解三角形（结构不良型）-2023年高考数学一轮复习

专题1.2解三角形（结构不良型）

考向解读

1.“结构不良问题”是近两年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行

的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让

解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.

2.一般先选择条件，再根据正余弦定理化简求值、计算.可以从两方面思考：

①从题目给出的条件，边角关系来选择；

②从式子结构来选择.

3.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题

中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、

余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

4.求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦

定理与三角形面积公式，建立a+b,ab,/+/之间的等量关系与不等关系，然后利用

函数或基本不等式求解.

5.在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余

弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边”；

②若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

④代数式变形或者三角恒等变换前置；

⑤含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

⑥同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

最新模拟题赏析

1.（2023・吉林通化•校考模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.从

①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答.①cos4=-||；②AABC的面

积是第；③c=3.

问题：已知角A为钝角，b=5,.

⑴求AABC外接圆的面积；

(2)AD为角A的平分线，。在BC上，求A。的长.

【解题思路】⑴选①②：由cos4=-蓑求得sin4=警，再结合三角形面积公式可求得c=3,

利用余弦定理求得a,再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；

选①③：利用余弦定理求得a,再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；

选②③：利用三角形面积公式可求得sin4=祟，再求得cos4=-||,利用余弦定理求得a,

再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解.

(2)设4=2a,贝有siMa=匕箸，求得sina="再利用等面积法可求.

【解答过程】(1)选①②，

•・•cosAA=--1-7,•••s.mA.=vlr.--—---c--o--s-z4AV2=1---,

2525

T7c11.a6V2114V21l4日r

又SAABC=~~bcsiAnA即n---=—x----x5xc,存re—3,

△ABC25225

由余弦定理，得小=fo2+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x||=等，

由正弦定理，得(2R)2=4=黑，R2=g中，

sm?42184

所以，△ABC外接圆的面积为等.

选①③，因为cos4=—c=3.

所以由余弦定理，得a?=h2+c2—2bccosA=25+9+2x5x3x||=等，

由正弦定理，得(2R)2=$=等，产=等，

sin2i42184

所以，△ABC外接圆的面积为誓.

84

选②③，

由色m=1x5x3xsinA,sinZ=A为钝角，得cosA=—1|,

由余弦定理，得/=Z)2+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x||=等，

由正弦定理，得(2R)2=$=管，R2=鬻，

sm2A2184

所以，AABC外接圆的面积为等.

84

(2)由AD为角A的平分线，设4=2a,aG(0,^),

则rn.l有s.m"Oa=1-—C-O-Si4=2-1^s.ina=—V21,

由A28C的面积=|xZ?xADxsina+1xcxADxsina,

即竿=|x5xADx^p+|x3xXDx^p,解得4D=j.

故A。的长为|.

2.(2023•河南•统考模拟预测)已知在△ABC中，角4B,C的对边分别是a,b,c,在①asinC-

ccos(A—]=0；②2ccos2=acosB+bcosA；③bsinB+csinC—asinX—bsinC=0中任

选一个作为条件解答下面两个问题.

⑴求角4

(2)已知b=6,SAABC=3V3,求a的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】(1)若选①根据正弦定理及两角差的余弦定理可得tanA求解；若选②根

据正弦定理及三角恒等变换可得cos4=之求解；若选③由正弦定理及余弦定理求解即可.

(2)由三角形的面积公式及余弦定理即可得解.

【解答过程】⑴若选①：因为asinC—ccos(4-匀=0,

所以由正弦定理可得sinAsinC—sinCcos(X--)=0.

因为0VCV71,所以sinC>0.

所以可得sin/=cos(4~~)=当cosZ+^sinA,Bp|sinA=苧cosA

所以tan/=V3.

因为0V4V兀，所以/=/

若选②：因为2ccos4=acosB+bcosA,

所以由正弦定理可得2sinCcos/=sin/cosB+sinBcosA.

所以2sinCcos4=sin(/+B)=sinC.

因为0<CV兀，所以sinC>0.

