高等数学-习题及答案 孙忠民 第2章 导数与微分及其应用

第2章导数与微分及其应用

【能力训练2.1】

(基础题)

一'根据定义求下列函数的导数

⑴y=3x+2;(2)f(x尸dx

答案：(1)3

(2)l/2(x)A(-l/2)2

二'求双曲段上在点J,2)处的切线方程

所r以切线方程为：y-2=-4(x-l/2)

即4x+y-4=0法线方程为：y-2=l/4(x-l/2)

即2x-8y+15=0

三'在抛物线y=x2上哪一点处的切线分别有如下性质：

⑴平行于x轴;

(2)平行于直线y=4x;

(3)平行于抛物线上两点(x„y,).(x2,y2)的连线

答案：

(1)..切线平行于。，轴，

(均)=2工0=0

(•R)=0

「・/=0

.,•切点为(0.0)

综上所述，结论是：点(0.。)的切线具有性质平行于

。，轴.

(2)略

(3)略

(应用题)

一'求曲线y=ln(1+x)在(0,0)处的切线方程，把两者的图像画在同一坐标系上,

并观察图形之间的关系。

f(x)=ln(x+l)

则：

f(x)=l/(x+l)

切线斜率是：k=f(0)=I

切点是(0,0)

则切线方程是：

X—y=0

二'以初速度V。竖直上抛的物体，其上升高度S与时间的关系是：s=

求⑴该物体运动的速度；

⑵该物体达到最高点的时刻。

答案：

解⑴乂。=(。=冷/

(2)令v(0=0,即e-gt=0,得［二竺，这就是物体达到最高点的时刻.

g

三'郭晶晶是我国著名跳水运动员，当她从10m跳台跳下后，入水时的速度有多

大？

［喀解:颗同g12得:t=律下梁=V2s,

到达水面是的速度v=gt=10V^m/s

故答案为:退10逅m/s

【能力训练2.2】

(基础题)

一'求下列函数的导数:

100-5

(l)y=A：;⑵y=V?;(3)y=x;(4)y=

答案：略

二'求下列函数的导数：

(i)y=(2)y=exsinx

x—1

(3)y=xlnx+loge;«)y=m

心1nx

(5)y=xsinxhu;(6)y=--

答案：略

三'求下列函数在给定点的导数值:

(l)y=6ex-3tanx+5,求川广。;

(2)/(%)=仁),求广(4).

答案：略

四、求下列函数的导数：

⑴y=(2x+5)4;(2)y=V1+ln2x

(3)y=arccos(ex);(4)y=sinzx;

(5)y=Inlnx;(6)y=(arcsinx)2.

答案：略

五、求下列初等函数的导数：

⑴y=Vl+x;(2)y=sin2x•sin(，);

1+x

(3)y=arctan-----;(4)y=arcsinV1+x.

I-x

答案：略

(应用题)

一、求曲线y=cosx在点P(0,1)处的切线方程

y'(0)=0,故法线方程为x=0

二'将一只球从桥上抛向空中，秒后球相对于地面的高度为y(单位:

2

m),y=f(4)=-5t+15t+12o

求⑴桥距地面的高度；

⑵球在［0,1］秒内的平均速度；

⑶球在t=1秒时的瞬时速度；

⑷在什么时刻，球达到最大高度？

⑴12米;(2)10米/秒；(3)5米/秒；⑷苧米,潜

【解析】

⑴因为当，。时，"0)=12,

所以桥的高度为12米；

(2)小球在0到I秒这段时间的平均速度是

⑼=22-12=10(米/秒)；

1-U

(3)求导得*(t)=-10t+15,

根据导数的几何意义得，小球在，I秒时的瞬时速

度是⑴=-10+15=5(米/秒)；

(4)因为八(,)=—5产+15,+12=—5,

93

+T

所以当仁理，h⑴有最大值为苧，

所以当，，秒时，小球达到最大高度是苧米.

三'［疾病传播］某城市正在遭受一场瘟疫，通过研究发现，第t天感染该疾病的

人数为p(t)=120t2丑3(的单位：天；0WtW40).试求该疾病在t=10天，t=20

天，t=40天时的传播速度。

答案：略

四'［游戏销售］当推出一种新的电子游戏程序时，短期内其销售量会迅速增加，

然后开始下降，销售量s与时间t之间的函数关系：t的单位为月。

n♦luu

⑴求s'⑴；

⑵求s(5)和sY5),并解释其意义。

,(/)=2002+100)-200/.2/=20000-200/?

