2023-2024学年浙东北联盟 数学高二年级上册期末调研模拟试题含解析

2023-2024学年浙东北联盟数学高二上期末调研模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.若点在椭圆：+4=1的外部，则。的取值范围为（）

2.已知数列｛&｝是递减的等比数列，｛。"｝的前”项和为S“，若小+。4=9,%%=18,则S2q=（）

A.54B.36

C.27D.18

3.下列命题正确的是（）

A经过三点确定一^（b平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

4.直线x+2y—6=0平分圆C：f—4x+/—2勿+3+/=。的周长，过点P（—1,—》）作圆C的一条切线，切点为

Q,则|PQ|=（）

A.5B.2痴

C.3D.2>/2

5.已知直线/和两个不同的平面a,B,a±/3,则“〃/a”是，尸”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.若球的半径为10cm,一个截面圆的面积是36万加2,则球心到截面圆心的距离是。

A.5cmB.6cm

C.8cmD.lOcm

7.经过点A（O,-3）且斜率为2的直线方程为（）

A.2x-y-3=0B.2x+y+3=0

C.x-2y-6=0D.X+2y+6=0

8.算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘（如图1）,共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁,

梁上一珠拨下，记作数字5,梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两

枚算珠，可以表示不同整数的个数为。

A.8B.10

C.15D.16

9.若圆C]：+J?=1与圆C2：/+,2-6%一8,+加=0外切，则根二（）

A.21B.19

C.9D.-H

丫2

io.已知双曲线c：>2一"=1（6〉0）的离心率为可，则双曲线c的渐近线方程为（）

A.3x±y=0B.x±3y=0

C.x±2y=0D.2x土y=0

11.某救援队有5名队员，其中有1名队长，1名副队长，在一次救援中需随机分成两个行动小组，其中一组2名队员,

另一组3名队员，则正、副队长不在同一组的概率为（）

11

A.——B.—

102

32

C.-D.-

55

,crcuuiuum

12.已知直线/：%+丁一加=。与圆/+》2=4交于A,B两点,。为原点，且=则实数相等于（）

A.±y/6B.+2

C.±^/3D.+^/2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向量4,6满足卜1=3,卜一0=5,a-Z?=1,则恸=.

14.过抛物线C:/=8y的准线上任意一点「做抛物线的切线Q4P3,切点分别为A5,则A点到准线的距离与3

点到准线的距离之和的最小值为

15.长方体ABC。—4与。］2中，AB=AD=2,44=1,已知点“，A,G三点共线，且方=0，则点

H到平面ABCD的距离为

16.若方程必+9―2x-2y+左=0表示的曲线是圆，则实数的"取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛4｝是等差数列，数歹!)｛%｝是各项均为正数的等比数列，且可=4=3,%+4=14,

〃3+%+%=4・

(1)求数列｛%,｝和也｝的通项公式；

(2)设g=4+2,〃eN*,求数列｛c.｝的前〃项和.

18.(12分)已知数列｛斯｝的前〃项和为S”与>0,ai<2,6Sn=(a«+l)(a„+2).

(1)求证：数列｛为｝是等差数列；

(2)令d=--------,数列｛瓦,｝的前"项和为T”，求证：Tn<-.

anan+l3

19.(12分)已知函数/(x)=2/—ax?+2.

⑴若a>0,讨论函数“力的单调性；

(2)当0<"3时，求”同在区间［0』上的最小值和最大值.

20.(12分)各项都为正数的数列｛。”｝的前”项和为S“，且满足4S“=a；+4M〃eN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

.111

(2)=—+—+•••+—;

dld2%

(3)设c〃=(-l)”4,数列｛%｝的前〃项和为4,求使匕>46成立的〃的最小值.

21.(12分)已知S“为数列｛q｝的前〃项和，且4+25〃=1

（1）求数列｛为｝的通项公式;

2

(2)若a=——，求数列｛2｝的前几项和

log3an-log3q%+2

⑶设<=a1+3a2+5a3+-+（2〃—l）4,若不等式（一1）“2<7；+"对一切〃eN*恒成立，求实数2取值范围

22.（10分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C在x轴上，与直线3x—4y+7=0相切，且被V轴截得的弦

长为26，圆。的面积小于5万

（1）求圆C的标准方程;

（2）设过点加（0,3）的直线/与圆。交于不同的两点A、B,以。A、08为邻边作平行四边形OAC出.是否存在

这样的直线/,使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出/的方程，如果不存在，请说明理由

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】根据题中条件，得到二+二〉1,求解，即可得出结果.

