1+(n-1)x1=n.

选条件②，ai5=S5，则a1+14d=5%_+”小而公差d=1,解得的=1

所以%i=1+(n-1)X1=n.

选条件③，a2+1,ag,。28-1成等比数列，即a1+2,a1+8,的+26成等比数列，有

(%+8)2=(%+2)(的+26),解得的=1,

所以tin=1+(n-1)X1=71.

nannn

(2)由(1)知，bn=(-l)-(2an-1)-2"=(-l)-(2n-1)-2=(2n-1)-(-2),

n1

Bn=1x(—2)+3x(—2)2+5x(—274—+(2zi-3),(—2)+(2n—1)•(—2)",

则一28n=1X(-2尸+3x(-2)3+…+(2n-5)-(-2)n-1+(2n-3)•(-2)"+(2n-1)-

(—2)"+i,

两式相减得,34=—2+2x](—2)2+(—2尸+.••+(-2)n]-(2n-1)-(-2)n+1

(-2/-(-2)n+12(1\

=-2+2x；J；——(2n-l)-(-2r+1=--2n---(一2严+】

1—V-Z)D\3/

所以&=：-(1”》(-2)"+l.

3.(2023•陕西咸阳•校考一模)己知数列的前几项之积为%=6N*).

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设公差不为0的等差数列仍"中，瓦=1，，求数列｛厮+｝｝的前几项和

请从①班=b4；②&+生=8这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别作答，则按照第■个解答计分.

【解题思路】(1)根据当n>2时，an=抖计算并检验的=S]=1成立即可得答案;

^n-1

(2)根据等差数列基本计算得g=九，进而M+再分组求和即可.

【解答过程】(1)解：当几=1时，%=Si=1

当ri>2时,an=口-=22=2九t

Sn-l

n-1

综上，an=2；

(2)解：若选①尻=b4,

设等差数列｛g｝的公差为d(dW0),

因为瓦=1,b1=b4,

所以(1+d)2=1+3d(dW0),解得d=1

所以，bn=n,

n

所以，CLnbn=2i+?!,

所以，〃=(1+2+22+…+2rlT)+(1+2+…+几)

n

1—2(n(n+1)1

1-2+~2-=2n—1+-n(n+1)

所以，7^=2n-l+|n(n+l)

若选②®+为=8,

设等差数列｛g｝的公差为d(dW0),

因为匕3+为=8,所以力4=4,

又因为瓦=1,所以4=1+3d,解得d=1

所以，=71，

n-1

所以，an-\-bn=2+n,

2711n

所以，Tn=Ql+2+2+■■■+2-)+(1+2+…+ri)=言+=2-l+

|n(n+1),

n

所以，Tn=2-1+|n(n+1).

4.(2023•辽宁•校联考模拟预测)在①=23,②宙-d2=5这两个条件中选一个合适的

补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.

问题：在各项均为整数的等差数列｛即｝中，a2=5,公差为d,且______.

(1)求｛即｝的通项公式；

n

(2)若.=and,求数列｛，J的前w项和％.

【解题思路】(1)根据等差数列通项公式的基本计算求解即可；

(2)根据错位相减法计算求解即可.

【解答过程】(1)解：若选①，则d=—=]的=&2—d=；£Z,故不能选①，

6—222

若选②：依题意可得产_唐=(%]d)=5,解得，号=3,

(。2=。1+4=5(4=2,

故a九=%+(几一l)d=2九+1.

n

(2)解：由⑴知，bn=an(T=(2n+l)2,

则%=3x2+5x22+…+(2n+1)2",

所以25n=3X22+5X23+•••+(2n+l)2n+1,

所以—5n=6+2X(22+23+•■•+2n)-(2n+l)2n+1

=6+2x22；警-(2n+l)2n+1=(1-2n)2n+1-2,

故％=(2n-l)2n+1+2.

5.(2023秋・甘肃天水•高二期末)已知等差数列｛an｝的前〃项和为上,neN*,条件①:=4；

条件②：an+1-an=2-,条件③：S2=6,请从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已

知，先写出选择条件再完成以下解答.

