2023年中考数学几何模型-动点最值之阿氏圆模型（讲+练）（解析版）

专题15动点最值之阿氏圆模型

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：

PB=k(k^l),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数

学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

模型建立：当点P在一个以。为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示:

„„.PAOAr.i土”-AC,

易证："OPS^POA,.•.同=丁=9'•.对于回上任意一点P都有西=前=次.

对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位

()A

置选取A、B点，则需翠=r温=6

【技巧总结】计算弘+Z.PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三

角形

问题：在圆上找一点P使得24+公依的值最小，解决步骤具体如下:

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB

②计算出这两条线段的长度比笔=攵

ocPC

③在OB上取一点C,使得——=k,即构造APOMs/\BOP,则——=k,PC=k.PB

OPPB

④则/%+Z・P8=Q4+PC2AC,当A、P、C三点共线时可得最小值

例1.如图，在RtfMBC中，^ACB=90°,CB=7,47=9,以C为圆心、3为半径作回C,P为回C

上一动点，连接AP、BP,则（AP+BP的最小值为（）

【详解】如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.

,PCCM

0PC=3,CM=1,CA=9,E)PC2=CM・CA,0一=——，

CACP

PMPC11

团团PCM=MCP,瓯PC/V7004CP,0——=一=",团PM=一%，^-AP+BP=PM+PB,

PAAC333

22

SPM+PB>BM,在RtElBCM中，回回8cM=90°,CM=1,BC=7,0BM=Vl+7=572，

^AP+BP>5y[2)EI；AP+8P的最4、值为5c.故选：B.

例2.在.43C中，AB=9,BC=8,MBC=60。，蜘的半径为6,P是A上一动点，连接PB,

PC,则3PC+2尸8的最小值_____________PB+5^PC的最小值_______

73

63历

【答案】21

73

【详解】①连接AP，在AB上取点Q,使AQ=4,连接CQ,

皿的半径为6即36,唠=|，又［=。=|，且

■^=^=|,E]PQ=|BP,ia3PC+2PB=3(PC+2|BP

团A4PQS&48P,团=3(PC+P。),

3

当p、C、0三点共线时，PC+尸。的值最小，最小值为CQ的长，

过C作CI^AB于/,圈/CIB=NCIQ=90°,

在R的C/8中，回NCB/=60°,8c=8,inZCBI=—=—,团=

sBC2

回8/=\JBC2-CI2=4'QI=AB-AQ-BI=9-4-4=l,

在Rtac/Q中，CQ=^QI2+C12=7,GJ3PC+2尸8的最小值为3（PC+PQ）=21：故答案为:

21；

②连接AP,由①得：在RtSCIA中，AC=^AI2+CI2=祖+9厨=A/73,

在4：上取点G,使AG=36叵,连接PG,BG,

73

^-=-^==^21,0—=—,SLZGAP=APAC,OAAGP^AAPC,

AC历73ACAP

向GPAG6x/73

111-----------------------------------------f

PCAP73

叱噜PC0PB+^^PC=PB+GP,

73

当G、P、3三点共线时，P3+GP的值最小，最小值为8G的长,

过G作GHSiAB于H,*GHA=ZGHB=90°,

*嘿，在中，sin/GAW/嘿,

在RtHC/ALp,sin/CA/=

^AH=yjAG2-GH2图，BH=AB-AH=9-^=^

737373

63773

在RtfflGHB中，BG=yjBH2+GH2=

73

0PB+PC的最小值为.

7373

故答案为：则亘.

73

例题3.如图，已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点,

则PD--PC的最大值为.

2

【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3,根据题意要求构造工PC,在BC上取M

2

使得此时PM=-,则在点P运动的任意时刻，均有PM=-PC.从而将问题转化为求PD-PM

22

的最大值.连接PD,对于APDM,PD-PMVDM,故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为

最大值”.

2

【变式训练1】如图，已知菱形ABC3的边长为4,4=60。，B的半径为2,P为B上

一动点，贝ijpo+gpc的最小值_______.PC+且叩的最小值_______

26

D

\BIc

［答案］屈回

3

【详解】①如图，在BC上取一点G,使得8G=1,连接P8、PG、GD,作。用8c交BC延长

线于F.

