立体几何大题综合-2023年新高考数学（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

V题03首届新高考-立体几何大题综合（首届新高考江西、

广西、贵州、甘肃专用）

一、解答题

1.（2023•安徽亳州•安微省亳州市第一中学校考凰烁测）已知四棱锥PT5CD中,

侧面“，如为等边三角形，底面WB8为直角梯形，A8//CD,乙（BC=9O。，

BC=CD=g.4B=2,PA±BD.

（1球证：平面R1D_L平面WBCD;

（2或直线才与平面PBD所成角的正弦值.

2.（2023•湖北黄冈濡水县第一中学校考模蛔测）如图，在三棱台4&C--空C中,

AB、=2,.4_B=AC=4,AA,=CC,=-^5,BB,=3,ZJAC=—.

（i加明：平面Hxcql平面WBC；

（2）1殳。是BC的中点，求平面TNCC与平面4山夹角的余弦值.

3.（2023•湖」原施•校考模拟荫即如图，在多面体H3CDE中，平面NCD，平面"C,

BE_L平面.4BC,MB。和"CD均为正三角形，AC=2.5E=$，点M为线段CD

上一点.

D

(怵证：DE工AM;

jr

(2错EM与平面.48所成角为-,求平面4MB与平面ACD所成锐二面角的余弦值.

4.(2023•山东泰安•统考骸测)四棱锥S-.必CD中，底面WB8为矩形,

AD=®SA="SAB=6Q,ASAD=45,平面S.1D与平面SBC的交线为/一

(1球证：直线/平行于平面WBC。；

(2冰二面角的余弦值.

5.(2023•山东殿•统考匐物洲)如图1,在平行四边形4BCM中，W3=2BC=2O,

ZMLD=60。，。为CW的中点，/=，而=而，沿.4。将AlQ翻折到

的位置，如图2,PF±AC.

(1)1正明：HF/平面尸即；

(2球平面P5C和平面PCD的夹角.

6.(2023•福建宁德•校考曲既测)如图，已知多面体E4CBD中，E31底面HCB。,

£5=1,.45=2,其中底面由以4B为直径的半圆.4CB及正三角形A3D组成

E

（1浩5c=1,求证iBC"平面WDE

jif

（2泮圆AB上是否存在点V,使得二面角时-HE-。是直二面角话存在，求出疏：的

IJA1

值；若不存在，请说明理由.

7.（2023・福建厦门・统考模蛔测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边

形.如图，四边形WBCD为筝形，其对角线交点为。,,4B=0,BD=5C=2,将5D

沿BD折到＞43。的位置，形成三棱锥8co.

（1球2?到平面4OC的距离；

（2片HC=1时，在棱上是否存在点尸，使得直线3/与平面POC所成角的正弦值

为:？若存在，求噌的值；若不存在，请说明理由.

4AD

8.（2023•安敏合肥•合肥市第六中学校考模蛔测）如图所示的几何体是圆柱的一部分,

它是由矩形WB8（及其内部）以边.4D所在直线为旋转轴旋转,得到的，£是取的

（D设N是诙上的一点，且⑷V_LCD,求乙F£W的大小：

（2心.45=2,3=4时，求二面角（:一儿壮一尸的余弦值.

9.（2023•辽宁,辽宁殆中学校考匐€好8测）已知直角梯形形状如下，其中X3_.4Q,

（1底线段CD上找出点尸，将四边形如迎沿时翻折，形成几何体4班-。仃\若

无论二面角H-E尸-5多大，都能够使得几何体H'BE-OCF为棱台，请指出点尸的具

体位置（无需给出证明过程）.

（2底（D的条件下，若二面角H-Er-3为直二面角，求棱台4班-DCF的体积，

并求出此时二面角B-HO-E的余弦值.

••

10.（2023山西校联考阐烁测）如图，斜四棱柱X38-型1G9的底面.的。为等

腰梯形，旦-空'/8,点4在底面的射影点。在四边形-出a内部，目

AD=BC=CD=AA1=2,AB—4,AO=1,e4X5C.

（1球证：平面.1881平面ACCH；

（2底线段BQ上是否存在一点“，使得平面MBC与平面.458夹角的余弦值为尊，

若存在，求言的值；若不存在，请说明理由.

