打卡第七天-冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通

用)

新高考真题限时训练打卡第七天

II真题限时训练

一、单选题

1.(2022年全国新高考H卷数学试题)已知集合4={-1,1,2,4},3=卜卜-1区1},则AB=

()

A.{-1,2}B.{1,2)C.{1,4}D.{-1,4)

【答案】B

【分析】方法一：求出集合3后可求

【详解】［方法一］:直接法

因为3={x|04x42},故AB={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

x=-1代入集合8=卜卜-1归1},可得241,不满足，排除A、D;

x=4代入集合8=卜卜-1|叫，可得341,不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

2.(2022年全国新高考I卷数学试题)若i(l-z)=l,则z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求Z-+-Z.

【详解】由题设有l-z=l=!=-i,故z=l+i,故z+5=(l+i)+(l-i)=2,

11

故选：D

3.(2022年全国新高考II卷数学试题)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB\CC,DD

是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其

中。R,CG，B&,AA是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

郎二0-5,亍肃=.崇=&，翥=%.已知配给勺成公差为0.1的等差数列，且直线04的

ZxCz|GL＞］LJ/\^

斜率为0.725,则勺=()

【答案】D

【分析】设OR=DG=C四=8A=1,则可得关于占的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设。。=QG=cg=3=i,则cc=&*4=&,⑨=%,

DD、+CC[+BB]+AA]

依题意,有4—0.2=匕，4-0.1=/2,且=0.725,

OD、+Z)G+C8I+BAj

所以0.5+3-0.3=0725,故心=0.9,

4

故选：D

4.(2022年全国新高考I卷数学试题)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，

其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km，

水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km"将该水库在这两个水位间的形状看作

一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(6=2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体

积忆

棱台上底面积S=：140.0km2=140xl06m2，下底面积S'=180.0km2=180xl06m2,

/.V=1/1(S+S,+VSS7)=1X9X(140X106+180X106+V140X180X1012)

=3X(320+6077)X106~(96+18X2.65)X107=1.437X109®1.4xl09(m3).

5.（2022年全国新高考n卷数学试题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺

汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排

列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一

个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排

这5名同学共有：31x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

6.（2022年全国新高考I卷数学试题）记函数/（x）=sin（©x+?）+6⑷>0）的最小正周期为

T.若,<7<]，且y=f（x）的图象关于点仁,2）中心对称，则/图=（）

35

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

【详解】由函数的最小正周期T满足竺<7〈万，得"〈边<乃,解得2<6?<3,

33co

（34A3乃7T

又因为函数图象关于点对称，所以了G+a=且b=2,

所以◊=-，+£匕ZeZ,所以0=3，/（x）=sin（<x+f]+2,所以

6324）

，图="*升2=1.

故选：A

二、多选题

7.（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱

的中点，M,N为正方体的顶点.则满足MNLOP的是（）

【答案】BC

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MV构造所考虑的线线角后可

判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则MV//AC,

故NPOC（或其补角）为异面直线OP，MN所成的角，

1

在直角三角形OPC,0C=y/2,CP=1,故tanNPOC=

故MNOP不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取火的中点为。，连接PQ,OQ,则OQLN7,PQLMN,

由正方体SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SN_LO。，而SNMN=N,故OQ_L平面SN7M,

又MNu平面SNTM,OQVMN,而OQ[PQ=Q,

所以MV_L平面。尸Q,而POu平面。PQ,故MNLOP,故B正确.

MC

对于C,如图（3）,连接8。，贝由B的判断可得OP，

故0PLMN,故C正确.

AS

对于D,如图（4）,取A3的中点。，A8的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,

贝!JAC//MN,

因为勿=PC,故PQ//AC,故PQHMN,

所以aQPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，

图⑷

因为正方体的棱长为2,故PQ.AC=五,OQ=ylAO2+AQ2=41T2=y/3,

PoVPK'OK?=g=5QO2<PQ2+OP2,故NQR9不是直角，

故PO,MV不垂直，故D错误.

