2023年湖南省益阳十五中中考数学模拟试卷（附答案详解）

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2023年湖南省益阳十五中中考数学模拟试卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在|一1|，V27,兀，这四个数中最大的数是（）

A.|-1|B,V27C.nD.

2.下列计算正确的是（）

A.（a2）3=a5B.a3+a=2a4

C.a84-a2=a6D.（—5a26）（—3a）=15a2b

3.已知点「（2/1-7,4-2切在第二象限，则n的取值范围是（）

77

A.n<2B.n>2C.n<-D.2<n<-

4.己知关于x的方程/+px+q=0的两根为一3和2,则;的值为（）

6116

A.-6-6-

5.已知直线、=人》-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线的解析式为（）

A.y=2x—4B.y=-2x—4

C.y=—4D.y-7.x-4或y=-2x-4

6.如图，A是某公园的进口，B,C,。是三个不同的出口，小明从

4处进入公园，那么在B,C,D三个出口中恰好从B出口出来的概率

为（）

1

A.4-

1

-3

1

-2

7.如图，已知BG是乙4BC的平分线，DE丄力B于点E,DF丄BC于点F,DE=6,则DF的长

度是（）

A.2B.3C.4D.6

fx_3<2xz3+1

8.若关于x的不等式组124的所有整数解的和为5,且使关于y的分式方程

（2（%--«）>-%

名=3+占的解大于1,则满足条件的所有整数a的和是（）

y—zz-y

A.6B.11C.12D.15

9.如图，△ABC中，DC=2BD=2,连接力D,/ADC=60°.E为AD

上一点，若△BOE和△BEC都是等腰三角形，且冃+1,则

乙4cB=（）

A.60°

B.70°

C.55°

D.75°

10.如图，矩形4BCD的面积为5,它的两条对角线交于点0「以AB、

401为两邻边作平行四边形ABC10］，平行四边形4BG0］的对角线交于

点。2,同样以48、AO?为两邻边作平行四边形48。2。2,…，依此类推，

则平行四边形ABC”0n的面积为（）

.5Q5D

A.戸B.£J2Hl-品

第II卷（非选择题）

填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.已知冋=2,b=3,则b-a=

13.已知;+:5,则与|諾人—•

14.若反比例函数y=M（m为常数）的图象在第二、四象限，则ni的取值范围是.

15.北偏东30。与北偏西50。的两条射线组成的角为度.

16.任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式.我们以无限循环小数0.5为例说明如下:

设0.5=x>由0.5=0.555…可知，10x=5.555…，所以10x—x=5,解方程得x=|,

于是，0.5=请你把0.3G写成分数的形式是.

17.在Rt△ABC中，ZC=90°,AC=3,以点4为圆心，1为半径作。A,将04绕着点C顺

时针旋转，设旋转角为a（0<a<90。），若04与直线BC相切，则4a的余弦值为.

18.如图，正方形4BCD、CEFG的顶点。、尸都在抛物线y=-1x2

上，点B、C、E均在y轴上,若点。是8C边的中点，则正方形CEFG

的边长为.

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.（1）计算：2-1+（1-，7）°-CL

（2）解方程：x（x-4）=8-2x.

四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.（本小题10.0分）

己知，/.ABC=乙DCB,4ACB=厶DBC,求证：△ABC^^DCB.

B

21.(本小题10.0分)

甲、乙两个电子团队维护-一批电脑，维护电脑的台数y(台)与维护需要的工作时间x(/i)(0W

xW6)之间关系如图所示，请依据图象提供的信息解答下列问题:

(1)求乙队维护电脑的台数y(台)关于维护的时间x(h)的关系式;

(2)当x为多少时，甲、乙两队维护的电脑台数一样.

22.(本小题10.0分)

为了解开发区对“垃圾分类知识”的知晓程度，某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的

问卷调查，调查结果分为“4非常了解，B.了解，C.基本了解，。.不太了解”四个等级进行统

计，并将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图(图1、图2),请根据图中的信息解答下

列问题：

(1)这次调查的市民人数为人,图2中，n=.

(2)补全图1中的条形统计图；

(3)在图2中的扇形统计图中，表示“4非常了解”所在扇形的圆心角度数为多少度，

(4)据统计，2017年开发区约有市民320000人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾

分类知识”的知晓程度为：“D.不太了解”的市民约有多少人.

