湖北省2023届高三4月调研模拟考试数学试卷（含答案）

湖北省2023届高三4月调研模拟考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

ɔ

1、复数与下列复数相等的是（）

l-√3i

A.CoS+isin（-]）B.cos（一微）+isin（一与）

C.-+ɪiD.-l-√3i

22

2、已知集合M={x,一3χ<o[Λ^={χ∣log2x<4},且全集U=[-l,20],则U=（）

A.M（dN）B.N&WC.M&N）D.N（QM

3、城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况.我国采用的是红绿交通

信号灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”.不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期

性.在一个周期T内交通信号灯进行着红绿交替变换（东西向红灯的同时，南北向变为绿

灯；然后东西向变为绿灯，南北向变红灯）.用H表示一个周期内东西方向到达该路口

等待红灯的车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R表

示一个周期内东西方向开红灯的时间，S表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待

时间的总和（不考虑黄灯时间及其它起步因素），则S的计算公式为（）

(H+V]R2,、HR1+V(T-Rf(H+V)R

B∙HR+V(T叫C,ɪ-ɪD∙LγX

4、已知数列{叫是等差数列，数列也}是等比数列，若4+4+4=5兀,

b,b4bβ=3√3,则tan”？=()

1-她

A.ʌ/ɜB.-ʌ/ɜC.D.———

33

5、在aABC中A6∙AC=4,∣BC∣=2,且点O满足BO=DC,则IAa=()

A.√5B.√6C.√3D.3

2

6、已知SinaSin4一。=3cosasina+二，则cos2α+巴=()

UJI6；I3)

A.--B.-lC.-D.-

222

7、已知动直线/的方程为(1-∕)χ+24y-3〃—3=0,aeR,p(√3,l),7为坐标原

点，过点。作直线/的垂线，垂足为。，则线段P。长度的取值范围为()

A.(0,5]B.[l,5]C.[5,+∞)D.(0,3]

8、已知函数/(x)及其导函数/'(X)定义域均为R,满足/g+记

其导函数为g'(x),且g'(3-力的图象关于原点对称，则g'(9)+g(∣)=()

A.0B.3C.4D.1

二、多项选择题

9、以下说法正确的有()

A.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10,3,8,3,2,18,7,4,则该样

本数据的第50百分位数为5.5

B.经验回归直线y=公+α至少经过样本点数据中的一个点

C.若P(MA)=O.3,P(B)=O.3,则事件A,B相互独立

D.若随机变量"B∣21,;),则P(J=Z)取最大值的必要条件是左=10

10、已知函数/'(X)=Sin(ox+o)(其中0>0,I^l<ɪ,T为/(x)图象的最小正周期,

满足/(£!=/《)且/(x)在(0,兀)恰有两个极值点，则有()

Aπ

A.φ=----

6

B.函数y=/[x+∕J为奇函数

cU<.≤12

66

D.若啰GN*,则直线y=x-等为"X)图象的一条切线

11、已知在棱长为2的正方体ABeAfGA中，过棱BC,Co的中点E,尸作正方

体的截面多边形，则下列说法正确的有()

A∙截面多边形可能是五边形

B.若截面与直线AG垂直，则该截而多边形为正六边形

C.若截面过的中点，则该截面不可能与直线A。平行

D.若截面过点A，则该截面多边形的面积为坐

12、已知抛物线尤2=2∕∕(p>0)的焦点为E过点尸的直线/与抛物线交于A,B两

点，与其准线交于点。，尸为AO的中点，且∣AE∣=3,点”是抛物线上84间不同于

其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点M抛物线在A,B两点处的切线交于

点T,则下列说法正确的有()

A.抛物线焦点户的坐标为(0,|)

B.过点N作抛物线的切线，则切点坐标为［±|,q)

/7

C.在TWN中，若f∣MN∣=∣M∕∣,∕∈R,则r的最小值为学

D.若抛物线在点M处的切线分别交BT,AT于“，G两点，则IBHHG4∣="T∙∣TG∣

三、填空题

13、在某项测量中，其测量结果J服从正态分布N(3,4)(b>o),月.P(J>4)=L

则P(ξ>2)=.