故选：BC.

8.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记

g(x)=f'(x),若g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.=°C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据

函数的性质逐项判断即可得解.

【详解】［方法一］:对称性和周期性的关系研究

对于f(x),因为为偶函数，所以/(|-2+呜+2,即f(|T)=f(|+x)①,

所以/(3—x)=〃x),所以/V)关于x=|对称，则/(-1)=/(4),故C正确；

对于g(x),因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)关于x=2

对称，由①求导，和g(x)=f'(x),得

卜(1T=陪+川。-417)=《»_8(|一》卜6+；|,所以

g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)关于§,0)对称，因为其定义域为R,所以g1|)=0,结合g(x)

关于x=2对称，从而周期T=4x(2_|)=2,所以g1_D(),g(T)=g(l)=_g(2),

故B正确，D错误；

若函数Ax)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)

的函数值，故A错误.

故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(x)周期为2,关于X=2对称，故可设g(x)=cos(7LY),贝!If(x)=Lsin(xr)+c,

7C

显然A,D错误，选BC.

故选：BC.

［方法三］:

因为g(2+x)均为偶函数,

所以/(|-2x)=/1|+2xJ即=+g(2+x)=g(2-x),

所以〃3T)=〃X),g(4—x)=g(x),则以一1)K/(4),故c正确；

3

函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x=5，x=2对称，

又g(x)=/'(x),且函数/(x)可导，

所以g(|)=°，g(3-x)=-g(x)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-；)=g(|)=O，g(T)=g6=-g(2),故B正确，D错误；

若函数/(*)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)

的函数值，故A错误.

故选：BC.

【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化

难度较高，是该题的通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.

三、填空题

9.(2021年全国新高考H卷数学试题)已知向量”+6+c=0,忖=1，小卜|=2，

ab+bc+c-a=•

【答案】《

【分析】由已知可得(a+b+cf=0,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得(a+A+c)=a+b+c+2^a-b+b-c+c-a^=9+2^a-b+b-c+c-a^=O,

9

因此，ab+bc-k-c-a=--,

故答案为：气9.

10.(2021年全国新高考n卷数学试题)已知函数/(幻=K"一1|，再<0，%>0,函数“X)的

图象在点A(%,/(xJ)和点8(%,/(々))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点,

则需取值范围是,

【答案】（0,1）

【分析】结合导数的几何意义可得不+々=0,结合直线方程及两点间距离公式可得

|AM|=A/1+^-|X,|,忸N|=Jl+e2"司,化简即可得解.

【详解】由题意，/(x)=HT=l'X<。，则/(6=卜："<

1^v-l,x>0e\x>0

所以点A/l-e、)和点kAM=-e\kBN=e'\

所以—e*e%=T,玉+/=0，

所以AM:,_]+£*=-ex'(x-Xj),-eA,+1),

所以\AM\=Jx：+(eUj=yll+e2x'.|x,|,

同理忸N|=Jl+e2、.闾,

所以|A"|_J"、♦㈤_ll+e2r'_/l+e2X|

=ex'e(O,1).

故答案为：（0,1）

【点睛】关键点点睛:

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件占+占=0,消去一个变量后，运算即可得

解.

四、解答题

11.（2021年全国新高考I卷数学试题）记ABC是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.

已知从=ac,点。在边AC上，B£>sinZABC=asinC.

（1）证明：BD=b；

（2）若AO=2DC,求cosZABC.

7

【答案】（1）证明见解析；（2）cosZ4BC=-.

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有8。=?,结合已知即可证结论.

b

（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边。与。的关系，然后利用余弦定理即可求得

cos/ABC的值.

【详解】（D设MC的外接圆半径为R,由正弦定理，

bc

^sinZABC=—,sinC=—,

bc

因为B£）sinZABC=asinC,所以8。----a------,即B£））=ac.

又因为后=敬，所以加=〃.