(1)求数列｛5｝的通项公式；

(2)设等比数列彷„｝满足为=a2,b4=a4,求数列｛斯+6n｝的前〃项和7\.

【解题思路】(1)设数列公差为d.若选①②，贝14,可得通项；若选②③，则

d2

Ln",1可得通项；若选①③,贝可得通项；

(2%+a=612的+d=6

（2）由（1）可知6^=2〃，则可知6rl=2吁1,后由分组求和法可得答案.

【解答过程】（1）选①②，由已知。2=4,厮+i—册=2,得［ai］d；4,解得［^=5,

,数列是首项为2,公差为2的等差数列，

；・数列｛%J的通项公式为=%+（几一l）d=2+（n-l）x2=2n.

选②③，由已知厮+1-厮=2,52=6,得｛2%%2=6,解得｛1二:，

二数列｛0｝是首项为2,公差为2的等差数列,

・,•数列｛&J的通项公式为册=%+（九一l）d=2+（九一1）x2=2n.

选①③，由己知。2=4,S2=6,得｛羡;‘二；，解得｛1二；，

数列｛5｝是首项为2,公差为2的等差数列，

；・数列｛。九｝的通项公式为由I=%+（九一l）d=2+（九一1）x2=2n.

（2）由（1）知，an=2n,/.b3=a2=4,b4=a4=8,

.•.等比数列面｝的公比q=1=2,故与=,=：=1,

...等比数列｛%｝的通项公式为g=瓦q"T=2标1,

n-1

数列｛%i+bn｝的前n项和加=（2+4+6+,,•+271）+（1+2+4+…+2）

6.（2023春•安徽•高二阶段练习）在①S7+58=64；②a4,£^+2成等比数列；③Sn-

几与=手.这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并进行解答.

已知各项均为正数的等差数列的首项的=1,.

（1）求数列｛5｝的通项公式；

（2）若g=3而—3an,求数列｛加｝的前n项和录.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】（1）选①②利用等差数列的基本量求解即可；选③利用等差数列的通项公式和

求和公式即可.

（2）利用等差数列和等比数列的求和公式，分组求和即可.

【解答过程】（1）设｛即｝的公差为d,：S7+S8=64,.^ai+Td+gai+^duG%

解得d=1,

••Q九=Q]+（九l）d=TL.

选②

因为+2成等比数列,所以位=a2-(a6+2),

又Qi=l,设｛a九｝的公差为d(d>0),所以(l+3d)2=(l+d)(l+5d+2),解得d=1或

d=-l(舍),

所以册=%+(几一l)d=n.

选③

设｛即｝的公差为d,

22

..rn-n..n(n-l)»「.父］n-n

・Sn-TlCLn——~―,••TICL-yd------u—711al+(71—IjaJ——--,

口口.n(n-l),/,n-n2,n-n2.,4

即几H-----d—71—Ti(n—l)d=---d=---,••d=1,

an=ar+(n—l)d=n.

n

(2)因为bn=3a皿-3an=3—3n,

数列｛3吗是首项为3,公比为3的等比数列，数列｛3n｝是首项为3,公差为3的等差数列，

所以*=噜2_3x硬普=丝竹上.

7.(2023春•甘肃兰州•高二开学考试)在①的，a2+l,是公差为一3的等差数列；②满

足+2a7,且=:这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.

4

已知各项均为正数的数列｛斯｝是等比数列，并且__________.

(1)求数列｛5｝的通项公式；

(2)设篇=。2小记片为数列｛'｝的前力项和，求证：Sn<y.

【解题思路】(1)若选择条件①，利用等差定义建立等比数列项的关系，计算基本量即可求

等比数列通项，若选择条件②，利用等比数列通项公式建立方程，求公比及通项公式；

(2)利用等比数列求和公式求出数列｛g｝的前力项和，结合数列的有界性求范围.