11.（2023•河北・统考模蛔测）在圆柱。。：中，等腰梯形W38为底面圆。的内接四

边形，目AD=DC=8C=1,矩形W8FE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线,

CG=1.

（1冰证：平面QCG〃平面4DE；

（2）1殳而=N诙，2e[0,l],试确定火的值，使得直线心与平面W5G所成角的正弦值

为妈.

35

12.（2023•湖南长沙•长郡中学校考匐烁测）如图，在直角梯形.45CD中，WD”BC,

ADLCD,四边形CDE尸为平行四边形，对角线CE和。尸相交于点A,平面CDEF_L

平面.458,BC=2AD,ZDCF=60“，G是线段BE上一动点（不含端点）.

（1片点G为线段BE的中点时，证明：XG"平面CDEF;

（2港XD=LCD=DE=2,且直线QG与平面CDE尸成45角，求二面角E-QG-尸的

正弦值.

13.（2023•广东候山•华南师大附中南海实聆高中校考而测）如图，在四棱锥

P-ABCD中，AB"CD,ABLAD,BC=CD=2AB=2,E为PC中点.

（1电棱PD上是否存在点2,使得八。//平面EBD?说明理由；

（2错PC，平面RLD,PC=PD,求平面PAD与平面E4B所成角的余弦值.

14.（2023•广东广州•广州六中校考三模）四棱锥P-ABCD中，WD〃5C,

AB=AD=2BC=2,ZABC=60°,PA±CD,PD_L/C,点E是棱PD上靠近点尸的

三等分点.

（戊正明：R4J■平面.第8

（2浩平面R1C与平面与C的夹角的余弦值为岩，求四棱锥P-一丽的体积.

15.（2023•广东深圳•深圳中学校考模蛔测）如图，5c且3=2BC,.4D±CD,

EG//'Dg,EG=£D,CD〃/U且CD=22DGJ■平面.138,DA=DC=DG=2.

（1球平面ESC与平面8C尸的夹角的正弦值；

（2港点尸在线段DG上，且直线8尸与平面3GE所成的角为60。，求线段DP的长.

16.（2023・广东深圳•统考模蛔测）在正三角形A5C中，E、尸、尸分别是-,45、-UC、

5c边上的点，满足.4：EB=CF：E4=CP：PB=1:2（如图1）.将△/£?•沿时折

起到所的位置，使二面角即-3成直二面角，连结（如图2）

（1球证：严〃平面同砂；

（2或证：4EJ_平面3日；

（3球直线AE与平面.《BP所成角的大小.

17.（2023・江苏无锡•校联考三模）如图，已知在平面四边形中，J5=5C=2,

AC=CD=①,乙18=90°,现将UBC沿XC翻折到"4C的位置，使得也＞=2.

（I球证：平面RLDJL平面HCD；

（2）点,H在线段CD上，当二面角M-WP-D的大小为J时，确定£点的位置.

0

18.(2023•江苏常州•江苏省前黄高级中学校考第蜥测》如图，在三棱台.45C_.43£

中，BB.=5C.=C,C=1BC=2,ABJLBC,平面其8_L平面BB,C,C.

(1)证明：43工平面班6。；

(2港二面角B-CC-A的大小是:，求侧面与底面WBC所成二面角的正弦值.

0

19.(2023•江苏苏州•翱取海)在如图所示的圆锥中，已知尸为圆锥的顶点，。为底面

的圆心，其母线长为6,边长为的等边dLBC内接于圆锥底面，丽=2而且

(1)1正明：平面D3CJ-平面ZU。;

(2期E为AB中点，射线OE与底面圆周交于点A/,当二面角H-C的余弦值为看

时，求点”到平面58的距离.

20.(2023•辽宁沈阳东［倩才学校校考模拟测)如图，棱长为2的正方体

一出用GA中，P为线段3。上动点.

(1)1正明：，「"平面送瓦九

(2心直线BP与平面43CD所成的角正弦值为当时，求点D到平面4BP的距离.

21-(2侬・江源稣题中钟考三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱叫个

圆柱拼接而成，点G为邨8的中点，且C,E,D,G四点共面一

(1)证明：平面BDF_L平面BCG;

(2错平面尸与平面W5G所成二面角的余弦值为半，目线段长度为2,求点G到

直线D尸的距离.