余姚市民对•垃圾分类知识”的知晓程度的条形统计图及扇形统计图

图I图2

23.(本小题10.0分)

如图，已知P是等边△ABC中BC边上一点.

(1)过点P作PE〃AC,求证：ABPE为等边三角形；

(2)连接4P,以P为顶点作厶APQ=60。，PQ交厶C的外角平分线于点Q,连接AQ,那么△APQ

是什么特殊三角形？证明你的结论.

24.(本小题10.0分)

某店经营的4款手机去年销售总额为60000元，今年每部销售价比去年降低500元，若卖出的

数量相同，则销售总额将比去年减少25%,已知4B两款手机的进货和销售价格如下表：

4款手机B款手机

进货价格(元)11001400

销售价格(元)今年的销售价格2000

(1)今年4款手机每部售价多少元？

(2)该店计划新进一批4款手机和B款手机共60部，且8款手机的进货数量不超过4款手机数量

的3倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？

25.(本小题10.0分)

如图，某数学小组以等腰直角三角形04B纸板的直角顶点。为坐标原点，建立平面直角坐标

系，已知点4(—2,—2),B(2,—2),请思考并解决下列问题：

(1)若抛物线G过三点。、A、B,求此抛物线的表达式；

(2)设。4的中点为。，若抛物线经过平移顶点为。，写出平移后的抛物线的解析式.若点

P(m，%)，Q(l,y2)是抛物线上两点，当yi>y2时，求小的取值范围；

(3)将厶04B沿水平方向平移，当恰好有一个顶点落在抛物线C2上时，请直接写出平移的距离.

26.(本小题10.0分)

如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-3刀+九分别与久轴、y轴交于点力、B,且点A的坐标

为(4,0),点C为线段4B的中点.

(1)求点B的坐标；

(2)点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q,设点P的横坐标为

m,△OPQ的面积为S,求S与m的函数解析式；

(3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N,使得以0,B,P,N为

顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：|一1|=1，V27=3，

V7T>3>V_2>1,

・•.在|-1|,V27.兀，C这四个数中最大的数是兀.

故选：C.

首先求出|-1|,旧的值，然后根据实数大小比较的方法判断即可.

此题主要考查了实数大小比较的方法，以及算术平方根、立方根的含义和求法，解答此题的关键

是求出|一1|，旧的值.

2.【答案】C

【解析】解：4(。2)3=。6,故原题计算错误；

B、和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；

C、a8^a2=a6,故原题计算正确；

D、(-5a26)(-3a)=15a3b,故原题计算错误；

故选：C.

利用同底数基的除法法则、塞的乘方的性质、单项式乘以单项式的计算法则，合并同类项法则进

行计算即可.

此题主要考查了单项式乘单项式、同底数幕的除法法则、幕的乘方的性质及合并同类项，关键是

掌握整式的乘法的计算法则.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查的是点的坐标及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大

取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.根据第二象限

内点的坐标符号特点(-.+)列出不等式组，解之可得.

【解答】

解：根据题意可得［二;1二，

解不等式2九一7<0,得：n<|,

解不等式4-2n>0,得：n<2,

则不等式组的解集为n<2,

故选A.

4.【答案】A

【解析】解：••・关于x的方程产+p尤+q=0的两根为-3和2,

—3+2=--3X2=；,

•­p=1,q=—6,

...2=_

P6'

故选：A.

根据一元二次方程根与系数的关系，即可求出p,q的值，进而即可求解.

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握方程a-+bx+c=0(ar0)的两个根旳，x2,

满足与+刀2=-，/52=；，是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：令x=0,则y=—4,令y=0,则x=楙，

直线y=依-4与y轴的交点坐标为(0,-4),与x轴的交点坐标为0),

则与坐标轴围成的三角形的面积为;x4x住|=4,

21k1

解得k=±2.

故函数解析式为y=±2%-4.

故选：D.

求出直线与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值.

本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，直线与坐标轴围成三角形的面积求法，要熟练函数与

坐标轴的交点的求法.

6.【答案】B

【解析】解：小明从4处进入公园，那么在B,C,。三个出口出来共有3种等可能的结果，其中从

B出口出来是其中一种结果，

・•・恰好从B出口出来的概率为：i.

故选:B.

直接利用概率公式求解即可.