23

22

【详解】因为点P（a,l）在椭圆三+<=1的外部，

_

fir-KIa~I10n242-\/3_p.2\/3

所以一+一〉1,即a>:，解得a>----或。<------.

23333

故选:B.

2、C

【解析】根据等比数列的性质及通项公式计算求解即可.

【详解】由外。5==18,%+〃4=9

解得%=6,4=3或%=3,%=6(舍去),

2

a2=—=12,=4=24,a6=a4q=--,

"qq"4

3

S2-a6=(«j+a2)-a6=36x—=27

故选：C

3、D

【解析】由平面的基本性质结合公理即可判断.

【详解】对于A,过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；

对于B,经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；

对于C,空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；

对于D,两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.

故选：D

4、B

【解析】根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可.

【详解】由Y-4x+y?-2by+3+/=0=>(x-2)2+(y-Z?)2=1,

所以该圆的圆心为C(2,b),半径为1,

因为直线x+2y—6=0平分圆4工+/一2。丁+3+。2=0的周长，

所以圆心在直线x+2y—6=0上，故2+2〃一6=0n〃=2,

因此P(—L—2),C(2,2),所以有|尸q=J(-l_2)2+(_2_2)2=5,

所以|PQ|=-F=725-1=276，

故选：B

5、D

【解析】根据直线、平面的位置关系，应用定义法判断两个条件之间的充分、必要性.

【详解】当〃/a时，直线/可与£平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立;

当分时，直线/可在平面a内，故〃/a不一定成立，即必要性不成立.

故选：D.

6、C

【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离

【详解】由截面圆的面积为36万缈？可知，截面圆的半径为6皿，则球心到截面圆心的距离为4=而匚养=852

故选：C

【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面

7、A

【解析】直接代入点斜式方程求解即可

详解】因为直线经过点A（0,-3）且斜率为2,

所以直线的方程为y+3=2（x-0）,

即2x—y—3=0,

故选：A

8^A

【解析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.

【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，

由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4

种方法，

由分类加法计数原理得共有8种方法，

所以表示不同整数的个数为8.

故选:A

9、C

【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，圆G：无一+>~=1与圆C]x~+y~—6x—8y+m=0

可得G（0,0）,C2（3,4）,彳=1,4=后二，

因为两圆相外切，可得|GGI=4+G=l+J25—m=5,解得机=9

故选：C.

10、B

【解析】根据a的值和离心率可求得心从而求得渐近线方程.

2__

【详解】由双曲线C:>2—二=13〉0）的离心率为比6,知£=J而,a=l,

则,=可，即有廿=°2—4=9,故6=3,

所以双曲线C的渐近线方程为了=士;尤，即x±3y=0,

故选：B.

11、C

【解析】求出基本事件总数与正、副队长不在同一组的基本事件个数，即可求出答案.

【详解】基本事件总数为C；=10

正、副队长不在同一组的基本事件个数为C；•C=6

故正、副队长不在同一组的概率为

故选：C.

12、A

【解析】根据给定条件求出ZAOB,再求出圆。到直线/的距离即可计算作答.

UULULIUOA.,OB1

【详解】圆好+丁2=4的圆心O,半径厂=2,因。4.08=2,则cosNAOB1|||=不

(JA\(JB\乙

而则NA03;工，即AO5是正三角形，点O到直线，的距离d=G，

3

\m\r-「

因此，d=—j==yj3,解得加=±J^,

所以实数相等于土前.

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3A/1

【解析】根据题目条件，利用Q-b模的平方可以得出答案

【详解】Ra斗5

|tz—Z?|=a+b-2a,Z?=9+W-2=25

.•用=30.

故答案为：3行.