【解答过程】(1)等比数列｛an｝的公比为q9>0),

若选择条件①，因为的,a2+l,是公差为一3的等差数列，所以［即+1=：：一3

叫aiQ+1=ai-3解得，i一『所以=n-i=8x0…=24f.

zn

karq=｛arq+1)-3(q=-,")

s6

若选择条件②，由劭=。6+2a7,可得由q4=arq+2arq,因为由W0,所以2/+q-1=

0,

解得q=［或9=一1(舍去)，又因为恁=不

n61建一64-n

所以%=Qiq九t=a6q~=[x(J=2.

(2)由(1)可知厮=24E,所以匕=a2n=2-23所以41=孤=[，

所以数列是以瓦=口2=4为首项，；为公比的等比数列，

4

所以％=烂=置1—()]=当一三乂口:三

4

8.(2023•全国•高二专题练习)在①as=9,②Ss=20,③a2+a9=13这三个条件中选择两个,

补充在下面问题中，并进行解答.已知等差数列｛即｝的前几项和为无,nGN*,,.

(1)求数列｛a"的通项公式；

(2)设m=求数列｛与｝的前几项和

anan+i

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

【解题思路】(1)根据｛%J是等差数列，设出公差为d,选择两个选项，将首项公差代入，解方程组,

即可求得基本量，写出通项公式；

(2)根据(1)中的通项公式，写出｛'｝的通项，利用裂项相消即可求得前n项和%.

【解答过程】(1)由于｛即｝是等差数列，设公差为d,

当选①②时他：""=黑，解得｛空,

(55=5al+10a=20Id=1

所以｛%J的通项公式册=2+(n—1)x1=71+1,716N*.

选①③时：[:广学:工U1R解得将二，

+。9—2al+9d—131d—1

所以｛a九｝的通项公式。九=2+(九一1)x1=n+1,九EN*.

选②③时:15%：10d=20，解得詈=2,

(。2+。9=2al+9ct=13Ia=1

所以｛%J的通项公式=2+(九一1)X1=n+1,几EN*.

(2)由(1)知,a九=几+1,几EN*,

所以力=-1-=___1___=-1_____?_

n5

anan+1(n+l)(n+2)n+1n+2

所以加=…+(去_+)

11_n

2n+2-2(n+2)*

9.(2023・全国•高三专题练习)在①q=d,②q•d=4这两个条件中选择一个补充在下面的

问题中，然后求解.

设等差数列｛厮｝的公差为d(deN*),前〃项和为5„，等比数列也｝的公比为q.已知瓦=的,

b2=2,.Si°=100（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择

并求解的，只按选择的第一种情形评分）

（1）请写出你的选择，并求数列｛厮｝和｛g｝的通项公式；

⑵若数列｛%｝满足％=詈，设&｝的前”项和为心，求证：Tn<6.

【解题思路】（1）由等差数列、等比数列的基本量代入方程组求解即可.

（2）运用错位相减法求和即可.

【解答过程】(1)由题意知，a.=a[+(n-l)d,“=biq"T,Sn=71al+吗0d,

选①，由题意知，deN*,

‘瓦=a['a[=1

瓦0=20al+9d=20J瓦=1

1q=d=jaid=2njd=2，

(lOciiH---d—100VQ=2

n-1n1

所以册=的+(n—l)d=2n—1,bn==2,即：an=2n-1,bn=2~.

选②，由题意知，deN*,

，瓦=a[g=]

瓦q=2(2ar+9d=20I=1

<qd=4nq"=2=建2，

10ai+等d=100dIQ=2

n-1n-1

所以的=%+(ri—l)d=2n—1,bn=瓦qnT=2,即：an=2n—1,bn=2.

（2）证明：由（1）得cn=黑,

3579…+裂①，

・・Tn=1+5+天+万+三+

lTn=[+/+奈+(£+…+②'

111

5-2h2X52?1—12?1+3

①一②得：|7^=2+1+^+•,,+^7-^7^=2+—3

2n2n

・36-落

又•.•对VneN*,竽>0恒成立,

Tn<6.

10.（2023春•江苏泰州•高二阶段练习）记数列｛即｝的前〃项和为目,已知。2=

3,.