22.(2023•重庆沙坪切重庆南开中学校考例团(测)如图所示，正三棱柱"C-H8C

中各条棱长均为2,点时,ME分别为棱AC,.3.48的中点.

(1求异面直线MV和CE所成角的正切值；

(2球点B到平面MEV的距离.

23.(2023•云南•校联考第版测)如图，正上“。是圆柱底面圆。的内接三角形，其边

长为a.WD是圆。的直径，2!是圆柱的母线，E是WD与BC的交点，圆柱的轴截面是

正方形.

C

(1圮圆柱的体积为匕，三棱锥p--的的体积为匕，求g;

(2)1殳F是线段PE上一点，且FE=gpF,求二面角A-FC-O的余弦值.

•

24.(2023黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考模蛔测)在长方体-型1G。中,

-4B=BC=2CC,,点P为棱C。上任意一点.

(1球证：平面皿。，1平面PBD;

(2港点E为棱CC上靠近点C的三等分点，求点P在棱C。上什么位置时，平面BDE与

平面尸如夹角的余弦值为噜.

25.(2023•吉林长春吉大附中筵学校校考而测)如图，WB是圆。的直径，点C

是圆o上异于aB的点，直线PC一平面ABC,£尸分别是PA,PC的中点.

(1圮平面的与平面WBC的交线为/,证明：//平面PCB;

___1-

(2*殳(1)中的直线/与圆。的另一个交点为D,且点。满足DQ=-CP.记直线股与

平面W3C所成的角为6，异面直线股与所所成的角为a,二面角E-/-C的大小为£,

求证：sind=snasinyS.

26.(2023•江苏•金陵中学校联考三模)如图，圆锥中，WE1为底面圆。的直径，

AE=AD>al5c为底面圆。的内接正三角形，圆锥的高。0=18,点尸为线段。O上

一个动点.

（哨R?=3#时，证明：RU平面P3C；

（2心尸点在什么位置时，直线PE和平面P3C所成角的正弦值最大.

27.（2023•广东深圳•校考二模）如图1所示，等边5L3C的边长为2a,。是巨8边上

的高，E,尸分别是AC,3c边的中点.现将d"C沿CD折盘，如图2所示一

（2浙会后若H3=a,求二面角A-BD-E的余弦值.

28.（2023•湖南邵阳邵阳市第二中学校考模蛔测）如图，在"C中，?B90?,P

为AB边上一动点，PDHBC交.4C于点D,现将dZU沿PD翻折至^PDA'.

Q浩PB=CB=2PD=4,fij'PUP,线段dC上是否存在一点E（不包括端点），

使得锐二面角E-M-C的余弦值为二叵，若存在求出彩的值，若不存在请说明理

14EC

由-

29.（2023•湖南衡阳校考博烁测）如图，AMM是等腰直角三角形，。时,

四边形4BCM是直角梯形，AB±BC,MC±BC,且4B=2BC=2CM=2,平面

.n平面43cM.

'B

(1球证：ADIBM}

(2港点E是线段加上的一动点，问点E在何位置时,三棱锥"一曲的体积为叁?

30.(2023•浙江温州•统考二模)已知三棱锥D-W8C中，△58是边长为3的正三角

形，，4B=4C=JD,.m与平面B8所成角的余弦值为

(怵证：3;

(2球二面角D-AC-B的平面角的正弦值.

V题03首届新高考-立体几何大题综合(首届新高考江西、

广西、贵州、甘肃专用)

一、解答题

1.(2023•安徽亳州•安微省亳州市第一中学校考凰烁测)已知四棱锥PT5CD中,

侧面“，如为等边三角形，底面WB8为直角梯形，A8//CD,乙(BC=9O。，

BC=CD=g.4B=2,PA±BD.

(1球证：平面R1D_L平面WBCD;

(2或直线PC与平面PBD所成角的正弦值.