14、8

【解析】设4芯，()，B%,今)，由％2=8＞可得y=[，根据导数的几何意义求得两切线的方程，联立求得P

点的坐标，再根到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值

【详解】解：设A(玉，1),B®,1),由必=8丁可得y=会，所以y=:,

所以直线24,出的方程分别为：y-]=,(尤-网)，y-^-=^x-x2),

’2r

丁一寸=十(Xf)x=

联立股亳，=3-%)，解得卜=竽，

即P("a,华),又有P在准线上，所以牛=一2,

2Xo

所以再无2=-16.

设直线AB的方程为：y=kx+m,

代入抛物线的方程可得：x2-8kx-8m^0,可得毛％=-8加，

所以可得加=2,即直线恒过(0,2)点，即直线恒过焦点(0,2),

即直AB的方程为：y^kx+2,代入抛物线的方程：x2-Skx-16^0,

X[+X]~8k,所以％+%=k(X\+x,)+4=8左-+4,

A点到准线的距离与B点到准线的距离之和=A尸+8P=%+%+4=8/+828,

所以当左=0时，距离之和最小且为8,这时直线A3平行于彳轴

故答案为：8

15、9

9

【解析】在长方体ABC。-44GA中，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用已知条件求出点H的坐标作答.

【详解】在长方体A3CD-A4G4中，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),男(2,0,1),q(2,2,1),ACX=(2,2,1),

因点77,A,G三点共线，令==(2/21),点HQt,2t,t),则5户=(2f—2,2/J—1),

又AG由H=0,贝！]2(252)+牝+”1=0,解得”:，

故答案为：—

16-.(-8,2)

【解析】根据二元二次方程表示圆的条件求解

【详解】由题意(一2)2+(—2)2—44>0,k<2

故答案为：(-*2)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)ait=2n+l,neN*,2=3",〃eN*；(2)=〃(〃+2)+g(3"—1),〃eN*.

【解析】(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；

(2)利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前〃项和公式即可得出.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列｛%｝的公比为9,且q>0,

依题意有[3(%+3〃)=犷

由。1=4=3,又9>。，

解得：

a=2

:.61rl=〃]+(〃—l)d=3+2(〃—1)=2〃+1,

BPan=2n+l,nwN*,

3〃T

bn=刖〃t=3x=3",〃£N*；

(2)・：cn=(1n+bn=2n+1+3〃，

・••前〃项和3=(〃]+%+/++0及)+(4+/+"3++2)

=(3+5+7++2n+l)+(3'+32+33++3")

n(3+2n+l)3(l-3")3Z、

=--——+；§)=n(n+2)+|(3"-l)-

.•.前〃项和5〃=心+2)+凯—1),neN*.

18、(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】⑴根据数列通项与前〃项和的关系，构造新等式，作差整理得到(4—%T)(4+%T)=3(%+4T),进

而求解结论；

(2)求出数列｛丽｝的通项公式，再代入裂项求和即可.

【小问1详解】

证明:因为6s+1)(。“+2),

所以当2时，6S,_i=+1)(«„.1+2),

两式相减，得到6/=(a；+3an+2)-(4一+3an^+2),

整理得(4—«„.1)(«„+%)=3(%+%),

又因为所＞0,所以4-4T=3,

所以数列｛为｝是等差数列，公差为3；

【小问2详解】

证明：当”=1时，6Si=(ai+1)(ai+2),

解得ai—1或ai—2,

因为ai<2,所以ai=l,

由(1)可知公差d=3,

==

所以anai+(“-1)dl+(n-1)X3=3"-2>

、_]_]」(]_______L)

所以b"-a.%―(3〃—2)(3〃+1)-3(3〃—2-3"+1'

b"1八11111、1八1、1

所以雹=一(1---1------HH-------------)=—(1------)<-.

34473n—23n+l33H+13

19、(1)在(―。,0)和[■|,+s]上单调递增，在[of上单调递减.

(2)答案见解析.

【解析】（1）求解导函数，并求出/（尤）=0的两根，得/'（可>0和/'（x）<0的解集，从而得函数单调性；（2）由

（1）得函数的单调性，从而得最小值计算再分类讨论2Wa<3与0<a<2两种情况下的最

大值.

【小问1详解】

函数定义域为R,/'（x）=6f—2ox=2x（3x—a）,尸（力=0时，尤=0或x=［,因为0>0,所以三〉0,/'（x）>0

时，*<0或X〉］,/'（x）<0时，0<x<］,所以函数八%）在（—8,0）和已+:|上单调递增，在］。,£|上单

调递减.

