2024年广东省高考数学一轮复习第10章：概率与统计（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第10章：概率与统计

I.已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在

下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.

问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若,从

这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X,求随机变量X的分布列和

均值.

解若选①，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

4

P(X=0)=干/

CiCi18

P(X=1)=

35'

CgCl12

P(X=2)=

G-35'

G1

P(X=3)=,石

所以X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

4181219

E(X)=0X—+1X35~*~2X^+3X—=-

若选②，由题意得，随机变量X的所有可能取值为01,2,3,且X〜8(3,分,

64

343'

144

P(X=

343,

3A1O8

P(X=2)=C*X俳X--1-343

7;

P(X=3)=GX@T，

所以X的分布列为

X0123

6414410827

P

343343343343

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39

E(X)=3X-=".

2.(2023•毕节模拟)某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎

叶图和频率分布直方图如图所示，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图所示.

53489

63446777889

713344466678889

(1)求频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图估计该市全体高中学生的测试分数的

中位数和平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，结果保留一位小数);

(2)用频率代替概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分

的人数为X,求X的分布列及均值.

解(1)：测试分数位于［50,60)的频数为4,频率为0.01X10=0」，

4

抽取学生数为57=40,

...测试分数位于［80,90)的人数为40-(4+10+14+4)=8,

8

.•・。=布?10=0.02.

由题意知，测试分数位于［60,70)的频率为羽=0.25,位于［70,80)的频率为帚=0.35,

设由频率分布直方图估计分数的中位数为f,

则有(L70)X0.035=0.5—0.1-0.25,解得个74.3,

估计平均数为55X0.1+65X0.25+75X0.35+85X0.2+95X0.1=745

⑵由题意知，测试分数不低于90分的频率为0.1,人数为4,

.••X的所有可能取值为0,1,2,3,4,X〜8(4,0.1),

即P(X=A)=di(0.1»(0.9)4r(&=0,l,2,3,4),

；.X的分布列为

X01234

P0.65610.29160.04860.00360.000I

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£(X)=4X0.1=0.4.

3.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(O<p<l).现有4例疑似病例，分别

对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要

有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若

混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：

方案一：4个样本逐个化验；

方案二：4个样本混合在一起化验；

方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验.

由于检测能力不足，化验次数的均值越小，则方案越“优”.

(1)若°=孑，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；

(2)若「=告，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并

说明理由.

解(1)^=|,按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率2=命0)咏仔)2=捺

(2)方案一：逐个检测，检验次数为4X1=4；

方案二：设检测次数为X,X的所有可能取值为1,5,

P(X=1)=

6561_3439

P(X=5)=1-ioooo-ioooo,

则X的分布列为

X15

65613439

P1000010000

方案二的均值E(X)=IX导湍+5X温需=2.3756；

方案三：每组2个样本检测时，

若呈阴性，则检测次数为1,概率为松O1，

若呈阳性，则检测次数为3,概率为1一孺=芸，

设方案三的检测次数记为匕丫的所有可能取值为2,4,6,

p(r=2)=_6561_

P〃10000'

P(y=4)=2X益*需=^^,

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尸岭尸瑞)2=T^,

则y的分布列为

Y246

65613078361

P

100001000010000

方案二的均值E(K)=2X]0000+4X]0000+6X1000G=2.76,

；E(X)<E(y)<4,.•.方案一、二、三中,方案二最“优”.

4.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件

作为样本，测量其直径(单位：mm)后，整理得到下表：

直径/mm5859616263646566676869707173合计

个数11356193318442121100

经计算，样本直径的平均值〃=65,标准差。=2.2,以频率值作为概率的估计值.

(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一个，记其直径为X,并根据以

下不等式进行评判(尸表示相应事件的概率):①cWXW〃+o)》0.6827；②

+2^)^0.9545；③P(/,一317・乂或〃+3<7)，0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，

则设备等级为甲；若仅满足其中两个不等式，则设备等级为乙；若仅满足其中一个不等式，

则设备等级为丙；若全部都不满足，则设备等级为丁，试判断设备M的性能等级；

(2)将直径小于"一2。或直径大于〃+2c的零件认为是次品.

①从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件，计算其中次品个数K的均值£(D；

②从样本中随机抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分布列和均值E(Z).