所以cos4=

因为0VZV7T,所以/=泉

若选③：因为bsinB+csinC-asinA-fosinC=0,

22

所以由正弦定理可得b2+c-a=be.

所以由余弦定理可得cosA=笔文=1.

2bc2

因为0<4V兀，所以/=争

（2）由（1）知/=%

因为b=6,S^ABC=3V3,

所以SFBC=IbcsxnA=Ix6cx-^=~^-c=3V3,解得c=2,

由余弦定理，得小=b2+c2—2bccosA=62+22—2x6x2x|=28.

所以a=2近.

3.（2023•云南红河•统考一模）在①.si”。---F—=1,②ccosCsinA=（2b—c）sinCcosA这

smA+smBa+c

两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且____________.

⑴求N4;

（2）若|万一刀|=4,cosB+cosC=1,求△ABC的面积.

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）

【解题思路】（1）选①，由正弦定理得到。2+02-a?=bc,再由余弦定理得到cos4=}

求出Z：选②，由正弦定理变形得到sinC(sirh4cosc+cos^sinC)=2sinBsinCcos4结合

正弦和角公式，诱导公式求出cosA=|,得到4=g；

⑵由屈一明=4求出c=4,由cosB+cosC=1,结合第一问结论得到sin（C+9=1,

求出C=全利用三角形面积公式求出答案.

【解答过程】（1）选①,由正弦定理急=焉=品,得+—=1.

a+ba+c

所以c(a+c)+ft(a+b)=(a+b)(a+c).

化简为庐+c2—a2=be.

由余弦定理34=号也=黑=今

2bc2bc2

由于/6（0,71）

所以/=’

选②.由正弦定理.£b

sinFsinC'

得sinCcosCsinA=(2sinB—sinC)sinCcoSi4.

化简得sinC(sirL4cosc+cosZsinf)=2sinBsinCcos?l,

由两角和的正弦公式得sinCsin(/+C)=2sin8sinCcos/.

由诱导公式化简得sinCsinB=2sinBsinCcos/.

因为CW(0,7i),BG(OR),

所以sinCW0,sinBH0,所以cos4=

由于4G(0,71)

所以

(2)\CB-'CA\=\AB\=4,即c=4.

由(1)知：A=-

39

所以cosB+cosC=cos(§—C)+cosC=fsinC+|cosC=sin(C+：)=1,

因为OVCV“，-<C4--<-,

3666

所以£=

6L3

即△ABC为边长是4的等边三角形.

SRABC=|acsinB=1x4x4x-^=4V3.

4.(2023•辽宁沈阳・统考一模)在△ABC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin2+

V3cos4=0.

(1)求角a的大小；

(2)给出以下三个条件：①a=4乃，6=4；②力2—a?+C?+10b=0；③S^ABC=15«.

若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

(i)求sinB的值;

(ii)NB4C的角平分线交BC于点。，求4。的长.

【解题思路】(D由已知条件可得出tanA的值，结合角4的取值范围可求得角4的值；

(2)由4=与以及①或②或③解三角形，可得出正确的条件.

⑴求出a的值，利用正弦定理可求得sinA的值；(ii)由S&4BC=S0BD+SAACD结合三角形

的面积公式可求得AD的长.

【解答过程】(1)解：因为sinA+EcosA=0,若cosA=0,贝iJsinA=0,不满足siMa+

cos271=1,

所以，tanA=-V3,0<A<7t,:.X=y.

(2)解：由4=§及①，由余弦定理可得M=b2+c2—2/)ccosy,即c?+4c—32=0,

c>0,解得c=4；

由/=g及②，由余弦定理可得庐+c2-a2=2bccosA=-be,

由炉—a2+c2+10b=0可得10b—be=0,可得c=10；

由A=g及③，由三角形的面积公式可得S-BC=^besinA=吟be=15V3,可得be=60.

3L4

经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故b=6,c=10.

(i)将b=6,c=10代入②可得36-a2+100+60=0可得a=14.