【答案】(1施明见解析

【分析】⑴由题意，利用勾股定理逆定理证明皿上皮＞,由已知H4_LBD,证明即1

平面PAD,从而证明平面PAD_L平面;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】(1)四棱锥P-4BCD中，ZL4BC=90c,BC=CD=g.4B=2,

则BD=JBC，+O=2^/2，.4。=^(4-2)"+2'=)AB=4,

二BD：+切=.*

二ADLBD,

又RJ_LBD,且R4cJD=4,JDu平面外£),

平面RID,又BDu平面4B8,

二平面且灰:。/平面PAD,即平面PADJ■平面ABCD；

(2)如图建直空间直角坐标系，则00。0),5(0,2^2,0),^-72.72,0),P(,

111,

所以05=(0,20⑼，斤=(-2在"-&)，而=(立0,m)，

设平面尸即的法向量为F=（x,j，二），则.丝=2汐,

[nDP=^2x+46:=Q

令x=6,则二=-1，所以5=（"0,-1）,

设直线PC与平面尸即所成角为8,贝

4|PC2x48

所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为哈

2.（2023•湖W演冈灌水县第一中学校考模蛔测）如图，在三棱台中,

（1证明：平面4-4CC;l平面WBC；

（2）1殳。是BC的中点，求平面4-4CC与平面4W夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】3）由线面垂直证面面垂直，根据题中条件，在平面-"。中，."垂直于两平

面的交线AC,只需再证其与平面.44CC内的另外一条与.4C相交的直线垂直即可.

（2）建立空间直角坐标系，两平面法向量的夹角余弦值的绝对值即为平面H4CC,与平

面4山夹角的余弦值.

【详解】（D证明:

由三棱台乂线C--仍c知：

在梯形其£33、中，取4B的中点E,连接4七，

因4旦=2,-1B=.4C=4

故,4,5,=AE,四边形4包,是平行四边形，

B、E=44,=下,

EB=—AB=2.BB=3

2''

所以线£+罚=5后，

:一ZBEB、=3,即gE_LJB,

因4mA.4,,所以BA±AAf,

又因HC=g,所以AU/C,

又因必CUC一，所以加_L平面4/CC,,

因A4u平面-15C,

所以平面4/CC，平面WBC;

(2)解：

取AC的中点。，4C的中点尸，连接8,OF,则OD<!AB,

因48工/C,所以OD_LHC,

由条件知：四边形A-4CC是等腰梯形，所以。尸_LNC,

平面A,ACC,c平面ABC=AC

OFU平面入acc,

平面44CCJL平面W5C

：.OF±^.4BC,

分别以at,OD,。尸所在直线为x轴，丁轴，二轴建立空间直角坐标系，如图,

则在等腰梯形4.4CC中，由平面几何知识可得：OF=/-(2-厅=2,

.•.4(20,0),25(0,2,0),4(1.0,2),石=(-2.2,0),^=(-1,0,2)

设平面*!£＞的法向量方=(Xy.z),

,2x+2j=0

则由得

J1A.AD(-X+2;=0

令x=2,得丁=2,二=1,

所以衣=(2.21),

又平面44CC,的法向量v=(0,1,0),

设平面与平面一冬山的夹角为6

eaI必可2x12

~-J

川8s|/z|-|v|^+2+rxl~3■

3.(2023•湖1留瓶・校考模蛔测》如图，在多面体H5CDE中，平面.4CD_L平面HBC,

5EJ＞平面4BC,dL3C和“CD均为正三角形，.4C=2,5E=J5,点K为线段CD

上一点.

(1球证：DEA.AM3

(2港EA/与平面.4CD所成角为g,求平面4W3与平面ACD所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2<

【分析】（1）取.其■中点。，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明。即可

推理作答.

（2）利用3）中信息，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.

【详解】3）取HC中点。，连接D。、0B,在正A.4CD和正ALBC中，AC=2,

则DO±AC,BO±AC,DO=8。=小，而平面ACDJL平面.ABC,

平面乂CDCI平面.1BC=/C,DOu平面&CD,30u平面T8C,于是8一平面.45C,

501平面4CD,

又BE_L平面zL8C,即有而DO=EB=W,因此四边形DOBE是平行四边

形，则。E//Q5,

从而DE1平面43C,/Afu平面ADC,

所以DE_LHM

（2）由（1）知，平面3DC,ZEWD为瓦/1与平面，DC的所成角，即乙EWD=；,

DE一出

在RtAEDM中，-那以为X中点，

tan—3

3

由（1）知，/。GOD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。-邛二,

显然平面以。的一个法向量为n=（100），设平面ML3的一个法向量为元=（几-二），

n.■AB=V^.v+j=0

,令x=l,得%=0,-退*3),

,,----..|nn,|1姮

I8S<H,%)|=='二=—/

13'

所以平面一一6与平面ACD所成锐二面角的余弦值为噜.

