经典（超越）不等式-2023年高考数学高效速解突破技巧含答案

专题06经典(超越)不等式-【二级结论速

解】备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题07经典(超越)不等式

一、结论

(1)对数形式：X21+Inx(x>0),当且仅当X=1时,等号成立.

(2)指数形式：/2x+l(xeR),当且仅当x=0时,等号成立.

进一步可得到一组不等式链：/>x+l〉x〉l+lnx(x>0且xwl)

上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数:

r2x"effx,

er=l+x+—+•••+—+——x,,+l

2!n\(n+1)!

v-2r3r"+>

ln(l+x)=x-----1------,•+(—1)"-----Fo(x"+l)•

23/7+1

截取片段：

ex>x+l(xGR)

ln(l+x)<x(x>-l),当且仅当x=0时，等号成立；

进而：lnx4x-l(x>0)当且仅当x=l时，等号成立

二、典型例题

73

例题1.(2023•陕西咸阳•校考模拟预测)已知Q=:8=e5,c=ln5-ln4,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

例题2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e'-x-l.

⑴证明：/«>0;

(2)证明：。+；)(1+襄)…(1+9)<e.

三、针对训练举一反三

一、单选题

111]

1.（2023春•浙江,高三校联考开学考试）设6=tan—^-e2022c=sin--------e2023,贝！I()

202220222023

A.c<h<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

02

2.（2023秋•江苏苏州•高三常熟中学校考期末）a=e,b=log78,c=log67,则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

3.(2023•云南曲靖•统考一模)已知a=e-2,b=\-\n2,c=ec-e2,则()

A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

4.（2023,全国•高三专题练习）已知。=6.11=5出1,(?=(：051,则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

5.（2023・全国•高三专题练习）已知+则下列不等式一定成立的是（)

A.\b-a\>bB.

b

6+1廿

C.---<---D.a+Inb<6+In。

(7-1Ina

6.（2023・全国•高三专题练习）己知实数mb,c满足且4+b+c=ln(a+b),则()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

7.（2023•全国•高三专题练习）若正实数。，b^^\na+\nb2>2a+--2,则（）

2

A.a+2b=V2+—B.a—2b=—25/2

42

C.a>b2D.b2-4a<0

8.（2023•四川南充,四川省南充高级中学校考模拟预测）已知外,出9，%成等比数列，且

%+4+〃3+4=ln(《+W+%).若%>1，则

A.ay<a39a2<a4B.a,>a3,a2<a4C.<a3,a2>a4D.a]>a3,a2>aA

二、填空题

9.（2022春・广东佛山•高二佛山市顺德区容山中学校考期中）已知对任意X,都有x/、-G-xNl+lnx,则

实数。的取值范围是.

三、解答题

10.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（X）=e'-

⑴若函数/W的图象与直线y=x-1相切，求。的值；

⑵若。42,证明J（x）＞lnx.

专题07经典(超越)不等式

一、结论

(1)对数形式：X21+Inx(x>0),当且仅当X=1时,等号成立.

(2)指数形式：/Nx+l(xeR),当且仅当x=0时,等号成立.

进一步可得到一组不等式链：ex>x+\>x>l+\nx(x>0且xwl)

上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：

r2/"+I

ln(l+x)=x-------1----------+(-1)〃-------Fo{xn1)；

23〃+1

截取片段：

ex>x+l(xG7?)

ln(l+x)<x(x>-l),当且仅当x=0时，等号成立；

进而：lnx〈x-l(x>0)当且仅当x=l时，等号成立

二、典型例题

7_£

例题1.(2023•陕西咸阳•校考模拟预测)已知Q==e5,c=ln5-ln4,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】c

【详解】/(x)=ev-l-x

/(x)=ex-l,则xe(0,+oo),/(x)>0,x€(-8,0)J(x)<0,故函数在(-。,0)单调递减，(0,+功单调递

增,则f(x)"(0)=0

则e'-l-xNO,即e'21+x

-12

illex>1+X,•*.e5>—,故

5

同理可证ln(l+x)Wx

又•.Tn(l+x)Wx,・・・ln5-=+,则b>a>c

故选：C.

【反思】对于指数形式：然2x+1(XEH),当且仅当x=0时，等号成立，该不等式是可以变形使用的：

三苴换，>"'2—x+1,即421—1-x

e*x>X+1(XG7?)

