百师联盟2024届高三一轮复习联考（二）新高考数学联考试卷及答案

2024届高三一轮复习联考(二)

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.若复数z=(l+i3)(i+iz),则於=

A.2iB.-2iC.2-iD.2+i

2.已知集合A={z|z=2",neN},集合B={z|z=3〃，〃€N},则

A.AriB={z|z=6”，“eN}B.ADB={0}

C.AUB={X|X=6„,MGN}D.AUB={H|Z="，”GN}

3.命题"三HO>1,J：O—21nHoal”的否定为

A.VH>1,Z-21nz&lB.3x0^l,xo—21nz<)>l

C.VH>1,H—21nz>1D.三］041,工0—21nzo(l

4.已知函数/(#)=丁二+a,若/(—H)=-f(工)，则a的值为

e-1

A.-1B.lC.-^-D.一■今

5.已知函数f{x}=ae-x2+b是增函数,则实数a的最小值是

A.—B.lC.—D.2

ee

6.已知a)均为正数，不等式4"+2'>8成立是不等式ab^2成立的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

一轮复习联考(二)数学试题第1页(共4页)

7.已知9v。〈三•，若a=t：：，,,b=±---；cosZ0,c=——j—cosG,贝jla,b,c的大小关系是

43tan0+122cos0

A.c>a>bB.A>c>aC.c>6>aD/>a>c

8.已知AABC的外接圆面积为4“,三边成等比数列，则AABC的面积的最大值为

A.373B.4V3C.8D.4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若(a,6)(a>0,aWl)为函数y=log2Z图象上的一点，则下列选项正确的是,

A.(b,a)为函数y=2,图象上的点B.[£,&)为函数y=log/z图象上的点

C.(—6,0)为函数,=(9)’图象上的点D.(a,2&)为函数y=lo&工图象上的点

10.已知方程工2+机=0有两个不相等的实数根sin6,cos夕，其中04，V2n,则下列选项正确

的是

A.tan0=1B.sin2d=lC.sin(6+/)=0D.m=—

11.若数列｛%｝是等差数列，公差d>0,则下列对数列/.｝的判断正确的是

A.若6,=-%,则数列/“)是递减数列

B.若一=。3则数列力肘是递增数列

C.若hn=a.+a„+｝，则数列｛b.｝是公差为d的等差数列

D.若"=%+〃，则数列｛小｝是公差为d+1的等差数列

12.已知函数/(x)=Iln(2-x)I+1ln(2+x)I，则下列判断正确的是

A.函数/(H)是偶函数

B.函数”了)的最小值是In3

C.函数y=f(z)的图象关于直线z=l对称

D.函数〃工)有三个极值点

一轮复习联考(二)数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。=(2,7)，》=(-2］，-2),且。与b方向相同，则a・b=.

i/n

14.在ZXABC中，角A,B,C的对边分别是a,6,c,若cosC=—,cosB=—9,则角A=.

2aZ-------

15.等比数列｛a,)的前〃项和为S,,若fi=3,则匕=

O2a2

16.平面四边形ABCD满足证三南+彷，衣•BD=0,|AC|=\BD\，则tanNBAD的值

为___

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

/

17.(10分)已知数列｛%｝的首项a1=1,a”是a“+i与-1的等差中项.

(1)求证：数列｛a.+l｝是等比数列；

(2)证明：,+,+,+…+'+1<2.

a\a3a„-ia„

18.(12分)已知函数f(z)=sin(x+m),把函数y=/(z)的图象上所有点的横坐标缩短到原

来的£倍，纵坐标不变，然后再把所得到的图象上所有点向右平行移动三个单位长度，得到

函数_y=g(z)的图象.

(1)求函数？=g(z)的解析式；

(2)求函数y="H)+g(z)在zC上的最大值和最小值.

19.(12分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,A二等户E空一百人=sinAsinC.

0

(1)判断AABC的形状，并给出证明；

(2)若c=2,点。在边AC上，且△ABD的周长为雪也，求△BCD的周长.

O

一轮复习联考(二)数学试题第3页(共4页)

ZQ|X

20.（12分）已知数列｛%｝中a,=5,其前”项和为S"，满足S”=—券」.

（1）求数列｛*｝的通项公式；

（2）是否存在正整数相，明使得工，工，」一成等差数列？若存在，求出加，〃；若不存在，请

a”Q-m

给出证明.

21.（12分）已知函数〃工）=工+5工，8（工）=1111x+0,且函数八工）的零点是函数8（工）的

零点.