答案:⑴02+ioo)?。+1()0/

5(5)==8

(2)52+100(个)，

20000-200-5215000

.v(5)=-7--------r：—=--------=0.96

(52+时15625(个/天)

s(5)表示第5月末的销售量；、'(5)表示第5月末的销售速度。

五、［水流速度］设一圆柱形水箱内装有1000L水，它可以在底端将水抽干，分时

水箱中剩余水的体积为

v<ri1000U-W60,

求水箱中水流出的速度，它的单位是什么？

答案：略

六'［电压的变化率］一个固定电阻为32,可变电阻为R的电路中的电压由下式给

出一竺V

a

求在R=7Q时电压关于可变电阻R的变化率。

P，=6（/?+3）-（6H+25）=-Jr（7）=--=-0.07

答案：伊+3）2（A+3）20+3）

七、［利润］—U盘生产商发现，生产x百个U盘的利润为P(x)=400(15-x)(x-2)

兀。

⑴求P’(X)。

⑵求使P(x)=o时的x值，并说明此时企业利润的意义。

答案：略

八、［抛锚船只的运动］一艘抛锚的船只在海中随海浪上、下摆动，它与海平面的

距离y(单位：米)与时间：(单位：分)的函数关系为y=5+sin(2nt)。

⑴楙表示什么意思？

⑵求t=5分时船体上下摆动的速度；

⑶船只的运动有何规律？

答案：略

九、［弹簧的运动］弹簧在振动时受到摩擦力和阻力的影响，其运动方程可以用指

数函数和正弦函数的乘积来表示，设这个弹簧上一点的运动方程为

5代)=26飞汨2口1：(5的单位：厘米，的单位:秒)，求tS时弹簧的振动速度。

较空•略

“,【能力训练2.3】

(基础题)

一'求由下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数也。

dr

(l)y3-+2x=5;(2)到一Iny=3;

(3)y=xy2,+xe\(4)xcosy=sin(x+y).

答案：略

二、利用对数求导法，求下列函数的导数:

G(2x-1)2y/x+1

⑴>叱(2)j=---------,“--------

(x+2)3^n

答案：略

三、求由下列参数方程所确定的函数的导数:

X=1-Z2,x=3e-r

⑴⑵

y="巴y=2er.

答案：略

四、求椭圆，=3°8°1>0加>0,0为参数)在0=；处的切线与法线方程。

y.tnmff

答案：略

五、设质点做直线运动，其运动规律，勺水):为常数)，求质点在时刻t=1

时的速度和加速度°

【解析】V=7T.4/6。=[(-，3),4”42]/18

(应用题)

一'一质点以每秒50m的发射速度垂直射向空中，t秒后达到的高度为s=50t-5t

2(m),假设在此运动过程中重力为唯一的作用力，试求：

⑴该质点能达到的最大高度；

⑵该质点离地面120m时的速度是多少？

⑶何时质点重新落回地面？

答案：略

二、求函数(x2+y2)3=64x2y2在指定点(2,3.07)和(2,0.56)处的切线斜率。

答案：略

【能力训练2.4】

(基础题)

一、利用洛必达法则求下列函数极限:

.....sin5x

⑴聂丁;⑵理M

“、，•1-COSJC2W+--y/a-x

(4)hm---------------------(a>0);

x-*ox

心..Inx

(5)hm——;⑹邺白-二1)•

XT+8x

答案：略

二'求下列函数的单调区间：

(l)y=xex;(2)y=1(x3-3x).

答案：(D

解y,c'=<」(I+i)・

令y>0♦得_r>—】s

华》」V0,杼*V-】.

因此.3=7/的色调遂埔区间为(一l.+s).

单调递或区间为(一“,一】).

(2)略

三'求下列函数的极值：

(1)y=x2+2xT;(2)y=x-ex

答案：(1)1(2)-1

(应用题)

