2023-2024学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二年级上册期中联考数学试题（解析版）

2023-2024学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二上学期期中

联考数学试题

一、单选题

1.直线X—百＞一1=0的倾斜角是（）

7C7T57r27r

A.—B.—C.—D.—

6363

【答案】A

【分析】求出直线的斜率，进而求出倾斜角.

【详解】直线x-6y-l=0的斜率是手，设倾斜角为。式。,兀），

解得

6

故选：A

2.某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查,

若样本中有5名女生.则样本中男生人数为（）

A.4B.5C.6D.9

【答案】A

【分析】设出未知数，根据比例关系列出方程，求出答案.

【详解】设样本中男生人数为尤，由题意可得三=77土高，解得x=4.

故选：A

3.在平行六面体中，若DM=：DR,则MB=（）

A.-A^+AD-ABB.-^AA^AD+AB

2_______9一—•-.

C.--AA.+AD-ABD.-AA.-AD+AB

【答案】B

【分析】根据空间向量基本定理可得答案.

【详解】MB=DB-DM=AB-AD-^DDl=-^AAi-AD+AB.

B

故选:B.

4.已知向量J=3,人=（2,0）,k+.=1,则4与6的夹角等于（）

兀一兀一27r57r

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】D

【分析】求出|。|=6，忖=2,卜+可=1两边平方后，得到cos*-乎，求出夹角.

【详解】因为J=3，匕=（2,0）,所以问=括，忖=2,

设4与b的夹角为。40,可,

|<7+&|=1,贝”4+^=J（q+Z?）=+2a-b+b=^3+2|o|-|z?|cos^+4,

故3+2A/^X2COS6+4=1,解得cos6=-^^,

2

解得e=?571,

o

故选：D

5.甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为了，方差为SZ,乙同学不小心丢

掉了一个数据，得到的均值仍为了，方差为2,则下列判断正确的是（）

A.52=2B.S2>2

C.S2<2D.S?与2的大小关系无法判断

【答案】C

%q2

【分析】根据题设知丢失的数据为了，结合方差公式有0=2,即可得答案.

n-1

【详解】由题意知，丢失的数据为了，才可保证甲乙得到的均值相等，

结合方差公式S=/x—y+H-可2++（x“一可〔，n>2,

所以乙所得方差S'2=互=2,即52=迎心<2.

n-1n

故选：c

6.已知圆C：（%-叶+,2=4,直线/：%—枢y+2%=。与圆。相交于两点，若圆C上存在点尸，使

得人口为正三角形，则实数机的值为（）

44

A.m=----B.m=—

33

44

C.根=一耳或根=0D.根=§或相=0

【答案】C

【分析】由题意可得/BC4=120。，进而得到圆心C到直线A8的距离为1,进而根据点到直线的距

离公式求解即可.

【详解】由圆。：。-1）2+丁=4,则圆心C（l,0）,半径r=2,

因为圆C上存在点P,使得，ABP为正三角形，即4BB4=60。，

贝UN3c4=120。，故圆心C到直线AB的距离为？••COS6（T=2XL=1,

2

11+2ml4

则J=1,解得相=一；或帆=0.

y/m-+13

故选：C.

7.棱长为2的正方体ABC。-4月£。中，点N在以A为球心半径为1的球面上，点M在平面A8CD

内且与平面ABC。所成角为60,则M,N两点间的最近距离是（）

A.2亚一与B.20-子一1C.2A/3-1D.252近

【答案】B

【分析】根据线面角求出CMM在以。为圆心毡为半径的圆上，结合图形可知，当

33

N都在正方形A8CD内，且与AC共线时，M,N两点间的距离最小，从而求出最小值.

【详解】因为点M在平面ABCD内，且CM与平面A3CZ）所成角为60,

可得生=tan60。，又正方体ABCD-ABC的棱长为2,

CM

解得CM=毡，

3

所以M在以C为圆心毡为半径的圆上，

3

则当M,N都在正方形ABC。内，且与AC共线时，M,N两点间的距离最小，

又因为AC=20,

所以最小距离为20-毡-1.

3

故选：B

8.第19届亚运会的样物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同

类吉举物完全相同，无区别），若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同

类吉祥物挂件的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4577

【答案】B

【分析】将挂件两两一组看成6个个体，先求出分个3位同学的种数，再求出有一位同学得到同类

吉祥物挂件的种数，即可求解.