（1）求实数a的值；

（2）证明：y=g（z）有唯一零点.

22.（12分）已知函数”工）=小£。-1）工+1].

（1）当a=2时,求函数y=f（z）的图象在点（0,”0））处的切线方程;

（2）对任意工&0,有“z）＞az+l,求实数a的取值范围.

一轮复习联考（二）数学试题第4页（共4页）

2024届高三一轮复习联考(二)

数学参考答案及评分意见

1.B【解析】z=(l+i3)(i+iZ)=(l-i)(i-l)=2i,所以W=-2i,故选B.

2.A【解析1/4={川1=2〃，〃62=(0,2,4,6,8.10,12产,),5={1|2=3〃，〃6>1}={0,3,6,9,12,1.5J・・},所以

A116={0,6,12,18,…}={1|1=6,，〃WN},故选A.

3.C【解析】根据特称命题：mRo(n)的否定形式是全称命题：VzGM,>>(之)，可知"三1。>1,工。一

21n1。&1”的否定为"Vz>l,工一21nN>1",故选C.

4.C【解析】根据题意，函数“工)=:=+a,其定义域为{211#0}.由/(-x)=-/(x),H[jf^—r+aV

e—1\^ex—1)

Q)]+a)=-]+2a=0,解得a=£,故选C.

5.A【解析】/'CrXae*—2z,根据/(x)—aex—x2+6是增函数，得了‘Cr)>0,即ae，—,令g(z)=|^,

则g，Cr)=(；z=；，当「〈I时，g'(z)>。，所以g(z)在(一8,1)是增函数，当工>1时，g'(H)V0,

222

g(z)在(1,+8)是减函数,g(z)有最大值g(l)=一,因此a)一，实数a的最小值是一，故选A.

eee

6.B【解析】若a〃>2,贝ij4"+2">2/4"X2”=2,2.><2'22^/^=8,当2a=b,ah=2,

即a=1,6=2时，等号成立，因此若不等式ab22成立,则不等式4。+2〃28成立；反过来，若4"+2"》8成立，取

a=2,6=J,但是她=1,不等式不成立，因此不等式4"+2">8成立是不等式ab22成立的必要不充分

条件，故选B.

7.C【解析】=7T=sin，，cos0,b=9-9cos2，=9-3（l—2sinZG=sin2=sin，，

sinG,c=—r—cos0=-——r—==sin0•tan6,根据£<。<］，得tan。>1,l>sin6>cos。>0,即

cos0cosucos043

tan0>sin0>cos0,sin6•tan0>sin8•sin6>sin6•cos6,即c>b>a，故选C.

8.A【解析】AABC的外接圆面积为4兀,所以外接圆半径为2,不妨设三边a,6,c成等比数列，则从=碇.又853=

22222

a+c-ba+c—ac、2ac-ac1„,…石c-7r7n—b.”…A.

―z------=-z------）一75——，当且/r仅txl当时等号成立，所以0VB（可,又一石=4,所以△ABC

ZacZacZac23sinB

的面积S=£acsinB=y62sinB=8sir?B&8X（曰）=36■，故选A.

9.ABC【解析】若（a而为函数>=log2x图象上的一点，则心=log2a,2&=a.由2"=a,得（A,a）为函数y=2,图

log2a，得logi^-=log2a=6,所以(；,6)为函数y=log了图象上的点，故B正确；由6=log2a,得10gla=

万log2a=万6,所以为函数y=log」z图象上的点，故D不正确,故选ABC.

10.CD【解析】x2+加=0有两个不等的实数根sin0,cos。，贝ljsin20+m=0,cos2tf+?n=0,根据sin20+cos2^=1»

一轮复习联考(二)数学答案第1页(共5页)

sin0=隼,

得l+2m=0,m=—■，故D正确；于是sin汩=2，cos'd=•，因为sin07^cos6,所以或

cos0=一掾，

sin6=1"y,

,于是tan夕=-1,故A不正确；sin26=2sin8cos夕=-1,故B不正确+=《(sin0+

cos^=—♦

cos8)=0,故C正确.故选CD.