PB2cBe4cPB

回=-=2,=-=2,0=

BG1PB2BG

P「111

⑦NPBG=NPBC,团"BGAC5P,回一=—=一，国PG=—PC,⑦PD+—PC=DP+PG,

PCPB222

SDP+PG>DG,回当D、P、G共线时，PD+；PC的值最小，最小值为DG,

在RffilCDF中，回DCF=60°,CD=4,13DF=CD»s/n60o=2,CF=2,

在R/13GDF中，OG=J(2后+⑸2=后,故答案为：屈;

②如图，连接8D,在8D上取一点M,使得8M=#,连接P8、PM、MC,过M作MW138c

1

团四边形A8CD是菱形，且NABC=60。,EL4C0BD,0408=90°,骷8。=团CB。二一蜘8c=30。，

2

1______G

2222

^\AO=-AB=2fBO=^AB-AO=74-2=273^^BD=280=473,团_3_6，

~PB~~T~~6

PB_2

-473-6'

0—=—=—,H^MBP^PBD,^EMBP~^PBD,0—=—=^,SPM=—PD,

PBBD6PDBD66

SPC+—PD=PC+PM>MC，囹当M、P、C共线时，pc+无p。的值最小，最小值为

66

CM,

在RtfSBMN中，0C8O=30°,BM=—,回MN=-BM=—,BN=\JBM2-MN2=-,0C/V=4--=-,

326222

@MC=y/CN2+MN2=yJCN2+MN2=,13PC+迫PC的最小值为回工.

363

【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上一动点，

则PO+/PC的最小值为________________________,PO—/。的最大值

为_________________.

犷

【答案】最小值为5,最大值为5

【解析】在BC上取一点G,使得BG=1,连接PG、D(3,如图所示：

力D

.・空=2=2里j=2-空=型

'BG~1~!BP~2-1"BG~BP'

,PG_BG_1.

==

'/ZPBG=ZPBC,/.△PBGs△cBP,­•2',•

PG=|PC,：.PD+^PC=DP+PG,

PO+1。。的值最小，最小值为

在APDG中，DP+PG2DG,二当D、G、P共线时，

DG=\/CG2+CD2=5；

当点P在DG的延长线时，的值最大，如图所示：此时最大值也是DG,最大值

为5.

【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0),B(4,4),点P在半径为2的

【解析】取点K(1,0),连接OP、PK、BK,如图所示:

・..OPOK1

•OP=2，OA=4,OK=1,..八、—八n=不,

OAOP2

VZPOK=ZAOP,/.APOK^AAOP,

PKOP111

TTPKPA：PBPAPBPK

■■-i-^/i=^Cz/1=z^,.-.=z^,.+/^=+,

在aPEK中，PB+PK2BK,...。区+义。4=28+。长的最小值为81＜的长，

VB(4,4),K(1,0),：.BK=V^2+42=5,「PA的最小值为5.

【变式训练4】如图，菱形ABC3的边长为2,锐角大小为60。，0A与8c相切于点E,在A

上任取一点P,则PB+3P。的最小值为__________.

2

HE

【答案】叵.

2

【详解】解：在A。上截取八H=1.5,连接PH、AE,过点8作8甩。4延长线，垂足为F,

SAB=2,M8C=60°,^BE=AF=1,AE=BF=yf3,0—=—=

AHAP3

EBP4D=SPAH,^ADPSQAPH,0—=—=—,SPH=—PD,

PHAP32

当8、P、”共线时，PB+且的最小，最小值为BH长，

2

BH=JBF?+FH?=J（扬,+2.5?=，；故答案为：字.

课后训练

1.如图，矩形ABCO中，A8=4,AD=2,以B为圆心，以BC为半径画圆交边4?于点E,

点P是弧CE上的一个动点，连结PR%,则的最小值为（）

A.MB.VHC.岳D.714

【答案】C

【详解】解：如图，连接BP,取BE的中点G,连接PG,

cM…cBP21曰.....BG1BPBG

^AD=BC=BP=2,AB=4,0——=一=一，13G是BE的中点、，回——=-,E——=——，

BA42BP2BNBP

PGBP1।

6/PBG=NABP,吼BPGBAP,回一=—二一，团尸G=-AP,

APBA22

则;4P+OP=PG+OP,当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，

DG^yjAD2+AG2=5/4+9=J13-故选：C.

2.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2),P是△AOB外

部的第一象限内一动点，且/BPA=135。，则2PD+PC的最小值是.

【答案】4^/2

【解析】依题意可得OA=OB=2,NBPA=135。，...点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为

半径的圆。上的劣弧AB,构造圆0,连接OP,在OC上截取OE=1,连接PE、ED,过点D

作DFLOC手点F,如图所示：

--,/POC=/EOP,△POCS/\EOP,=J,PC-PE,

(70(.Ji/1(.^ZZ

2PD+PC=2(PD+jpc'j=2(PD+PE)N2DE,

当E、P、D三点共线时，PD+PE的值最小，最小值为DE的值，

•.•DF_LOC于点F,则DF=2,EF=2,/.DE=y/EF2+DF2=2^2,...ZPO+PC的最

小值为2DE=4V^.