解(1)由题意可得，〃+c)=P(62.8WXW67.2)=0.8>0.6827,

P(/i-+2CT)=P(60.6WXW69.4)=0.940.9545,

Pa-3<T<X<〃+3(7)=P(58.4<XW71.6)=0.98<0.9973,

因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.

(2)样本中次品共有6个，可估计设备M生产零件的次品率约为0.06.

①由题意可得，丫〜B(2,襦)，所以附=2乂襦=看

②由题意可知，Z的分布列为

Z012

生cAckCg

P

C彳ooCiooCTOO

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所以E(Z)=0X殖+1义警*+2X拜=黄.

CiooC1OOC10O23

5.（2022•唐山模拟）两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质重要性的阐述引起了

全社会的共鸣.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所

示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）.体育组为进一步了解情况，组织了两个研究

小组.

（1）第一小组决定从单次完成1〜15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方

法抽取22人进行全面的体能测试.

①在单次完成6〜10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？

②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1〜5个”的人

数为随机变量X,求X的分布列和均值；

（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩

与体育成绩之间的2X2列联表.

学业成绩

体育成绩合计

优秀不优秀

不优秀200400600

优秀100100200

合计300500800

根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？

参考公式：独立性检验统计量/=/空、〃上⑶,其中n=a+b+c+d.

临界值表：

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

解（1）①单次完成1〜5个引体向上的有0.020X5X800=80（人）,

单次完成6~10个引体向上的有0.030X5X800=120（A）,

单次完成11~15个引体向上的有0.060X5X800=240（人），

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则单次完成1〜15个引体向上的男生共440人,

采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人，则有荒=含=苏=磊，

所以〃=4,b=6,c=12,

即从单次完成1〜5个的人中选4人，6〜10个的人中选6人，11〜15个的人中选12人,

又因为单次完成6〜10个引体向上的共有120人,

记''单次完成6〜10个引体向上的学生中，男生甲被抽中”为事件4

则"，）=部=4・

②X的所有可能取值为0,1,2,3,

p（x=o）=ig=m，

C!CT_I53

P(X=1)=8

02-385'

C1C|_27

P(X=2)=8

CC-385'

尸(X=3)=^=1

385'

所以X的分布列为

X0123

204153271

P

385385385385

所以E(X)=0X—+1X—+2X—+3X—=—=-

（2）零假设为Ho：体育锻炼与学业成绩无关,

,800X(200XI00-400XI00)2

由列联表中数据得，z2=—念亦石17.778>7.879=W005,

JUU八DUU入OUU入ZUU

所以根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断必不成立，即认为体育锻炼与学业成

绩有关.

6.随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多.世界卫生组织（WHO）常用身体质量

指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI=等簿券"詈.成人的

BMI数值标准为：BMIW18.4为偏瘦：18.5WBMIW23.9为正常；24WBMIW27.9为偏胖；

BMI）28为肥胖.

某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取

了8名员工（编号1〜8）的身高x（单位：cm）和体重y（单位：kg）的数据，并计算得到他们的

BMI（精确到0.1）如表所示.

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编号12345678

身高(cm)163164165168170172176182

体重(kg)5460777268•7255

BMI(近似值)20.322.328.325.523.523.723.216.6

(1)现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X,求X

的分布列及均值；

(2)研究机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重y(kg)之间的线性相关程度较高，在编号为

6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的经验回归

方程为;=0.5x+1,且根据经验回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg,计算

得到的其它数据如下：T-170,±x'=89920.

1=1

①求。的值及表格中8名员工体重的平均值y；

②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg,身高数据无误,

请你根据调查员乙更正的数据重新计算经验回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工

的体重.

AAA

附：对于一组数据(xi,yi)f(X2,y2),…，(xw,y/t)f其经验回归直线的斜率和截距

n____

»》一〃xy

Al=]AA

的最小二乘估计分别为〃=,a=y—bx.

z?x2

i=\

解(1)8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人,记抽到BMI值为“正常”的人数为X,

则X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=^=表,

CgG」5

P(X=1)=U-56'

=30=J5

P(X=2)=a一瓦一丞，

CgC0105

尸―尸方获28'

故X的分布列为

X0123

115155

P56562828

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则E(X)=0XR+1X段+2X球+3x£=嘿.

JO30ZoZo30

AA

(2)①调查员甲由经验回归方程y=0.5x+a预估一名身高为180cm的员工的体重为71kg,