（2）［方法一］【最优解】：两次应用余弦定理

z.2>2_2

因为4）=2。。，如图，在ABC中，cosC=--—,①

2ab

由①②得。?+从一d=3a2+^）2-b2,整理得2/_卜+。2=（）.

又因为〃=ac,所以6/-llac+3c2=0,解得。=：或。=当，

当&=£万="。=幺时，〃+"=£+<c（舍去）.

3333

,（主）2+。2_£

4MIc1十cc7

当。=二,从=狂=一时，cosZABC=^----2_=—.

2203c12

z•—,c

2

所以cosZ48C='.

［方法二］:等面积法和三角形相似

2

如图，已知A。=2DC9则~S^ABC，

1221

BP—x—h2sinZADB=—x—tzcxsinZABC,

2332

故有NADB=ZA8C,从而NA8£>=/C.

bcCABA

由〃=〃c,即—=工，即，即ACSsAB£）,

abCBBD

2h

在ADAB—

故弁=汇，即Hn3/

ABAC---

cb

2

又b?=ac,所以c=§〃,

则-c=今^招

［方法三］:正弦定理、余弦定理相结合

21

由(1)BD=b=AC再由A£)=2OC得AD=—b,C£)=—b.

933

AnBD

在中'由正弦定理得引方

sinA

-h2

又ZABD=/C,所以=化简得sinC=—sinA.

sinC-sin43

在ABC中，由正弦定理知c=；a,又由从=〃c,所以〃=(/.

片+4CJ22

在/5C中，由余弦定理，得cosZABC：［4^一从=-93=>

2"2x012

3

7

故cos4BC=石.

［方法四］:构造辅助线利用相似的性质

如图，作£>E〃/1B,交8c于点E,则△DECs/vwc.

（令+（守-从

在ABED中，cosNBED=3~~/-----

22。。

2，T,3

々2+0?_A2

在^ABC中cosZABC=巴士一—・

lac

因为cosZABC=-cos/BED,

a2+c2-b2学"

所以

2ac22〃。

T3

整理得6a2—1g2+3。2=0.

又因为"=ac,所以6a2-1\ac+3c2=0>

即a=£或a=3f

32

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

一~.UUWUUU

因为A£）=2DC,所以AO=2OC.

21

以向量为基底，^BD=-BC+-BA.

24241«2

所以BO^-BC+-BABC+-BA,

999

4c4］八

即b1=—a2+—accosZ.ABC+—c2,

999

又因为。2=ac,所以9ac=4a2+4ac-cosZABC+c~.③

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosZABC,

所以ac=储+c?-2accosZABC④

联立③④，得6/-11a+3/=o.

31

所以a=，c或。=于.

下同解法1.

［方法六］:建系求解

以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴,

。。长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则。（0,0）,A（—2,0）,C（l,0）.

由（1）知，BD=b=AC=3,所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动.

设8（x,y）（-3cx<3）,则/+丁=9.⑤

由。2=ac知，网忸C|=|ACf,

BP7（X+2）2+/-yl（x-\）2+y2=9.⑥

7705

联立⑤⑥解得x=-J或x=等3（舍去），y2=^,

42lo

代入⑥式得a=|BC\=^-,c=\BA\=瓜b=3,

2

由余弦定理得cosNABC=、+cf=L.

2ac12

【整体点评】（2）方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质

和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简

单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关

系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的

运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质

使得问题更加直观化.

12.（2021年全国新高考【卷数学试题）在平面直角坐标系xOy中，已知点片卜J万,0）、

玛（后,00MK|一|M闾=2,点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点7在直线x上，过T的两条直线分别交C于A、8两点和尸，。两点，且

\T^-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

2

2

【答案】（1）X-^-=1（X>1）5（2）0.

16

【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点"、尸2为左、右焦点双曲线的右支，求出

”、匕的值，即可得出轨迹C的方程；

⑵方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得

直线的斜率，最后化简计算可得K+期的值.