本题考查了概率的公式，一般地，如果在一次试验中，有九种可能的结果，并且它们发生的可能性

都相等，事件4包含其中的小种结果，那么事件厶发生的概率PQ4)=単，熟练掌握概率的公式是解

题的关键.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查角平分线的性质。根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得解。

【解答】

解：•••是N4BC的平分线，DEVAB,DF1BC,

.・.DE=DF=6,

故选D。

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了一元一次不等式组的解法，正确运用不等式组的性质是解题的关键.

首先解不等式组，根据不等式组的所有整数解的和为5求出不等式组的解，从而得岀a的不等式;

然后解分式方程得出a的另一个不等式，联立解a的不等式组，求出a的整数解然后相加即可.

【解答】

解：解不等式组，得

•••不等式组的所有整数解的和为5,

・•・%=2,3

A1<a<2

A3<a<6,

解分式方程，得丫=。+6,

・•・Q+6>1,且yH2,即a+6W2,

・,・a>-5,且Q工—4,

3<a<6

•・・a为整数,

a=4,5,6

・•・4+5+6=15,

因此满足条件的所有整数Q的和是15.

故选：。.

9.【答案】D

【解析】解：•.♦4EOC=60。，

:.厶EBD+乙BED=60°,

・・・△8DE是等腰三角形，

:.厶EBD=乙BED=30°,BD=DE=1,

・・•△BEC是等腰三角形，

・・・Z,EBD=厶ECD=30°,

・・・厶EDC=60°,

・・・乙DEC=90°,

在Rt△DEC中,

v乙ECD=30°,DE=1,

又・・・4。=门+1，

・•・AE=AD-DE=y/~~3=EC，

・•.△4EC为等腰三角形，

又•・•乙DEC=Z-AEC=90°,

・・・^LECA=Z.EAC=45°,

・・・乙ACB=乙ACE+乙ECD=45°+30°=75°：

故选：D.

证明乙4CE=45°,4ECD=30°,可得结论.

本题主要考查了等腰三角形的性质应用，解直角三角形等知识，准确计算是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：•••DOi=BOi，DC/ZO^CJ/AB,

二夹在DC和OiG，。1的和4B之间的距离相等，

...第一个平行四边形的面积是矩形面积的一半，

依此类推第二个平行四边形是第一个平行四边形面积的一半，

所以第n个平行四边形的面积为：5x^=热

故选：B.

因为矩形的对边和平行四边形的对边互相平行，且矩形的对角线和平行四边形的对角线都互相平

分，所以上下两平行线间的距离相等，平行四边形的面积等于底x高，所以第一个平行四边形是

矩形的一半，第二个平行四边形是第一个平行四边形的一半依次可推下去.

本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，矩形和平行四边形的对边平行，对角线互相平分.

11.【答案】1或5

【解析】解：|可=2,b=3,

a=±2,b=3,

二当a=2,b=3时，b—a=3-2=1；

当a=-2.b=3时，b—a=3—(-2)=5；

故答案为：1或5.

根据绝对值的意义得出a的值，然后根据有理数减法运算即可.

本题考查了绝对值的意义以及有理数减法，根据绝对值的意义得出a的值是解本题的关键.

12.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查分式的加减，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.根据分式的

加减运算法则即可求岀答案.

【解答】

解：原式=2x-（?l）=1.

x-1

故答案为1.

13.【答案】1

【解析】解：「+：=5,

兀y

.・・％+y=5xy,

2x5xy-5xy=5

2xy+5xy7

故答案是今

先根据已知条件可得x+y=5xy,再把x+y的值整体代入计算即可.

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是求出x+y的值，以及整体思想.

14.【答案】m<|

【解析】解：因为反比例函数y=『（6为常数）的图象在第二、四象限.

所以3m-1<0,

,1

:.m<--

故答案为：m<^.

对于反比例函数y=；（k彳0）,（l）fc>0,反比例函数图象在一、三象限；（2）k<0,反比例函数

图象在第二、四象限内.

本题考查了反比例函数的性质，应注意y=5中k的取值.

15.【答案】80

【解析】解：如图，由题意得，/-AON=30°,乙BON=50。,BX

:.乙ABO=CAON+乙BON307

7。7

=30°+50°、/__

WO\'E东

80°,

故答案为：80.

根据方向角的意义以及角的和差关系进行计算即可.

本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差关系是正确解答的关键.

16.【答案】今

【解析】解：设丫=0.36①，

则有100y=36.36(2))

②一①得：99y=36,

解得：y=《，

则把0.36写成分数的形式是

故答案为：持■.

仿照任何无限循环小数都可以化成分数的方法计算即可.