在△ABC中，由正弦定理昌=［々=能故sinB=乎.

smAsinBV314

(ii)因为SAABC=SAABD+SA4CD，即|bcsi吟=2•ADsin：+|b•40sin|,

所以，AD=^=-=-.

b+c164

5.(2023•安徽•统考一模)在平面直角坐标系。xy中，锐角%/?的顶点与坐标原点。重合，始

边与X轴的非负半轴重合，终边与单位圆。的交点分别为P,Q.已知点P的纵坐标为手，点Q的

横坐标为9

14

(1)求cos(a-0)的值；

(2)记AABC的内角4,8,C的对边分别为a,瓦c.

请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.

①若C=a—0,且c=2,求△ABC周长的最大值.

②若A=a,B=§,且c=11,求△ABC的面积.

【解题思路】(1)先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得sina,cos0,cosa,sin£,再利

用余弦的和差公式即可得解；

(2)选①：先结合(1)中条件得到C=g,再利用余弦定理与基本不等式推得a+bW4,

从而得解；

选②：先结合(1)中条件求得sinC,再利用正弦定理求得a,6,从而利用三角形面积公式即

可得解.

【解答过程】(1)因为a邛是锐角，所以P,Q在第一象限，

又因为P,Q在单位圆上，点P的纵坐标为"，点Q的横坐标为弓，

714

所以sina=—,cos/?=—,

714

所以cosa=V1—sin2a=1|,sinp=-Jl—cos2/?=誓，

i./,c、...1134A/33A/31

故rcos(a—p)=cosacospn+smasmn"=-x—+—x—=

(2)选①：

由(1)中结论可得cosC=(又CE(0,兀),C=

由余弦定理可得=a2+b2—2a余osC,即4=a2+b2—ab=(a+b)2—3ab.

vab<4>(a+fo)2—1(a+h)2=[(a+Z))2,

a+6<4,当a=b=2时,等号成立，

a+fo+c<6,

即当△ABC为等边三角形时，周长最大，最大值为6.

选②：

由(1)可知sia4=,cos?l=二sinB=fcosB=—,

771414

则sinC=sin(i4+B)=sirL4cosB+cosZsinB=

由正弦定理三=白二白，可得高=*=瑞，故。=蓑/=高

siiiAsinBsmC4V33V35V355

714

31c1715621557366V3

贝口△4BC=-absmC=-x—x—x-----=------.

2255985

6.(2023•全国•模拟预测)在①ccosB+(b-2a)cosC=0,②a+b=ccosB+V3csinB,③

V3cosC(acosB+bcosA)=csinC这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问

题.

在中，内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知.

⑴求角C的值；

(2)若△ABC的面积S=炉一9c2),试判断△ABC的形状.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】(1)方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到sin(B+C)-

2sin2cosC=0,再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解；

方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到sinBcosC+sinB=

V3sinfsinB,再利用两角和的正弦公式即可求解；

方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出WcosC=sinC,然

后利用同角三角函数的基本关系即可求解；

⑵结合(1)的结论利用余弦定理和三角形面积可得b=3a,然后代入即可求解.

【解答过程】(1)方案一：选条选①.

由ccosB+(b-2a)cosC=0,得sinCcosB4-sinBcosC—2sin/lcosC=0,

得sin(B+C)—2sin4cosc=0,即sin/—2sin/cosC=0.

VO<<7r,'sin/>0,.*.cosf=

2

又0VCV71,AC=^.

方案二：选条件②.

由a+b=ccosB+V3csinB,得sinZ+sinB=sinCcosB+V3sinCsinB,

即sin(B+C)+sinB=sinCcosB+V3sinCsinB,

于是sinBcosC+cosBsinC+sinB=sinfcosB+V3sinCsinB,

因止匕sinBcosC+sinB=V^sinCsinB,":BEsin^H0,/.V3sinC-cosC=1,

方案三：选条件③.