11.AD【解析】数列｛a”｝是等差数列，公差d>0,则an=ax+(九一l)d=dn+a｝—d，若6"=-an，则bn=—dn—

a1+d，—dVO,所以数列《〃”｝是递减数列，故A正确；若取*=〃-3,即«i=—2,a2=—l,a3=0,

%=1,々5=2,d=4,62=1=0，d=1,65=4,d>62>63V。4V仇，数列="｝不是递增数列，故B不正确；若

b„—a„+a“+i，则bn=a\+Gz—1)J+即+=2。1+(2〃-1)d,。”+】-6“=2ai+(2〃+l)d—2al—(2〃-1)J=

2d,数列也“｝是公差为2。的等差数歹h故C不正确；若i=%+〃，则力=©+(〃-1)4+〃=十一"+(4+1)・〃，

~bn=a1—d+(d+D(〃+D—"+(4+1)〃]=4+1,数歹4｛6»,｝是公差为d+1的等差数列，故D正

确.故选AD.

(2—«r>0,

12.ABD【解析】由得一2<rV2,所以函数fCr)的定义域是(-2,2)J(—i)=|ln(2+i)|+|ln(2一

[2+i>0,

z)|=|ln(2一£)|+|5(2+])|="7)，所以/(1)是偶函数.选项人正确；由于函数/(])是偶函数，图象关于

y轴对称，所以考虑0VaV2,于是ln(2+i)>0,当OVrVl时，ln(2—z)>0,/(z)=ln(2—1)+ln(2+z)=

2+z

ln(4—x2),/(N)在(0,1)是减函数，当IVarV2时，ln(2—z)V0,/(%)=—ln(2—N)+1II(2+N)=ln工=

ln(—l+£?)JQ)在(1，2)是增函数，因此/(H)在工=1时有最小值f(l)=ln3,选项B正确；/(2—工)=

|ln(2-(2-H))|+|ln(2+(2—工))|=|1112|+|111(4—工)|金/(工)，函数y=/(工)的图象不关于直线x=l

对称，选项C不正确；由于函数/'(工)是偶函数，根据其图象关于y轴对称，可得人工)在(一2,—1)是减函数，在

(-1,0)是增函数，在(0,1)是减函数，在(1,2)是增函数，所以/(工)在工=一1处有极小值，在工=0处有极大

值，在z=l处有极小值.因此"z)有三个极值点，选项D正确.故选ABD.

(2=-2xA，

13.6A/2【解析】由向量a=(2,%)"=(一2]，-2),且a与》方向相同，得。=义》，且入>0,则x=

x=-2A,

一招,于是。=(2,一虑)»=(2女,一2),。・b=69.

14.77【解析】根据cosC=g,以及正弦定理，得cosC=•即2sinAcosC=sinB,又sinB=sin(A+C)=

122aZsinjA”4

sinAcosC+cosAsinC,所以2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC,sinAcosC—cosAsinC=0,sin(A—0=0,

A=C,由cosB=一坐，得5=］兀,所以A=3.

Zo1Z

ai(l—g4)

15,2【解析】设｛a.｝的公比为q,显然二W=l+q?=3,所以q2=2,^=K-=q2=2.

52ai(1-Q)1—ga2a2

i-g

一轮复习联考(二)数学答案第2页(共5页)

16.-3【解析】根据证=成+电+皮和病=瓦直+彳方，得瓦？+亦+比=戏+记，所以反=2彳力，设

AC=a,BD=b,则a・b=O,|a|=b|,设|a|=|8|=m,由a=AC=AD+DC=AD+2AB,以及b=

前—疝，得俞=:(a—b),而=：(0+26),施•AD=~(a-b)(a+2b)=-jm2,|AB|=

~\a-b=J/(a-b)2=§加，AZ5=J|G12b=J，(a+2"=gm,cos/DAD=AB■AD

o00ouO|AB|•|ACT|

_12

9m13

---------=-,sinZBAD二，tan/BAD=-3.

V27底/Io710

钎X3m

17.证明：（1）由a”是a.+i与一1的等差中项，得2a“=ae+i—1,......................................................................2分

a11=2a”+l,aw+i+l=2（a“+D，ai=1,所以a1+1=2卢0,所以巴工J=2,因此数列｛a”+1｝是以2为首

。”十1

项，2为公比的等比数列.........................................................................5分

（2）由（1）知，a”+l=2"，.....................................................................................................................................6分

a”=211—1>2”-2"T=2”T,,《工■，当且仅当n=l时取等号.....................................7分

an2"

当”=1时，—=1V2；

ai

1々i,i

当时，I1+1+14144

”>21------1-----1-…H------<++++42"72"T

a1a2a,a„-：TTTT

因此，工+工+工+…H---+—<2.