请从①an+i—2Sn=1；②即+i—2即=3"-1；③%+[=3S”+1中选出一个条件，补充到

上面的横线上，并解答下面的问题：

(1)求数列｛5｝的通项公式:

⑵记数歹山中威+会)｝的前n项和为荒，求证F.

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【解题思路】(1)选①，根据数列递推式求得首项，再可得当nN2时，an-2Sn^=1,

即可推出即+i=3与，即可求得数列通项公式；选②，求出首项，将%-2厮=3"-i变

为赛-；|第-，即可推出费-；0,求得数列通项公式；选③,根据的关系

可求得皿=3,结合首项，即可求得答案.

an

(2)利用(1)的结论，可求得，,,、的表达式,利用裂项相消法求得"，即可证

(an+ai)(an+i+ai)

明结论.

【解答过程】(1)选①厮+1-2Sn=1,则当n=1时，a2-2sl=1,.'.3-2at=1,=1,

当n>2时，an-2Sn_t=1,和%1+1-2Sn=1相减得与+i=3an,

由于(i2=3,%=1,可知a”#。，故等i=3,笠=3也适合，

故｛a“｝为首项为1,公比为3的等比数列，则即=3皿-1；

选②册+i-2%1=3"T,则当n=l时，a2—2a1=1,；.%,=1,

由ai—2a-3…可得豁=|*+[,即黯一；|像一，

由于W—=。，可得矍4=0,依次类推可得鬻一？=。，

33/33"3

故时=3n-1；

选③S^+i=3Sn+1,则当=1时,3+的=3aL.>•%=1,

当几>2时,Sn=3s71T+1,则S九+1-sn=3(Sn-S九an+1=3an,

由于劭=3,。1=1,可知出1H0,故誓资=3也适合，

故｛4｝为首项为1，公比为3的等比数列，则册=3九一1；

(2)由(1)可得—)(£+1+%)=(3"-1+1)(3"+1)=2(3"T+1-3"+P'

故&=|t_3+(3一劫+_+(^^_/)]

=...-)<-

2、23n+l74

11.(2023秋・浙江宁波•高二期末)在①%=4+2n；②=7,a2+46=18；③%=3怎=

35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

问题：已知等差数列｛aJSn为其前W项和，若.

(1)求数列｛5｝的通项公式；

(2)设篇=」一OieN*),求证：数列｛篇｝的前〃项和〃<:

anan+l3

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】(1)选①由与与治的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公

式求解即可；(2)由(1)可得“-/，利用裂项相消法证明即可.

【解答过程】(1)若选①：在等差数列｛即｝中，的=S1=3,

22

当n>2时，an=-Sn_t=n+2n—(n—l)—2(n—1)=2n+1,

的也符合，

••G-fi=271+1;

若选②：在等差数列｛厮｝中，

..[=7

(a2+%=18'

4煞非;8,解得修二

••・册=a1+(n—l)d=3+2(n—1)=2n+1；

若选③：在等差数列｛&J中，

'｛$5=5的+辞d=35，解得｛d=2

•••an=at+(n—l)d=3+2(n-1)=2n+1；

211

(2)证明:由(1)得“=

(2n+1)(271+3)2n+l2JI+3'

所以7^=----1------H-----------=-------V-.

7135572n+l2n+332n+33

12.(2023秋•江苏苏州•高二期末)在①S3=9应=25；②d=2,且£$,54成等比数列;

③%=3/-2n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.

记等差数列｛an｝的公差为d,前n项和为无,已知.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)令%=求数列｛与｝的前几项和的.

anan+l

【解题思路】(1)若选条件①，即可得到关于的、d的方程组，从而求出的、d,即可得解；

若选条件②，依题意可得废=S「S4,即可求出即可得解；

若选条件③，根据与=［s^n=i作差计算可得；

国-Sn_r,n>2

（2）由（1）得到｛小｝的通项公式，再利用裂项相消法计算可得.

【解答过程】（1）解：若选条件①，（1）由题意得',解得［作=），

15%+5Xza=25Id=2

得册=l+（n-l）x2=2n-l,所以数列｛&J的通项公式为Q九=2n-1.

