2021年湖南省高三高考数学联考试卷3

2021年湖南省高考数学联考试卷（3月份）

一、选择题（每小题5分）.

1.已知集合4={加炉-3V0},B={x|x>a},若4nB={x[a<x<“+l},则“=（）

A.2B.1C.0D.-1

2.若（z+1）（1+Z）—i,则z=（）

3.“a,b,c成等比数列”是aa2,b2,3成等比数列”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.2019年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的

防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，提高产量.现对其在2020年2月1日〜2月9日

连续9天的日生产量％（单位：十万只，i=l,2,…，9）数据做了初步处理，得到如图所

示的散点图.那么不可能作为y关于，的回归方程类型的是（）

A.y—a+by/-iB.y—a+blntC.y—a+be'1D.y=a+ht2

JT

5.若曲线y=sin（3x+<p）（<p<2it）关于直线》=彳万对称，则年的最大值为（）

A冗口5兀「2兀n5冗

A.——B.------C.------D.------

4433

6.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取1个，则该五

位数满足2,3相邻且1位于万位或千位的概率为（）

A.——B.——C.—D.—

151056

7.赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥，由匠师李春

设计建造，距今已有1400余年的历史.赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢（拱顶至石

拱两脚连线的高度）为7.23米.设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为R米，r为R

v22

精确到整数部分的近似值.己知双曲线C：与一了=数心0）的焦距为r,则比407.6）

a2192

A.5B.6C,7D.8

8.在菱形A3CQ中，NB4Q=60°,将△A3D沿8。折起，使A到达H的位置，且二面角M

-BD-C为60",则A'。与平面8CQ所成角的正切值为（)

c・平吟

二、选择题(每小题5分).

9.若ae(0,IT),则()

23

A・

A.cosa=一1B.sinac=-2

33

厂./aJT76+273.z_5_兀、2^3-V6

D.

246246

2+x)

10.设函数/a)=/g(Vx+l，则()

79

A.于(七)>f(log85)B.(-旨</(logs5)

y3

727

c.f(10g85)D.-/<-§>f(字

11.设函数—mx2ex+l,若对任意a,b,c€[-3,1],/(a),fCb),/(c)都可以作

为一个三角形的三边长，则m的取值可能为()

A.--B.--C.—D.—

2e3ee2e

12.已知三棱锥P-ABC的每个顶点都在球0的球面上，AB=BC=2,PA=PC=^A8J_

BC,过8作平面ABC的垂线BQ,且BQ=AB,PQ=3,尸与。都在平面ABC的同侧，则

()

A.三棱锥P-A8C的体积为1

B.PALAB

C.PC//BQ

D.球。的表面积为9n

三、填空题(每小题5分).

13.已知4(0,4),B(-4,0),C(1,2),-H-GA+GB+GC—"6'则点G的坐标为.

14.某公司有职工800人，其中不到30岁的有120人，30岁到40岁的有400人，40岁以上

的有280人.为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取200名职工作

为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是,40岁以上的职工

应抽取名.

15.写出一个关于a与b的等式，使二令是一个变量，且它的最小值为16,则该等式

ab

为.

16.己知48为抛物线/=4)，的一条长度为8的弦，当弦A8的中点离x轴最近时，直线AB

的斜率为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛〃而｝的前n项和为2"-1.

(1)求数列｛m｝的通项公式；

(2)求数列｛"2"”｝的前n项和S".

18.在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每

轮比赛必有胜负，没有平局.第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6,第二轮比赛乙团体获胜

的概率为0.7,第一轮获胜团体有奖金5000元，第二轮获胜团体有奖金8000元，未获胜团

体每轮有1000元鼓励奖金.

(1)求甲团体至少胜一轮的概率；

(2)记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元，求X的分布列及其数学期望.

19.为了测出图中草坪边缘A,8两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与。(A,B,

C,。四点共面)，测得ACm,CD=2m,BDm,已知cosNB£>C=-且，lan/ACD=3行.

4

(1)求△AC。的面积；

(2)求4,8两点间的距离.

20.如图，在四棱锥E-ABC。中，四边形ABCD为平行四边形，ABCE为等边三角形，点。

为BE的中点，且AC=BC=2OA=2.