14、若(奴+2丫的展开式中常数项为160,则/+〃的最小值为__________.

IXj

15、已知函数/(x)=log,,x-(G)-Iog“2(a〉l)有两个零点，则实数”的取值范围为

16、已知X为包含U个元素的集合(u∈N"丫23).设A为由X的一些三元子集(含有三

个，元素的子集)组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯

一的-一个三元子集中，则称(χ,A)组成一个U阶的Steiner三元系.若(X,A)为一个7阶

的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为.

四、解答题

17、设数列｛4｝前〃项和S“满足S,,+4=-⅞≤,〃eN*.

n+n

(1)证明：数列为等比数列;

11h

⑵记;=_、一s“，求数列-n的前”项和τ,∙

b

n〃+1L(⅛-l)(⅛+.-l)J

18、如图，在三棱柱ABC—A4G中，AC=√2,AB=I,E,尸分别为A∣C,B片的

中点，且EF_L平面A4,GC.

(1)求棱BC的长度；

⑵若即且斥的面积Sx=今求二面角瓦-卡-。的正弦值.

19、在AABC中，。为边BC上一点，NBAD=9()。，ZB=ZDAC,UBD=IAC.

⑴求tan2B；

(2)若AB=7,求AABC内切圆的半径.

20、高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动Al芯片试生产，

试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完

成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概

率分别为竺，竺，竺，人工检测仅对智能检测达标(即三项指标均达标)的产品进行

504948

抽样检测，且仅设置一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为p(0<P<l)∙

(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

⑵人工检测抽检50个Al芯片，记恰有1个不达标的概率为/(p),当P=PO时，

/(P)取得最大值，求P。;

(3)若AI芯片的合格率不超过93%,则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的PO作为p

的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良.

22

21、已知双曲线C鼻-六=l(α>0,0>0)的离心率为0,过点E(l,0)的直线/与C

左右两支分别交于M,N两个不同的点(异于顶点).

(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积(O为坐标原点)；

(2)若A,B为双曲线的左右顶点，且IABl=4,试判断直线AN与直线的交点G是

否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由.

22、已知函数/(x)=(COSX-I)eτ,g(x)=以?+(l-e*)x(αeR).

(1)当x∈(0,兀)时，求函数/(x)的最小值；

(2)当XG-与+8)时，不等式4(x)2学恒成立，求实数α的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：

2、答案：D

解析：

3、答案：B

解析：

4、答案：A

解析：

5、答案：A

解析：

6、答案：C

解析：

7、答案：B

解析：

8,答案：D

解析：

9、答案：AC

解析：

10、答案:BCD

解析：

11、答案：ABD

解析：

12、答案:BCD

解析：

4

13、答案：-

5

解析：

14、答案：4

解析：

ɪ

15、答案：1<α<ee

解析：

16、答案：7

解析：

17、答案：(1)证明见解析

⑵(,=1-

n_1

解析：⑴S■+4="，且4=U-SI("≥2),

n+n

∙'∙2S"一Stt-

2s=s,,---[n≥2),

--V[r-π-+7lin

号=*≥2),令〃=1,可得5=。,

所以数列∫5,,--ɪ-)是首项为-L公比为L的等比数列.

Iπ+lJ22

⑵由⑴可得HqLJT

十一仔W，

・也=2"，

",2"

(aT)(%T)(2π-l)(2n+'-l)