【详解】⑴因为|峥卜阿闾=2<|可国=2炳,

所以，轨迹C是以点1、工为左、右焦点的双曲线的右支，

22

设轨迹C的方程为£-g=l（a>0,b>0）,则为=2,可得4=1,117-42=4,

所以，轨迹C的方程为》2一［=1（北1）.

（2）［方法一］【最优解】：直线方程与双曲线方程联立

如图所示，设7（；,"）,

设直线45的方程为丫-〃=4（》-3）,4（再,%）,3（*2，丫2）.

I16

化简得(16-6)/+(将一2&〃)x_；将-〃2+缩_]6=0.

I172o1—匕~++16

贝L+工_4-2袖_41

为+"忆16一行一16

故|L41=炉入玉-3,1TB|=炉讦（x「g）.

则I划•irai=（i+^）（x,-l）（x2

设抽的方程为y-n=k2（x-^）,同理ITPI•IT。1=（〃：¥）*）.

2行一16

因为网附=|呼困，所以黑=看冷，

.17,17

化简得"户=1+有,

所以好-16=后-16,即4=6.

因为女产尢，所以人+玲=0.

［方法二］:参数方程法

设畤，明设直线A8的倾斜角为4，

'1C

x=—4-fcos6,.

则其参数方程为21,

y=m+/sin61

联立直线方程与曲线C的方程16/一V一［6=0*21),

可得16(；+/cos?+/cos^)-(/7?2+rsin28、+2/wrsin〃)-16=0,

222

整理得(16cos0X-sind)尸+(16cos^-2/nsin^)r-(/n+12)=0.

设TA=g=G，

由根与系数的关系得力1=44=］£-嵋+12)2〃Ml•

16cosa-smqi_17cosa

设直线p。的倾斜角为%,TPfTQ=n,

4+12

同理可得|7P|"TQI=A(=i-2〃

l-17cos~，2

由|L4|・|"|=|7P|・|T0,得cos2q=cos2%.

因为4。。2，所以COS。］=一8$。2.

由题意分析知4+2=乃.所以tan，+tan2=。，

故直线48的斜率与直线尸。的斜率之和为0.

［方法三］:利用圆幕定理

因为附•阿四由圆嘉定理知A,B,P,Q四点共圆.

设7(；，。,直线AB的方程为y-r=K(x-g),

直线尸。的方程为yT=&(x-；),

贝！|二次曲线伏砂一)，一2+。(々/-＞一与+，)=0.

2

又由f-2=l,得过A,B,P,Q四点的二次曲线系方程为：

10

-,一与+。(Z2工_/_与+力+〃(工2_^T)=0(兄工0)，

整理可得：

(2Z冰2++(丸一幺))/+k2)xy+［t(k］+42)一4+(4+&_2/)4y+-=0,

162

其中机=2r+牛_1.3+&)］一〃.

由于A,B,P,Q四点共圆，则xy项的系数为0,即4+&=0.

【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问

题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；

方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理

解，并能够灵活的应用到题目中.

方法三：圆幕定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.

13.(2021年全国新高考H卷数学试题)已知函数/(x)=(x-l)e*-or?+〃.

(1)讨论/*)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：.f(x)只有一个零点

12

®—<a<—,b>2a；

22

@0<a<^,b<2a.

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(2)由题意结合⑴中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.

【详解】(1)由函数的解析式可得：/(x)=x(e*-2a),

当a«0时，若x«ro,0),贝!|尸(x)<0J(x)单调递减，

若xe(0,e)，则/'(x)>0J(x)单调递增；

当0<a<；时，若x«9,ln(2a)),则/'(x)>0J(x)单调递增，

若x«ln(2a)，0)，则/(x)<0J(x)单调递减，

若xe(0,~),则尸(x)>0J(x)单调递增；

当时，尸(x)NOJ(x)在R上单调递增；

当a>g时，若xe(-oo,0),则尸(x)>0J(x)单调递增，

若x«0,ln(2a)),则/'(x)<0J(x)单调递减，

若xe(ln(2〃),”)，则/(x)>0,/(x)单调递增；

⑵若选择条件①：

由于;<4,今，^L\<2a<e2,贝！|6>勿>1,/(0)=6-1>0,

而b+b<0,

而函数在区间（y,。）上单调递增，故函数在区间（-吆。）上有一个零点.