(1)证明：平面ABE_L平面8CE.

(2)若AB=AE,求二面角B-CE-。的正弦值.

2222

21.已知椭圆C：(a>b>\)长轴的顶点与双曲线。：2一-二=1实轴的顶点

22

ab4b2

相同，且C的右焦点F到D的渐近线的距离为叵.

7

(1)求C与力的方程；

(2)若直线/的倾斜角是直线y=(旄-2)x的倾斜角的2倍，且/经过点八/与C交

|AB|

于A,B两点，与。交于M,N两点，求

|MN|

22.已知函数f(x)=3-旦(a+—)N+3X(a>0).

2a

(1)讨论/(x)的单调性.

(2)若。＞1,且VxE(―,+°°),f(X)＞亲3,求Q的取值范围.

a2

(3)是否存在正数〃，使得f(x)＞2x-1对底(2,3)恒成立？若存在，求。的取值范

围；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合A={/C2-2X-3V0},B={x\x>a}f若4GB={x|aVxV〃+l},则()

A.2B.1C.0D.-1

解：\'A={x\-l<x<3},B={x\x>a},AAB={x|67<x<n+l},

，a+l=3,解得〃=2.

故选：A.

2.若(z+1)(1+z)=i,则z=()

AC.HiD.

iB-2^

-蒋福2222

i(1-i)_1i2+i_11.

解：(z+l)(1+i)=i,...z+U-

(l+i)(l-i)=]2+]2=5或1，

则z=,亭，故z=—蒋i.

故选：C.

3.“a,b,c成等比数列”是“〃2,心,Q成等比数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：若a,b,c成等比数列，则从=%，

此时岸/=(ac)2=巩则明从，〃成等比数列，即充分性成立，

反之当4=1,b=l,。=-1时满足浮，h2,C2成等比数列，但a,h,C不成等比数列，即

必要性不成立，

即“a,b,c成等比数列”是“加，抉，c、2成等比数列”的充分不必要条件，

故选：A.

4.2019年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的

防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，提高产量.现对其在2020年2月1日〜2月9日

连续9天的日生产量力(单位：十万只，i=l,2,9)数据做了初步处理，得到如图所

示的散点图.那么不可能作为y关于1的回归方程类型的是（)

A.y=a+byfiB.y=a+blntC.y=a+be1D.y=a+bt2

解：由导数的几何意义可知，函数的导数表示该点处切线的斜率,

对于A,y=a+b近,则/b

砺’若函数为增函数，则b>3随着/的增大，y减小,

故满足条件;

对于8,y=a+blnt,则，若函数为增函数，则匕>0,随着f的增大，y'减小,故满

足条件；

对于C,y=a+be',则y'=-be\若函数为增函数，则〃<0,随着f的增大，y'减小，

故满足条件；

对于D,y^a+bfl,则y，=2从，若函数为增函数，则人>0,随着，的增大，V增大，不满足

条件.

故选：D.

7T

5.若曲线y=sin（3x+cp）（cp<2n）关于直线万对称，则<p的最大值为（）

.K口5兀_2K05兀

4433

解：,.jusin（3x+（p）图象关于直线■对称，

.".<p=----+/nr,keZ,

4

Vcp<2n,.*.<p的最大值为

故选：B.

6.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取1个，则该五

位数满足2,3相邻且1位于万位或千位的概率为（）

A.---B.---C.---D.1

151056

解：用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，

从这些五位数中随机选取1个,

基本事件总数”=A^=120,

该五位数满足2,3相邻且1位于万位或千位包含的基本事件个数:

m=A：A,+A豺;A?=20,

...该五位数满足2,3相邻且1位于万位或千位的概率为2=处=鲁=告.

n1206

故选：D.

7.赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥，由匠师李春

设计建造，距今已有1400余年的历史.赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢（拱顶至石

拱两脚连线的高度）为7.23米.设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为R米，，•为R

/2

精确到整数部分的近似值.已知双曲线C：与一^=1（4>0）的焦距为r,则©%407.6）

a2192

A.5B.6C.7D.8

解：由题意知，R2=（3L_C）2+（R-7.23）2,

'2'

-222407.6,

.•.”28.19,

/.r=28,

Va2+192=（.1-）2=142=196,

.,.a—2,

—14

离心率e=2=詈=7.

a

故选：C.