由正弦定理，得V^cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sin2C,

BPV3cosCsin(i4+8)=sin2C,V3sinCcosC=sin2C,

又0<CV兀，sinCH0,V3cosC=sinC,即tan。=V3,.*.C=

(2)在44BC中，C=p由余弦定理得c?=a2+b2—2abeosC=a2+b2—ab,

又S=Y|(8/)2—9c2)=jafosinC,•'-y|[8fo2—9(a2+b2—ab)]=gab,

整理得9a2—6ab+h2=0,得b=3a,此时c=yJa2+b2—ab=V7a,

••.cosB=贮孚金=—.'B为钝角，故AABC是钝角三角形.

2ac14

7.(2023・四川南充・校考模拟预测)在①V3(a-focosC)=csinB,②2a-c=2hcosC,③

(a-b)(a+b)=(a-c)c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

在ZkABC中，内角a,B,C的对边分别是a,b,c,且满足,b=2V3.

(1)若a+c=4,求△ABC的面积；

⑵求△ABC周长/的取值范围.

【解题思路】(1)三个条件，分别利用正余弦定理，两角和与差的正弦公式和三角形内角和

公式化简，都能得到B=会再由余弦定理求得ac,即可计算A4BC的面积.

(2)b=2V3,S=|,由正弦定理边化角再化简得a+c=4Wsin(4+J,再由0<4<g

求得a+c的取值范围，即可得周长的取值范围.

【解答过程】(1)若选条件①，由旧①一bcosC)=csinB及正弦定理，得V^(sirk4-

sinBcosC)=sinCsinB

即V3[sin(B+C)—sinBcosC]=sinCsinB,化简得V^cosBsinC=sinCsinB,

因为0VCV兀，所以sin。H0,所以tanB=V3,因为0VB<兀，所以B=2

若选条件②，由2a-c=2bcosC及正弦定理，得2sin4-sinC=2sinBcosC,即

2sin(B+C)—sinC=2sinBcosC,化简得2cosBsinC=sinC,

因为0<C<7i,所以sinC70,所以cosB=],因为0<B<兀，所以B=g.

若选条件③，由(a+b)(a-b)=(a-c)c化简得，a2+c2-b2=ac,由余弦定理得

cosB=a2+c2~b2,gpcosB=因为0<8<兀，所以B=」

2ac23

所以三个条件，都能得到8=/

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2—2ac—2accosB,即12=42—lac—

lacxI，解得ac=I，

所以△的面积S=(acsinB=(x(xsing=*

(2)因为匕=2次，由正弦定理得号=_白=一\=等=4,

3smAsmCsmBV3

2

因为AC=Ti—B=—,

所以a+c=4(sinZ+sinC)=4\sinA+sin—Z)]=4V3QcosA+Ysin2)

4V3sin(4+g,

因为0V/<g,所以+sin(/+EG，1]，

3666\6/\2J

所以a+ce(2百，4网，即a+b+ce(4g,6百],所以△ABC周长I的取值范围为

(4V3,6V3].

8.(2023・全国•模拟预测)在①V^c=V5acosB+bsinA,②(b+a)(sinB-sind)=

c(sinB—sinC),③a?—b?=accosB—[be这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，

并解答问题.

在锐角△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且______.

⑴求4;

(2)若a=6,2丽=DC,求线段4)长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】(1)先选条件，并利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化，得到角4的三角

函数值，再结合角2的取值范围即可求得角4的大小；

(2)先利用余弦定理建立关于瓦c的方程，再利用向量的线性运算将2丽=反转化为而与

AB,尼的关系，两边同时平方即可将前2用匕国表示，最后利用△ABC是锐角三角形及换元

法，利用基本不等式求4。长的最大值即可.

【解答过程】(1)方案一：选条件①.

由正弦定理得V^sinC=V3sin(4+B)=V3sinXcosB+sinBsinA,

.\V3cosXsinB=sinBsinX,

"."sinB>0,/.sin4=V3cosX,即tan4=V3,

TTTT

V0<T4<-,：.A=-.