此题考查了解一元一次方程，弄清题中无限循环小数化分数的方法是解本题的关键.

17.【答案】1

D

【解析】解：设将。4绕着点C顺时针旋转，点4至点A时，04'与直线BC相N

切相切于点。，连接4。，

则Z4'OC=90。，A'D=1,

由旋转的性质可知，CA'=CA=3,CK-

••・coswn=哭=%

-AC//A'D,

a=Z.CA'D,

Na的余弦值为

故答案为：

根据切线的性质得到=90。,根据旋转变换的性质得到C4'=C4=3,根据余弦的定义计算,

得到答案.

本题考查的是切线的性质、旋转变换的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切

点的半径是解题的关键.

18.（答案】1+\T~2

【解析】解：•.・点。是8c边的中点，

，设。B=0C=-BC=a,月.a>0,

在正方形4BC。中，DC=BC=2a,DC1FC,

Z）（—2a,—a）,

VD（-2a,-a）在抛物线y=一步上，

-a=2a产，

解得：a=\,

设正方形CEFG的边长为b,且b>0,

:.CE=EF=b,

1

.・.OE—OC+CE=2+b,

・・・结合正方形的性质，可知F（4一g—b）,

vF（6,-|-b）在抛物线y=一92上，

解得：b=1+12（负值舍去），

故答案为：1+>r~2-

设OB=OC=^BC=a,且a>0,即可得。（一2a,-a）,根据D（-2a,-a）在抛物线y=-上,

可得a=：,设正方形CEFG的边长为b,且匕>0,同理可得尸代入y=-#中，问

题得解.

本题考查了二次函数的图象与性质，掌握正方形的性质，二次函数的图象与性质是解答本题的关

键.

19.【答案】解：（1）原式=^+1-2门

=|-2<3；

(2)x(x—4)=8—2%,

移项得：x(x-4)+2(x-4)=0,

(x-4)(%+2)=0,

・,・％—4=0,%+2=0,

解得：=4,x2=-2.

【解析】(1)先根据二次根式的化简，负整数指数幕，零指数幕进行计算，再求出即可；

(2)移项后分解因式，即可得岀两个一元一次方程，求出方程的解即可.

本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算等知识点，能求出每一部分的值是解(1)的关键，能

把一元二次方程转化成一元一次方程是解(2)的关键.

20.【答案】证明：在△ABC与中，

Z.ABC=乙DCB

BC=CB,

Z-ACB=乙DBC

ABC=LDCBQ4S4).

【解析】根据4sA证明△ABCw/kDCB即可.

本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意8c是两个

三角形的公共边.

21.【答案】解：(1)由函数图象得，

当0WxS2时，设乙队y与x之间的函数关系式为丁乙=七双自丰0),

由图可知，函数图象过点(2,30),

2kl=30,解得七=15,

•••丫乙-15x(0<x<2),

由函数图象得，

当2<xW6时，设乙队y与％之间的函数关系式为y1=mx+n(m*0),

由图可知,函数图象过点(2,30),(6,50),

(2m+n=30

l6m4-n=50'

解得｛屋杀

・•・y乙=5x+20(2<%<6).

(2)由函数图象得，

当0WXW6时，设甲队y与x之间的函数关系式为y尹=七双七*0),

由图可知，函数图象过点(6,60),

*,16k260,

解得的=10,

:,y甲=10%,

由(1)得，当2cxW6时，VZ=5X+20,

由图象知，当owxw2时，y用丰y乙;

当2<丫式6时，存在y/=y乙.

且当丫牛=丫2时，即10x=5x+20,

解得x-4,

・•・当x=4时，甲队整理电脑台数等于乙队整理电脑台数.

【解析】(1)由函数图象可知，此关系式是分段关系式，当0SXS2时，设乙队y与x之间的函数

关系式为丁乙=4"(自中0)，把点(2,30)代入可求出自的值；当2<xS6时，设乙队y与x之间的

函数关系式为=mx+n(m*0),把点(2,30),(6,50)的值代入即可求出m和；

(2)求出甲队维护电脑的台数y(台)关于维护的时间x(/i)的关系式，令丫甲=丫乙,即可求出x的值.

本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数表达式及数形结合思想，根据图象读出点坐标，

求出函数表达式是解题关键.