8.在菱形ABC。中，/84。=60°,将△AB。沿8。折起，使A到达4的位置，且二面角4'

-BD-C为60：则A'。与平面8CO所成角的正切值为（）

A.—B.且C.-^5-D.—

4472

解：设AC于8。交于点O,设菱形的边长为2,

在△AB。中，因为N4=60°,AB=2,所以A0=J§,

过点A'作HE,平面BCO,垂足为E,连结EO,

因为O为BQ的中点，且所以4O_LBQ,故EO_LBO,

所以/AOE即为二面角A'-2。-C的平面角，

故/A，OE=60°,

连结ED,则/WOE即为A'力与平面BCO所成的角，

在Rt"OE中，A'E=A'0-sin60°m亨=!，

在RtzMEZ)中，A'D=2,A'E=|,所以DE』'D?W》2=¥，

乙/

3_

故tan/A'DE/1唬号.

T

故选：c.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若sin_2-=^^,ae(0,TT),贝!I<

)

23

9

A.cosa=—B.sinQ=—

3__3

「.，anV6+2V3aJT)

D.sin(_273-^6

246"2r"I-

解：Vsin-^-^^-,ae(0,TT),

23

cos*=Jl-si-甘.

9a

则cosa=1_2sin亍=]-2X故A正确;

sina=2sin-Jcos&-=上返■，故B错误;

22333

.,a兀、aKan

sm=sirr^-cos-^-+cos—sirr^

=返乂返也义返星返，故C正确；

32326

./a兀、,ana.K

sin(-------)-sin---cos-----cos---sin---

242424

=xX=」6；y''^>,,故。错误.

32326

故选：AC.

10.设函数/(%)=lg(Jx^+l+x)，则()

79

A.f(方)>f(log85)B.-/(-母)<fdogs5)

797

C./(log85)>/(^)D.-争>/(5)

解：函数/(x)=lg(Jx2+l+x)'定义域为R，

f（-X）=lg（7x2+l-x）=呵=^=—=-lg（“+1+X）=-f（X），

X2+1+XV

所以f(X)为奇函数，所以-F(-争=/得)，

OO

当xe[O,+8)时，由复合函数的单调性可知/(x)=lg(Vx2+1+^)单调递增，

因为沙…月翁黑lg125Ug27_7

lg29lg299

所以f(V)</(bg85)(鼻),

39

结合选项可知A,B正确.

故选：AB.

11.设函数/(x)=机/^+1,若对任意小b,ce[-3,1],/(“)，/"),f(c)都可以作

为一个三角形的三边长，则m的取值可能为()

A.―—―B.―—―C.-D.—―

2e3ee2e

解：设函数g(x)=x2eS-3,1],则g'(x)=x(x+2)可得函数g(x)在[-3,

-2),(0,1]上单调递增，在(-2,0)上单调递减.

94

又g(-3)g(-2),g(0)=0,g(1)=e,可得函数g(x)的值域为[0,

ee

e\.

根据f(a),f(b),fQc)都可以作为一个三角形的三边长，

当机20时，y(0)>/(1),即2*1>神+1,解得OWnzV上；

e

当机<0时，2f(A)>/(0),即2(we+1)>1,解得

2e

综上可得：--Lv/xV』_.

2ee

故选：BD.

12.已知三棱锥P-ABC的每个顶点都在球。的球面上，AB=BC=2,PA=PC=^,ABA.

BC,过8作平面ABC的垂线3。，且8Q=A&PQ=3,尸与。都在平面ABC的同侧，则

（）

A.三棱锥P-4BC的体积为1

B.PALAB

C.PC//BQ

D.球。的表面积为9n

解：如图，

长方体的高为1,底面是边长为2的正方形，满足AB=BC=2,PA=PC=疾,AB1BC,

三棱锥P-ABC的体积为《X《X2X2X故A正确；

323

PB=7PD2+BD2=VPD2+AB2+AD2=V22+22+l2=3-

满足PA2+4B2=Pf,可得PA_LA8,故8正确；

BQ_L平面ABC,PO_L平面ABC,则BQ〃P。，

假设PC〃BQ,则PC〃PQ,与PQ与PC相交于「矛盾，故C错误；

三棱锥P-ABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R,

则2/?=丘可庐3=3,即夫=尚，可得球0的表面积为4冗X既)2=9兀，故。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知A(0,4),B(-4,0),C(1,2),且以+温+无=弓则点G的坐标为(-

1,2).