一、［人口增长］中国的人口总数P(以10亿为单位)在1993-1995年间可近似地

用方程P=1.15X(1.014)，来计算，其中年(从1993年计)，根据这一方程，说明

中国人口总数在这段时间是增长还是减少？

答案：增加

二、［最小淋雨量］人在雨中行走，速度不同可能导致淋雨量有很大不同，即淋雨

量是人行走速度的函数，记淋雨量为y,行走速度为x,并设它们之间有以下函数

关系y=x3-6x2+9x+4,求淋雨量最小时的行走速度。

答案：增加

三'［快餐店的最大利润］某快餐店每月销售汉堡包的单位价格P与需求量x的关

系由p(x)=嘿萨确定，又设生产x个汉堡包的成本为

乙UUUU

C(x)=5000+0.56x(0WxW50000),

问当产量是多少时，快餐店获得最大利润？

答案：增加

四'［广告策略］某一新产品问世后，公司会为推销这一新产品而花费大量的广告

费，但随产品在市场上被认可，广告的作用会越来越小，何时减小甚至取消广告

产品的销售高峰一最畅销时间，设某产品在时刻t的销量由

1+1Qg-3t

给出，试问该产品何时最为畅销？

答案：增加

五'［厂房设计］某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙

壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

答案：设一边为X,一边为YX+2Y=20求XY最大植即(20-2Y)Y的最大植当Y=5时

有最大植所以长10米，宽5米可修最大面积的小屋。

六'［运输路线的选择］铁路线上AB的距离为100km,工厂C距A处为20km,AC垂

直于AB,现要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每千

米货运费之比为3:5,问D选在何处，才能使从B到C的运费最少？

设|DA|二x(千米),铁路吨千米运费为3a,公路吨千米运费为5a,从B到C的总运费为y,则依题意,囱=3a(10。-工)+5a，400+3

x6(0,100).^y=at,则用+3工=5,400+72⑴•平方，眄得16;?-6tH+10000-t2=o由

A=36产-4x16(10000-t2)》0.司t|>8O.-.t>0.t>80.将t=80代入方程(1),解幅X=15,这曲最小，y最小.即当D

点选在距A点15千米处时，茗运费最省.

据题设知,单位距离的公路运费大于铁路运费，又知+\DC\W\BA\+\AC\.因此只苞点D选在线段BA上某一适当位置,才能使总运

费最省若iSD点距A点x千米,从B到C的总运费为y,建立y与颁函数,则通过用趣/=/(工)的最小值，可确定点D的位H.

七、［成本最低］某厂商每天生产X单位产品，其每天的成本包括：

(1)固定成本12000元；

⑵单位产品的成本12元；

⑶订货成本竽元

请写出每天生Fx单位产品的总成本，并求每天产量为多少时总成本最低。

答案：略

八'［最大利润］某淘宝店主以每条100元的价格购进一批牛仔裤，设此牛仔裤的

需求函数为Q=400-p,其中p为售，问销售价定为多少时，才能获得最大利润？

由题意，每件商品的销售利润为(pT00)元，

那么Q件的销售利润为

y=Q(p-l00)=(400-2p)(p-100),

即y=-2p2+600p-40000,

对其右边进行配方得y=-2(p-150)2+5000,

...当p=150时，y有最大值,最大值y=5000

.•.当每件商品的销售价定为150元时，

有最大利润为5000元。

九、［最大利润］某厂生产某种产品q个单位时，销售收入为R(q)=8Jq,成本函

数为C(q)=O.25q2+1,求使利润达到最大时的产量q。

答案：略

【能力训练2.5】

(基础题)

一、求函数y=2x?+lnx的二阶导数

【解析】(l);y=2z2+inz,

1—1

/.y，=4一HH—,y=4---7.

X

二'求指数函数y=e'的n阶导数

y=ex,则

y1=ex.

y"=e'，

严)=巴

:.y=/的n阶

x

/)=e-

由函数的解析式及整计算公式，求出函数的f.二阶，三阶赘，

再归纳得出的数的n阶导数.

三'求下列函数的凹凸区间及拐点：

(1)7=3^-?;(2)y=~2~\⑶y=ln(l+/).

+1

答案：略

四'当a,b为何值时，点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点？

点(1,3)在曲浅y=ax3+bx2上，故a+b=3.又y=3ax2+2bx,y"=6ax+2b,应有y"|=6a+26=0.解得》=一素。=,，即

Il—1zZ

y-=-9x+9.显然，当x<1时，y->0;当x>1时，y”<0.点(1,3)为曲线拐点.

五、求曲线y=x2-4x+3在顶点处的曲率及曲率半径.

答案：略

(应用题)

一'［子弹的加速度］一子弹射向正上方，子弹与地面的距离s(单位：m)与时间

(单位：s)的关系为s=670t-4.9t2，求子弹的加速度。

V=s'(t)=670-9.8t=V(t)

a=v‘t=-9.8m/s2

所以子弹的加速度是-9.8m/s2

二'［物体运动的加速度］一个物体附在竖直弹簧的下面，已知它的位移为

y=Asir)3t,其中A为振动的振幅，3为角频率，求物体的速度和加速度。

物体的速度乐「学&则人

29aa・a

.加速度为“国裳U.上！*-

a•“a•»a

It.J

三'［广告效应］IBM公司用二阶导数来评估不同广告战的相关业绩.假设所有的

广告都能提高销量，如果在一次新的广告战中，销售量关于时间的曲线为凹的，

这表明IBM公司的经营情况如何?为什么?若曲线为凸的呢？

答案：略

【能力训练2.6】

(基础题)

一、求下列函数的微分：

(l)y=+2Vx;(2)y=xsin2x;

x

(3)y=InVx2-1;(4)y=表3t

答案：略

二、计算下列函数值的近似值(精确到0.0001):

(l)j=sin3O°30';(2)4997

答案：略

三'计算下列各式的近似值(精确到0.0001