^Uex>—

\-x

注意使用时X的取值范围;

同样的还可以如下处理：优NX+1(XEH)两边同时取对数：X>ln(x+1)(x>-l),同样可以变形使用:

x>ln(x+l)(x>-1)—"T"替换"">Inx(x>0)―点研邮廊史二丁->1-xW-lnx(x>0)；

用。-n替换“/1x-1

l-x<-lnx(x>0)=l-x<In—(x>0)―1--------->1——<lnx<=>------<lnx

xxx

注意使用时x的取值范围.

另外，选择填空题中，涉及到超越不等式可以直接使用，但是注意，解答题中一定要先证后用.

例题2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/a)=e'-x-l.

(1)证明：/W>0；

⑵证明：。+；)(1+5)…(l+5)<e.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【详解】(1)r(x)=er-l,

令/'对>0,得x>0；令((x)<0,得x<0,

所以〃x)在(一%0)上单调递减，在(0,+纥)上单调递增，

所/(x)的最小值为"0)=0,所以/(x)>0.

(2)由(1)知，当xe(0,+a))时，/(x)>/(0)=0,即e*-x-l>0,即e*>x+l，即x>ln(x+l),

令x=£,得+

=ln[l+~j+ln(l++---+ln[1+—

I2"

£<1，

2

【反思】注意在解答题中e，21+x,x21+lnx(x〉0)等超越不等式，及其变形式，不能直接使用，需要

证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式.

三、针对训练举一反三

一、单选题

111

1.(2023春•浙江•高三校联考开学考试)设。=----,b=tan-----e2022,c=sin-----e2023,则()

202220222023

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【详解】设/(x)=e*-(x+l),则/'(x)=e;l,在(0,+oo)时，在(v,0)时，/'(x)<0,

所以/(x)mM=/(°)=0,即e*-(x+l)N0,所以e、Nx+l对任意xeR均成立.取工=全，

1+1=型"，所以_Le赤〉一!一

We2022>----

2022202220232022

1---I2022两边取倒数，即e盛〈些,

再取工=-可得e2023>1-——

2023202320232022

1_1

所以一!一e2023<—!—

20232022

又当“£(0弓)时，设F(x)=x-sinx,G(x)=tanx-x,则/'OOnl-cosx〉。,

G'(x)=(包工)'-1=iOS%=包M>0,即尸(x)和G(x)在j0,小均递增，

COSXCOS-XCOS'X\2)

所以尸(x)>尸(0)=0,G(x)>G(0)=0,即xe0微时,sinx<x<tanx,所以

)1111_L_

sin——•e2023<——e2023—e2022<tan——•e2022,

20232023202220232023

1_J_i_J_

由tanx在单调递增，可得tan-----e2022<tan-----e2022,即c<a<b.

20232022

故选：B

028c7

2.（2023秋•江苏苏州•高三常熟中学校考期末）a=e,b=log7，=l°g6，则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>hD.c>a>b

【答案】C

【详解】令/(幻=华"。>0)

Inx

,“、xInx-(x+1)\n(x+1)…八,，、八

则/(x)=—+；一L-显然/(x)<°

即/（X）单调递减，所以汽>有,即k>g67>log,8,C>b.

令g(x)=e'-x-1(x20)

则g-(x)=eTZ0,即g(x)在［0,+oo)上单调递增

所以g(x)*g(0)=0,即e』+l,

所以e°2>0.2+1=，

当，(x)>0时,x>^~,即〃(x)在昌,*o)上单调递增

In6In6

又〃(6)=0,所以当x>6时，h(x)>h(6)=0

所以〃(7)>力(6)=0,即2一旦>。

6In6

7

BUlog7<-,

6o

又所以bg67<N<《<e“2,即c<a.

6565

综上：a>c>b.

故选：C.

3.(2023•云南曲靖•统考一模)已知a=e-2,6=1-In2,c=ec-e2,则()

A.c>h>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】D

［详解］令/(x)=x_l_lnx,x〉0,

则/(e)=e_1-Ine=e-2=q,/(2)=2-1-In2=1-In2=A,

二当x>l时，，/'(x)>0,/CO单调递增，

•・J(e)>/⑵，即

令g(x)=e'-x,则g<x)=e'-l,

・•・当力>0时,gf(x)>0,g(x)单调递增,

c2

Ag(e)>g(2),BPe_e>e-2,

所以e，—e2>e_2,即c>〃.

综上，c>a>b.

故选：D.

4.(2023・全国•高三专题练习)已知。=esw,b=sinl,c=cosl,则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【详解】解：当xe百母,sinx>cosx,又le］：弓)所以sinl>cosl,故b>c

记/'(x)=e*-x-l,所以/<x)=e'-l,

令/门)<0,得x<0,令/牛)>0,得x>0,

所以〃x)在(-8,0)单调递减，在(0,+巧单调递增.

