高考复习A版数学考点考法（10年高考真题）：基本不等式

基本不等式及不等式的应用

考点一基本不等式及其应用

1.(2015陕西，理9,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(«^),，r=1(f(a)+f(b)),则下列关

系式中正确的是（）

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

答案C由题意得p=lnV^,q=ln^^，r="|(lna+lnb)=lrr\/^二p；.,0<a<b,

.*.p=r<q.

2.(2015福建理，5,5分)若直源+太1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()

ab

A.2B.3C.4D.5

答案C因为直线'+*=1(a〉0,b>0)过点(1,1)所以1+:=1.所以a+b=(a+b)/-+^=2+^+-^2+2/--=4,

abab\abJba\ba

当且仅当a=b二2时取"=”，故选C.

3.(2015湖南文，7,5分)若实数a,b满足工+,属，则ab的最小值为()

ab

A.V2B.2C.2V2D.4

答案c依题意知a>0,b>0，则%32区=等,当且仅当兰,即b=2a时，"="成立因为牛=疝,

abyabyababab

所以,即abN24i,所以ab的最小值为,故选C.

4.(2014重庆文，9,5分)若log4(3a+4b)=log2y/ab,则a+b的最小值是()

A.6+2V3B.7+2V3C.6+4V3D.7+4V3

答案D由log4(3a+4b)=log2A/诬，

得3a+4b=ab,且a>0,b>0,

4b

.'.a=---,由a>0，得b>3.

b—3

「.a+b=二b+*匕31+12=（b3）+^^+722^/?^+7=4百+7,即a+b的最小值为7+4班.

0—30—30—3

5.（2014福建，9,5分）要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每

平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

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答案C设底面矩形的长和宽分别为am、bm,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)x10=[80+20(a+b)]

元，80+20(a+b)，80+40，^=160(当且仅当a二b时等号成立).故选C.

6.(多选)(2022新高考II,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=l,则()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.N+y2g2D.X2+^2>1

答案BC因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且次”？)，所以(1+y)2-3孙N(x+y)2-^(x+y)2=^(x+y)2,故(x+y)2<4,

444

当且仅当时等号成立，§P-2<x+y<2，故A错误,B正确.由次考”得1=/+户孙*+产专”，即好出丸，

当且仅当九0时等号成立.故C正确，D错误，故选BC.

7.(多选)(2020新高考/,11,5分)已知。>0,b>0,且a+b=l,则()

A.a2+Z?2>-B.2a—b>-

22

C.log2fl+log2/?>-2D.Va+Vb<V2

答案ABDa>0,b>0,a+b=l,/.0<«<l,0<Z?<l,b=l-a.

阳*=

对于A选项，a2+b2=a2+(1-a)2=2fl2-2tz+l=2^a—0+[2]当且仅当时，取等号，A正确；

对于B选项，a-b=a-(].-a)=2a-\,TOvavl,.•・-1<2小1<1,，畀?2。%?,.二？。"〉[成立，B正确；

对于C选项，*.*0<^Z?<-,a>0,b>0,

；・log2〃+log2b=log2(加勺og2A2,C不正确；

对于D选项，:(仿+Vb)2=a+b+2Vab=1+2Vab<1-^-a+b=2，.二VH+VF<&成立，D正确.

8.(2018江苏，13,5分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=120°zZABC的平分线

交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.

答案9

解析本题考查基本不等式及其应用.

依题意画出图形，如图所示.

SAABD_*'SABCD~SAABCI

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Ill

即^csin600+-asin60°=-acsin120°,

11

.,.a+c=ac,-i--1

ac

「.4a+c=(4a+c)(-+c4a、八

一+—29,

\aac

r4Q3

当且仅当『工，即a=3c=3时取

一题多解1作DE〃CB交AB于E,；BD为NABC的平分线,

BA_AD_c_

BCDCa

AD_AE_DE_c

.「DE〃CB

ACABBCa+c

—>d—>—>c—>

..BE=---BA,ED=BC.

a+ca+c

—>a—>c—>

.".BD=---BA+----BC.

a+ca+c

—>2(a—>c—A2

：.BD=—BA+—BC],

\a+ca+c/

,■,1=(­BlV+f—BcV+2•-----—\BA\•,

la+c)la+c/a+ca+cV2/

/.4a+c=(4a+c)(-+-)=5+^+—^9,当且仅当匕的,即,c=3时取.

\acJacac2

一题多解2以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

则D(1,0).*/AB=c,BC=a.。尊-]

-A,D,C二点共线,.".AD//DCi

,,(1")(一条)号痣-1)=0,

「.ac=a+c,.,.-+-=1,

ac

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/.4a+c=(4a+c)(-+-)=5+-+—^9,当且仅当^二"，即a=|,c=3时取.

\acjacac2

Yv

9.(2017山东，12,5分)若直线-+公1(a>0,b>0)过点Q,2),则2a+b的最小值为.

ab--------

答案8

i7

解析由题设可得一二二1,.「a>0,b>0,

ab

.•.2a+b=(2a+b)C+》2+空+2>4+2上*=8(当且仅当，处即b=2a时,等号成立).

\abJab\ab\ab/

故2a+b的最小值为8.

10.(2015重庆文，14，5分)设a,b〉0，a+b=5,则，a+1+"+3的最大值为.

答案3V2

解析解法一：令t=\a+1+7b+3,

贝!］它=«a+1+7b+3)Ja+l+b+3+2，a+1•+3W9+a+l+b+3=18,

当且仅当，a+1=7b+3,

73

即a=2'上万时，等号成立.

即t的最大值为3A/2.

解法二:设7a+l=m,\b+3=n，则m,n均大于零，

因为m2+n2^2mn,所以2(m2+n2)2(m+n)2,

所以m+nWV^*7mz+序,

所以+1+7b+3W6*+1+b+3=3&,

当且仅当+1=7b+3,

即a=|,b=|时，"="成立，所以所求最大值为36.

考点二应用基本不等式求解最值

(2019天津文，13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则回坟空挡的最小值为

xy--------

号室-

口木2

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解析本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件