/（ln（2rz））=2〃［皿2〃）-丁+b

>2a［ln（2a）-l］-a［ln（2。）］+2〃

=241n（2a）-a［ln（2a）］-

=aIn（2a）［2-In（2a）］,

由于;<q,1<2a<e2»故aln（2a）［2-ln（2a）］NO,

结合函数的单调性可知函数在区间（0,+8）上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由于0<a<g,故2a<1,贝！|/（0）=b—l《2a—1<0,

当620时，r>4,4a<2,f（2）=e2-4a+b>0,

而函数在区间（0,+8）上单调递增，故函数在区间（0,+8）上有一个零点.

当6<0时，构造函数H（x）=e'-x-l,则〃（力=>一1,

当X«YO,0）时，*（x）<0,，（x）单调递减，

当x«0,+a>）时，"（x）>0,H（x）单调递增，

注意到"（0）=0,故”（x）20恒成立，从而有：er>x+\,此时：

/（x）=（x-l）ex-cue-b>（x-l）（x+l）-ax2+b=（l-a）x2+（/?-1）,

I*时，（1-a*+仅f〉0,

当x>

\-a

取凝=上士+i,则“x°）>0,

V1-a

即：/（o）<o,/兽+]>。，

而函数在区间（0,+e）上单调递增，故函数在区间（0,+e）上有一个零点.

=2o[ln（2a）-1]-〃[ln（2a）丁+b

<2a[ln（2o）-l]-叩n（2a）1+2a

=2aIn（2a）-a[ln（2a）J'

=Mn（2a）[2-ln（2a）],

由于0<a<g,0<2a<1,故41n（2“）[2-ln（2a）]<0,

结合函数的单调性可知函数在区间（y,0）上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的

知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要

从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用

导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极

值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.

HI精选模拟题预测

一、单选题

I.（四川省成都2023届高三二诊数学理科模拟试题）已知集合

A=^x\x2+2x-3<01,B={x|y=ln（x+2）},则AB=（）

A.（-2,-1]B.（-2,3]C.（-2,1]D.

【答案】C

【分析】先化简集合A氏然后用交集的定义即可求解

【详解】因为A={X|X2+2X_3V0}={X|_3WXW1},B={x|y=ln（x+2）}={x|x>-2},

所以A5=（-2,1]

故选：C

2.（青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文）

7

试题）设复数z满足:±=l+2i,则5的虚部为（）

1—1

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【分析】由复数乘法运算和共输复数定义可求得彳，根据虚部定义可得结果.

【详解】z=（l+2i）（l—i）=3+i,，5=3—i,.■立的虚部为-1.

故选:A.

3.（上海市南汇中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）设各项均为正整数的无穷等

差数列{%},满足％8=2022,且存在正整数&,使4,生38,4成等比数列，则公差”的所有

可能取值的个数为（）

A.1B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】利用等差数列的通项表示出q，d的关系式，结合4,“338,4成等比数列，分类讨论

可得答案.