22.【答案】100035

【解析】解：(1)这次调查的市民人数为：200+20%=1000(人)，

•••m%=280+1000X100%=28%,

n%=1-20%-17%-28%=35%,

:、TL—35;

故答案为：1000,35；

(3)“非常了解”所在扇形的圆心角度数为：360°x28%=100.8°：

故答案为：100.8°；

(4)320000x17%=54400(A),

二估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“D.不太了解”的市民约有54400人.

(1)根据C类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再根据4类的人数求出A类所占的百分比,

从而求出n的值;

(2)根据求出的总人数和B类所占的百分比即可求出B类的人数，从而补全统计图;

(3)用360。乘以“4非常了解”所占的百分比即可;

(4)用2017年开发区约有的市民乘以“D.不太了解”所占的百分比即可得岀答案.

本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的运用，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据

的大小，便于比较.从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系.

23.【答案】⑴证明：是等边三角形,

•1■Z.B—厶BAC=/.BCA=60°>

vPE//AC,

•••乙BPE=Z.BCA=60°,

•••Z.B=厶BPE=乙BEP=60°,

为等边三角形；

(2)解：A/IPQ是等边三角形，理由如下:

・・•△4BC是等边三角形，aBPE为等边三角形,

・•・AB=BC,BP=PE=BE,乙BEP=(ACB=60°,

:・AE=AB—BE,PC=BC-BP,

：.AE=PC,

vZ.BEP=^ACB=60°,Z.BEP^LAEB=180°,CQ平分N/CB的外角，

:./-AEP=120°=60°+60°=60°+划。丁酸=厶PCQ,

•・・乙BAP+Z.APE=60°,厶CPQ+Z.APE=180°—60°-60°=60°,

:.乙BAP=厶CPQ,

:・bAEP三bCPQQ4s力)，

・・・AP=PQ,

vZ-APQ=60°,

.♦•△4PQ为等边三角形.

【解析】⑴由△48c是等边三角形得NB=Z.BAC=^BCA=60。，再由PE〃厶C得4BPE=

/.BCA=60°,即可证明结论成立；

(2)证明A4EP三△CPQ,得ZP=PQ,再由Z4PQ=60。，即可证明△APQ为等边三角形.

本题主要考查了等边三角形的判定及性质、角平分线的定义、全等三角形的判定及性质以及平行

线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键.

24.【答案】解：(1)设今年4款手机每部售价x元，则去年售价每部为(x+500)元，

由题意得：幣=6。。。。(1-25%),

x+500x

解得：%=1500.

经检验，久=1500是原方程的解，也符合题意.

答:今年4款手机每部售价1500元；

(2)设今年新进4款手机Q部，则B款手机(60-a)部，获利y元，

由题意得：y=(1500-1100)a+(2000-1400)(60-a)=-200a+36000.

8款手机的进货数量不超过4款手机数量的3倍，

60—aW3a,解得a>15,

•••在y=-200a+36000中，k=-200<0,

・•.y随a的增大而减小.

va>15,

.•.当a=15时，y取得最大值为33000元.此时B款手机的数量为：60-15-45部.

答：当新进A款手机15部，B款手机45部时，这批手机获利最大.

【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式

的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键.

(1)设今年4款手机的每部售价x元，则去年售价每部为(x+500)元，由卖出的数量相同建立方程

求出其解即可；

(2)设今年新进4款手机a部，则B款手机(60-a)部，获得y元，由条件表示出y与a之间的关系式，

由a的取值范围就可以求出y的最大值.

25.【答案】解：(1)设抛物线G解析式为y=ax2+bx+c,

将点4(-2,-2),8(2,-2),0(0,0)代入,

c=0

4a—2b+c=-2,

4a+2b+c=-2

(c=0

解得[a=_],

lb=0

・•・函数G的解析式为y=-：/；

(2)•••。为。4的中点，

D(-1,—1),

・・・平移前抛物线的顶点为(0,0),平移后抛物线的顶点为

・•・平移后的抛物线C2的解析式y=-i(x+l)2-l,

••・抛物线的对称轴为直线％=-1,

"71>、2，

・•・+1|v|1+1|,

・•・—3<m<1；

(3)当4。48水平平移£个单位时，

点4(-2,-2),8(2,-2)平移后的对应点为(-2+。-2),(2+t,-2),

当(-2+t,-2)在抛物线上时，一2=-*—2+t+l)2-l,

解得t=C+1或t=+1.

•・・向右平移+1)个单位或向左平移(。-1)个单位：

当(2+t,-2)在抛物线上时，-2=-：(2+t+I/-1,

解得t=V-2—3或t