23

方案二：选条件②.

由正弦定理得(b+a)(b—a)=c(b—c~),即■+c2—a2=be,

222

・Ab+c-a1

..C0Si4=-------="

2bc2

rrTT

•°<F…丁

方案三：选条件③.

a2+c2-b217

由余弦定理得M-b2=ac-------------------be,

2ac2

.".b2+c2—a2=be,

・.b2+c2-a21

・・cosA=------------=-

2bc2

'：0<A<~,：.A=~.

23

(2)由小=62+c2-2bccosA,得36=b2+c2—be,

V2BD=DC,：.2AD-2AB=AC-AD,BR3AD=2AB+AC,

两边同时平方得9前2=4宿2+芯2+4荏-Jc=4c2+b2+2bc,

•・•36=&2+c2—be.

b2+4c2+2bc

：.AD2=gb+4c2+2&C)=4x

b2+c2-bc

4(t2+2t+4)

令2=t,则t>0,AD24+给，

ct2-t+l

令t+l=a,则“>L而2=4+^^^=4+\,

u

(a2+b2>c2(b2+c2—be+b2>c2

2b2>be

在锐角△ZBC中a2+c2>b2b2+c2—be+c2>b2=>

2c2>be

坟+c2>a2w2+c2>b2+c2—be

•<2,•»11=—+16(2^/

：.AD2<4+=16+8V3,

2V3-3

/.\AD\<2+2V3,当且仅当a=旧时取等号，

线段4。长的最大值为2+2V3.

9.(2023•山东潍坊・统考一模)在①tanXtanC-百tanA=1+V3tanC；②(2c-V3a)cosB=

V3/?cosX；③(a-V5c)sinX+csinC=bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并

作答.

问题：在AABC中，角48,C所对的边分别为a,6,c,且__________.

⑴求角B的大小；

(2)已知c=b+l,且角4有两解，求匕的范围.

【解题思路】(1)若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角B的大小；若选②，利用

正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入

化简即可得出答案.

(2)将c=b+l代入正弦定理可得sinC=答，要使角4有两解，即［<sinC<1,解不等

式即可得出答案.

【解答过程】(1)若选①：整理得1一taiMtanC=—V^(taih4+tanC),因为Z+B+C=TT,

所以tanB=—tan(X+C)=—~~—=虫，因为BE(0,7T),所以B=巴；

1-tanAtanC36

若选②：因为(2c—V3a)cos5=V3focos?l,

由正弦定理得(2sinC—V3sia4)cosF=V3sinBcos?l,

所以2sinCcosB=V3sin(X+8)=VSsinC,sinC>0,所以cosB=今因为BE(0,71),所以8=

71

6；

若选③：由正弦定理整理得—匕2=V5ac,所以—,

2ac2

即cosB="，因为BE(0,兀)，所以

26

(2)将。=匕+1代入正弦定理普=三，得_」=安，所以sinC=誓，

sinBsmCsinBsinC2b

因为B=g,角4的解有两个，所以角C的解也有两个，所以J<sinC<l,

62

即［<等<1,又b>0,所以b<b+l<2b,解得b>l.

10.(2023・吉林・统考二模)已知△ABC的三个角4B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+

ccosB=6.

(1)求边a；

(2)若△ZBC是锐角三角形，且___________,求△ABC的面积S的取值范围.

要求：从①/=£,②b+c=10从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解

答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解题思路】(1)解法一，利用余弦定理将角化边；解法二，利用正弦定理将边化角；

(2)若选择①，利用正弦定理得到b=6夜sinB,c=6V2sinC,则S-BC=|^csin4,将其

转化为关于B的三角函数，结合AABC是锐角三角形，求出B范围，再结合正弦函数的性质

求出△48C的面积的取值范围；

若选择②，依题意可得c=10-b,由三角形△ABC为锐角三角形利用余弦定理求出b的取

值范围，利用余弦定理表示出cosC,即可得到sinC,将SMBC转化为关于b的函数，结合二次

函数的性质计算可得.