【详解】根据题意可知，%38=4+337"=2022,化简可得言+d=6,

因为｛4｝各项均为正整数，则"eN,

故％是337的倍数，且446x337,

因为％,须8，%成等比数列，所以心：=44=2022?=32x22x3372,

32x22x3372

贝!]%=------——,又因为4=q+（左T）”,

%

分为以下情况讨论：

①若4=337,贝|]1+4=6,可得d=5,

q=337+5（々-1）=36x337,解得々=2360,合乎题意；

②若4=2x337,贝!]2+4=6,可得4=4,

4=2x337+4（1）=18x337,解得左=1349,合乎题意；

③若4=3x337,则3+d=6,可得d=3,

4=3x337+3（4-1）=12x337,解得％=1012,合乎题意；

④若q=4x337,贝Ij4+d=6,可得d=2,

^=4x337+2（^-1）=9x337,解得％=蜉，不合乎题意；

⑤若4=5x337,则5+d=6,可得d=l,

32X22X3372

此时4=不是整数,不合题意；

5x337

⑥若4=6x337,则6+d=6,可得"=0,此时｛q｝是常数列，且每一项均为2022,合乎

题意；

综上所述，公差d的所有可能取值的个数为4.

故选：C.

4.（云南省红河州2023届高三第一次复习统一检测（一模）数学试题）如图所示是一块边

长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影

部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（）

A.叫叵cm'B.吆叵cm，C.80八n?D.104>73cm,

33

【答案】B

【分析】作出正四棱台，作出辅助线，得到各边长，求出四棱台的高，从而利用台体体积

公式求出体积.

【详解】由题知，该容器的容积就是正四棱台的体积，

如图，连接正四棱台上下底面的中心。1,。2,取上底面正方形一边中点尸，对应下底面正

方形一边中点E,连接EF,。/，O2E,

则。尸〃O2E,故四点共面，

过点F作尸。//。。2交。2后于点。，则四边形。。2。尸为矩形，

故0。2=。尸，

因为该正四棱台上、下底面边长分别为2,6,等腰梯形的斜高为4,

所以OL=C>2Q=1,O2E=3,EF=4,

-^QE=O2E-O2Q=2,

所以该棱台的高力=Qb=尸-Q/=｛不-22=2网,下底面面积5=36,上底面面积

S?=4,

所以该容器的容积是1=；〃（$+邑+\/^）=:乂26*（4+36+阿）=^1^.

故选：B

5.（广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题）已知甲、乙两个家庭排成一

列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲

位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（）

A.288B.144C.72D.36

【答案】C

【分析】方法1：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队一2位母亲

排队一3个小孩“捆绑”内部排队1在父亲母亲产生的3个空中选一个空将3个小孩放进去.

方法2：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队一3个小孩“捆绑”

与2位母亲排队-3个小孩“捆绑”内部排队.

【详解】方法1：2位父亲的排队方式种数为A"2位母亲的排队方式种数为A33个小孩

的排队方式种数为A；,将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有A；种排队方式，所

以不同的排队方式种数为A；A；A；A；=72.

方法2：2位父亲的排队方式种数为A）将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式

种数为A；,3个小孩的排队方式种数为A；,所以不同的排队方式种数为A；A；A；=72.

故选：C.

6.（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）已知函数

行"11（5+0）（0>0,|同<9.若/仁+]=-/（77卜（一2++/（一|^7）,旦

f（x）在区间上单调，则0=（）

44420

A."B.7或4C.4D.不或—

3333

【答案】B

【分析琥据三角函数的对称性可得。=当”次eZ,根据三角函数的单调性可得。W6,

4

进而求得。或口=4,解出对应的验证即可.

【详解】由+0=得函数/（X）的图象关于点0）中心对称；

由4一普+一工一”｝得函数的图象关于直线”=-葛对称，

所以看-卜芫H+与MZ,解得7=添两入2,

即弓=2（1^2%）*cZ,得。=4。丁晨

因为在区间（资）上单调，所以即丁吟，

所以二21,解得/W6.又。="士竺,ZeZ,所以&=0或k=l.

co33

447t2/r

当Z=0时，（t）=—则一x—+e=〃；r,Z£Z,得0=k/r----.

39369

由|夕|后，得。=-1，此时/（'『由&-葛），

当工=-1^时，/（一工）=&“（—5）=一1，符合题意；

TT.2乃

当％=1时，（x）~4,贝（J4x—+0=左肛％£2,得夕=Avr-----,keZ.