3.如图，在RjABC中，I3C=9O。，CA=3,CB=4.二C的半径为2,点P是，C上一动点，贝lj

12

AP^-BP的最小值______________PB+-PA的最小值________

【详解】①在8c上取点D,使CD=；BC=1,连接AD,PD,PC,

B

DCPC11

由题意知：PC=2,回一=—=一，^PCD^BCP.aAPDCsMPC,©PD=-PB,

PCBC22

且「A+gpB=PA+PO2A£>,0Ar>=7Ac2+cr>2=V9TT=Vio.

回24+；尸3的最小值为风，故答案为：Vio：

②在AC上取点E,使CE=g,连接PE,BE,PC,

cPC2CEPC2

0CE2,——=一，回——=——=-且团PCE二蜘CP,

~PC-AC3PCAC3

PF)Do

团NPECS&APC,团一=—=一,国PE=-PA,®PB+-PA=PB+PENBE,

PAAC333

日BE=JBC?+CE2T42+§2=生”团/8+刎的最小值为^故答案为：1^2.

4.如图，半圆的半径为1,AB为直径，AC、BD为切线，AC=1,BD=2,点P为弧AB上一

动点，求呼PC+P。的最小值.

3^/2

【答案】

2

【解析】当A、P、D三点共线时，挈PC+P。的值最小.

连接PB、CO,AD与CO相交于点M,如图所示:

VAB=BD=2,BD是。。的切线,ZABD=909,ZBAD=ZD=459,

VAB是。。直径,.•.NAPB=909,，/PAB=NPBA=459,...PA=PB,PO_LAB,

；AC是。。的切线,AC±AB,；.AC/7P0,ZCAO=90?

：AC=PO=1,，四边形AOPC是平行四边形，而OA=OP,NCAO=90。,...四边形AOPC是正方

形，

PM=AM=^AP=^-PC,ADA,OC,：.哙PC+PD=PM+PD=DM,

：DMJ_OC,.•.由"垂线段最短"可知此时挈PC+PD的值最小,

最小值为-AM='AB，+BD?一璋4。=一殍=^.

5.(1)如图1,在AABC中，AB=AC,8。是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上

的中线CE,并证明80=CE：

图1图2图3

(2)如图2,已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，布=3,求PC+^PZ)的

2

最小值；

(3)如图3,在矩形ABCQ中，AB=18,BC=25,点M是矩形内部一动点，MA=15,

当MC+^-MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+^-MD的最小值.

55

【解答】解：(1)如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交A8于点E,连接EC.线段

EC即为所求;

\'AB=AC,AE=EC,AD=CD,：.AE=AD,

"：AB=AC,/A=N4,AD=AE,.'.△BA力丝△CAE(SAS),:.BD=CE.

M

D

瓦

BC

图1

(2)如图2中，在A。上截取4E,使得

：以2=9,人£>4。=当6=9,：.PA2=AE-AD,.•里=里•：ZPAE^ZDAP,

2ADPA

:.XPAESXDAP,P^=PA=J_,:.PE=LPD,：.PC+—PD=PC+PE,

DPAD222

PC+PE>EC,：.PC+^PD的最小值为EC的长，

2

在RsC£>E中，\'ZCDE=90°,C£>=6,DE=^~,

荷+电2=学,.•.PC+*P£＞的最小值为学.

(3)如图3中，如图2中，在AO上截取AE,使得AE=9.

\"MA2=225,心40=9X25=225,：.MA2=AE>AE,.•坐二里VZMAE=ZDAM,

ADMA

...△MAES/X/JAM,

：.ME=^-MD,.,.MC+^-MD=MC+ME,"：MC+ME>EC,：.MC+^-

MDAD25555-5

历。的最小值为EC的长，在RtACDE中，VZCDE=90°,CD=18,DE=16,

/.£C=^162+182=27145，•••MC+^-MD的最小值为.

5

图3

6.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(aWO)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,

在x轴上有一动点E(.m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线A8于点N,交抛

物线于点P,过点P作PM_LAB于点M.

(1)求a的值和直线AB的函数表达式；

(2)设△PMN的周长为J,/XAEN的周长为C2,若幺=反，求m的值；

C25

(3)如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到。？，旋转角为a(0°

<a<90°),连接E'A、E'B,求的最小值.

3

【解答】(1)沙=一日N+3；(2)m=2；(3)4v/10

44

【解析】(1)令y=0,则。必+(0+3)x+3=0,

3

:.(x+1)(ax+3)=0,「.xn-1或---，