解：设G(x,y),因为A(0,4),B(-4,0),C(1,2),

则欣:(-x,4-y),GB=(-4-X,-y),GC=(l-x,2-y),

又麻+族+玩=d

KCHIf-x-4-x+l-x=0小小(x=-l

所以《，解得《，

I4-y-y+2-y=0\y=2

所以点G的坐标为(-1,2).

故答案为：(-1,2).

14.某公司有职工800人，其中不到30岁的有120人，30岁到40岁的有400人，40岁以上

的有280人.为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取200名职工作

为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是分层抽样，40岁以上的

职工应抽取70名.

解：为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，

要从中抽取200名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，

则应该选择的抽样方法是分层抽样，

40岁以上的职工应抽取：200x2独=70名.

800

故答案为：分层抽样，70.

19

15.写出一个关于a与b的等式，使一5+一亍是一个变量，且它的最小值为16,则该等式为

ab

〃2+。2=|.

解：该等式为。2+分=1,下面证明该等式符合条件.

19199a2b2、lo22

~+~2^<—+―7)I/+从)=i+9+^-+^〉io+2ja^_・、h=i6，

ababbaVb'a"

当且仅当按=3”时取等号，

所以段是一个变量，且它的最小值为16.

ab

故答案为：“2+按=1.

16.已知48为抛物线N=4)‘的一条长度为8的弦，当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB

的斜率为土1.

解：由题意得抛物线的准线方程为/：y=-\,过4作AAi，/于4,过B作于

设弦4B的中点为M,过M作于M,则21MMi|=|A4|+|BBi|,

设抛物线的焦点为F,则Hfl+|BF|2|A8|,即|A4i|+|5Bi|=|Afl+|BF]28(当且仅当A,B,F

三点共线时等号成立)，

所以|A4i|+|B8i|=2|MMi|28,解得

即弦4B的中点到x轴的最短距离为：4-1=3.

22

所以点M的纵坐标为(xo,3),A(xi,%),B(及，J2),F(0,1),Xj=4yi,x2

=4”，

...所以直线AB的斜率仁丫[一]2=

x「X242XQ-O

.'.xo—+2,此时上=±1,

当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率为±1,

故答案为：±1.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛"小｝的前〃项和为2"-I.

(1)求数列｛m｝的通项公式；

(2)求数列｛〃2飙｝的前n项和Sn.

解：(1)设数列｛砌,｝的前〃项和为刀”则北=2"-1,

当n—1时，at—Ti—\,

当〃》2时，7kl=2"7-1,

所以7ki=2"-1-(2"-1-1)=2"'',

"=1时，m=l满足上式，

gn-1

所以---,“6N*.

n

2nl

(2)nan—n*2,

所以S„=lX20+2X2l+3X22+-+w2n-1,①

2S„=1X21+2X22+3X23+•••+n•2«,②

02

①-②得-S,,=2+2'+2+—+2"''-"2=1-2“_n，2"=(1-n)•2"-1,

1-2

所以SK=(/?-1)«2«+1.

18.在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每

轮比赛必有胜负，没有平局.第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6,第二轮比赛乙团体获胜

的概率为0.7,第一轮获胜团体有奖金5000元，第二轮获胜团体有奖金8000元，未获胜团

体每轮有1000元鼓励奖金.

(1)求甲团体至少胜一轮的概率；

(2)记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元，求X的分布列及其数学期望.