2

若选条件②，依题意，由货=Si•S4,得（2%+2）=%•（4%+12）,解得的=1,

又因为d=2,所以%i=1+（几—1）X2=2几一1,

所以数列｛册｝的通项公式为册=2n-l.

若选条件③，当几=1时，的=Si=1；

22

当九>2时，an=Sn-Sn_1=（3n—2n）—［3（n—l）—2（n-1）］=6n—5.

因为的=1满足上式，所以数列｛即｝的通项公式为“=6几一5.

（2）解：选条件①②，

由m知g="；（2n+l）=圭-

则&=（1—工）+0一"+...+p-----=1--,

71\3/\357\2n-l2n+l/2n+l2n+l

所以数列｛5｝的前n项和7；=嘉..

若选条件③，由（1）矢叫=-许=：（熹-高），

则心=T（i_｝）+（｝—£）+…+（熹—焉）］=总—七）=悬，

所以数列｛,｝的前n项和约=悬.

13.（2023秋•江苏宿迁•高二开学考试）已知正项等比数列｛%J的前n项和为%,的=2,且

请在①S2+53=20；②S2是a2与a?的等差中项；③2a2+a3=16,三个条件中任选一个补

充在上述横线上，并求解下面的问题：

（1）求数列｛5｝的通项公式；

⑵若6n=（n+l）log2an,求数歹!）｛哥的前几项和6

【解题思路】（1）根据等比数列基本量的计算即可逐一求解，

（2）根据裂项求和即可求解.

【解答过程】（1）选①:当q=l时，不符合题，

当gwi时，。1(1一“2)+八式1-泗=20贝产1•_q)a+q)+2(—q)(i+q+q2)=20,

q2+2q—8=0,故(q-2)(q+4)=0,则q=2(负值舍去)，则册=2"；

选②:由题知2(a1+g)=%+。3即q?—q—2=0,有(q—2)(q+1)=0,即q=2(负值舍

去，那么a九=2n；

2n

选③:2cliq+arq=16即q?+2q—8=0,同①有a九=2

(2)n

bn=(n+l)log22=n(n+l),则2=花%=:三，

T1,11111,111,1111n

“%匕2%223nn+1n+1n+1

14.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛即｝的首项为1,前n项和为无,且满足.

①a2=2,an+2—an=2；②2sli=(n+l)an；③nS^+i=(n+2)Sn.

从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：

⑴求a„；

⑵求数列｛就日的前n项和兀

【解题思路】(1)当选①时，分n为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根

据％与册的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得至U｛需J是常数数列，从而得到

结果；

(2)根据题意，由裂项相消法即可得到结果.

【解答过程】(1)选①

因为厮+2—an—2,所以当n为奇数时，an—a-y+2x—^―=n；

同理，当n为偶数时，an=a2+2x?=加

所以的!—71.

选②

因为2s九=(几+1)。九，(*)所以当九之2时，2s九_1=几。九T，(**)

(*)-(**),得5—1)67=mz…，即浮=受，

所以数列｛号是首项为1的常数列，

所以a九=n.

选③

因为咻-=5+2后，所以合丁=品,所以数歹打岛』是首项为刘勺常数列,

所以S九=吗+1),所以当几之2时，an=Sn-Sn-1="7)-S；"=n.

当71=1时，也符合上式.所以。九=九.

(2)由(1)得，==),

anan+2n(n+2)2\nn+2/

所以二二(1—二+工一工+工一三+…+工一一-)-if----——

n2\32435nn+272\2n+1n+27

15.(2023秋•重庆九龙坡•高二期末)已知数列｛厮｝的前〃项和为%,且与+i=Sn+an+1

(neN*),.请在①(23+(29=14：②a2,a5,a11成等比数列：③S&=44,这三个条

件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第

一个解答计分.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)若砥=聚，设数列也｝的前〃项和及，求证：1W&<3(neN*)

【解题思路】(1)先根据Sn+i=Sn+an+1推出数列｛的J为等差数列，公差d=1.若选①,

根据等差中项求出。6,再求出%，根据的和d可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求

出的,可得即；若选③，根据等差数列求和公式列式求出的，可得厮.