4.（2023•山东泰安•统考博■测）四棱锥S-.括8中，底面一婚8为矩形，

4D=&,$4=2,N£4B=60,NS4D=45,平面S.1D与平面SBC的交线为人

（1球证：直线/平行于平面.婚8；

（2球二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】3）根据题意证得.0〃平面SBC,结合线面平行的性质定理证得WD"直线

I,再由线面平行的判定定理，即可证得〃/平面.”8：

<2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，设屈=（。立C）,取与的方向向量e=（0:L0）,

根据乙£43=60,Z£4D=45,利用向量的夹角公式，求得不=（点,1Q,进而求得

平面一切S和平面H器的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（D证明：因为底面-空8是矩形，可得X小加，

又因为平面SBC,BCu平面S8C,所以AD〃平面SBC,

因为4Du平面S.1D,且平面SlDc平面SBC=/,所以WD，/直线/,

又因为/<Z平面A88,4Du平面W3C。，所以〃/平面WBCD

（2）解：以点A为原点，-AD,AB,垂直于平面WB8的直线.4Z分别为x轴'丁轴和二

轴，建立如图空间直角坐标系，则即,0。刀（&。0）,则赤=（含0,0）,

设方=9也c）,取万的方向向量L0）,

因为NS姐=60',ZX4D=45,

可得8s国而卜霜|二百名=¥

S嚼=1^1，

又因为S4=2,可得「45卜/r+b‘+L=2,即=4,

解得"或力=“=1,即屈=（衣U）,

设平面gs■法向量为碗=（“.3），则/"竺一,、一0,

取二i=l>可得x=Oji=-i,所以法=（OTD,

_fw«=y,=0

设平面心的法向量为〃-）'贝%.国:瓜+1,十二「0'

取取二：=—a,可得与=lj'=0,所以〃=Q0,-淄），

艇;产何力=而=而忑=-亍，

由图象可得，二面角。-立-B为锐二面角,

所以二面角D-'-B的余弦值为当

5.（2023•山东森•统考模蛔测）如图1,在平行四边形4BCW中，WB=2BC=2O,

__1一

Z.M1D=60。，D为CM的中点，AF=—FC,j/f=HD，沿.也将AMID翻折到^PAD

（1就B月：HF"平面广即：

（2或平面用。和平面RA的夹角.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）确定出D为正三角形，XCcBD=G,证明m7ADG,得到证明.

（2）确定40_L平面2*，AC±BC,建立空间直角坐标系，确定平面PCD和平面PBC

的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（DPA=PD=43,ZR4D=60°,JXD为正三角形，

AH=HD＞则N为期中点，

设.4Cc3Z）=G,CD-AB,CD=-.4B,故国=力故G为且。的三等分点，

/尸为XC的三等分点，即尸为.4G的中点、，椒HF3DG,

DGu平面PBD,HFN平面PBD,故H尸,/平面PBD.

(2)由题设易得司=6,ZZL4B=60°,

BD：=AD:+.4B--2zlD-.4BcosZLB.lD=3+12-2x^/3x2,V3xy=?,

^AD:^BD:=AB2,即JD1BD,HF"DG,故皿_LH尸，

AD1PH,PHCHF=H,PH、HF在面JW内，故40_L平面际

P尸在面PR尸内，HlADlPF,y.PF±AC,ACC\,4D=A,&C.在面，3co内,

故平面W3CD

在汝以阳中,PF=QPH；HF：J2[一仁]=&,

由题意易得乙婚0600,Z5.4O30%贝"N4cB=90、故HC/8C,

过点。作平面.488的垂线为二轴，以与，国分别为x轴、丁轴正方向，建立如图所示

坐标系.