解：(1)第一轮甲胜第二轮乙胜的概率为尸X0.7=0.42,

第一轮乙胜第二轮甲胜的概率为PX0.3=0.12,

第一轮甲胜第二轮甲胜的概率尸X0.3=0.18,

故甲团体至少胜一轮的概率为0.42+0.12+0.18=0.72；

(2)由已知可得X的可能取值为2000,6000,9000,13000,

贝I]P(XX0.3=0.18,P(XX0.3=0.12,

P(XX0.7=0.42,P(XX0.7=0.28,

所以X的分布列如下：

X20006000900013000

p

E(X)=2000X0.18+6000X0.12+9000X0.42+13000X0.28=8500.

19.为了测出图中草坪边缘A,B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与。(A,B,

C,。四点共面)，测得AGn,CD=2m,BDm,已知cosN8£)C=-YZ,tan/AC£)=3行.

4

(1)求△AC£＞的面积；

(2)求A,8两点间的距离.

解：(1)因为tanNACQ=3j7，可得sin/ACQn^*,

所以SAACO=—/AC*CD*sinZACD=m2.

25

(2)因为tan/AC£＞=3赤，所以cos/ACC=1,

所以AD22+22-2XL6X2X—=5.76,则40=2.4,

8

因为COSNA£)C=.AD_AC-=3,所以sin/AQC=Y^,

2AD-CD44

又cos/BDC=-

4

TT

所以NADB=—,

2

所以AB=VAD2+BD2^72.42+l.82=3/M-

20.如图，在四棱锥E-ABC。中，四边形ABC£＞为平行四边形，△BCE为等边三角形，点0

为2E的中点，且AC=BC=2OA=2.

(1)证明：平面ABE_L平面BCE.

(2)若AB=AE,求二面角8-CE-O的正弦值.

【解答】(1)证明：连接。C,因为△BCE为等边三角形，所以。CJ_B£,

因为AC=2,0A=\,0C=2•返=/,所以AC2iAOZ+OG,所以OCJ_OA,

2

又因为OAABE=。，所以OC_L平面A8E,

又因为OCu平面8CE,所以平面BCEJ_平面ABE,

故平面4BE_L平面BCE.

(2)解：因为AB=AE,所以OA_LBE,所以OE、0C、04两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

E(1,0,0),B(-1,0,0),A(0,0,1),C(0,如,0),

箴=(-1，«，。)，CD~BA~(1,0,1),设平面EC。的法向量为7=(x,y,z),

EC-m-x+V3y-0^令彳=退,'=（正，1,-«）,

CD*m=x+z=O

平面BEC的法向量为：=（0,0,1）,

设二面角B-CE-D的大小为6,

则|cos0|=1m-nj=睿］=洛,sinO=JjZ?=空2,

Iml-lnl同1V7V77

所以二面角B-CE-D的正弦值为2近.

7

222

21.已知椭圆C：%三=1（«>/,>!）长轴的顶点与双曲线。：二2_三=1实轴的顶点

a"b‘4b"

相同，且C的右焦点F到。的渐近线的距离为返I

7

（1）求C与。的方程；

（2）若直线/的倾斜角是直线），=（遥-2）x的倾斜角的2倍，且/经过点F,/与C交

于A,8两点，与。交于M,N两点，求膜

IMN

解：（1）因为椭圆C长轴的顶点与双曲线。实轴的顶点相同，

所以4=2,①

双曲线。的渐近线为y—+^x,即bx±2y—0,

所以右焦点尸（c,0）到渐近线云±2），=0的距离为相L=运，（2）

Vb"+47

又。2="+/,③

由①②③解得"=3,〃=],

2222

所以椭圆的方程为“+==1,双曲线的方程为三--工_=1.

4343

（2）设直线y=（遥-2）x倾斜角为0,则tan9=J^-2,

-…2tan02G/^-2）]

所以tan20=y-

1-tan9l-（V^-2）22

所以直线/的方程为尸微（X-1）,

设A（xi,yi）,B（松，72）,M（%3,券）,N（弘，>4）,

y节(x-1)

联立422，得4/-2x-11=0»

xV1

143，

所以X]+X2=­tX\X2=~,

24

所以1+k司xi72|=,l+k2，(X[+X2)2-4X]X2=一15

y51(,x-1)

联立-,得2%2+2x-13=0,

正0上9=1

I431

13

所以X3+R4=-1,XU4="-,

2