【解答过程】(1)解法一；因为bcosC+ccosB=6,

由余弦定理，得心日空+c•号±=a=6；

2ab2ac

解法二：因为bcosC+ccosB=6,

由正弦定理，得2R(sinBcosC+sinCcosB)=6,

・・・2Rsin(8+C)=6,

2RsinA=6,即a=6.

(2)选择①：因为二=-y----7—=-r--K=6A/2

sm4sinBsmCsin-?

4

所以b=6或sinB,c=6或sinC,

所以SUBC=IbcsinA=18V2sinBsinC=18V2sinBsin+()

lgV2\

=18v2sinBI—cosB+—sinBI

=18sin8cosB+18sin25

=9sin2B+9—9cos2B

=9V2sin（2B-^）+9,

因为A2BC是锐角三角形,

[0<S<-,0<B<^

所以3又。=?—B,所以3Z『所以：<B<3.

0<C<-40<--B<-42

2I42

所以(如，所以立<sin(2B-口)W1,

4442\4/

所以9<9V2sin(2B一W9企,

所以18<SA的C<9V2+9.

选择②：因为b+c=10,则c=10—b,

匕2+〈2—02

cosA=2bc>0

a2+c2-b2

cosB=2ac>0,

02+匕2—〈2

cost'=2ab>0

(b2+c2—a2=b2+(10—bp—36>0

即la2+c2—b2=36+(10—b)I2—b2>0,

(a2+h2—c2=36+62—(10—b)2>0

r*r-I、[16J34

所以6<y,

a2+b2-c25/7-16

因为

COSC=2ab3b

所以sinC=V1—cos2C=4，"

所以SMBC=Ia^sinC=3b-"d誓一"

=4V—/+101—16,(£<b<g)

由二次函数g(%)=-x2+10x-16=-(x-5)2+9(£<%Vg)的性质可得，

当％=5时，函数取最大值g(%)max=9,当久=个时，g(%)=答，又呼一5|<|三一5卜

所以g(%)€(费⑶，即—+10b—16€(答⑶，所以J-b2+10,一166

所以蔡<S&ABC<12.

11.(2023.安徽马鞍山.统考一模)已知条件:①当等=系②二吗「幽=V3；③Wa=

tanBb14-sin2C+cos2C

2csin(B+§.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在A4BC中，

角4B,C所对的边分别是a,b,c,满足：.注：如果选择多个条件分别作答，按第

一个解答计分.

(1)求角C的大小；

(2)若为锐角三角形，c=|求。2+炉的取值范围.

【解题思路】(1)选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三

角恒等变换公式化简即可求解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简即可求

解；

(2)根据正弦定理可得a=sinA,b=sinB,从而M+炉=siM/+sir^B,再根据B=-^--A,

即可得到a?+=i+|sin(24-5,利用三角函数的性质即可求取值范围.

［解答过程】(1)选择条件①誓等=华:

tanB+tanC_sinBcosC+cosBsinC_sin(B+C)_sin/a

tanBsinBcosCsinBcosCsinBcosCbcosC,

所以品=笫于是cose,又ce(。办所以CW

选择条件②,14-sin2C-cos2C=V3：

l+sin2C+cos2C

因为l+sin2C-cos2c_2sinCcosC4-2sin2C_2sinC(cosC+sinC)_fanC

14-sin2C+cos2C2sinCcosC+2cos2C2cosC(cosC+sinC)’

解得tanC=V5,又CE(0,兀),所以C=g.