所以〃x)2〃0)=0,即e、-x-120,当x=0时取等号.

所以>(sinl-l)+l=sinl=6,

所以c<b<a.

故选：C.

5.(2023・全国,高三专题练习)已知Q>b+l>l则下列不等式一定成立的是()

A.\h-a\>hB.a+->b+-

11ab

Hl小一…

a-lInQ

【答案】C

【详解】取。=10力=8,则|b・a|vb,故A选项错误；

取a=3,b=g,a+，=b+1,贝ljB选项错误；

5ab

取a=3,b=\,则。+ln6=3,b+\na=1+ln3<1+lne2=3)即a+lnb>6+lna,

故D选项错误；

关于C选项，先证明一个不等式：e*2x+l,令y=e'-x-l,y=e'-1.

于是x>0时y'>0,V递增；x<0时/<0,了递减；

所以x=0时，N有极小值，也是最小值e°-0-1=0,

于是y=e，-x-lW0,当且仅当x=0取得等号，

由e*2x+l,当x>-l时，同时取对数可得，x>ln(x+l),

再用x-1替换x,得到x-121nx,当且仅当x=l取得等号，

由于a>b+l〉l,得到e〃>6+l,lna<a-l,\察>1>竽，B|J^±1<—,

In。ea_\Ina

C选项正确.

故选：c.

6.(2023・全国•高三专题练习)已知实数mb,c满足收=〃，且a+Hc=ln(a+b),则()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【详解】设/(x)=lnx-x+l,则ra)=L-l=±±,

XX

当X£(0,l)时，/心)>0,/(x)单调递增，当xw(l,+o))时，r(x)<0,/(X)单调递减,

/(%)</(1)=0,BPInx<x-1,

所以ln(〃+6)+,所以Q+6+C,即c4-l,

Xac=Zj2>0,所以由a+b>0,所以

所以〃>/,即4>〃2,所以C<。，所以CV〃V6.

故选：A.

7.(2023・全国•高三专题练习)若正实数。，6满足lna+ln62N2a+^--2,则()

2

A.Q4-2b-yp2H—B.a~2b——2'\/2

42

C.a>b2D.b2-4a<0

【答案】B

到各不等式取等号的条件，解得。力的值，然后逐•检验即可做巾正确判断.

【详解】先证明熟知的结论：x-lNlnx恒成立，且当且仅当x=l时取等号.

设/(x)=x-l-lnx,则=

在(0,1)上，/'(x)<0J(x)单调递减;在(1,+8)上，〃x)>0J(x)单调递增.

故〃A"="1）=17-°=°，

.•./(x)=x-121nx恒成立，且当且仅当x=l时取等号.

方2/a*g-2=2（y/^-l）221ny/^

由2。+——2>2=Ina+In乩

2

r2

由已知Ina+lnb?W2〃+---2,

2

Ub2

A22。=—

-lna+ln/?2=2a+---2,且，2

Nab?=1

1

a=—

解得2,

b=6

经检验只有B正确，

故选：B.

8.(2023,四川南充•四川省南充高级中学校考模拟预测)己知％,。2MM4成等比数列，且

%+42+。3+44=ln(q+&+%)・若。1>1，则

A.4<。3，。2<。4B.ax>a3,a2<a4C.<a3,a2>a4D.a]>a3,a2>a4

【答案】B

【详解】令/(x)=x—lnx-l,则/(x)=l—」，令/'(x)=0,得x=l,所以当x>l时，/'(外>0,当0<x<l

X

时，/,(x)<0,因此/(x)2/(l)=0,；.x2lnx+l,

若公比夕>0,则4+%+%+%>卬+%+%>ln(q+々+与)，不合题意:

若公比g4T,则。1+。2+%+。4=。1(1+9)(1+/)40，

但ln(q+%+%)=ln[a](l+q+q2)]>Ina,>0,

即q+/+%+的40<ln(q+a2+a3),不合题意；

因此一1<夕<0,/e(0,l),

22

q>a]q=a3,a2<a2q=a4<0,选B.

二、填空题

9.(2022春・广东佛山•高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意X,都有xe2、-然-xNl+lnx,则

实数。的取值范围是.

【答案】(-8川

【详解】根据题意可知，%>0,

由一ax—x2]+Inx,可得a4e2x~--1(^>0)恒成立，

x

令/⑺=e2-咛If,则a4f(x)1111n,

现证明e*2x+l恒成立，设g(x)=e、-x-l,

g'(x)=e<l,当g[x)=0时，解得：x=0,

当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x>0时,g'(