尸(M

则C(0£0),3(0,5Ao),.4(3Q0),P(2Q0),,

CD而=仅0,&),而=(0,出,0),

ti-CD=—x——-v=0

设平面汽N*的一个法向量为n=(x..v,r),贝小22',

水而=2x+应二=0

令x=i,贝打=史二=-75,所以〃=(1*3-

m-CB=忑y、=0

设平面的一个法向量为M=(x„y„-),则

PBCf

mCP=2xl+42zl=Q

令X,=1,则J；=o,所以冽

设平面PBC和平面pc。的夹角为e,eqo,兀］

则8sg=|cos^m,?jJ|=1+2

2

jr

所以平面P8C和平面口的夹角为彳

6.(2023•福谢德校等国阴)如图，已知多面体£4CSD中，E51底面.4C3D,

EB=\,,15=2,其中底面由以WB为直径的半圆.4C5及正三角形43。组成

(1港501,求证3C#平面4DE

4\f

(2泮圆AB上是否存在点M,使得二面角M-AE-D是直二面角话存在，求出卷土的

DAl

值；若不存在，请说明理由.

【答案】(5正明见详解

(2府在，=3/

DM

【分析】(1)根据题意分析可得NG15=3O。，进而可证必_L/C,AD8C,根据线

面平行的判定定理分析证明J

(2)建系，设3/(cos&sin&0)/e(0,Ji),分别求平面.曲、平面M4E的法向量,结

合面面垂直的向量关系运算求解

Dp1

【详解】3)由题意可得：HC/BC,则sinNClB===：,

目NGIB为锐角，则NGLB=30。，

因为三角形.的为正三角形，则ZZL4S=60°,

P1^ZLQ4C=ZZllB-rZC15=90°,即AD_L4C,

所以血BC,

4Du平面WDE,3C<Z平面ADE,

可得8C/平面，DE

⑵如图，以的中点O为坐标原点，4B为"札.43的中垂线为1轴建立空间直

角坐标系，

则用1,0,0)0—19。以0,一^0)二(一1。1),

I1MMUUU

可得.4£=(-2,0,1),JD=(TT5,0),

一n-AE=-2x+二=0

设平面4DE的法向量”=(xj:)，贝I_rf-n,

n-.4D=-x-j3y=Q

令xf,则J，=T"M,即;=®T2®

设M(cos8,sin8,0),8c(0,n),平面的法向量加=(。也c),

uuuin-AE=-2ct+c=0

因为,4A/=(8sd-Lsin仇0),贝4_入-An，

mAM=(cos8-l)a+bsi“=0

令q=sin6,贝IJ.T=1-8Sd二=2sin，,即冽=(sin6,l—8s8：2sin8),

若二面角M-AE-D是直二面角，贝U〃•洲=/sinJ-(1-8S6卜4A5sin£=0,

整理得5-73sin8+8s6=1,

联立方程产解得「一印或黑：

sm-^+cos-6=1八37cos^=l

L8sg=----i

38

sm”您,

fl*。

因为d£(0⑺，贝i」sine＞0,可得＜3：即

COS^=-—

38

+0

所以月时**=嘴3M叵

丁，

可得当诲:塞=5小时,二面角小皿。是直二面角.

7.(2023・福建摩门,统考匐蜥测)筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边

形.如图，四边形-空8为筝形，其对角线交点为。，弱=也产。=国?=2,将入血＞

沿助折到的位匿，形成三棱锥』-Nd

(1球3到平面』OC的距离；

(2心HC=1时，在棱上是否存在点尸，使得直线B/与平面心所成角的正弦值

为：？若存在，求黑的值；若不存在，请说明理由.

4AD

【答案】⑴1

八十女A'PHP7

(2府在，近=§或赤而

【分析】(D根据线面垂直的判定可得的工平面48,进而可得3到平面』oc的距

离d=：BD=L

(2)以。为原点，。2。及。。所在直线分别为x轴，F轴，二轴建立空间直角坐标系,

再设港=Z75=j尼根据线面角的空间向量求法求解即可

【详解】（1）因为zLB=W,Bn=BC=2,

所以BD不可能为四边形WBCD的对称轴，则-UC为四边形,4BCD的对称轴，

所以AC垂直平分BD,所以A'01BD,CO±BD.