【详解】令6个挂件分别是A，4，a，&，G，Q,

则把这6个挂件分给3位同学，共有C；C；砥=90种情况，

恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的有C；C；C；C；=36种，

恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是禽=|.

故选:B.

二、多选题

9.已知复数z满足z（l-6）=2,则（）

A.复数z在复平面内对应的点在第三象限B.复数z的模为1

C.z=-D.复数z虚部为立i

z2

【答案】BC

【分析】先根据复数的除法运算求出复数z,再根据复数的几何意义即可判断A；根据复数的模的

计算公式即可判断B；根据共辗复数的定义即可判断C；根据复数的虚部的定义即可判断D.

【详解】由z（l-四）=2,得=2„i）卜率,

''1-V31（1-V3i）（l+V3i）22

（1下'

复数Z在复平面内对应的点5,事在第一象限，A错误；

_1V3.122(1-打)16

z———]——--------------------------------———-----।C正确;

22z1+y[3i(1+—V5i)22

复数z虚部为无，D错误.

2

故选：BC.

10.地掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示：“点数不大于2”，等件8表示：“点数大于2”，事件C

表示：“点数为奇数”，求件。表示：“点数为偶数”，则下列说法正确的有（）

21

A.P（A+C）=-B.P（AD）=-

C.事件A与。相互独立D.事件A与B互斥不对立

【答案】AC

【分析】根据事件的关系和运算及相互独立事件与互斥事件的定义一一判断即可.

【详解】由题意:事件A表示出现的点数是1或2；

事件8表示出现的点数是3或4或5或6；

事件C表示出现的点数是1或3或5；

事件。表示出现的点数是2或4或6.

49

所以AUC表示出现的点数为1或2或3或5,贝UP（A+C）=x=],故A正确；

A。表示出现的点数为2,则尸（4。）=：,故B错误；

6

731

由尸（A）尸（。）=%乂%=%=尸（4。）得事件4与。相互独立，故C正确；

显然事件A与8互斥且对立，故D错误.

故选：AC

11.若A,B是平面内不重合的两定点，动点尸满足鲁=左（左＞。，左ND,则点尸的轨迹是一个圆，

该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点4（-3,0）,5（3,0）,动

点尸满足方丁=2,点尸的轨迹为圆C,则（）

rD

A.圆C的方程为（x-5）2+y2=16

B.设动点尸（〃"”），贝|加+/一6〃7—8〃的最大值为20

C.若尸点不在x轴上，圆C与线段交于点。，则尸。平分

D.PAPB的最大值为72

【答案】ACD

PA

【分析】设点尸（X，y）代入关系式方=2,化简可得尸（x,y）的轨迹方程为一个圆，可判断A；利

用疗+〃2-6租-8〃=（m-3y+（〃-4）~-25,化为圆心C到点（3,4）的距离加上圆C的半径后，再平

方再减去25即可判断B；根据阿波罗尼斯圆结论判断。是否为线段A2内分点即可判断C；根据

鬟=2,将转化为PAPB=2网忸4NAPB,当A,尸,8三点共线时得出最大值即可判断

D.

【详解】设尸（x，y）,嘿=2得(x-5)~+y~=16,故A正确;

由题可知rrT+n2—6m—=—3）2+（〃-4）?—25,

故疗+n2-6m-8n的最大值为圆C上的点到点（3,4）的距离的平方减去25,

即圆心C到点（3,4）的距离加上圆C的半径后，再平方再减去25即可,

因为圆C上动点尸到点（3,4）的距离最大值为4+2逐，

所以（,7-3）2+（“—4）2-25的最大值为166+11，故B不正确；

因为。为圆C与线段A3的交点，所以设。（4。），且-34再43,

所以。1,0,因为-^=《『=2,所以。是线段A3的内分点，所以尸。平分NAPB,故C正确;

力2rtf

PA

因为PAPB=|叫.网.cosZAPB,=2,

PB

所以PAPB=21PB^PB\ZAPB,

当A,尸,5,C四点共线时，cosZAPB=l,且|P8|有最大值为6,

所以PAPB的最大值为弘PB=2网忸B卜x=,故D正确.

故选：ACD.