+∙∙+

2n-l

18、答案：（1）8C=I

⑵*

解析：（1）取AC中点。，连接ED,BD,

ABC-AgG为三棱柱,

.∙.DE∕∕BFRDE=BF,

.•・四边形DEFB为平行四边形,

.∙.EFHDB，

又EE_L平面A4,C∣C.DB_L平面A4∣CC,

..DBLAC,

又。为Ae的中点，

.•.△ABC为等腰三角形，

.-.BC=AB=I

(2)由(1)知，AB1+BC2=AC2,

：.ABLBC,

.∙.EF=DB=^-,JLΛ,BlXB1C1,

且E/FΛ1C,

11√2√2

•••^vc=2AC-£F=2ACX2=2,

.*.AiC=2，

由(1)知。3_L平面A4CC,

.∙.DBLAAi,又三棱柱中Λ4i//BB1,

.∙.DB1BB1

又B四，A1B∣,所以8B∣LAB,ABDB=B,

：.BBi±平面ABC,

：.BBi_L平面AMG，所以ABC-44G为直三棱柱,

为直角三角形，可求得AA1=0,

又在三棱柱ABC-4Bg中，ABLBC,

.∙.ABlɪB1C1,

以用为坐标原点，向量4G，8A,4B方向为X轴，y轴，Z轴正方向建立空间直角

坐标系Bi-xyz,

B1(0,0,0),4(0,1,0),C1(1,0,0),c(l,0,√2),B(O,O,√2),'o,o,*],

所以Ab=0,-1,ΛlC=(l,-l,√2),

设平面4∣FC的一个法向量为4=(X,y,z),

√2

则卜W=°,BP<7+^z=°,取∕=(τι,⑹，

n∙AC=0

11Λ-V+Λ∕2Z=0

易知平面与4尸的一个法向量为%=(1，°，°)，

设二面角q-4尸-。的平面角为θ,

sinθ-.

2

24

19、答案：(1)—

7

⑵厂=2

解析：(1)设∕B=ND4C=α,

，ZADC=90°+α,ZC=90o-2cr,

Λ∩AC

在ZXADC中，由正弦定理可得一产一-=―4~-

sin(90o-2(z)sin(90+α)

12

在AABD中，AD=BDsina,又AC"BD,

7

-BD

所以於『二一,

cos2acosa

.∙.sinacosa=-cos2a,

7

.∙.(3tana+4)(4tana-3)=0，

又易知a为锐角，

3

.∙.tana=—,

4

34

.∙.sin«-,CoSa=一,

55

AB=7,

.•.△ABO中，AC=I5,

3

又CoSNBAC=CoS(90。+二)=一Sina

5

在AABC中，

由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC=400,

BC-20.

设△回£>的内切圆半径为r,

贝IJS=-ABACsmZBAC-(AB+AC+BC)r,

则r=2.

3

20、答案:(1)—

50

⑵需要对生产工序进行改良

解析：（1）记事件A="每个Al芯片智能检测不达标”,

⑵由题意/(p)=COP(I-0户，

∙∙,Γ(Z7)=5。[(1-P)49+PX49(1-P)"×(-l)]

=50(1-“,(I-50”)，

令f'(p)=o,则。=/

当0<P<∕∙Γ(p)>O,

当p>*'r(p)<θ'

所以/(p)的最大值点PO

记事件B="人工检测达标”，

则PMA

所以P0∙B)=P(,)P(叫q×-=92.12%<93%,

50

所以需要对生产工序进行改良.

21、答案：（1）左MNQP=I

（2）存在定直线％=4,使直线AN与直线BM的交点G在定直线上

e=3=叵

解析：（1）由题意得。一"，所以4=0,

c2=a1+b2

设M（Al,χ）,N（X2,必），P（X0，%），

22

X

⅛

-

αF

l=1

贝H

u√

l22

⅛M

-百

α=1

作差得'一％1+/_⅞,

22

-⅞«yi+y20%，

又MN的斜率8W=Xz&=巴•区，％=比,

玉一%2a'%⅞

A2

所以&N%=U=L

a

(2)∙;2。=4,

,∖a=b=29A(-2,0),3(3,0)

直线/：X=1+fy,t≠09

设Ma,χ),N(X2,%)，

联立｛N*°)得(产Ty2+加3=0,

Δ=16r2-12>r-l≠0√≠0

-2t，所以。/2=空P

所以4x+%=U

-3

Xy2

Z2-I

设直线AN：y=-¾(x+2),BM：J=-^L-(X-2),

X9+ZX∣—Z

2,3,

x+2_.(一+2)_必(优+3)―+3χ=5X+J*=3

X—2%,-2%WT)%%%—%-yi+-y,

所以x=4.故存在定直线x=4,使直线AN与直线BM的交点G在定直线上.

π

22、答案：⑴e2

(2)iz<l

1-V2sinx+-I

解析：⑴/(X)=---------；--------，x∈(0,π),令/'(x)=O,则x=∙∣,

当xe(0,5,