AOa平面A'OC,COu平面A'OC,A'Or\CO=O

所以平面HOC.

所以3到平面/OC的距离d=；BD=l.

(2)存在点P,使得直线3/与平面POC所成角的正弦值为J.

过。作OE1平面BCD,所以ODQEQC两两垂直

以。为原点，。2。及。，所在直线分别为x轴，J轴，二轴建立空间直角坐标系

由（1）得平面BCDJ•平面4OC,因为。4'=L0C=5HC=l

所以电制.

设差=2而=3「*石(注［0,小

而=示+及=",立-在

\2222)

oc=(o,Ao)

设平面POC的法向量;?=(X,北二)

一1丁=0

"方。。=0°所以।卜X+悍，L李XT卜0、+停z-T}=0

令二=22,贝iJx=2T

所以平面POC的一个法向量方=(7-L0,2打

设直线34与平面POC所成角为6

叼1里{!

即臼忆一1+川1

sind=cos5L4,n\=1•=—■—.==-.

I1&1［回或xJ('-iy+47，4

所以2=；或尤=g,所以存在点尸，使得直线艮，-与平面POC所成角的正弦值为

1HPITHP7

4A'D3A'D9

8.(2023•安敏合肥•合肥市第六中学校考模新测)如图所示的几何体是圆柱的一部分,

2兀

它是由矩形/BCD(及其内部)以边功所在直线为旋转轴旋转号得到的，K是股的

中点.

(1)设N是赤■上的一点，且4M_LCD,求ZFDN的大小;

(2片4B=2,.5=4时，求二面角C-HH-尸的余弦值.

【答案】⑴慨

【分析】(D依题意可得CD,平面JAD,即可得到3八DN,从而得解；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】(1)因为4V_LCD,ADLCD,

又AV,.4Du平面.CVD,ANC\,4D=A,所以CD_L平面WVD.

又AVu平面ADN,所以CD八DN.

又ZfDC=^,ZFDN=ZFDC-ZNDC=^-^=J.

(2)由(i)以。为坐标原点，分别以△?,nv,以所在的直线为x,二轴，建

立如图所示的空间直角坐标系.

由题意得4(0,0,4),C(2,0,0),M(L的4),网-1,收0),

故I?=Q0,T),而=(!!4,0),N=(T/T),

设w=(乂匚二)是平面HMT的一个法向量.

iii-AAf=0工+有1=0取x=l,可得而=|1「坐\|.

由，—，得1

ih-AC=02x-4z=0

设力=（。也。是平面的一个法向量.

HAM=0得，一/=0取a=l,可得方=|L-卓卜

由，

方月尸=0[-4+后6-4c=0

历w[十N]3

所以cos任用=时同=点3点=行,由图可知二面角C-4X-尸为锐二面角,

所以二面角C-.皿-F的余弦值为.

9.（2023•辽宁•辽宁实筠中学校考博烟f测）已知直角梯形形状如下，其中如一.也,

（1电线段CD上找出点尸，将四边形.皿龙沿即翻折，形成几何体/BE-DCF.若

无论二面角H-E尸-8多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点尸的具

体位置（无需给出证明过程）.

（2底（1）的条件下，若二面角/-E尸-8为直二面角，求棱台/SE-Z/CF的体积，

并求出此时二面角B-HD—E的余弦值.

【答案】（1）&=4或尸为靠近点。的三等分点；

喈氏9.

【分析】3）延长Q4C3交于点。，连接。£并延长交8于尸，翻折后证明平面-正5，/

平面函即可推理作答.

（2）根据给定条件，证明一平面£FC,再利用锥体的体积公式结合割补法求出体

积，建立空间直角坐标系求出面面角的余弦作答.