12.已知正四面体A-BCD的棱长为2,点M,N分别为ABC和△ABD的重心，P为线段CN上一

点，则下列结论正确的是（）

A.四点不共面

B.若CP=3PN,则DPJ_平面ABC

C.过点C,M的平面截正四面体A-BCD外接球所得截面面积为q

D.正四面体A-BCD内接一个圆柱（即此圆柱下底面在底面3C£＞上，上底圆面与面4?。、面

ABC,面AC。均只有一个公共点）则这个圆柱的侧面积的最大值为叵

3

【答案】BCD

【分析】对于选项A可由点M,N为重心得到FM黑=黑FN=进1而可得祢V//CD,则选项A可判

MCND2

定；取DM与CN交于点P,由MN〃CD得到M署N=需P'M=P]'N^=31,可得P与点P重合，则选项

B即可判定；找到球心，由勾股定理球的半径即可判定选项C；设圆柱上底面所在截面的正三角形

的边长为无，再用求高和底面半径，用x表达，利用体积公式构建函数，求得最值即可判定选项D.

【详解】如图取线段A3的中点E,连接CE,DE,MN,

D

则点M,N分别在线段CE,DE上,

又点M,N分别为ABC和△ABD的重心，

EMEN1

所以指=而=5，

则MN〃CD,可得M,N,C,。四点共面

故选项A不正确；

连接八暇，设DM与CN交于点P,因为在11cDE中MN〃CD,

且点M,N分别为4ABe和△ABD的重心，

则由题意可知当CP=3PN时点P与点尸重合，即此时点尸在线段。M上,

又三棱锥A-BCD为正四面体，则M为底面ABC的中心，

因此，工平面ABC,即DP_L平面ABC,即选项B正确；

由选项B知，当CP=3PN时，£＞尸，平面ASC,

正四面体A-3co的外接球的球心为P,

故过点C,M的平面截正四面体A-BCD外接球所得截面面积为兀=y,

即选项C正确；

棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体ABCD内接一个圆柱的上底面,

A

若截面所成正三角形边长为xe(O,2),

则圆柱体的高/z=Ao{l-£|=圆尹1,

圆柱底面半径为r=—x^-x=-^-x,

326

所以其侧面积

6333

故当x=l时，S”号兀,则D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.已知圆台。Q的上下底面半径分别为1和2,母线与下底面所成的角为60,则该圆台的表面积

为.

【答案】11兀

【分析】根据圆台的表面积，即可求解.

【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为八R,母线长为/,则厂=1,尺=2,

I=(2-l)-rCOs60=2,

贝!I圆台的表面积S=7TX12+7IX22+71x(1+2)x2=1171

故答案为：11兀

14.圆V+y2-4=0与圆V+y2一4苫+4丫-12=0的公共弦的长为.

【答案】2&

【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆/+/_4=0的圆心到相交弦所在直

线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.

【详解】将圆f+丁-4=0与圆/+/一4》+4、-12=0的方程作差可得尤一＞+2=。,

所以，两圆相交弦所在直线的方程为x-y+2=o,

圆炉+y2-4=0的圆心为原点。，半径为厂=2,

原点O到直线x—y+2=0的距离为4=*=应，

所以，两圆的公共弦长为2,户-屋=20.

故答案为：

15.正方体A8C。-A4G。的棱长为血，点E,6分别是线段A，、AG上的动点，则族+RS的

最小值为________

【答案】W1

3

【分析】将平面ACG沿直线AG折起使得点4、c、C、2四点共面，过点C作A2的垂线，分别

交AA和AC]于点E和尸点（即c,E,尸三点共线），此时EF+FC取最小值CE,设CE=x,利用

勾股定理可得答案.

【详解】将平面ACG沿直线AG折起使得点A,C,G，。四点共面，

过点C作AS的垂线，分别交AQ和AQ于点E和尸点（即C,E,尸三点共线），

此时EF+"取最小值CE,

2

设CE=x,则AE=JAC?_CE。=“-d,DlE=2-yl4-x,

由（CE-CRY+DE=CC；,即（x-+（2-J4一无2/=（也『，

解得x=逑，即跖+尸C的最小值为逑.

33

故答案为：逑.

16.已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=l,从坐标原点。向圆C作两条切线OP,OQ,切点分别为P,Q,

若NPOQ=],则|。一人+3|的取值范围是.

【答案】［3-20,3+2应］

【分析】根据（0,0）到直线距离范围得出（a/）到直线距离范围，再得出点到直线距离与-6+3|关

系得出范围.

|JT

由题可知=尸在Rt^COQ中，CO=2,即/+无=4,

26

（a,6）所在轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆上，

（0,0）至U直线无一、+3=。的距离为等，

则（“，6）到直线x-y+3=0的距离为卜£一2,华£+2,

（a，9到直线x-y+3=。的距离也可表示为d'=忖哭3,\a-b+3\=y/2d',

可得,-匕+3］的取值范围是［3-20,3+2&］.