(2)利用错位相减法求出心,根据等为正数，得%<3,根据〃为递增数列，可得7；>T1=1.

【解答过程】(1)由S九+i=S九+<1rl+1,得%+i—S九=an+1,得Q九+i—a九=1,

所以数列｛。九｝为等差数列，公差d=1.

若选①，因为03+=14,所以2a6=14,a6=7,

所以%=的+5d=7,%=2,

所以=的+(TI—l)d—2+71—1=71+1,

若选②，因为02，。5，的1成等比数列，所以磅=a2a11，

所以+4d)2=(a1+d)(Q]+10d),所以(a1+4)2=+1)(%+10),

所以的=2,所以a九=%+(几一l)d=2+M-1=几+1.

若选③，因为Sg=8%+等=44,所以%=2,

所以a也—%+(ri—l)d=2+?i—1=九+1,

(2)由(1)知，an=n+1,则%=~~，

则7k=最+[+[+…+等'

几=4+2+5+…+*

2712223242n+1

所以7k一孔=1+/+套+/+…+/—笫1

所以1&=1+这字—罪，

2

所以加=3—穿，因为等为正数，所以乃<3,

2n+6-n-4n+2八

因为〃+l—7“=3-黑—3+穿2“+[=布＞°，

所以与+1>Tn，所以数列｛6｝为递增数列，

所以*271=3-1=1,

综上所述：1<〃<3(neN*).

2

16.(2023秋・天津红桥•高二统考期末)在①%=n+2n；②的=3,a3+cz5=18；③的=3,

S6=48.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.

问题:已知S”为等差数列的前几项和，若.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设配=号⑺eN*),求数列｛%｝的前几项和，T.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】(1)若选①，利用即与为关系可推导得到与；若选②，利用等差数列通项公

式可构造方程求得公差d,进而得到与；若选③，利用等差数列求和公式可构造方程求得公

差d,进而利用等差数列通项公式求得an；

(2)由(1)可得时,采用裂项相消法可求得

【解答过程】(1)若选条件①，当几=1时，%=S]=3；

22

当九>2且九GN*时，an=Sn-S九t=n+2n—(n—l)—2(n—1)=2n4-1；

经检验：4=3满足a九=2n+1；

•••an=2n+l(nEN*)；

若选条件②，设等差数列｛&J的公差为d,则的+的=2al+6d=6+6d=18,

解得：d=2,/.an=3+2(n-1)=2n+1；

若选条件③，设等差数列的公差为d,则S6=6ai+—d=18+15d=48,

解得：d=2,・,.a九=3+2(n—1)=2n+1.

(2)由(1)得：垢=品三4_1__1

4n(n+l)nn+l，

1111+1工1_]1n

〃=1一

22334n-1nnn+1n+1n+1

17.(2023春・湖北•高二阶段练习)已知数列的前"项和为无，且Sn+1=Sn+an+l,

，请在①+%_5=20；②。2，a5,1211成等比数列；③520=230,这三个条

件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

⑴求数列｛即｝的通项公式；

(2)若勾=斯—1,求数列｛2"•%｝的前n项和勒.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分..

【解题思路】首先由无+1=Sn+%+1,可得为首项为由，公差为1的等差数列.

对于(1),当选①②时，代入％,=%+71-1,可得数列｛厮｝的通项公式，若选③，

由量=71%+也衿可得数列｛%｝的通项公式；

对于(2),由(1)可知e=%—l=n，则2n-勾=2叫小后利用错位相减法可得答案.

【解答过程】(1)S九+1=Sn+an+1,所以%+i—S九=%+1,即QJI+I=(zn+1,

所以数列是首项为的,公差为1的等差数列.

若选①：由的+ais=20,得%+2d+a1+14d=20,即2al=20—16d,

解得的.=2.所以%i=的+(几—l)d=2+(n—l)xl=n+l,即数列｛a九｝的通项公式为

a九=九+1,nGN*.