【小问2详解】

因为0<”3,由⑴知，〃龙）在［0卷］上单调递减，在与1）上单调递增，所以"%）最小值为

/（£|=2X］£|—ax］£|+2=2—］又因为/（O）=2/</（l）=4—a<4,当2Wa<3时，4-a<2,此时

33

最小值为2-2，最大值为2；当0<。<2时，4一。>2,此时最小值为2-<,最大值为4-。.

2727

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的

考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单

调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形

结合思想的应用

20、（1）an-In

（3）48

【解析】（1）直接利用数列的递推关系式，结合等差数列的定义，即可求得数列的通项公式;

111

（2）化简T=------结合裂项相消法求出数列的和；

S„n77+1

（3）利用分组法求得与，结合匕>46,即可求得”的最小值.

【小问1详解】

解：因为各项都为正数的数列｛q｝的前几项和为S“，且满足4S“=%+4〃（“eN*）,

当〃=1时，解得q=2；

23

当〃22时，4S„_1=a„_1+4(«-l)；

两式相减可得＜-4T②+4=44,整理得an-%t=2(常数),

故数列｛4｝是以2为首项，2为公差的等差数列;

所以%=2+2(〃T)=2〃.

【小问2详解】

解：由-2”，可得s〃=2x当』=〃2+〃，所以(=/匕J__1

nn+1

111n

所以(=1—+----+…+—----=]―------

223n〃+1-----〃+1n+1

【小问3详解】

解：由a'=2“，可得的=(-!)"%=(—1)仆2”，

所以当〃为偶数时，P„=q+c2+...+c„_1+c„=-x2=«,

因为匕＞46,且"为偶数，所以"的最小值为48；

H—]

当“为奇数时，Pn=q+c2+...+c„_1+c„=—^-x2-2n=-n-l,不存在最小的九值,

故当“为48时，满足条件.

21、(1)4=:；

,、,.3n2+5n

(2)M---------------；

2(〃+1)(〃+2)

27

(3)——<2<->

39

【解析】(1)利用4,S”的关系，根据等比数列的定义求通项公式.

2

(2)由(1)可得%=二~应用裂项相消法求

n(n+2)

(3)应用错位相减法求得7；=1-等，由题设有(-1)"彳＜1-2,讨论〃为奇数、偶数求X的取值范围

【小问1详解】

当〃=1时，弓+2s1=3弓=1,可得

a+2S=1

当心2时，1,可得3。“=矶，

〔*+2s-1=1

，｛%｝是首项、公比都为g的等比数列，故4=".

【小问2详解】

_________2________2_1__1_

3-5+2)-

由⑴，”-log33~”•log3n(n+2)一%—〃+2'

2

...”,,—]11_|11_I1_1__1_____1_______1____I1---1-----3----1-------------1---------3--n---+--5-n----

32435n-1n+1nn+22n+1n+22(〃+1)(〃+2)

【小问3详解】

由题设'7；=g+3・"+5-<+...+(2〃—1)•最,

T1„11/c1/C八1

—=—+3,—+5,—+...+(2〃—3)-----F(2n—1)——,

3323334')3"[)3n+1

2711111z.1122n+2

则『2七+”+1F-(2〃—

•T=1-^±1

・・〃3〃’

i"

由(―1)"彳<(+踵=1—3对一切〃EN*恒成立，

Ane〃+1n〃+l—3〃1—2〃_

令*=三，贝仁+1=下「三=——=与丁<0，

•••数列｛的｝单调递减，

nriri12,

.•.当〃为奇数，2>上一1恒成立且>=/一1在“eN*上递减，则X>(：T—l)ma、=——1=一一，

nV)n27

当〃为偶数，4<1—3恒成立且y=l—3在〃wN*上递增，则2<(1—3)而「=1—3=§，

*27

综上,—<A<一・

39

22、(1)(x-l)2+y2=4；

(2)不存在，理由见解析.

【解析】（1）设圆心C（a,O）,设圆。的半径为广，可得出-后＜。＜0,根据已知条件可得出关于实数。的方程,

求出。的值，可得出，•的值，进而可得出圆C