故答案为:[3-2夜,3+20].

四、解答题

17.某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户

居民月均用电量标准。，用电量不超过。的部分按照平价收费，超出部分按议价收费.为了确定一

个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查（单位kW?h）,并绘制了如图所示的频

率分布直方图：

频率/组距

0.0060...........1——

x-----------------------------

0.0036--------——

0.0024----p---------------------

0.0012--------------------------——

ol——————————————----------->

050100150200250300350月用电量/(kW-h)

⑴求尤的值：

(2)求被调查用户的月用电量平均值：(同一组数据用该区间的中点值作代表)

(3)若使85%居民用户的水费支出不受影响，应确定。值为多少？

【答案】(1)0.0044

(2)186

(3)262.5

【分析】(1)直接根据概率和为1计算得到答案.

(2)直接根据平均值公式计算得到答案.

(3)确定85%分位数在250300之间，计算得到答案.

【详解】(1)(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)x50=1,解得x=0.0044；

(2)x=75x0.0024x50+125x0.0036x50+175x0.0060x50+225x0.0044x50

+275x0.0024x50+325x0.0012x50=186；

(3)(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)*50=0.82<0.85；

(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024)x50=0.94>0.85；

故85%分位数在250300之间，设为a,

0.0024x50+0.0036x50+0.0060x50+0.0044x50+0.0024x50xa-250=0.85,

50

解得a=262.5.

18.在平面直角坐标系X。'中，己知两直线4：x+y-l=。和4：2x_y=0,定点A。」〉

(1)若直线4恰好为ABC的角平分线8。所在的直线，直线4是中线CM所在的直线，求"C的边

所在直线的方程：

(2)若直线/过点A与直线4在第一象限交于点P，与x正半轴交于点。，求当△尸。。的面积最小时

直线/的方程

【答案】⑴x=0

（2）x=l

【分析】（1）求出A（L1）关于直线4的对称点A（O,O）,设B（a,b）,表达出A2的中点，代入直线方

程求出3（0,1）,结合点A，在直线上，所以加的方程即为8C方程，求出答案;

（2）考虑直线/的斜率不存在和存在两种情况，表达出△POQ的面积，求出最值，得到答案.

【详解】（1）设点A（U）关于直线4的对称点为A'（x,y）,

则线段A4'的中点在直线乙上，且直线A4'与直线乙垂直,

x+1y+1

+-1=0

22x=0

,解得

y=0'

-y--—--1X

故A'（O,O）

a+\b+1

设点3（〃力），则A3的中点M

22

把点8、点M分别代入直线4，4得,

a+b-\-0

〃=0/、

a+1b+1,解得RI,故8。」,

2---------------二0b=l

22

因为4是角8的平分线，所以点4在直线BC上,

所以明'的方程即为8c方程：尤=0；

（2）①直线）的斜率不存在时，Z:%=LP（L2）,2（1,0）,此时以p°Q=l,

②当直线/的斜率存在时，显然斜率不为0（此时与x无交点）,

设/:y—1则联立直线/与直线4得,

1-k

x=------

二二（一1）,解得,2-k

y=2x2-2k

y~

2-k

1—k2-2左）

故尸

2-k92-ky

/：,_1=左（犬_1）中，令y=0得％=1—，，

k

故。…，

c12—2kk-\A11

故POQ~2'2-kk2-2k~，

1—k9—9k1

由点尸在第一象限、点。在x轴的正半轴，故｝4>0,J4^>0,l-;>0,

2-k2-kk

解得：左>2或左<0,

所以“

综合①②可知：S/\POQ的最小值为1,此时/：X=1

19.如图，在三棱柱ABC-44G中，AC=2,ABf，E,尸分别为人夕，8月的中点，且

平面441clC,

(1)求棱BC的长度:

(2)若84,4片，且44尸C的面积s=石，求平面4男尸与平面4FC的夹角的余弦值.

【答案】⑴应

(2)半

【分析】(1)利用线面垂直的判定与性质解三角形即可；

(2)先证明三棱柱为直三棱柱，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算平面所成角即可.