若选②：由成等比数列，得Si+4d)2=(%+4)(%+10d),

解得—2,所以。九=+(几一l)d=2+(TL—1)Xl=71+1,TiGN*.

若选③：因为$20=20%+三丝xd=20ai+190d=230,解得%=2,

所以a九=%+（71—l）d=2+（71—1）x1=n+1,TiGN*.

n

（2）bn=an-1=n,则2九-bn=2-n,

则"=1•2】+2•22+3•23+…+展2TS27^=1-22+2•23+3•24+-+n-2n+1,

71nn+1

两式相减得：-7；=2+22+23+24+…+2-n•2+=生三-n-2,

故〃=2+（n-l）2n+1,n6N*.

18.（2023・全国•高三专题练习）设首项为2的数列｛an｝的前"项和为无,前w项积为荒，且

满足.

a

条件①：O-n+l~~^~n+^+1;条件②：Sn=an;条件③：Tn+1=—^-ctnTn.

请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题:

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)求证：数列｛蠢｝的前〃项和＜i.

参考公式：12+22+32+-+n2=-n(n+l)(2n+1).

6

【解题思路】(1)选择①，由条件证明｛詈｝为等差数列，结合等差数列通项公式求｛G｝的通项

公式；

选择②，由条件，结合分,厮关系，证明W=安，利用累乘法求数列的通项公式；

an-l九一1

选择③，先证明梃八，由此得二%为常数，再求数列｛即｝的通项公式；

(，n片+l)(n+2)n(n+l)n(n+l)n

(2)求与,利用裂项相消法求用小由此完成证明.

【解答过程】(1)若选择条件①：因为即+1=3即+n+1,所以安-回=1,又?=2,

所以数列｛詈｝是首项为2,公差为1的等差数列.

所以资=2+(九一1)X1=ZI+1,所以即=H(71+1).

若选择条件②：因为%=口-。九，所以3szi=(九+2)即.

当71Z2时，3azi=3S九—3szi-1=(几+2)。九一(九+l)c1rl_r整理得，——=—，

a_i_na_n+1

所以%=七，%=3,回=三nn

1a22a33an-2九一2'an-in-1

累乘得，％=迎里2,

ar1x2

当71=1时，ar=2,符合上式,

所以%i=n(ji+l)(neN*).

若选择条件③：因为*=詈即加所以.f+尸詈即，即鬻

所以五』=右,所以数歹可就小为常数歹U，

又，、二L所以即册=71(九+1).

lx(l+l)n(n+l)a

2

(2)由(1)知：an=n+n,结合参考公式可得$n=(12+22+32+…+/)+Q+2+3+…

+n)=-n(n+l)(2n+1)+=-n(n+l)(n+2)

623

所以工=——-——=~\—........1

3Snn(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2)J

所以M九=--------1----------1—H--------------

71211X22X32X33x4n(n+l)(n+l)(n+2)J

=in__________J_____1=11-1

2L1X2(n+l)(n+2)J42(n+l)(n+2)4

19.(2023秋・北京朝阳•高二期末)已知｛须｝是等差数列，其前〃项和为右(7iEN*),ai=

l,a5=9.

⑴求数列的通项公式及治;

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列｛砥｝的前〃项和7；•

a

条件①：bn=2-,

n

条件②：bn=2+an；

条件③：b=―--.

nan'an+l

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】(1)根据等差数列的通项公式和求和公式即可求解;

(2)根据等比数列求和公式、分组求和方法、乘公比错位相减法即可分别求解.

【解答过程】(1)设数列｛斯｝的公差为d.

QI—1f(Z5=9,

4d=瓯—&=9-1=8,

(1=2,

=L

所以％=l+(n—l)x2=2n—1,

所以％="迦=".

2711

(2)若选①：bn=2。"=2-,

1352n122n+2

Tn=br+b2+...+bn=2+2+2+...+2-=2f=^-

n

若选②：bn=2+2n—1,

〃=瓦+%+…+%=(21+22+...+2n)+[1+3+5+…+(2几—1)]=202)+

1—2

[l+(2n-l)]n=2n+1_2+n2

1

若选③：b=---

nan'an+l(2n-