选择条件③Ba=2csin(8+1)：

则=c(sinB+遮cosB),

由正弦定理得：V3sini4=sinfsinB+V3sinCcosB,

即V^sin(B+C)=sinCsinB+遍sinCcosB,

整理得：V3sinjBcosC=sinCsinB,

由sinBHO得：tanC=H,又。€(0,兀)，所以。=泉

(2)由(1)知，C=-,B=--A,AABC为锐角三角形，所以四<4<二,

3362

由正弦定理丘=焉—=1,得a=sin/,b=sinF,

sinC

于是，a2+b2=sin2i4+sin2^=siMZ+sin2d-/)=一一之”+

=1—|[cos2i4+cos弓—24)]=1—|(|cos2i4-sin2X),

化简得，a2+&2=1+|sin(2?l—，),

因为g<A<M所以g<2i4—所以2<sin(2i4—<1,

62o6626

-<l+-sin(271--)<-,

4216y2

故a2+〃的取值范围为信|].

12.(2023•山西•统考一模)在①b(l+cosC)=Hc-sinB；②(sin/-：sinB)=sin2C-

-sin2^；③3bcosC+ccosB=a+b这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该

4

问题.

问题：在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且______.

(1)求角C的大小；

(2)若a=2,6=3,48边上一点P满足|PB|=2|P4|,求|PC|.

【解题思路】(1)选①：由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出角C的大小；选②：

由正弦定理的边角互化结合余弦定理得出角C的大小；选③：由正弦定理的边化角公式得出

角C的大小；

(2)由而=|刀+(3结合向量的运算得出|PC|.

【解答过程】(1)选①.由b(l+cosC)=V5c•sinB及正弦定理得sinB(l+cosC)=

V3sinCsinF.

又BE(0㈤,sinBW0,于是14-cosC=V3sinC,2gsinC-geos。)=1,

即sin(C—.)=%又C€(0,兀)，'故C=泉

选②.由(sinA—]sinB)=sin2c-[siMB及正弦定理得(a-=c2~^b2,

化简得M+b2—c2=ab,于是cosC=°1:J-=篝=p又CE(0,兀)，故C=/

选③.由3bcosC+ccosB=a+b及正弦定理得

3sinFcosC+sinCcosB=sinA+sinB=sinB+sin(C+B)=sinB+sinfcosB+cosfsinB,

又B6(0,71),/.sinBW0,

于是3cosc=1+cosC,cosC=又CG(0,兀)，故C=/

(2)CP=CB+-BA=-CA+-CB,

333

两边平方有：CP2=^CB2+^CA2+^CA-CB,

所以而2=3*4+£*9+£*3*2*工=%，伊。=处.

99929113

13.(2023•广东惠州・统考模拟预测)条件①acosB=c+|b,

sinA-sinCsinB+sinC

条件②•

ba+c

条件③=asinB.

请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知△ABC的内角4、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,

⑴求4

（2）若4。是NB4C的角平分线，且4D=1,求2%+c的最小值.

【解题思路】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cosA的值，结合角4的

取值范围可得出角4的值；

选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出cosZ的值，结合角4的取值范围可得出角4的值；

选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出sin?的值，结合角4的取值范围可得出角

4的值；

_1111

（2）由已知SMBC=S&ABD+SAACD结合三角形的面积公式可得出3+"=L将2b+c与$+-

相乘，展开后利用基本不等式可求得2b+c的最小值.

【解答过程】（1）解：选①：因为acosB=c+jh,由正弦定理可得sinAcosB=sinC+jsinB,

11

即sin24cosB=sin（/+B）+-sin5=sinZcosB+cosXsinB+-sinB,

所以cos/sinB=-1sinB,

而BE(OX),・・・sinBwO,故cos4=—右因为4€(0,兀)，所以4=g；

、4rnsin.4-sinCsinB+sinCi,--,^a-cb+c

选②：因为——=-^-，由正rJ弦h=定trm理丁二六，

即炉+C2—a2=—be,由余弦定理cos/=b+>.a==—1,

2bc2bc2

因为46(0,兀)，所以4=g；

选③：因为V^bsing'=asinB,

正弦定理及三角形内角和定理可得WsinBsin等=sindsinB,

BPV3sinBcos^=2sin|cos|sinS,

因为4、Be(0,7i),则?e(0,0,所以,sinBH0,cos.丰0,

所以5呜=孚，所以泻,即4=早

(2)解：由题意可知,S»ABC~^LABD+SAACD，

由角平分线性质和三角形面积公式得知csi吟=|bxlxsin^+^cxlxsinp

化简得be=b+c,即1+1=1>

因此2b+c=(2b+。)("+})=3+7+当23+2J：,亭=3+2>/2>

当且仅当c==近+1时取等号，所以2b+c的最小值为3+2V2.