【详解】(1)取AC的中点。，连接83ED,

在三棱柱ABC-A^iG中，可得。S.DE=^AAl=BF=^BBi,

二四边形DEFB为平行四边形，则EF//£■,

又斯工平面441Gc，.•.可，平面叫GC,

ACu平面A41G。，

:.DB.LACf

又。为AC的中点，

【ABC为等腰三角形，

VAC=2,AB=e，则BC=A8=也；

（2）由（1）知，AB2+BC-=AC1,.-.AB±BC,EF=BD=1,

4Cu平面A41GC,所以EFLAC，

故s4”=；4。跖=石=4。=2岔，

由（1）知，£）8_L平面441GC,A4,u平面A41cC，

则DB±AAt,

又三棱柱中M//BBt,：.DB1BBi

又/.AB1BB,,

,:又ABcDB=B,AB、DBu平面ABC,

BB[_L平面ABC,

•••三棱柱ABC-A4G为直三棱柱，

.•.△A41c为直角三角形，可得AA=4,

又在三棱柱ABC-A^iG中，AB±BC,AABI1BiCi-

以用为坐标原点，B、C、,B,A，8田所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则B,（0,0,0）,A（0,也,0）,G（应,0,0）,C（行,0,4）,8（0,0,4）,F（0,0,2）,

4F=（0,-V2,2），AC=（V2,-A/2,4）,

设平面4FC的一个法向量为〃=(无,y,z)

ri'AF=-A/2V+2z=0__

则/—1—，令z=l,贝!Jy=3，x=-夜，

n.AXC=，2x-，2y+4z=0

平面\FC的一个法向量为n=(-A/2,A/2,1)

易得平面4A/的一个法向量为%=(1,0,0)

设平面B^F与平面AFC的夹角为夕,

\m-n\_72_^/10

「.cos6=

|m|-|n|5/5x15

平面B^F与平面A£C的夹角的余弦值为萼.

20.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,已知——~-2cosC.

acosB+0cosA

⑴求角c；

(2)。。是/4。3的角平分线，若8=逑，。=2百，求SBC的面积.

3

【答案】(l)g;

（2）2A/3.

【分析】（1）由正弦边角关系及已知得cosC=1,即可得角C；

2

（2）由余弦定理得-=，由SMC=SACD+SBC»及面积公式得刈=。（。+万），求得用=8,

2lab3

进而应用面积公式求面积.

【详解】（1）由=2cosC,得:

acosB+bcosAsinAcosB+sinBcosAsinC

又Ce(0,7t),所以C=；TT.

(2)在ABC中，cose："“』；。。得:./二〃12①,又SMC=S,4S+SBS

2ab22ab

c

得：—absm—=-a••sin—+—Z?•-sin-,化简得：。6=金(。+6)②，

232362363V

由①②得：ab=8,所以5ABe=26.

21.如图，三棱台ABC-44G中，AG=2,AC=3,O为线段AC上靠近C的三等分点

（1）在线段8C上求一点E,使A?//平面CDE,并求言的值：

TT3

（2）若A4,=A3=2,144。=/54。=三，点4到平面ABC的距离为彳，且点A在底面ABC的射

影落在1sMe内部，求直线耳。与平面ACGA所成角的正弦值.

【答案】（1）取BC的靠近点C的三等分点为E,吟=；

nC3

3后

\^）—-—

【分析】（1）取BC的靠近点C的三等分点E,连接C|E,DE,3G，证出平面A41AB//平面GOE,

利用面面平行的性质可得出A8//平面CQE,由此可得出结论.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面ACG4所成角的正弦值即可.

【详解】（1）取8C的靠近点C的三等分点E,连接CE,DE,DG，

22

贝"AD=§AC=§x3=2=AG，

因为AD//AG，所以四边形朋GD为平行四边形，则A4,〃r>£,

因为。G<z平面AA由2,AAu平面所以DC】//平面,

CDCE1

:.DE//AB,

~AC~~BC~3

DEU平面的用2，ABu平面.1DE〃平面

DCi。£=。,。£,。£<=平面。|£^,;.平面44,与8//平面。］。£,

48<Z平面44）q3,二48//平面6。后，

・当B黑F=25时，42//平面CQE

nC3

（2）以A为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系，

则8（6,1,0）,C（0,3,0）,。（0,2,0）,

,,9

“+/7+—=4,V3

设A]a,Z?，5AA=24a=±——

,由＜,即Q，解得2,

r（

-2+=7b=l

点4在底面ABC的射影落在内部，“=，，b=

1,

,1(，

A,/.AC=(0,3,0),M=