10分

aia2a3a„-ia”

18.解：⑴把函数y=/（z）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，得到ksin,+^

............................................................................................................................................................................3分

然后再把所得到的图象上所有点向右平行移动佥个单位长度，得到广所回工一昌+三=sin（2z+/

即g(x)=sinf2x+jj.5分

⑵由(D得^=/(x)+g(x)=sinL+j+sinf2x+-^-6分

...(2K7t

令2=工+三,贝11x=/--^-,j=sin^+sin2|/-sin£十sm{2Nz——4~—sin，+sin(21-5

OOII6J0

sint-cos2t=sint—(1-2sin2/)=2sin2z+sint-],.................................................................................8分

令sint=相，则y=2m2+m—1=2g

8

由zG-J，】及'=#+3得zG_L,一<《sin，即一看《加《1,...................................10分

LLo004L

当初——3即sin（H+W）——《时好——I•，当mi即时工+曰=1,H=三时,加「2............12分

19.解：⑴AABC是直角三角形，证明如下：由正弦定理，及sin2B-sin2A=sinAsinC,得从一△=丝.……2分

一轮复习联考（二）数学答案第3页（共5页）

根据A=[以及余弦定理.得>=从+1-2加X乌.即/=/+1—6■加，.........................4分

04

所以ac+c?一"从=0,6=^^,于是(^_^]=az+ac,2a2+ac-c2=QA2a—c)(a+c)=0,

73IV3)

所以<7=20,62=。2+202=3/,因此c2=a2+/,2\ABC为直角三角形................................6分

(2)由c=2,以及由(1)得c=2a,。=畲0,NC=90°,可得a=l,6=痣................................8分

设则=不T,AD=6'一]，且由aABD的周长为一六，得，^阡1+痣一工+2

=7+；°,4'+1=7+~^~.解得力=?，.......................................................10分

4_____545

所以CD=7.BD=^/^TT=w，Z\BCD周长为8©+(?£>+8£)=1+彳+7=4...................................12分

oOOO

/3।)〃

20.解：(1)由S”=―六一，得2sll=(3+*)〃，当〃》2时，2S.T=(〃-1)(6_1+3),根据%=S“一S”7,得

2%+3)—(〃-1)(。…+3),即(〃一2)a”一(〃一1)。“1=-3・..........................................................2分

当时，修一照=(”—]；、—2),即占一段=3(七一当),.........................4分

所畛号=3(»,

±L_^=3f---L

32(32J9

竺一也=3(工_11，

43(43)

%"一_/11)

〃-1〃-2-1n-2),

分别相加，得上、一?=3(工一11.又02=5,所以々-5=3(」7—1],即%=2"+1(“>3),当“=1时,

«—111)n—1I"-1)

2a1=0+3,%=3,所以m=3,“2=5符合上式，所以数列｛*｝的通项公式为%=271+1,”62............6分

(2)不存在.证明如下：假设存在正整数m,”.则a”=2n+l,a“=2m+l,

=

^3«+12(3n+1)+1=6n+3=3(2n+l)>—=o\,

an2〃十1

am2机+1'々3”+13(2n+1)*

11I21121124

由一，一，——成等差数列，得一=一+——，==汴？+而厂工T=kTT？2(2m+l)=

3(2〃+1),其中等式左边2(2m+1)是偶数，等式右边3(2〃+1)是奇数，等式不成立,即假设不成立，因此不存

在这样的正整数“，〃・..........................................................................12分

21.(1)解：/'(]),8(工)的定义域为7£(0,+8).设函数/(#)的零点为x0,io>O,则Xo+lnx0=0Jnx0=~xQ♦

-xJ

e*=x0»e0=—..................................................................................................................................................2分

g(io)=e*。Inx+a=—X(—x)+a=—1+a，因为函数f(z)的零点是函数g(z)的零点，所以g(x)=O,

0xo0o

一轮复习联考(二)数学答案第4页(共5页)

因此a=l...................................................................................................................................................................6分

(2)证明：8'(工)=6，1!1z+e，♦—=e4fInx+—)，令/i(H)=lnz+工，则Az(x)=-......'=='②'令h'(工)>

xx)xxxx

0,得工>1,令〃(工)VO,则0VN<1,所以乂工)在(0,1)是减函数，在(1,+8)是增函数...............8分

所以人(工)有最小值人(1)=1>0,即从工)>0,

于是g'(z)=e7(z)>0,所以g(z)在(0,+8)是增函数，

由g(；)=e；ln；+l=l—e^Vl—e0=O,g(l)=l>O,所以g(z)有唯一零点......................12分

22.解：(1)当a=2时，/(工)=-(工+1),/(0)=1,.................................................................................................1分

//(x)=eJt(x