63

由网＜]■,得＞=?,此时/（》）=$也（4》+口，

当户得时'/（得卜«£|=-1,符合题意.综上，或0=4.

故选：B.

二、多选题

7.（河北省沧州市2023届高三上学期12月教学质量监测调研数学试题）如图所示，已知几

何体ABC。—ABC"是正方体，则（）

A.8c〃平面A44

B.A。〃平面4GC8

C.异面直线A。与AB1所成的角为60。

D.异面直线A。与8a所成的角为90°

【答案】BC

【分析】结合线面垂直、线面平行、异面直线所成角、线线垂直等知识逐一对选项进行分

析，从而确定正确答案

【详解】对于A,由几何体是正方体可知8CV/AQ,而49c平面ABIQ=A,

故8C平面ABQ相交，故A错误；

对于B,平面AAR。〃平面AGCB,且4Qu平面A4.R。，

所以A。〃平面BCCB,故B正确；

对于C,A。，A用与BQ均为正方体面对角线，故A1=ABi=B,口,

三角形是等边三角形，

则直线AQ与AB1所成的角为60。，故C正确；

对于D,ADUCB、,

同理，三角形CBQ是等边三角形，

直线AQ与8以所成的角为60。，故D错误.

故选：BC.

8.(2023秋•浙江杭州•高二统考期末)对于定义在R上的函数.f(x),若f(x+l)是奇函数，

〃x+2)是偶函数，且在。,2］上单调递减,则()

A."3)=0B.〃0)="4)

C./［I］=/［|jD.在［3,4］上单调递减

【答案】AB

【分析】由题有：/(-x+1)-/(x+1),〃—x+2)=/(x+2).即/(x)图像关于(1,0)对称，

且关于直线x=2对称.A选项，令x=0可得/⑴，x=l可得“3)；B选项，令x=2即可判

断选项;C选项，令x=g结合〃x)单调性可判断选项;D选项，由图像的对称性可判断“X)

在［3,4］上的单调性.

【详解】令g(x)=〃x+l),由/(x+1)是奇函数，

则g(-X)=/(-X+1)=-g(x)=-f(x+1),

即/(-x+l)=-/(x+l),“X)图像关于(1,0)对称.

令Mx)=f(x+2),由/9+2)是偶函数,

则〃(-X)=/(-X+2)=h(x)=/(x+2),

即〃T+2)=/(X+2),图像关于直线x=2对称.

A选项，令x=0,可得川)=_〃1)=/(1)=0,

又令x=l,可得/⑴="3)=0.故A正确；

B选项，令x=2,可得〃0)=/(4),故B正确；

C选项，令*=；，可得吗J"/图=吗］+/月=°，

又因〃x)在［，2］上单调递减，由图像关于(1,0)对称，则在［0,1)上单调递减，

即“X)在［0,2］上单调递减，故/(；)>/图.故C错误.

D选项，由/(X)在［0,2］上单调递减，结合图像关于直线x=2对称，

则/(x)在(2,4］上单调递增.故D错误.

故选：AB

【点睛】结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论.

/(x)为定义在R上函数，若/'(x+a)为奇函数，贝IJ/(一x+a)=-/(x+a),

/(x)图像关于(。,0)对称；若f(x+a)为偶函数，贝!|f(-x+a)=f(x+a),

图像关于x="对称.

三、填空题

9.(浙江省温州市乐清市知临中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题)已知向量

a=(3,1),\h\=5,a(a+h)=\5,则&与6夹角的正切值为.

【答案】3

【分析】根据向量数量积的运算法则求出。与。夹角的余弦值，再求其正切值即可.

【详解】.-.|«|=732+12=710.

设向量4与b的夹角为。，

贝I］a.(a+b)=|&|2+|6(||/?|cos(9=1O+5>/1OCOS0=15,

解得，cos®=@^,

10

V0w［0,句，/.sin。=Jl-cos七=,A