14.(2023・山东•校考模拟预测)在①acosC+ccos4=16cos8,②5sin(；+8)+5sin(-B)=1,

③BG(Oj),cos28=cosB-j|.这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答.

已知AABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且________.

(1)求tan2B的值；

(2)若tanA=—苔,c=?,求△ABC的周长与面积.

54

【解题思路】(1)若选①，利用正弦定理边化角及诱导公式求出cos8=g,再求出tanB,由

正切的二倍角公式即可求出tan2B的值；若选②，由诱导公式化简，再结合三角函数的平方

和，可求出sinB,tanS,再由正切的二倍角公式可求出tan2B的值；若选③，由余弦的二倍

角公式代入化简求出COSB=£再求出tanB,由正切的二倍角公式可求出tan2B的值；

(2)由tanA=-蓑，求出cos4sin4由正弦定理求出a,b,最后根据三角形的面积公式和

周长即可得出答案.

【解答过程】(1)若选①:由正弦定理得sin/cosC+sinCcos/=9sinBcosB,

4

故sin(/+C)=|sinBcosB,

而在△中,sin(4+C)=sin(兀—B)=sinB,

故sinB=|sinBcosB,又BG(0,兀)，

所以sinBW0,则cosB=!

则sinB=Vl-cos^S=|,tanB=翳=I，

2tanB24

故tan2B=

l-tan2B7

若选②:由5sin(^+B)+5sin(-S)=1,化简得cosB—sinB=代入COS2B+sin2B=1中,

整理得25sin2B+5sinS-12=0,

即(5sinB-3)(5sinB+4)=0,

因为Be(0,兀)，所以sinB>0,所以sinB=|,

则cosB=-,tanB=汽艺3

5cosB4

2tanB24

故tan2B=

l-tan2B7

若选③:因为cos2B=cosB-1|,

所以2cos2鸟—1=cosB-11,BP2COS2B—cosB-1|=0,则(2cosB+|)(cosB—|)=0.

因为86(0,1),所以cosB=p

贝UsinB=V1—cos2B=-,tanB==-

5cosB4

故tan28=9=^

因为,且2兀),

(2)tanA=cos/5siMZ+cosi4=1,AG(0,

所以cosA=—V，sinA=£

由(1)得cosB=gsinB=I，则

124Kq

sinC=sin（7l+8）=sinAcosB+cos/sinB=—x-------x-=一,

13513565

由正弦定理得号=号=一==?!，则a=5,b=?.

s\nAsmBsinC124

故^ABC的周长为Q+b+C=11,

AABC的面积为S0BC=-absinC=ix5x—x—=—.

224658

15.（2023・四川德阳・统考一模）在△ABC中，边a、b、c对应角分别为A、8、C,且色=黑史.

aV3sini4

（1）求角8的大小；

（2）从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得AABC存在且唯一，求AC边

上的高.

条件①：COS71=y,匕=1;

条件②：b=2,c=2V3；

条件③：a=3,。=2.

注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.

【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，然后整理计算可得答案；

（2）若选择条件①：由三角形的三角一边可得△ABC唯一确定，再利用正弦定理计算求答

案；若选择条件②：根据正弦定理计算得sinC>1,得到△ABC不存在；若选择条件③：由

三角形的两边及其夹角确定可得△ABC存在且唯一，再利用正弦定理计算求答案.

【解答过程】（1）由正弦定理边化角得若=等吃，

sinAV3smz

••・V3sinB=cosB+1,得sin（8—'）=

VO<B<K,A

666

・・.B——，

66

・•.B=-；