【详解】（1）在直角梯形WB8中，延长交于点。，连接OE并延长交CD于尸,

如图，

DFC

WCD,DC=2AB=12,AE=2,于是与=铝=乌1=2,则＞=4,尸为靠近

zLcAOAD

点D的三等分点，

将四边形且阻沿EF翻折，即将△（?£＞尸沿EF翻折，无论二面角H-EF-B多大,

所成几何体均为三棱锥O-。尸。，显然座/〃）£。尸u平面）T,0平面以C,

于是平面DR7,同理BE//平面DR7,而4Ec3E=E..里BEu平面x月3,

因此平面WELB＞/平面DRC,从而几何体ABE-DCF是棱锥。-AFC被平行于底面

由的平面所截，

截面和底面间的部分，即几何体A'BE-DCF是棱台，

所以无论二面角/-EF-B多大，都能够使得几何体一RBE-DCF为棱台，DF=A,F

为靠近点D的三等分点一

（2）翻折前D尸=2.4EDC=2.43,将。儿用C3延长一倍，三线交予点O,

在等腰直角三角形OD尸中，DE±OF,在棱台.KBE-DCF中，DELOF,

又二面角4-E尸-3为直二面角，。田上平面EFC,

即三棱锥°-。尸C的体积为％“=；。吗也8=»点484=券点,

又三棱锥H-O5E的体积1匕=4G也L，

OJ

则有棱台HB£-DCF的体积为匕…,=三0-"=?0,

在线段*上取。0=2,有亚=而，四边形AEGD为平行四边形，石=EG,EG±EB,

又。£一面£FC,则DS皿OE_LEG,以E为原点，学，与，名为XQ二的单位

2D2J2

向量建立空间直角坐标系，

则。(-2,-2,0),6(0,0,2&),5(0,4,0),E(0,0,0),丽=(2,2,2点)，历=(2,6,0),

0E=(2,2,0),丽=(0,0,2^2),取平面ODB的法向量为I=(。也。)，

『历=2。+勿+2缶=0

，令3=1,取1=(一31&),

%OB=Z7+60=0

it,OE=2)'+2s=0

取面8宏的法向量%=(r.s,O,则,令r=l,得"：=(L-LO),

兀丽=2"=0

显然二面角的平面角为锐角，设为a,

_|-3xl-lxl|_^/6

cosa=|cos<n,,??,>

I^II^T^2x72=T

所以二面角的余弦值为今

10.(2023•山西•校联考酬以0如图，斜四棱柱.488-型1GA的底面.458为等

腰梯形，且£8一8,点乂在底面的射影点。在四边形.空8内部，目

AD=BC=CD=AAy=2,AB=4,A,0=\,AAX.

(1球证：平面一4581平面ACCH；

(2底线段BD上是否存在一点A/,使得平面MBC与平面W88夹角的余弦值为率,

若存在，求器的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1就明见解析

B、M_1

(2语在,

BA2

【分析】(1)作出辅助线，得到四边形HDCE为菱形，得到HC工5C,得到线面垂直,

得到平面AB81平面;

（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，设m=力瓯=%而，由二面角的大小

得到八；

【详解】⑴在等腰梯形中，苴）=BC=CD=叫=2,.45=4,

过C作CE，/加交.48于£,则四边形ADCE是菱形，

NABC=60,NDCE=NECB=60,ZACD=ZACE=3Q,

Z.4CB=90,JC±BC,

又必_1改;44「/。=4必,以？匚平面皿（7?,

BC上平面-4CC,4,又BCu平面.-LBCD,

二平面W8CD1平面.4CC,4.

（2）由（1）平面WBCD1平面KCCd,

,.•耳。_1平面£8€。4。£2平面月（764,

点4在底面的射影。在XC上，,又4O=LM=2二.4。=4，

由⑴知AC=23*0=6

以。为原点，。4。及04分别为x,1,二轴，建立如图空间直角坐标系。-邛二，

则。(oQo)，H4,o,o),B(",2,o),c(dao)Q(o.To),4(o,ai),

则石=（doi）,而=（/,-3,0）,筋=9-2,0）,设限=7丽=2而，2e[0,l],

则丽=丽十丽=石.病=（—。1）+（&,—340）=（有尤_4「3丸1）,

易知平面-"8的一个法向量为质=供0,1）,

设平面MBC的法向量为»=（xJ，二）,

nBC=-2v=0

则〈——r，解得F=。，

n-BAf=后（之一l）x-3/ij+二=0

令x=l得，二=/一用，故）=（1。括一代团，

正三|阿T亚1

丽=.+3Q-肛=〒，解'3

11.（2023•河北・统考第蜥测）在圆柱。：。：中，等腰梯形W58为底面圆。:的内接四

边形，目